1、考研数学一-420 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设函数 f(x)有连续导数,且 (分数:4.00)A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.f(0)不是 f(x)的极大值D.不能判断 f(0)是否为极值2.设 f(x)为可导的偶函数,且满足 ,则曲线 y=f(x)在点(-1,f(-1)处的法线的斜率为_ A B (分数:4.00)A.B.C.D.3.已知 u n 0,(n=1,2,3,),且 条件收敛若设 v n =3u 2n-1 -u 2n ,(n=1,2,3,),则级数 (分数:4.00)A.
2、发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性取决于un的具体形式4.设函数 z=z(x,y)由方程 确定,则 _ Az-xy Bz+xy Cxy-z D (分数:4.00)A.B.C.D.5.设 A 为 mn 矩阵,已知 R(A)=m,且方程组 Ax=0 有非零解,则下列选项中不正确的是_(分数:4.00)A.mnB.mnC.A 的列向量组线性相关D.Ax= 有无穷多组解6.设 mn 实矩阵 A 的 n 个列向量线性无关,则 A T A 必为_(分数:4.00)A.正定矩阵B.实对称但非正定矩阵C.正交矩阵D.反对称矩阵7.设随机变量 X,Y 互不相关,它们的分布律分别为_ (分数:4.00)A.互
3、不相容B.相互独立C.互为对立D.没有关系8.设 X 1 ,X 2 ,X n 为来自 X 的简单随机样本,X 服从(1,7)内的均匀分布,记 由中心极限定理,以下成立的是_ (注:(x)表示标准正态分布函数) A B C D (分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.平面 x-y+z=2 与曲面 z=x 2 +y 2 的交线在点(1,1,2)处的切线方程是 1 (分数:4.00)10. (分数:4.00)11.设 L 为任一封闭的正向曲线,且 f(u)有连续导数,则 (分数:4.00)12.设方程 确定函数 z=z(x,y),则 (分数:4.00)13.
4、(分数:4.00)14.设随机变量 XF(n,n),则 PX1= 1 (分数:4.00)三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设函数 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可微,且 f(0)=f(1)=0, 证明:()存在 (分数:10.00)_16.求微分方程 x 2 y“-2xy“+2y=x+1 的通解 (分数:10.00)_17.设 f(x)=1+x(0x1)将 f(x)展开成余弦级数,并求级数 (分数:10.00)_18.设 f(x)有连续导函数,计算 (分数:11.00)_19.设函数 f(x)在a,+)上连续,且 xa 时,f“(x)k0(k 为常数)证明:当 f(a)0
5、 时,方程f(x)=0 在区间 (分数:11.00)_20.设 (分数:11.00)_已知实二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x T Ax 的矩阵满足 a 11 +a 22 +a 33 =-6,AB=C,其中 (分数:11.00)(1).用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的正交变换和用正交变换所得的标准形;(分数:5.50)_(2).求出该二次型(分数:5.50)_21.设随机变量 X 与 Y 相互独立,其概率密度函数分别为 (分数:10.00)_22.设总体 X 的概率密度为 (分数:10.00)_考研数学一-420 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选
6、择题(总题数:8,分数:32.00)1.设函数 f(x)有连续导数,且 (分数:4.00)A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.f(0)不是 f(x)的极大值D.不能判断 f(0)是否为极值解析:解析 强行代入,由 x=0,f(0)=0 得 f“(0)=0 f“(0)=10, f(x)在点 x=0 处取极小值 选 B 本题还可用特例法: 强行代入,由 x=0,f(0)=0 得 f“(0)=0,取 f“(x)=x,于是 2.设 f(x)为可导的偶函数,且满足 ,则曲线 y=f(x)在点(-1,f(-1)处的法线的斜率为_ A B (分数:4.00)A. B.C.D
7、.解析:解析 由题设 f(-x)=f(x),于是 f“(-x)=-f“(x) 又由 f“(1)=-2 于是 f“(-1)=-f“(1)=2k 切 | x=-1 =2 3.已知 u n 0,(n=1,2,3,),且 条件收敛若设 v n =3u 2n-1 -u 2n ,(n=1,2,3,),则级数 (分数:4.00)A.发散 B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性取决于un的具体形式解析:解析 由已知 u n 0,(n=1,2,3,) 4.设函数 z=z(x,y)由方程 确定,则 _ Az-xy Bz+xy Cxy-z D (分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 同理, 选 A 本题也可用特
8、例法 可取 5.设 A 为 mn 矩阵,已知 R(A)=m,且方程组 Ax=0 有非零解,则下列选项中不正确的是_(分数:4.00)A.mnB.mn C.A 的列向量组线性相关D.Ax= 有无穷多组解解析:解析 R(A)=m,A 为行满秩矩阵又 Ax=0 有非零解 n-R(A)=n-m0,nm这时 A 的列向量组线性相关,R(A)=R(A 6.设 mn 实矩阵 A 的 n 个列向量线性无关,则 A T A 必为_(分数:4.00)A.正定矩阵 B.实对称但非正定矩阵C.正交矩阵D.反对称矩阵解析:解析 R(A)=n,Ax=0 仅有零解于是当 x0,Ax0 时,有 x T A T Ax=(Ax)
9、 T (Ax)0,故 A T A 正定,选 A7.设随机变量 X,Y 互不相关,它们的分布律分别为_ (分数:4.00)A.互不相容B.相互独立 C.互为对立D.没有关系解析:解析 E(X)=30.4=1.2,EY=(-1)0.7=-0.7,E(XY)=3(-1)PX=3,Y=-1,而 X,Y 不相关,所以 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,E(XY)=E(X)E(Y),解得 PX=3,Y=-1=0.28 由联合分布与边缘分布间的关系,得(X,Y)的分布律 8.设 X 1 ,X 2 ,X n 为来自 X 的简单随机样本,X 服从(1,7)内的均匀分布,记 由中心极限定理,以下
10、成立的是_ (注:(x)表示标准正态分布函数) A B C D (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 总体 XU(1,7),则 由简单随机样本的性质知,X 1 ,X 2 ,X n 相互独立且与 X 同分布, E(X i )=4,D(X i )=3 (i=1,2,n) 由列维-林德伯格中心极限定理, 二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.平面 x-y+z=2 与曲面 z=x 2 +y 2 的交线在点(1,1,2)处的切线方程是 1 (分数:4.00)解析: 解析 在点(1,1,2)处有 得 所以,曲线在点(1,1,2)处的切线的方向向量为 切线方程为 10. (分数:4.00)
11、解析:解析 11.设 L 为任一封闭的正向曲线,且 f(u)有连续导数,则 (分数:4.00)解析:0 解析 由于 P=yf(xy),Q=xf(xy), 12.设方程 确定函数 z=z(x,y),则 (分数:4.00)解析: 解析 解得 于是 13. (分数:4.00)解析: 解析 如果 P 2 =E,P 4 =E,P 5 =P, 14.设随机变量 XF(n,n),则 PX1= 1 (分数:4.00)解析: 解析 若随机变量 XF(n,n), 则 三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设函数 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可微,且 f(0)=f(1)=0, 证明:()存在 (
12、分数:10.00)_正确答案:()解析:证明 ()设 F(x)=f(x)-x,x0,1 由于 F(1)=f(1)-1=0-1=-10, 由零点定理,存在 16.求微分方程 x 2 y“-2xy“+2y=x+1 的通解 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 令 代入原方程,得 这是二阶常系数线性非齐次微分方程,先解 特征方程为 r 2 -3r+2=0,r 1 =1,r 2 =2 于是 y=C 1 e t +C 2 e 2t (齐通) 再分别求 的特解 1(2)的特解 y 2 * ,令 y 1 * =Ate t ,y 2 * =B 代入(1),(2)式整理得 A=-1, ,y 1 * =-
13、te t , 的通解为 于是原方程的通解为: 17.设 f(x)=1+x(0x1)将 f(x)展开成余弦级数,并求级数 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 先对 f(x)进行偶延拓,接着进行周期延拓,两次延拓后的函数为(-,+)内以 2 为周期的偶函数 b n =0,(n=1,2,),则 令 x=0,得 于是 18.设 f(x)有连续导函数,计算 (分数:11.00)_正确答案:()解析:解 设 是所围的区域,它在 xOz 平面上的投影为 x 2 +z 2 1由高斯公式 19.设函数 f(x)在a,+)上连续,且 xa 时,f“(x)k0(k 为常数)证明:当 f(a)0 时,方程f
14、(x)=0 在区间 (分数:11.00)_正确答案:()解析:解 f(a)0, 在区间 上应用拉格朗日中值定理 ,由零点定理,在 内至少存在一点 ,使得 f()=0 又 f(x)0,f(x),所以在区间 20.设 (分数:11.00)_正确答案:()解析:解 因为 是 Ax=b 的解,故 A=b,即有 即有 1-a+c-1=0,a=c 通解为 为任意常数 通解为 已知实二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x T Ax 的矩阵满足 a 11 +a 22 +a 33 =-6,AB=C,其中 (分数:11.00)(1).用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的正交变换和用正交变换所得的标准
15、形;(分数:5.50)_正确答案:()解析:解 由 AB=C,AB=A( 1 , 2 )=(0,-12 2 ), A 1 =0,A 2 =-12 2 1 , 2 是 A 的分别属于 1 =0, 2 =-12 的特征向量,又由题设,A 的迹为 a 11 +a 22 +a 33 = 1 + 2 + 3 =-6, 3 =6 设 3 =6 的特征向量为 3 =(x 1 ,x 2 ,x 3 ) T , 由 1 3 , 2 3 ,得 解得 1 , 2 , 3 已经正交化,只需单位化 令 P=(e 1 ,e 2 ,e 3 ),则有 作正交变换,令 x=Py, (2).求出该二次型(分数:5.50)_正确答案
16、:()解析: 二次型 21.设随机变量 X 与 Y 相互独立,其概率密度函数分别为 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 方法一 分布函数法由于 X 与 Y 独立,所以 X,Y 的联合密度函数为 F Z (z)=PZz, )如下图 1,22, F Z (z)=P2X-Yz=1; )0z2, 方法二 密度函数法 其中 0x1,y0,f(x,y)=e -y , 0x1,2x-z0,f(x,y)=e -(2x-z) , 即 0x1,z2x,f(x,y)=e z-2x )0z2, )z2, fz(z)=0 图 1图 2图 322.设总体 X 的概率密度为 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 而 即 的矩估计量 当 x i 0,(i=1,2,n) 取对数,得 求导,得 解得 故 的最大似然估计值为 最大似然估计量为