1、考研数学一-425 及答案解析(总分：150.03，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在0，+)上二阶可导，且 f“(x)f“(x)，则 （分数：4.00）A.单调增加B.单调减少C.有极值D.常数2.函数 z=z(x，y)由方程 所给出，则 （分数：4.00）A.2xzB.2yzC.2xyD.xyz3.设 D=(x，y)|x 2 +y 2 R 2 ，R0，则二重积分 （分数：4.00）A.为零B.为正C.为负D.当 0 时为正，当 0 时为负4.下列结论正确的是_ A若 收敛，则 条件收敛 B若 ，(u n 0)条件收敛，则 发散 C若 收敛
2、，则 收敛 D若 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A为 mn矩阵，下列命题中正确的是_（分数：4.00）A.若 A中有 n阶子式不为零，则 Ax=0仅有零解B.若 A中有 n阶子式不为零，则 Ax=b必有唯一解C.若 A中有 m阶子式不为零，则 Ax=0仅有零解D.若 A中有，m 阶子式不为零，则 Ax=b必有唯一解6.P为正交矩阵，A 为对角矩阵，则矩阵 P -1 AP为_（分数：4.00）A.正交矩阵B.对称矩阵C.不一定为对称矩阵D.以上都不对7.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，其均值和方差分别为 ，S 2 ，则服从自由度为 n的
3、2 分布的随机变量是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设相互独立的两随机变量 X和 Y，其中 ，而 Y具有概率密度 等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.曲线 （分数：4.00）11.圆 x 2 +(y-b) 2 =a 2 (0ab)绕 x轴旋转一周所生成的形如车胎的旋转体的体积为 1 （分数：4.00）12.设 u=u(x，y，z)具有二阶连续的偏导数，且满足 ，又设 S为曲面 x 2 +y 2 +z 2 =2az(a0)，取其外侧，则 （分数：4.00）13.设矩阵 A的伴随
4、矩阵 （分数：4.00）14.相互独立的随机变量 X 1 和 X 2 均服从正态分布 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在(0，+)内单调减少，可微，且满足不等式 0f(x)|f“(x)|，证明：当 0x1 时，成立不等式 （分数：10.00）_16.求 （分数：10.00）_17.将 在0，上展开成正弦级数，并求级数 （分数：10.00）_18.设 f(x)在a，b上连续， （分数：10.00）_19.求目标函数 f(x，y，z)=xyz 在 x+y+z=0和 x 2 +y 2 +z 2 =1约束条件下的极大值和极小值 （分数：10.00）_已知
5、B为 3阶非零矩阵，且 B的每个列向量都是 Ax=0的解，其中 （分数：11.01）(1). 的值；（分数：3.67）_(2).Ax=0的通解；（分数：3.67）_(3).求矩阵 B的秩（分数：3.67）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax满足 a 11 +a 22 +a 33 =2，AB=0，其中 （分数：11.01）(1).用正交变换化二次型为标准形，并求所作的正交变换；（分数：3.67）_(2).求该二次型（分数：3.67）_(3).f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1代表什么曲面（分数：3.67）_设随机变量 X在(0，1)上服从均匀分布，令随机变量 （分数：
6、11.00）(1).求 Y的分布函数 F Y (y)；（分数：5.50）_(2).求 Y的数学期望 E(Y)（分数：5.50）_设随机变量 X与 Y相互独立且服从同一分布 N(0， 2 )，其中 是未知参数且 0，记Z=aX+bY，(a0，b0)（分数：11.01）(1).求 Z的概率密度 f(z； 2 )；（分数：3.67）_(2).设 Z 1 ，Z 2 ，Z n 为来自总体 Z的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量 （分数：3.67）_(3).计算 （分数：3.67）_考研数学一-425 答案解析(总分：150.03，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设
7、函数 f(x)在0，+)上二阶可导，且 f“(x)f“(x)，则 （分数：4.00）A.单调增加 B.单调减少C.有极值D.常数解析：解析 2.函数 z=z(x，y)由方程 所给出，则 （分数：4.00）A.2xz B.2yzC.2xyD.xyz解析：解析 同理 于是 3.设 D=(x，y)|x 2 +y 2 R 2 ，R0，则二重积分 （分数：4.00）A.为零 B.为正C.为负D.当 0 时为正，当 0 时为负解析：解析 先将极坐标化为直角坐标，再变量轮换，得 被积函数 e x -e -x 是 x的奇函数，区域 D关于 y轴对称，所以 4.下列结论正确的是_ A若 收敛，则 条件收敛 B若
8、 ，(u n 0)条件收敛，则 发散 C若 收敛，则 收敛 D若 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 举反例排除 A，C，D 取 收敛，但 发散，排除 A； 取 u n =(-1) n ，则 收敛，但 发散，排除 C； 取 u n =(-1) n ， 5.设 A为 mn矩阵，下列命题中正确的是_（分数：4.00）A.若 A中有 n阶子式不为零，则 Ax=0仅有零解 B.若 A中有 n阶子式不为零，则 Ax=b必有唯一解C.若 A中有 m阶子式不为零，则 Ax=0仅有零解D.若 A中有，m 阶子式不为零，则 Ax=b必有唯一解解析：解析 (A)若 A中有 n阶子式不为零，此时 A为列
9、满秩矩阵，这时 n-R(A)=0，则 Ax=0仅有零解；反之，若 Ax=0仅有零解，则 n-R(A)=0因此，A 中有 n阶子式不为零是 Ax=0仅有零解的充分必要条件选 A B若 A中有 n阶子式不为零，这时 R(A)=n，此时 A为列满秩矩阵，这时 n-R(A)=0，得不出 R(A)=R(A b)，得不出 Ax=b有解，更得不出 Ax=b必有唯一解B 错 C若 A中有 m阶子式不为零，这时 R(A)=m，此时 A为行满秩矩阵，得不出 R(A)=n，得不出 Ax=0仅有零解C 错 D若 A中有 m阶子式不为零，此时 A为行满秩矩阵，于是有 R(A)=R(A 6.P为正交矩阵，A 为对角矩阵，
10、则矩阵 P -1 AP为_（分数：4.00）A.正交矩阵B.对称矩阵 C.不一定为对称矩阵D.以上都不对解析：解析 P 为正交矩阵，PP T =E， P -1 AP(p -1 AP) T =P -1 APP T A T (p -1 ) T =P -1 AAP=P -1 A 2 P， 7.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，其均值和方差分别为 ，S 2 ，则服从自由度为 n的 2 分布的随机变量是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于总体 XN(， 2 )， 又 与 S 2 相互独立，而 2 分布具有可加性，因而 8.设
11、相互独立的两随机变量 X和 Y，其中 ，而 Y具有概率密度 等于_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 ，X 只能取 X=0或 X=1，用全概公式 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析：解析 10.曲线 （分数：4.00）解析： 解析 平面 Ax+By+Cz=0的法向量方向余弦为 D的面积为 11.圆 x 2 +(y-b) 2 =a 2 (0ab)绕 x轴旋转一周所生成的形如车胎的旋转体的体积为 1 （分数：4.00）解析：2 2 a 2 b 解析 如下图，圆 x 2 +(y-b) 2 =a 2 由下列曲线组成： 12.设 u=u(
12、x，y，z)具有二阶连续的偏导数，且满足 ，又设 S为曲面 x 2 +y 2 +z 2 =2az(a0)，取其外侧，则 （分数：4.00）解析： 解析 由高斯公式，以 表示 S所围成的球体，有 13.设矩阵 A的伴随矩阵 （分数：4.00）解析： 解析 |A * |=|A| n-1 ，|A * |=-8=|A| 4-1 ，|A|=-2 又 AA * =|A|E，A=|A|(A * ) -1 ， 14.相互独立的随机变量 X 1 和 X 2 均服从正态分布 （分数：4.00）解析： 解析 X 1 和 X 2 均服从正态分布 ，则 Z=X 1 -X 2 N(0，1) D(|X 1 -X 2 |)=
13、D(|Z|)=E(|Z| 2 )-(|Z|) 2 =E(Z 2 )-E(Z) 2 =D(Z)+E(Z) 2 -E(|Z|) 2 ， 而 D(Z)=1，E(Z)=0， 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在(0，+)内单调减少，可微，且满足不等式 0f(x)|f“(x)|，证明：当 0x1 时，成立不等式 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 欲证 即证 又 f(x)单调减少，可微，f“(x)0， 0f(x)|f“(x)|=-f“(x)， 于是 f(x)+f“(x)0， (0x1) 构造 F(x)=e x f(x) 由拉格朗日中值定理， 16.求 （分数：10.0
14、0）_正确答案：()解析：解 记为曲线 L所围球面部分的外侧(如下图)由斯托克斯公式 其中 n=cos ，cos ，cos 为球面 x 2 +y 2 +z 2 =2bx上每点处的单位法向量 17.将 在0，上展开成正弦级数，并求级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 首先对 f(x)进行奇延拓，接着进行周期延拓， 18.设 f(x)在a，b上连续， （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 令 (axb)，则 F(a)=F(b)=0，且 F“(x)=f(x) 19.求目标函数 f(x，y，z)=xyz 在 x+y+z=0和 x 2 +y 2 +z 2 =1约束条件下的极大值和极
15、小值 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 作拉格朗日函数 L=xyz+(x 2 +y 2 +z 2 -1)+(x+y+z) 并令 L“ x =yz+2x+=0， L“y=zx+2y+=0， L“z=xy+2z+=0， L“=x 2 +y 2 +z 2 -1=0， L“=x+y+z=0， 由前三式消去 ，得 再消去 ，又得 (x-y)(y-z)(z-x)=0 于是求得 x=y或 x=z或 y=z 当 x=y时，代入条件函数后，得 由此得出 同样，当 x=z或 y=z时，仍可得到上述结果 已知 B为 3阶非零矩阵，且 B的每个列向量都是 Ax=0的解，其中 （分数：11.01）(1).
16、的值；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由已知齐次线性方程组 Ax=0有非零解R(A)3，于是|A|=0，即有 (2).Ax=0的通解；（分数：3.67）_正确答案：()解析：齐次线性方程组即为 (3).求矩阵 B的秩（分数：3.67）_正确答案：()解析：由已知 AB=O，R(A)+R(B)3， 又 R(A)=2，R(B)1，又 BO，R(B)1， R(B)=1设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax满足 a 11 +a 22 +a 33 =2，AB=0，其中 （分数：11.01）(1).用正交变换化二次型为标准形，并求所作的正交变换；（分数：3.67）_正确答案
17、：()解析：解 由题设条件 B的三个列向量均为 Ax=0的解向量 也是 A的对应于特征值 =0 的特征向量，由于|B|=0，故 B中的三个列向量线性相关，取 1 ， 2 线性无关，且已正交 又 1 + 2 + 3 =a 11 +a 22 +a 33 =2， 1 = 2 =0 3 =2 (单，重，重) 因 A为实对称矩阵，所以对应于 3 =2的特征向量 与 1 ， 2 正交，即有 1 ， 3 =x 1 +x 2 +x 3 =0， 2 ， 3 =-x 1 +x 2 =0， 解得 再把 1 ， 2 ， 3 单位化，得 (2).求该二次型（分数：3.67）_正确答案：()解析： 故所求二次型为 (3)
18、.f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1代表什么曲面（分数：3.67）_正确答案：()解析：由标准化 设随机变量 X在(0，1)上服从均匀分布，令随机变量 （分数：11.00）(1).求 Y的分布函数 F Y (y)；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 F Y (y)=PYy(如下图) )y0， F Y (y)=0； )y1， F Y (y)=1； (2).求 Y的数学期望 E(Y)（分数：5.50）_正确答案：()解析：设随机变量 X与 Y相互独立且服从同一分布 N(0， 2 )，其中 是未知参数且 0，记Z=aX+bY，(a0，b0)（分数：11.01）(1).求 Z的概率密度 f(z； 2 )；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由于 X，Y 相互独立，所以 aX+bY仍然服从正态分布 N(0，(a 2 +b 2 ) 2 ) (2).设 Z 1 ，Z 2 ，Z n 为来自总体 Z的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量 （分数：3.67）_正确答案：()解析： 取对数，得 求导并令 (3).计算 （分数：3.67）_正确答案：()解析：
