1、考研数学一-416 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f“(x 0 )存在，且 f“(x 0 )0，f“(x 0 )=0，则下列结论中成立的为_（分数：4.00）A.x0 是 f(x)的驻点B.x0 是 f(x)的极值点C.(x0，f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点D.以上三个答案都不对2.设函数 f(u)可微，且 （分数：4.00）A.4dx-2dyB.2dx-4dyC.4dx+2dyD.2dx+4dy3.设 （分数：4.00）A.I112B.I1=I2C.I1I2D.必须给出 a 的值才可比较 I1，I2 的大小4.设
2、 L 是由 y 2 =2(x+2)及 x=2 所围区域的边界曲线，取逆时针方向，则 （分数：4.00）A.0BC.2D.-25.设 （分数：4.00）A.1，2，3 线性相关B.1，2，3，4 线性相关C.1，2，3 线性无关D.1，2，3，4 线性无关6.设 A 1 ，A 2 为 n 阶矩阵，x 1 ，x 2 ，b 1 ，b 2 为 n1 阶矩阵，记 （分数：4.00）A.A1x1=b1 无解B.A2x2=b2 无解C.A1x1=b1 和 A2x2=b2 都无解D.A1x1=b1 和 A2x2=b2 至少有一个无解7.假设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 服从参数为 的指数分布，Y 的分布
3、律为 （分数：4.00）A.是连续函数B.是恰有一个间断点的阶梯函数C.是恰有一个间断点的非阶梯函数D.至少有两个间断点8.已知随机变量 ，则 PX+Y1等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)是连续函数，则 （分数：4.00）10.(x)为一阶连续可微函数， 曲线积分 （分数：4.00）11.若 f(x)有连续导数，且 则 （分数：4.00）12.当 a= 1 且 b= 2 时，函数 （分数：4.00）13.已知两个向量组 1 =(1，2，3)， 2 =(1，0，1)与 1 =(-1，2，t)， 2 =(4，1，5)
4、为等价向量组，则 t= 1 （分数：4.00）14.设(X，Y)的联合分布律为 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)=a|cosx|+b|sinx|在 处取得极小值，并且 （分数：10.00）_16.讨论方程 ln x=ax(a0)有多少实根 （分数：10.00）_17.设有微分方程 y“+p(x)y=x 2 ，其中 （分数：10.00）_设 f(x)在(-，+)内可导，并且|f“(x)|k，0k1.对于给定的 x 0 ，定义 x n+1 =f(x n )，n=0，1， 试证明：（分数：10.00）(1).级数 （分数：5.00）_(2). （分数：5
5、.00）_18.计算 （分数：10.00）_19.已知线性方程组： （分数：11.00）_已知三阶实对称矩阵 A 的三个特征值为 1 =2， 2 = 3 =1，且对应于 2 ， 3 的特征向量为 p 2 =(1，1，-1) T ，p 3 =(2，3，-3) T （分数：11.00）(1).求 A 的 1 =2 对应的特征向量；（分数：5.50）_(2).求矩阵 A（分数：5.50）_设二维连续型随机变量(X，Y)服从区域 D 上的均匀分布，D=(x，y)：0yx2-y（分数：11.00）(1).求 E(X)；（分数：5.50）_(2).计算 PY0.2|X=1.5（分数：5.50）_20.设总
6、体 X 具有概率密度 （分数：11.00）_考研数学一-416 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f“(x 0 )存在，且 f“(x 0 )0，f“(x 0 )=0，则下列结论中成立的为_（分数：4.00）A.x0 是 f(x)的驻点B.x0 是 f(x)的极值点C.(x0，f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.以上三个答案都不对解析：解析 由定义， 2.设函数 f(u)可微，且 （分数：4.00）A.4dx-2dy B.2dx-4dyC.4dx+2dyD.2dx+4dy解析：解析 由微分形式不变性，有 3.设 （分数：4
7、.00）A.I112 B.I1=I2C.I1I2D.必须给出 a 的值才可比较 I1，I2 的大小解析：解析 当 0ax+y1 时，ln(x+y)0，sin(x+y)0，故必有 I 1 I 2 4.设 L 是由 y 2 =2(x+2)及 x=2 所围区域的边界曲线，取逆时针方向，则 （分数：4.00）A.0BC.2 D.-2解析：解析 令 在 L 所围区域内除原点外处处具有连续偏导数，在 L 内取辅助线 其中 应用格林公式，值为 0，所以 5.设 （分数：4.00）A.1，2，3 线性相关B.1，2，3，4 线性相关C.1，2，3 线性无关 D.1，2，3，4 线性无关解析：解析 取 1 ，
8、2 ， 3 的前三个分量构成的向量组显然线性无关，故添加分量后得 1 ， 2 ， 3 仍线性无关6.设 A 1 ，A 2 为 n 阶矩阵，x 1 ，x 2 ，b 1 ，b 2 为 n1 阶矩阵，记 （分数：4.00）A.A1x1=b1 无解B.A2x2=b2 无解C.A1x1=b1 和 A2x2=b2 都无解D.A1x1=b1 和 A2x2=b2 至少有一个无解 解析：解析 因为方程组 Ax=b 无解，所以有 又 7.假设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 服从参数为 的指数分布，Y 的分布律为 （分数：4.00）A.是连续函数 B.是恰有一个间断点的阶梯函数C.是恰有一个间断点的非阶梯函数D
9、.至少有两个间断点解析：解析 由全概率公式知，对任意 aR，有 0PX+Y=a=PX+Y=a，Y=1+PX+Y=a，Y=-1 =PX=a-1，Y=1+PX=a+1，Y=-1 PX=a-1+PX=a+1=0， 故 PX+Y=a=0，从而 X+Y 的分布函数为连续函数8.已知随机变量 ，则 PX+Y1等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由题设可知， 故 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)是连续函数，则 （分数：4.00）解析：0解析 10.(x)为一阶连续可微函数， 曲线积分 （分数：4.00）解析： 解析 由题设 得-“(x)=e x
10、+(x)，即 “(x)+(x)=-e x ， 解此方程并注意到 ，得 11.若 f(x)有连续导数，且 则 （分数：4.00）解析：k-3解析 12.当 a= 1 且 b= 2 时，函数 （分数：4.00）解析： 解析 由题设知 f(x)是分段函数，但分界点 x=b 待定，若 b=0，则 显然不符合在0，+)上连续的要求，于是可断定 b0.由此知 f(x)的定义域0，+)被分为两个区间0，b和(b，+)，在0，b和(b，+)内 f(x)分别是初等函数 和 lnx，因此，f(x)在0，b上连续，(0，b)内可导，且在 x=b 的左导数 f“ - (b)存在，f(x)在(b，+)内可导为使 f(x
11、)符合题目要求，必须且只需选择常数 a 和 b 使得 f(x)在 x=b 右连续，即 且 f(x)在 x=b 右导数 f“ + (b)存在且等于左导数 f“ - (b) 注意： f(x)满足 x=b 连续的条件下， 于是，得到确定 a 和 b 的方程组 由式得 代入式即得 ln b=2.从而 13.已知两个向量组 1 =(1，2，3)， 2 =(1，0，1)与 1 =(-1，2，t)， 2 =(4，1，5)为等价向量组，则 t= 1 （分数：4.00）解析：1 解析 由于 1 ， 2 ， 1 ， 2 均为行向量，因此以向量 为列构成矩阵 A，对 A 作初等行变换，得 当 t=1 时， 14.设
12、(X，Y)的联合分布律为 （分数：4.00）解析： 解析 X，Y 的边缘分布律为 则由 X，Y 相互独立，可得 解得 又由 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)=a|cosx|+b|sinx|在 处取得极小值，并且 （分数：10.00）_正确答案：()解析：因为 f(x)是偶函数，所以f(x) 2 也是偶函数，从而 即 当 时，f(x)=acosx-bsinx，从而 f“(x)=-asinx-bcosx，f“(x)=-acosx+bsinx 因为 是极小值点，所以 由此得 联立，两式解得： 由，两式可知：a0，b0， 因此 16.讨论方程 ln x=ax(a0)有多少实
13、根 （分数：10.00）_正确答案：()解析：令 f(x)=lnx-ax，则 当 时，f“(x)0，f(x)单调递增；当 时，f“(x)0，f(x)单调下降f(x)的极大值为 分三种情形讨论： (1)当 即 时，因为 故方程 f(x)=0 有两个实根，它们分别位于区间 (2)当 即 时，显然方程 f(x)=0 只有一个实根 (3)当 即 17.设有微分方程 y“+p(x)y=x 2 ，其中 （分数：10.00）_正确答案：()解析：方法一 首先在区间(-，1上求解初值问题： 不难得到方程的通解是 y=Ce -x +x 2 -2x+2，x1. 利用初始条件 y(0)=2 可确定 C=0，从而所求
14、的解为 y=x 2 -2x+2，x1. 接着在区间(1，+)上求解方程 y“+p(x)y=x 2 ，x1， 即 不难得到方程的通解是 为得到符合题目要求的函数 y=y(x)，只需取 C 使得函数 在 x=1 与函数 y=x 2 -2x+2 连接起来，即 可得 也就是说分段函数 是符合题目要求的函数 方法二 按照分段连续函数求原函数的方法，可设 p(x)的一个原函数为 于是，当 x1 时， 当 x1 时， 同理，可设 x 2 e Q(x) 的一个原函数为 按照一阶线性微分方程通解公式可得方程 y“+p(x)y=x 2 的通解为 其中 C 是任意常数，下面来推导 y 的解析式 利用条件 y(0)=
15、2 代入 x1 时 y 的表达式，可确定 C=1，从而所求特解为 设 f(x)在(-，+)内可导，并且|f“(x)|k，0k1.对于给定的 x 0 ，定义 x n+1 =f(x n )，n=0，1， 试证明：（分数：10.00）(1).级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 由拉格朗日中值定理 |x n -x n-1 |=|f“()(x n-1 -x n-2 )| k|x n-1 -x n-2 | k n-1 |x 1 -x 0 | 因为 0k1，所以 收敛，由比较判别法知 收敛，从而 (2). （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 x n =(x n -x n-1 )+(
16、x n-1 -x n-2 )+(x 1 -x 0 )+x 0 ，由于 收敛， 所以 存在，从而 18.计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：本题曲面 虽然是封闭的，但 P，Q 及其一阶偏导数在 所围的区域内不连续，故不能利用高斯公式，只能直接计算 分 为 1 ， 2 ， 3 ， 4 四块曲面，其中： 则 所以 19.已知线性方程组： （分数：11.00）_正确答案：()解析：先求方程组(1)的通解： 对方程组(1)的增广矩阵进行初等行变换，得 则方程组(1)的同解方程组为 其通解为 因为线性方程组(1)和(2)有相同的解，故将方程组(1)的特解 代入方程组(2)的第二个方程 2x 1
17、 +4x 2 +(a-1)x 3 =b+4，得 b=2. 再将方程组(1)的基础解系 代入方程组(2)的导出组 得 a=1. 因为线性方程组(1)和(2)有相同的解，故得方程组(1)和(2)相同的解 已知三阶实对称矩阵 A 的三个特征值为 1 =2， 2 = 3 =1，且对应于 2 ， 3 的特征向量为 p 2 =(1，1，-1) T ，p 3 =(2，3，-3) T （分数：11.00）(1).求 A 的 1 =2 对应的特征向量；（分数：5.50）_正确答案：()解析：设 A 对应于 1 =2 的特征向量为 p 1 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，因为实对称矩阵对应于不同特征值的
18、特征向量相互正交，所以有(p 1 ，p 2 )=0，(p 1 ，p 3 )=0，即 (2).求矩阵 A（分数：5.50）_正确答案：()解析：取相似变换矩阵为： 则有 从而 设二维连续型随机变量(X，Y)服从区域 D 上的均匀分布，D=(x，y)：0yx2-y（分数：11.00）(1).求 E(X)；（分数：5.50）_正确答案：()解析：求 E(X)应先求关于 X 的边缘密度 f X (x)为此先写出(X，Y)的联合密度 f(x，y)，如图所示，区域 D 的面积 S=1，因此有 即 (2).计算 PY0.2|X=1.5（分数：5.50）_正确答案：()解析：条件密度 20.设总体 X 具有概率密度 （分数：11.00）_正确答案：()解析：关于样本观测值 x 1 ，x 2 ，x n ，似然函数为 当 x i 0(i=1，2，n)时， 由方程 解得未知参数 的极大似然估计值为 的极大似然估计量为
