1、考研数学一-420 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：10.00)1.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解为 1 （分数：1.00）2.设 f(x)在0，+)上非负连续，且 （分数：1.00）3.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令 y=y(x+x)-y(x)，且 （分数：1.00）4. （分数：1.00）5.微分方程 y 2 dx+(x 2 -xy)dy=0 的通解为 1 （分数：1.00）6.连续函数 f(x)满足 （分数：1.00）7.微分方程(2x+3)y“=4y“的通解为 1 （分数：1.00）8.yy“=1+y“
2、2 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=0 的解为 1 （分数：1.00）9.设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程 y“-6y“+9y=e 3x ，则y(x)= 1 （分数：1.00）10.微分方程 2y“=3y 2 满足初始条件 y(-2)=1，y“(-2)=1 的特解为 1 （分数：1.00）二、解答题(总题数：32，分数：90.00)11.判断级数 （分数：2.00）_12.判断级数 （分数：2.00）_13.设级数 收敛，又 a n b n c n (n=1，2，)证明：级数 （分数：2.00）_14.设正项级数 收敛，证明
3、（分数：2.00）_15.设 为发散的正项级数，令 S n =a 1 +a 2 +a n (n=1，2，)证明： （分数：2.00）_设 a 1 =2， （分数：2.00）(1).存在； （分数：1.00）_(2).级数 （分数：1.00）_16.设 u n 0(n=1，2，)，S n =u 1 +u 2 +u n 证明： （分数：3.00）_若正项级数 与正项级数 （分数：3.00）(1). （分数：1.50）_(2). （分数：1.50）_17.判断级数 （分数：3.00）_设 （分数：3.00）(1).若 ，且 收敛，则 （分数：1.50）_(2).若 ，且 发散，则 （分数：1.50）
4、_18.求幂级数 （分数：3.00）_19.求幂级数 （分数：3.00）_20.求幂级数 （分数：3.00）_21.求幂级数 （分数：3.00）_22.求幂级数 （分数：3.00）_23.求幂级数 （分数：3.00）_24.求幂级数 （分数：3.00）_25.求幂级数 （分数：3.00）_26.求幂级数 （分数：3.00）_27.求幂级数 （分数：3.00）_28.求幂级数 （分数：3.00）_29.求幂级数 （分数：3.00）_30.求级数 （分数：3.00）_31.求幂级数 （分数：3.00）_(1).验证 （分数：1.50）_(2).求级数 （分数：1.50）_32.将 f(x)=arc
5、tanx 展开成 x 的幂级数 （分数：3.00）_33.将 （分数：3.00）_34.将 f(x)=lnx 展开成 x-2 的幂级数 （分数：3.00）_35.将 （分数：3.00）_设有幂级数 （分数：3.00）(1).求该幂级数的收敛域；（分数：1.00）_(2).证明此幂级数满足微分方程 y“-y=-1；（分数：1.00）_(3).求此幂级数的和函数（分数：1.00）_36.设函数 f(x)以 2 为周期，且其在-，)上的表达式为 f(x)=|x|，求 f(x)的傅里叶级数，并求 （分数：3.00）_37.将 （分数：3.00）_考研数学一-420 (1)答案解析(总分：100.00，
6、做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：10.00)1.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解为 1 （分数：1.00）解析：(x+C)|cosx|解析 通解为2.设 f(x)在0，+)上非负连续，且 （分数：1.00）解析：2x 解析 令 ，由 ，得 ， 即 3.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令 y=y(x+x)-y(x)，且 （分数：1.00）解析：解析 由 ，得 ，或者 ，解得 ，再由 y(0)=2，得 C=2，所以 4. （分数：1.00）解析： 解析 由 ，则 5.微分方程 y 2 dx+(x 2 -xy)dy=0 的通解为 1 （分数：1.00）解析：解析
7、 令 ，则 ，代入原方程得 ，两边积分得 u-lnu-lnx-lnC=0，解得 6.连续函数 f(x)满足 （分数：1.00）解析：2e 3x 解析 由 得 7.微分方程(2x+3)y“=4y“的通解为 1 （分数：1.00）解析： 解析 令 y“=p，则 ，两边积分得 lnp=ln(2x+3) 2 +lnC 1，或 y“=C 1 (2x+3) 2 ， 于是 8.yy“=1+y“ 2 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=0 的解为 1 （分数：1.00）解析：x 解析 令 y“=p，则 ，即 ，解得 ln(1+p 2 )=lny 2 +lnC 1 ，则 1+p 2 =C 1 y 2 ，由
8、y(0)=1，y“(0)=0 得 ， ，由 y(0)=1 得 C 2 =0，所以特解为 9.设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程 y“-6y“+9y=e 3x ，则y(x)= 1 （分数：1.00）解析： 解析 由题意得 y(0)=0，y“(0)=2， y“-6y“+9y=e 3x 的特征方程为 2 -6+9=0，特征值为 1 = 2 =3，令 y“-6y“+9y=e 3x 的特解为 y 0 (x)=ax 2 e 3x ，代入得 ，故通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 3x + 由 y(0)=0，y“(0)=2 得 C 1 =0，C
9、2 =2，则 y(x)=2xe 3x + 10.微分方程 2y“=3y 2 满足初始条件 y(-2)=1，y“(-2)=1 的特解为 1 （分数：1.00）解析： 解析 令 y“=p，则 ，则原方程化为 ，解得 p 2 =y 3 +C 1 ，由 y(-2)=1，y“(-2)=1，得 C 1 =0，所以 ，从而有 ，再由 y(-2)=1，得 C 2 =0，所求特解为 二、解答题(总题数：32，分数：90.00)11.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 ，由 ，得 为单调减少的数列，又 ，所以级数 收敛 因为 ，所以 ，且 发散，故级数 发散，即级数 12.判断级数 （分数：2.
10、00）_正确答案：()解析：解 因为 且 发散，所以 发散 又当 n 充分大时， 单调减少，且 ，所以级数 13.设级数 收敛，又 a n b n c n (n=1，2，)证明：级数 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 由 a n b n c n ，得 0b n -a n c n -a n 因为 收敛，所以 收敛， 根据正项级数的比较审敛法得 收敛，又 b n =(b n -a n )+a n ，则 14.设正项级数 收敛，证明 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 因为 ，而 收敛，所以根据正项级数的比较审敛法知 收敛，反之不一定成立，如级数 1+0+1+0+发散，因为 u
11、 n u n+1 =0(n=1，2，)，所以 15.设 为发散的正项级数，令 S n =a 1 +a 2 +a n (n=1，2，)证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 显然 单调增加，因为级数 发散，所以 对交错级数 ，因为 单调减少，且 ，所以 设 a 1 =2， （分数：2.00）(1).存在； （分数：1.00）_正确答案：()解析：证明 因为 ，又 ，所以 单调减少，而 a n 0，即 是单调减少有下界的数列，根据极限存在准则， (2).级数 （分数：1.00）_正确答案：()解析：证明 由第一小题得 ，对级数 ，S n =(a 1 -a 2 )+(a 2 -a 3
12、)+(a n -a n+1 )=2-a n+1 ，因为 存在，所以级数 收敛，根据比较审敛法，级数 16.设 u n 0(n=1，2，)，S n =u 1 +u 2 +u n 证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 ，则 又 单调增加，所以 存在，于是 若正项级数 与正项级数 （分数：3.00）(1). （分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 因为 ，且 收敛，所以(2). （分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 因为 ，且 收敛，所以17.判断级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 级数 是交错级数，因为 单调减少且 ，所以 收敛 因为 n时， ，且
13、发散，所以 发散，即级数 设 （分数：3.00）(1).若 ，且 收敛，则 （分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 取 0 =1，由 ，根据极限的定义，存在 N0，当 nN 时， ，即 0a n b n ，由 收敛得 收敛(收敛级数去掉有限项不改变敛散性)，由比较审敛法得 收敛，从而 (2).若 ，且 发散，则 （分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 根据上一小题，当 nN 时，有 0a n b n ，因为 发散，所以 发散，由比较审敛法， 发散，进一步得 18.求幂级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 得收敛半径为 R=1， 当 x=-1 时， 发散； 当 x=1
14、 时， 收敛，故幂级数 19.求幂级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 得收敛半径为 ，当 时， 发散，故级数的收敛区间为20.求幂级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 x-1=t，显然级数 的收敛半径为 R=1，又当 t=1 时，由 收敛，得级数 绝对收敛，所以级数21.求幂级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 得收敛半径为 ， 当 时， 收敛， 当 时， 发散，故级数的收敛区间为 22.求幂级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 ，得幂级数的收敛半径为 ，当 时， 收敛，故级数的收敛域为 令 ， 则 ，又 S(0)=0， 所以
15、23.求幂级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 得收敛半径为 R=4，当 x=4 时，因为 n时， ，所以幂级数的收敛域为(-4，4) 令 ， 则 ， 于是 24.求幂级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 幂级数 的收敛半径为 R=1，收敛区间为(-1，1) 令 ， 则 25.求幂级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 幂级数 的收敛半径为 R=1，收敛区间为(-1，1) 令 ， 则 从而 26.求幂级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 幂级数 的收敛半径为 R=+，收敛区间为(-，+) 令 ，则 27.求幂级数 （分数：3.00）_正确答案：
16、()解析：解 令 x+1=t， 得收敛半径为 R=1，当 t=1 时，因为 0，所以收敛区间为-1t1，从而-2x0 令 ，则 ， 令 ，当 t=0 时 S 1 (0)=0， 当 t0 时 所以 28.求幂级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 得该级数的收敛半径为 R=1，因为当 x=1 时， 发散，所以级数的收敛区间为(-1，1) 令 ， 因为 ，所以 ，将 x 2 换成 x 得 29.求幂级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 ，则收敛半径为 R=2， 当 x=-2 时， 收敛； 当 x=2 时， 发散，故幂级数的收敛域为-2，2) 令 ，当 x=0 时， ， 当
17、 x0 时， ， 所以 30.求级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 x 2 +x+1=t，则级数化为 ，由 ，所以级数 的收敛半径为 R=1，注意到t=x 2 +x+1= ，又 t=1 时，级数 收敛，所以级数 的收敛域为 由 x 2 +x+11 得-1x0，故级数 的收敛域为-1，0 令 ，x=-1，0 时，S(-1)=S(0)=1，x(-1，0)时 31.求幂级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 ，则 (注意使用 ) 令 (1).验证 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解 ， 即级数 (2).求级数 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解 由(1
18、-x)y“+y=1+x，得 ， 解得 y=C(x-1)-(x-1)ln(1-x)+2，由 y(0)=0 得 C=2， 所以 y=2x-(x-1)ln(1-x)(-1x1)， 又 故 32.将 f(x)=arctanx 展开成 x 的幂级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 ，f(0)=0，得 ，由逐项可积性得 ，显然 x=1 时级数收敛，所以 33.将 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 得 ， 于是 34.将 f(x)=lnx 展开成 x-2 的幂级数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 35.将 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设有幂级数 （分数：
19、3.00）(1).求该幂级数的收敛域；（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 因为(2).证明此幂级数满足微分方程 y“-y=-1；（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 令 ， 则 (3).求此幂级数的和函数（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 由 f“(x)-f(x)=-1 得 f(x)=C 1 e -x +C 2 e x +1， 再由 f(0)=2，f“(0)=0 得 36.设函数 f(x)以 2 为周期，且其在-，)上的表达式为 f(x)=|x|，求 f(x)的傅里叶级数，并求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 ， b n =0(n=1，2，)，则 令 x=0，则有 ，所以 ， 令 ， 则 ，即 ，解得 37.将 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 函数 f(x)在-，上满足狄里克莱充分条件，将 f(x)进行周期延拓， b n =0(n=1，2，)， 时，傅里叶级数收敛于 ， 则
