1、考研数学一-419 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 （分数：4.00）A.1B.2C.3D.42.设 0，则级数 （分数：4.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 有关3.设 f(x)有连续导数，f(0)=0，当 x0 时， 与 x 2 是等价无穷小，则 f“(0)等于_ A0 B2 C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.已知一阶微分方程 y“=f(x，y)的通解为 y=g(x，C)，若 a0，则一阶微分方程 y“=f(ax，ay)的通解是_ Ay=ag(ax，C) B C D （分数：4.00）A
2、.B.C.D.5.设向量组： 1 ， 2 ， m ，其秩为 r；向量组： 1 ， 2 ， m ，其秩为s，则 r=s 是向量组与向量组等价的_（分数：4.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件6.设 1 ， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1 ， 2 分别是 A 的属于 1 ， 2 的特征向量，则_（分数：4.00）A.1=2 时，1 与 2 必成比例B.1=2 时，1 与 2 必不成比例C.12 时，1 与 2 必成比例D.12 时，1 与 2 必不成比例7.下列各函数中，可以做随机变量的分布函数的是_ A B （分数：4.00）A.B.C.D
3、.8.设随机变量 X 与 Y 互不相关，它们的概率分布分别为 （分数：4.00）A.互不相容B.相互独立C.互为对立D.没有关系二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)的一个原函数为 1+sinx，则 （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.已知 （分数：4.00）12.已知 （分数：4.00）13.已知三阶方阵 A 的特征值分别为 2，-5，3，矩阵 B=2A 3 -A，则|B|= 1 （分数：4.00）14.设 A，B，C 是两两独立且不能同时发生的随机事件，且 P(A)=P(B)=P(C)=P，则 P 的最大值为 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，
4、分数：94.00)15.设 0ab，f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，试证在(a，b)内存在三点 x 1 ，x 2 ，x 3 ，使得 （分数：10.00）_16.设 （分数：10.00）_17.设函数 (x)在(-，+)内连续，周期为 1，且 函数 f(x)在0，1上有连续导数，设 证明级数 （分数：10.00）_18.证明由方程 u=y+x(u)确定的函数 u=u(x，y)满足方程 （分数：10.00）_设函数 f(x)，g(x)具有二阶连续导数，曲线积分 （分数：10.00）(1).求 f(x)，g(x)使 f(0)=g(0)=0；（分数：5.00）_(2).计算沿任一条曲线从点
5、(0，0)到点(1，1)的积分（分数：5.00）_19.已知对称矩阵 与正交矩阵 满足关系式 （分数：11.00）_设三阶矩阵 （分数：11.00）(1).求一个可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角矩阵；（分数：5.50）_(2).计算 A n ，其中 n 为正整数（分数：5.50）_20.设 X 与 Y 相互独立，密度函数分别为： （分数：11.00）_设随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：11.01）(1).常数 c；（分数：3.67）_(2).PX+Y1；（分数：3.67）_(3).联合分布函数 F(x，y)（分数：3.67）_考研数学一-419 答案解析(总分：150.0
6、1，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 （分数：4.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 故 分别为其垂直渐近线和水平渐近线 注意： 2.设 0，则级数 （分数：4.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 D.敛散性与 有关解析：解析 而 收敛，故由比较判别法的极限形式知， 收敛，又 发散，故必有3.设 f(x)有连续导数，f(0)=0，当 x0 时， 与 x 2 是等价无穷小，则 f“(0)等于_ A0 B2 C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 得 4.已知一阶微分方程 y“=f(x，y)的通解为 y=g(x，C)，若 a0，则
7、一阶微分方程 y“=f(ax，ay)的通解是_ Ay=ag(ax，C) B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 令 X=ax，Y=ay，则微分方程 y“=f(ax，ay)可化为5.设向量组： 1 ， 2 ， m ，其秩为 r；向量组： 1 ， 2 ， m ，其秩为s，则 r=s 是向量组与向量组等价的_（分数：4.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件解析：解析 若向量组与向量组等价，则向量组与向量组可以互相线性表示，故 r=s反之，若向量组与向量组的秩相等，即 r=s，则 可由向量组： 1 ， 2 ， m 线性表示因此当 r=
8、s 时，向量组： 1 ， 2 ， m ， 可由向量组： 1 ， 2 ， m 线性表示又因为向量组： 1 ， 2 ， m 显然可由向量组： 1 ， 2 ， m ， 线性表示，故当 r=s 时向量组与向量组等价故应选 C6.设 1 ， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1 ， 2 分别是 A 的属于 1 ， 2 的特征向量，则_（分数：4.00）A.1=2 时，1 与 2 必成比例B.1=2 时，1 与 2 必不成比例C.12 时，1 与 2 必成比例D.12 时，1 与 2 必不成比例 解析：解析 当 1 = 2 时，它们为 A 的重数大于或等于 2 的特征值，其对应的线性无关的特征向量的个数
9、可能大于 1，也可能等于 1，所以不能选 A 和 B 当 1 2 时，由于对应于不同特征值的特征向量必线性无关，所以 1 与 2 必不成比例，故选D7.下列各函数中，可以做随机变量的分布函数的是_ A B （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 F(x)要求满足：F(-)=0，F(+)=1，0F(x)1；F(x)右连续；F(x)单调不减，直接验算知 A，B，D 不满足上述三条，故应选 C8.设随机变量 X 与 Y 互不相关，它们的概率分布分别为 （分数：4.00）A.互不相容B.相互独立 C.互为对立D.没有关系解析：解析 E(X)=30.4=1.2，E(Y)=(-1)0.7=-0.7
10、， E(XY)=3(-1)PX=3，Y=-1由于 X 与 Y 互不相关，则 E(XY)=E(X)E(Y)，解得 PX=3，Y=-1=0.28. 由联合分布与边缘分布的关系，得(X，Y)的分布 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)的一个原函数为 1+sinx，则 （分数：4.00）解析： 解析 10. （分数：4.00）解析：1解析 11.已知 （分数：4.00）解析：a=b=2e-2 解析 由题设必有 b-a=0，于是 12.已知 （分数：4.00）解析： 解析 由于 故 从而 13.已知三阶方阵 A 的特征值分别为 2，-5，3，矩阵 B=2A 3 -A，则|B|= 1
11、 （分数：4.00）解析：-174930 解析 若 A 的特征值为 ，则 B 的特征值为 f()=2 3 -，依题意得 B 的特征值分别为 14，-245，51， 故|B|=14(-245)51=-174930.14.设 A，B，C 是两两独立且不能同时发生的随机事件，且 P(A)=P(B)=P(C)=P，则 P 的最大值为 1 （分数：4.00）解析： 解析 由题设 P(AB)=P(AC)=P(BC)=P 2 ，P(ABC)=0 于是 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) =3P-3P 2 ， 而 P(A+B+C)P(A+B)=P(
12、A)+P(B)-P(AB)=2P-P 2 ， 即有 3P-3P 2 2P-P 2 ， 即 P(1-2P)0，解得 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 0ab，f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，试证在(a，b)内存在三点 x 1 ，x 2 ，x 3 ，使得 （分数：10.00）_正确答案：()解析：在柯西定理中分别取 g(x)=x，x 2 ，x 3 ，则在(a，b)内存在 x 1 ，x 2 ，x 3 ，使得 即 16.设 （分数：10.00）_正确答案：()解析：原等式两端分别从 0 到 1 和从 0 到 2 积分，得 从以上两式可得 即 17.设函数 (x)在(-，+
13、)内连续，周期为 1，且 函数 f(x)在0，1上有连续导数，设 证明级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：首先由 (x)的周期为 1 以及 和周期函数的积分性质可得 设 则 F(x)是周期为 1 的周期函数，且 因 F(x)在(-，+)内是连续的周期函数，所以 F(x)在(-，+)内有界，因此存在 M 1 0，对 恒有|F(x)|M 1 ，从而有|F(nx)|M 1 又根据题意，f“(x)在0，1上连续，由连续函数在闭区间上的性质知，存在 M 2 0，对 有|f“(x)|M 2 ，因此 因此 而级数 收敛，根据比较判别法知 18.证明由方程 u=y+x(u)确定的函数 u=u(x，
14、y)满足方程 （分数：10.00）_正确答案：()解析：方程 u=y+x(u)两边对 x 求偏导数，得 上式两边对 x 再求一次偏导数，得 因此 另一方面 从而 设函数 f(x)，g(x)具有二阶连续导数，曲线积分 （分数：10.00）(1).求 f(x)，g(x)使 f(0)=g(0)=0；（分数：5.00）_正确答案：()解析：设 P(x，y)=y 2 f(x)+2ye x +2yg(x)，Q(x，y)=2yg(x)+f(x)，由已知条件得 即 2yg“(x)+f“(x)=2yf(x)+2e x +2g(x) 或 yg“(x)-f(x)+f“(x)-g(x)-e x =0. 从而有 以 f
15、“(x)=g“(x)代入第二个方程得 g“(x)-g(x)=e x ， 解此二阶微分方程得 且 又由初始条件得方程组 解之得 故 (2).计算沿任一条曲线从点(0，0)到点(1，1)的积分（分数：5.00）_正确答案：()解析：取点(0，0)点(1，0)点(1，1)的折线，则 19.已知对称矩阵 与正交矩阵 满足关系式 （分数：11.00）_正确答案：()解析：考虑二次型 f=x T Ax，其中 x=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 由所设条件知，作正交 变换 x=Ty 后(其中 y=(y 1 ，y 2 ，y 3 ) T )，该二次型可化为 由上式不难看出，当取 时， 便有 f=0.所以取
16、 设三阶矩阵 （分数：11.00）(1).求一个可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角矩阵；（分数：5.50）_正确答案：()解析：由|A-E|=0 可解得 1 =2， 2 = 3 =-1. 又由(A- i E)x=0(i=1，2，3)可解得： 对应于 1 =2 的特征向量 1 =(a 2 ，a，1) T ；对应于 2 = 3 =-1 的特征向量 2 =(a，-1，0) T ， 3 =(a 2 ，0，-1) T 因此，令 ，可求得 故 (2).计算 A n ，其中 n 为正整数（分数：5.50）_正确答案：()解析：因 故 20.设 X 与 Y 相互独立，密度函数分别为： （分数：11.0
17、0）_正确答案：()解析：因为 X 与 Y 相互独立，所以有 设随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：11.01）(1).常数 c；（分数：3.67）_正确答案：()解析：由联合概率密度的基本性质知 从而得 (2).PX+Y1；（分数：3.67）_正确答案：()解析：由于在区域(x，y)|0x1，0y2外，f(x，y)=0，所以在区域(x，y)|x+y1上积分等价于在区域 D 上的积分(如下图) (3).联合分布函数 F(x，y)（分数：3.67）_正确答案：()解析： 当 x0 或 y0 时， 当 0x1，0y2 时， 当 0x1，y2 时， 当 x1，0y2 时， 当 x1，y2 时， 综上所述，二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为
