1、考研数学一-416 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 f“(x 0 )存在,且 f“(x 0 )0,f“(x 0 )=0,则下列结论中成立的为_(分数:4.00)A.x0 是 f(x)的驻点B.x0 是 f(x)的极值点C.(x0,f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点D.以上三个答案都不对2.设函数 f(u)可微,且 (分数:4.00)A.4dx-2dyB.2dx-4dyC.4dx+2dyD.2dx+4dy3.设 (分数:4.00)A.I112B.I1=I2C.I1I2D.必须给出 a 的值才可比较 I1,I2 的大小4.设
2、 L 是由 y 2 =2(x+2)及 x=2 所围区域的边界曲线,取逆时针方向,则 (分数:4.00)A.0BC.2D.-25.设 (分数:4.00)A.1,2,3 线性相关B.1,2,3,4 线性相关C.1,2,3 线性无关D.1,2,3,4 线性无关6.设 A 1 ,A 2 为 n 阶矩阵,x 1 ,x 2 ,b 1 ,b 2 为 n1 阶矩阵,记 (分数:4.00)A.A1x1=b1 无解B.A2x2=b2 无解C.A1x1=b1 和 A2x2=b2 都无解D.A1x1=b1 和 A2x2=b2 至少有一个无解7.假设随机变量 X 与 Y 相互独立,X 服从参数为 的指数分布,Y 的分布
3、律为 (分数:4.00)A.是连续函数B.是恰有一个间断点的阶梯函数C.是恰有一个间断点的非阶梯函数D.至少有两个间断点8.已知随机变量 ,则 PX+Y1等于_ A B C D (分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 f(x)是连续函数,则 (分数:4.00)10.(x)为一阶连续可微函数, 曲线积分 (分数:4.00)11.若 f(x)有连续导数,且 则 (分数:4.00)12.当 a= 1 且 b= 2 时,函数 (分数:4.00)13.已知两个向量组 1 =(1,2,3), 2 =(1,0,1)与 1 =(-1,2,t), 2 =(4,1,5)
4、为等价向量组,则 t= 1 (分数:4.00)14.设(X,Y)的联合分布律为 (分数:4.00)三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设 f(x)=a|cosx|+b|sinx|在 处取得极小值,并且 (分数:10.00)_16.讨论方程 ln x=ax(a0)有多少实根 (分数:10.00)_17.设有微分方程 y“+p(x)y=x 2 ,其中 (分数:10.00)_设 f(x)在(-,+)内可导,并且|f“(x)|k,0k1.对于给定的 x 0 ,定义 x n+1 =f(x n ),n=0,1, 试证明:(分数:10.00)(1).级数 (分数:5.00)_(2). (分数:5
5、.00)_18.计算 (分数:10.00)_19.已知线性方程组: (分数:11.00)_已知三阶实对称矩阵 A 的三个特征值为 1 =2, 2 = 3 =1,且对应于 2 , 3 的特征向量为 p 2 =(1,1,-1) T ,p 3 =(2,3,-3) T (分数:11.00)(1).求 A 的 1 =2 对应的特征向量;(分数:5.50)_(2).求矩阵 A(分数:5.50)_设二维连续型随机变量(X,Y)服从区域 D 上的均匀分布,D=(x,y):0yx2-y(分数:11.00)(1).求 E(X);(分数:5.50)_(2).计算 PY0.2|X=1.5(分数:5.50)_20.设总
6、体 X 具有概率密度 (分数:11.00)_考研数学一-416 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 f“(x 0 )存在,且 f“(x 0 )0,f“(x 0 )=0,则下列结论中成立的为_(分数:4.00)A.x0 是 f(x)的驻点B.x0 是 f(x)的极值点C.(x0,f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.以上三个答案都不对解析:解析 由定义, 2.设函数 f(u)可微,且 (分数:4.00)A.4dx-2dy B.2dx-4dyC.4dx+2dyD.2dx+4dy解析:解析 由微分形式不变性,有 3.设 (分数:4
7、.00)A.I112 B.I1=I2C.I1I2D.必须给出 a 的值才可比较 I1,I2 的大小解析:解析 当 0ax+y1 时,ln(x+y)0,sin(x+y)0,故必有 I 1 I 2 4.设 L 是由 y 2 =2(x+2)及 x=2 所围区域的边界曲线,取逆时针方向,则 (分数:4.00)A.0BC.2 D.-2解析:解析 令 在 L 所围区域内除原点外处处具有连续偏导数,在 L 内取辅助线 其中 应用格林公式,值为 0,所以 5.设 (分数:4.00)A.1,2,3 线性相关B.1,2,3,4 线性相关C.1,2,3 线性无关 D.1,2,3,4 线性无关解析:解析 取 1 ,
8、2 , 3 的前三个分量构成的向量组显然线性无关,故添加分量后得 1 , 2 , 3 仍线性无关6.设 A 1 ,A 2 为 n 阶矩阵,x 1 ,x 2 ,b 1 ,b 2 为 n1 阶矩阵,记 (分数:4.00)A.A1x1=b1 无解B.A2x2=b2 无解C.A1x1=b1 和 A2x2=b2 都无解D.A1x1=b1 和 A2x2=b2 至少有一个无解 解析:解析 因为方程组 Ax=b 无解,所以有 又 7.假设随机变量 X 与 Y 相互独立,X 服从参数为 的指数分布,Y 的分布律为 (分数:4.00)A.是连续函数 B.是恰有一个间断点的阶梯函数C.是恰有一个间断点的非阶梯函数D
9、.至少有两个间断点解析:解析 由全概率公式知,对任意 aR,有 0PX+Y=a=PX+Y=a,Y=1+PX+Y=a,Y=-1 =PX=a-1,Y=1+PX=a+1,Y=-1 PX=a-1+PX=a+1=0, 故 PX+Y=a=0,从而 X+Y 的分布函数为连续函数8.已知随机变量 ,则 PX+Y1等于_ A B C D (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 由题设可知, 故 二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 f(x)是连续函数,则 (分数:4.00)解析:0解析 10.(x)为一阶连续可微函数, 曲线积分 (分数:4.00)解析: 解析 由题设 得-“(x)=e x
10、+(x),即 “(x)+(x)=-e x , 解此方程并注意到 ,得 11.若 f(x)有连续导数,且 则 (分数:4.00)解析:k-3解析 12.当 a= 1 且 b= 2 时,函数 (分数:4.00)解析: 解析 由题设知 f(x)是分段函数,但分界点 x=b 待定,若 b=0,则 显然不符合在0,+)上连续的要求,于是可断定 b0.由此知 f(x)的定义域0,+)被分为两个区间0,b和(b,+),在0,b和(b,+)内 f(x)分别是初等函数 和 lnx,因此,f(x)在0,b上连续,(0,b)内可导,且在 x=b 的左导数 f“ - (b)存在,f(x)在(b,+)内可导为使 f(x
11、)符合题目要求,必须且只需选择常数 a 和 b 使得 f(x)在 x=b 右连续,即 且 f(x)在 x=b 右导数 f“ + (b)存在且等于左导数 f“ - (b) 注意: f(x)满足 x=b 连续的条件下, 于是,得到确定 a 和 b 的方程组 由式得 代入式即得 ln b=2.从而 13.已知两个向量组 1 =(1,2,3), 2 =(1,0,1)与 1 =(-1,2,t), 2 =(4,1,5)为等价向量组,则 t= 1 (分数:4.00)解析:1 解析 由于 1 , 2 , 1 , 2 均为行向量,因此以向量 为列构成矩阵 A,对 A 作初等行变换,得 当 t=1 时, 14.设
12、(X,Y)的联合分布律为 (分数:4.00)解析: 解析 X,Y 的边缘分布律为 则由 X,Y 相互独立,可得 解得 又由 三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设 f(x)=a|cosx|+b|sinx|在 处取得极小值,并且 (分数:10.00)_正确答案:()解析:因为 f(x)是偶函数,所以f(x) 2 也是偶函数,从而 即 当 时,f(x)=acosx-bsinx,从而 f“(x)=-asinx-bcosx,f“(x)=-acosx+bsinx 因为 是极小值点,所以 由此得 联立,两式解得: 由,两式可知:a0,b0, 因此 16.讨论方程 ln x=ax(a0)有多少实
13、根 (分数:10.00)_正确答案:()解析:令 f(x)=lnx-ax,则 当 时,f“(x)0,f(x)单调递增;当 时,f“(x)0,f(x)单调下降f(x)的极大值为 分三种情形讨论: (1)当 即 时,因为 故方程 f(x)=0 有两个实根,它们分别位于区间 (2)当 即 时,显然方程 f(x)=0 只有一个实根 (3)当 即 17.设有微分方程 y“+p(x)y=x 2 ,其中 (分数:10.00)_正确答案:()解析:方法一 首先在区间(-,1上求解初值问题: 不难得到方程的通解是 y=Ce -x +x 2 -2x+2,x1. 利用初始条件 y(0)=2 可确定 C=0,从而所求
14、的解为 y=x 2 -2x+2,x1. 接着在区间(1,+)上求解方程 y“+p(x)y=x 2 ,x1, 即 不难得到方程的通解是 为得到符合题目要求的函数 y=y(x),只需取 C 使得函数 在 x=1 与函数 y=x 2 -2x+2 连接起来,即 可得 也就是说分段函数 是符合题目要求的函数 方法二 按照分段连续函数求原函数的方法,可设 p(x)的一个原函数为 于是,当 x1 时, 当 x1 时, 同理,可设 x 2 e Q(x) 的一个原函数为 按照一阶线性微分方程通解公式可得方程 y“+p(x)y=x 2 的通解为 其中 C 是任意常数,下面来推导 y 的解析式 利用条件 y(0)=
15、2 代入 x1 时 y 的表达式,可确定 C=1,从而所求特解为 设 f(x)在(-,+)内可导,并且|f“(x)|k,0k1.对于给定的 x 0 ,定义 x n+1 =f(x n ),n=0,1, 试证明:(分数:10.00)(1).级数 (分数:5.00)_正确答案:()解析:证明 由拉格朗日中值定理 |x n -x n-1 |=|f“()(x n-1 -x n-2 )| k|x n-1 -x n-2 | k n-1 |x 1 -x 0 | 因为 0k1,所以 收敛,由比较判别法知 收敛,从而 (2). (分数:5.00)_正确答案:()解析:证明 x n =(x n -x n-1 )+(
16、x n-1 -x n-2 )+(x 1 -x 0 )+x 0 ,由于 收敛, 所以 存在,从而 18.计算 (分数:10.00)_正确答案:()解析:本题曲面 虽然是封闭的,但 P,Q 及其一阶偏导数在 所围的区域内不连续,故不能利用高斯公式,只能直接计算 分 为 1 , 2 , 3 , 4 四块曲面,其中: 则 所以 19.已知线性方程组: (分数:11.00)_正确答案:()解析:先求方程组(1)的通解: 对方程组(1)的增广矩阵进行初等行变换,得 则方程组(1)的同解方程组为 其通解为 因为线性方程组(1)和(2)有相同的解,故将方程组(1)的特解 代入方程组(2)的第二个方程 2x 1
17、 +4x 2 +(a-1)x 3 =b+4,得 b=2. 再将方程组(1)的基础解系 代入方程组(2)的导出组 得 a=1. 因为线性方程组(1)和(2)有相同的解,故得方程组(1)和(2)相同的解 已知三阶实对称矩阵 A 的三个特征值为 1 =2, 2 = 3 =1,且对应于 2 , 3 的特征向量为 p 2 =(1,1,-1) T ,p 3 =(2,3,-3) T (分数:11.00)(1).求 A 的 1 =2 对应的特征向量;(分数:5.50)_正确答案:()解析:设 A 对应于 1 =2 的特征向量为 p 1 =(x 1 ,x 2 ,x 3 ) T ,因为实对称矩阵对应于不同特征值的
18、特征向量相互正交,所以有(p 1 ,p 2 )=0,(p 1 ,p 3 )=0,即 (2).求矩阵 A(分数:5.50)_正确答案:()解析:取相似变换矩阵为: 则有 从而 设二维连续型随机变量(X,Y)服从区域 D 上的均匀分布,D=(x,y):0yx2-y(分数:11.00)(1).求 E(X);(分数:5.50)_正确答案:()解析:求 E(X)应先求关于 X 的边缘密度 f X (x)为此先写出(X,Y)的联合密度 f(x,y),如图所示,区域 D 的面积 S=1,因此有 即 (2).计算 PY0.2|X=1.5(分数:5.50)_正确答案:()解析:条件密度 20.设总体 X 具有概率密度 (分数:11.00)_正确答案:()解析:关于样本观测值 x 1 ,x 2 ,x n ,似然函数为 当 x i 0(i=1,2,n)时, 由方程 解得未知参数 的极大似然估计值为 的极大似然估计量为