1、考研数学一-420 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)有连续导数，且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.f(0)不是 f(x)的极大值D.不能判断 f(0)是否为极值2.设 f(x)为可导的偶函数，且满足 ，则曲线 y=f(x)在点(-1，f(-1)处的法线的斜率为_ A B （分数：4.00）A.B.C.D.3.已知 u n 0，(n=1，2，3，)，且 条件收敛若设 v n =3u 2n-1 -u 2n ，(n=1，2，3，)，则级数 （分数：4.00）A.
2、发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性取决于un的具体形式4.设函数 z=z(x，y)由方程 确定，则 _ Az-xy Bz+xy Cxy-z D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 为 mn 矩阵，已知 R(A)=m，且方程组 Ax=0 有非零解，则下列选项中不正确的是_（分数：4.00）A.mnB.mnC.A 的列向量组线性相关D.Ax= 有无穷多组解6.设 mn 实矩阵 A 的 n 个列向量线性无关，则 A T A 必为_（分数：4.00）A.正定矩阵B.实对称但非正定矩阵C.正交矩阵D.反对称矩阵7.设随机变量 X，Y 互不相关，它们的分布律分别为_ （分数：4.00）A.互
3、不相容B.相互独立C.互为对立D.没有关系8.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自 X 的简单随机样本，X 服从(1，7)内的均匀分布，记 由中心极限定理，以下成立的是_ (注：(x)表示标准正态分布函数) A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.平面 x-y+z=2 与曲面 z=x 2 +y 2 的交线在点(1，1，2)处的切线方程是 1 （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.设 L 为任一封闭的正向曲线，且 f(u)有连续导数，则 （分数：4.00）12.设方程 确定函数 z=z(x，y)，则 （分数：4.00）13.
4、（分数：4.00）14.设随机变量 XF(n，n)，则 PX1= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可微，且 f(0)=f(1)=0， 证明：()存在 （分数：10.00）_16.求微分方程 x 2 y“-2xy“+2y=x+1 的通解 （分数：10.00）_17.设 f(x)=1+x(0x1)将 f(x)展开成余弦级数，并求级数 （分数：10.00）_18.设 f(x)有连续导函数，计算 （分数：11.00）_19.设函数 f(x)在a，+)上连续，且 xa 时，f“(x)k0(k 为常数)证明：当 f(a)0
5、 时，方程f(x)=0 在区间 （分数：11.00）_20.设 （分数：11.00）_已知实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 的矩阵满足 a 11 +a 22 +a 33 =-6，AB=C，其中 （分数：11.00）(1).用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和用正交变换所得的标准形；（分数：5.50）_(2).求出该二次型（分数：5.50）_21.设随机变量 X 与 Y 相互独立，其概率密度函数分别为 （分数：10.00）_22.设总体 X 的概率密度为 （分数：10.00）_考研数学一-420 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选
6、择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)有连续导数，且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.f(0)不是 f(x)的极大值D.不能判断 f(0)是否为极值解析：解析 强行代入，由 x=0，f(0)=0 得 f“(0)=0 f“(0)=10， f(x)在点 x=0 处取极小值 选 B 本题还可用特例法： 强行代入，由 x=0，f(0)=0 得 f“(0)=0，取 f“(x)=x，于是 2.设 f(x)为可导的偶函数，且满足 ，则曲线 y=f(x)在点(-1，f(-1)处的法线的斜率为_ A B （分数：4.00）A. B.C.D
7、.解析：解析 由题设 f(-x)=f(x)，于是 f“(-x)=-f“(x) 又由 f“(1)=-2 于是 f“(-1)=-f“(1)=2k 切 | x=-1 =2 3.已知 u n 0，(n=1，2，3，)，且 条件收敛若设 v n =3u 2n-1 -u 2n ，(n=1，2，3，)，则级数 （分数：4.00）A.发散 B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性取决于un的具体形式解析：解析 由已知 u n 0，(n=1，2，3，) 4.设函数 z=z(x，y)由方程 确定，则 _ Az-xy Bz+xy Cxy-z D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 同理， 选 A 本题也可用特
8、例法 可取 5.设 A 为 mn 矩阵，已知 R(A)=m，且方程组 Ax=0 有非零解，则下列选项中不正确的是_（分数：4.00）A.mnB.mn C.A 的列向量组线性相关D.Ax= 有无穷多组解解析：解析 R(A)=m，A 为行满秩矩阵又 Ax=0 有非零解 n-R(A)=n-m0，nm这时 A 的列向量组线性相关，R(A)=R(A 6.设 mn 实矩阵 A 的 n 个列向量线性无关，则 A T A 必为_（分数：4.00）A.正定矩阵 B.实对称但非正定矩阵C.正交矩阵D.反对称矩阵解析：解析 R(A)=n，Ax=0 仅有零解于是当 x0，Ax0 时，有 x T A T Ax=(Ax)
9、 T (Ax)0，故 A T A 正定，选 A7.设随机变量 X，Y 互不相关，它们的分布律分别为_ （分数：4.00）A.互不相容B.相互独立 C.互为对立D.没有关系解析：解析 E(X)=30.4=1.2，EY=(-1)0.7=-0.7，E(XY)=3(-1)PX=3，Y=-1，而 X，Y 不相关，所以 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0，E(XY)=E(X)E(Y)，解得 PX=3，Y=-1=0.28 由联合分布与边缘分布间的关系，得(X，Y)的分布律 8.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自 X 的简单随机样本，X 服从(1，7)内的均匀分布，记 由中心极限定理，以下
10、成立的是_ (注：(x)表示标准正态分布函数) A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 总体 XU(1，7)，则 由简单随机样本的性质知，X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且与 X 同分布， E(X i )=4，D(X i )=3 (i=1，2，n) 由列维-林德伯格中心极限定理， 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.平面 x-y+z=2 与曲面 z=x 2 +y 2 的交线在点(1，1，2)处的切线方程是 1 （分数：4.00）解析： 解析 在点(1，1，2)处有 得 所以，曲线在点(1，1，2)处的切线的方向向量为 切线方程为 10. （分数：4.00）
11、解析：解析 11.设 L 为任一封闭的正向曲线，且 f(u)有连续导数，则 （分数：4.00）解析：0 解析 由于 P=yf(xy)，Q=xf(xy)， 12.设方程 确定函数 z=z(x，y)，则 （分数：4.00）解析： 解析 解得 于是 13. （分数：4.00）解析： 解析 如果 P 2 =E，P 4 =E，P 5 =P， 14.设随机变量 XF(n，n)，则 PX1= 1 （分数：4.00）解析： 解析 若随机变量 XF(n，n)， 则 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可微，且 f(0)=f(1)=0， 证明：()存在 （
12、分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 ()设 F(x)=f(x)-x，x0，1 由于 F(1)=f(1)-1=0-1=-10， 由零点定理，存在 16.求微分方程 x 2 y“-2xy“+2y=x+1 的通解 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 令 代入原方程，得 这是二阶常系数线性非齐次微分方程，先解 特征方程为 r 2 -3r+2=0，r 1 =1，r 2 =2 于是 y=C 1 e t +C 2 e 2t (齐通) 再分别求 的特解 1(2)的特解 y 2 * ，令 y 1 * =Ate t ，y 2 * =B 代入(1)，(2)式整理得 A=-1， ，y 1 * =-
13、te t ， 的通解为 于是原方程的通解为： 17.设 f(x)=1+x(0x1)将 f(x)展开成余弦级数，并求级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 先对 f(x)进行偶延拓，接着进行周期延拓，两次延拓后的函数为(-，+)内以 2 为周期的偶函数 b n =0，(n=1，2，)，则 令 x=0，得 于是 18.设 f(x)有连续导函数，计算 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 设 是所围的区域，它在 xOz 平面上的投影为 x 2 +z 2 1由高斯公式 19.设函数 f(x)在a，+)上连续，且 xa 时，f“(x)k0(k 为常数)证明：当 f(a)0 时，方程f
14、(x)=0 在区间 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 f(a)0， 在区间 上应用拉格朗日中值定理 ，由零点定理，在 内至少存在一点 ，使得 f()=0 又 f(x)0，f(x)，所以在区间 20.设 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 因为 是 Ax=b 的解，故 A=b，即有 即有 1-a+c-1=0，a=c 通解为 为任意常数 通解为 已知实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 的矩阵满足 a 11 +a 22 +a 33 =-6，AB=C，其中 （分数：11.00）(1).用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和用正交变换所得的标准
15、形；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由 AB=C，AB=A( 1 ， 2 )=(0，-12 2 )， A 1 =0，A 2 =-12 2 1 ， 2 是 A 的分别属于 1 =0， 2 =-12 的特征向量，又由题设，A 的迹为 a 11 +a 22 +a 33 = 1 + 2 + 3 =-6， 3 =6 设 3 =6 的特征向量为 3 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ， 由 1 3 ， 2 3 ，得 解得 1 ， 2 ， 3 已经正交化，只需单位化 令 P=(e 1 ，e 2 ，e 3 )，则有 作正交变换，令 x=Py， (2).求出该二次型（分数：5.50）_正确答案
16、：()解析： 二次型 21.设随机变量 X 与 Y 相互独立，其概率密度函数分别为 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 方法一 分布函数法由于 X 与 Y 独立，所以 X，Y 的联合密度函数为 F Z (z)=PZz， )如下图 1，22， F Z (z)=P2X-Yz=1； )0z2， 方法二 密度函数法 其中 0x1，y0，f(x，y)=e -y ， 0x1，2x-z0，f(x，y)=e -(2x-z) ， 即 0x1，z2x，f(x，y)=e z-2x )0z2， )z2， fz(z)=0 图 1图 2图 322.设总体 X 的概率密度为 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 而 即 的矩估计量 当 x i 0，(i=1，2，n) 取对数，得 求导，得 解得 故 的最大似然估计值为 最大似然估计量为
