1、考研数学一-426 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)为连续函数， 并设 x0 时 F(x)Ax k ，则(A，k)为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.若两直线： （分数：4.00）A.1B.2C.3D.43.设 又设 f(x)展开的正弦级数为 则 S(7)=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 =(x，y，z)|x 2 +y 2 +z 2 1，z0， 1 =(x，y，z)|x 2 +y 2 +z 2 1，x0，y0，z0下列诸式 （分数：4.00）A.和B.和C.
2、和D.和5.设 （分数：4.00）A.B.C.D.6.实二次型 正定的充分必要条件为_ Aa1 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.已知 ，则下列正确的是_ A B C （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是来自总体 N(0，1)的简单随机样本已知 （分数：4.00）A.2B.3C.4D.5二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 x0，微分方程 xy“-2y“=1的通解是 1 （分数：4.00）10.函数 u=xy 2 z 3 在点(1，2，-1)处沿曲面 x 2 +y 2 =5的外法线方向的方向导数为 1 （分数：4.00）
3、11.设 且区域 D为-x+，-y+，则 （分数：4.00）12.设曲面为球面 x 2 +y 2 +z 2 =1在第一卦限部分的下侧， （分数：4.00）13.设 n(n1)阶行列式 D=|a ij | n =2，且 D中各列元素之和均为 2，记 a ij 的代数余子式为 A ij ， 则 （分数：4.00）14.设两个相互独立的随机变量 X和 Y均服从正态分布 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)连续，且当 x-1 时有 （分数：10.00）_16.设 f(x)在a，b上连续，证明存在 a，b，使得 （分数：10.00）_17.设 f(x)在1，+)
4、上二阶可导，f(1)=0，f“(1)=1，函数 z=(x 2 +y 2 )f(x 2 +y 2 )满足 （分数：10.00）_设 f(x)连续可导，f(1)=1，G 为不包含原点的单连通区域，任取 M，NG，在 G内曲线积分 （分数：10.00）(1).求 f(x)；（分数：5.00）_(2).求 （分数：5.00）_18.求幂级数 （分数：10.00）_已知三维列向量 1 ， 2 线性无关， 1 ， 2 线性无关（分数：11.00）(1).证明存在非零向量 既可由 1 ， 2 线性表示，也可以由 1 ， 2 线性表示；（分数：5.50）_(2).设 1 =(-1，2，3) T ， 2 =(1
5、，-2，-4) T ， 1 =(-2，a，7) T ， 2 =(-1，2，5) T ，求()中的 （分数：5.50）_已知二次型 （分数：11.01）(1).求 a的值；（分数：3.67）_(2).用正交变换 x=Py化二次型为标准形，并写出所用的正交变换；（分数：3.67）_(3).f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax=1表示什么曲面（分数：3.67）_设 X与 Y的联合概率密度函数为 （分数：11.00）(1).试求 Z=X-Y的密度函数；（分数：5.50）_(2).求 Z的数学期望 E(Z)（分数：5.50）_设总体 X的密度函数为 （分数：11.00）(1).求 的最大似然
6、估计量 （分数：5.50）_(2).证明 （分数：5.50）_考研数学一-426 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)为连续函数， 并设 x0 时 F(x)Ax k ，则(A，k)为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 又 取 k=3， ，选 C 本题亦可用特例法 取 f(x)=2x， 2.若两直线： （分数：4.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 两条直线相交，则两条直线共面 s 2 =1，1，1，M 1 =(1，-1，1)，M 2 =(-1，1，0)， 故三个向量 s 1 ，
7、s 2 ， 共面，于是 3.设 又设 f(x)展开的正弦级数为 则 S(7)=_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由狄利克雷收敛定理，s(x)是周期为 4的奇函数， 4.设 =(x，y，z)|x 2 +y 2 +z 2 1，z0， 1 =(x，y，z)|x 2 +y 2 +z 2 1，x0，y0，z0下列诸式 （分数：4.00）A.和B.和 C.和D.和解析：解析 由于 关于 x=0(yOz平面)对称，三重积分对 x的函数，偶倍奇零故 故错 由于 关于 x=0对称，又关于 y=0对称， 再由轮换对称性， 故正确，正确，选 B 至于，区域 1 没有对称性，再由轮换
8、对称性，只能得出 得不出 事实上，经计算 5.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 A 中的 3阶子式为范德蒙行列式0，R(A)=3，还要注意到 R(A)=R(A T )=R(AA T )=R(A T A)=3，即可得出本题结论 Ax=0的解空间中含有一个线性无关的解向量，排除 A A T x=0仅有零解，排除 B AA T x=0仅有零解排除 D 6.实二次型 正定的充分必要条件为_ Aa1 B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 二次型的矩阵 得 A的特征值： 1 = 2 = n-1 =1-， n =1+(n-1)a 由二次型正定的充要条件， 1 = 2
9、= n-1 =1-a0， n =1+(n-1)a0，从而 7.已知 ，则下列正确的是_ A B C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 于是 A与 独立，从而 A与 B独立， 与 B独立， 与 独立 排除 A； 排除 B； 选 C； 8.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是来自总体 N(0，1)的简单随机样本已知 （分数：4.00）A.2B.3 C.4D.5解析：解析 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 x0，微分方程 xy“-2y“=1的通解是 1 （分数：4.00）解析： 解析 方法 1 xy“-2y“=1(缺 y)，为可降阶的微分方程 令 y“=p，原方
10、程化为 (一阶线性微分方程) 方法 2 方程 xy“-2y“=1，即为 x 2 y“-2xy“=x(欧拉方程) 解得， 即 10.函数 u=xy 2 z 3 在点(1，2，-1)处沿曲面 x 2 +y 2 =5的外法线方向的方向导数为 1 （分数：4.00）解析： 解析 已知 F=x 2 +y 2 -5，则 n=2x，y，0，n| (1，2，-1) =21，2，0， 故曲面在点(1，2，-1)的外法线方向的方向余弦为 又 11.设 且区域 D为-x+，-y+，则 （分数：4.00）解析： 解析 故在区域 D1=(x，y)|-yx1-y，0y1上 f(y)=y，f(x+y)=x+y，在 D 1
11、的外部 f(y)=0，f(x+y)=0于是 如下图 12.设曲面为球面 x 2 +y 2 +z 2 =1在第一卦限部分的下侧， （分数：4.00）解析：解析 13.设 n(n1)阶行列式 D=|a ij | n =2，且 D中各列元素之和均为 2，记 a ij 的代数余子式为 A ij ， 则 （分数：4.00）解析：n 解析 由题设得 A 11 +A 12 +A 1n =1 请注意，上述的 A 11 ，A 12 ，A 1n 就是行列式 D中的 A 11 ，A 12 ，A 1n 重复上述做法，把 D中各行加至第 2行，然后按第 2行展开，即有 A 21 +A 22 +A 2n =1 类似地，可
12、推出 A k1 +A k2 +A kn =1，(k=3，4，n)， 故 14.设两个相互独立的随机变量 X和 Y均服从正态分布 （分数：4.00）解析： 解析 X 和 Y相互独立，且均服从正态分布 ，则 Z=X-YN(0，1) 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)连续，且当 x-1 时有 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 令 则 (0)=1，“(x)=f(x)，于是 两边积分得， 由 (0)=1，得 C=0， 两边求导，得 16.设 f(x)在a，b上连续，证明存在 a，b，使得 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证欲证 即证 若 即有 F(a)=F
13、(b)=0，取 =a 或 =b 均可 若 则 F(a)F(b)0，由零点定理，存在 (a，b)，使得 F()=0 总之，存在 a，b，使得 17.设 f(x)在1，+)上二阶可导，f(1)=0，f“(1)=1，函数 z=(x 2 +y 2 )f(x 2 +y 2 )满足 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 z=uf(u)， 由 z=(x 2 +y 2 )f(x 2 +y 2 )中 x与 y的对称性，得 +，得 为欧拉方程令 u=e t ，则 代入，得 (此为二阶常系数齐次线性微分方程) 解得， 由于 f(1)=0，f“(1)=1，得 C 1 =0，C 2 =1，于是 设 f(x)连续
14、可导，f(1)=1，G 为不包含原点的单连通区域，任取 M，NG，在 G内曲线积分 （分数：10.00）(1).求 f(x)；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 记 因为在 G内曲线积分 与路径无关，所以 (x，y)G，总有 即 (2).求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：由于曲线 与被积表达式中的 P，Q 不配套，曲线积分很难计算，于是想到另找与 P，Q 配套的曲线 如下图，取小椭圆 =2x 2 +y 2 = 2 ，取正向， 为充分小的正数，使得 在 的内部 设 与 所保围的区域为 D在 D上，P 和 Q的一阶偏导数连续，且 18.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(
15、)解析：解 先求收敛域 再求和函数 已知三维列向量 1 ， 2 线性无关， 1 ， 2 线性无关（分数：11.00）(1).证明存在非零向量 既可由 1 ， 2 线性表示，也可以由 1 ， 2 线性表示；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 ()因 4个 3维向量必线相关，故存在一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k 3 1 +k 4 2 =0， 其中 k 1 ，k 2 不全为零，反证即可事实上，若 k 1 =k 2 =0，则有 k 3 1 +k 4 2 =0，而 1 ， 2 线性无关，从而 k 3 =k 4 =0，与题设 k 1
16、，k 2 ，k 3 ，k 4 不全为零矛盾，于是 k 1 1 +k 2 2 =-k 3 1 -k 4 2 = 由于 k 1 ，k 2 不全为零，同理 k 3 ，k 4 不全为零，又 1 ， 2 线性无关， 1 ， 2 线性无关，于是 k 1 1 +k 2 2 =-k 3 1 -k 4 2 =0(2).设 1 =(-1，2，3) T ， 2 =(1，-2，-4) T ， 1 =(-2，a，7) T ， 2 =(-1，2，5) T ，求()中的 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解齐次线性方程组 k 1 1 +k 2 2 +k 3 1 +k 4 2 =0， 即 的通解为 c为任意非零常数 的
17、通解为 c 1 ，c 2 为不同时为零的任意常数 已知二次型 （分数：11.01）(1).求 a的值；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 二次型矩阵 由 A 的特征值为：1-a，a-1，a+2 由于 A的特征值有重根，所以， (2).用正交变换 x=Py化二次型为标准形，并写出所用的正交变换；（分数：3.67）_正确答案：()解析：A 的特征值为 0，0，3 当 =0 时，由(A-0E)x=0，得特征向量为 当 =3 时，由(A-3E)x=0，得特征向量为 把 1 ， 2 正交化 取 1 = 1 ， 把 单位化，得 取 令 x=Py， (3).f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T
18、 Ax=1表示什么曲面（分数：3.67）_正确答案：()解析：当 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax=1，即 设 X与 Y的联合概率密度函数为 （分数：11.00）(1).试求 Z=X-Y的密度函数；（分数：5.50）_正确答案：()解析：方法 1 分布函数法 z0，F(z)=0，(如图 2) z1，F(z)=1，(如图 3) 0z1，(如图 4) 方法 2 密度函数法 上式中，0x1，0y=x-zx，即有区域：0x1，0zx，在此区域内：f(x，x-z)=3x 图 1图 2图 3图 4图 5图 6(2).求 Z的数学期望 E(Z)（分数：5.50）_正确答案：()解析：设总体 X的密度函数为 （分数：11.00）(1).求 的最大似然估计量 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 ()由似然函数 (2).证明 （分数：5.50）_正确答案：()解析：
