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    【考研类试卷】考研数学一-415及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学一-415及答案解析.doc

    1、考研数学一-415 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 f(x)是以 4 为周期的连续函数,且 f“(1)=-1, 则 =_ A (分数:4.00)A.B.C.D.2.设 f(x)在1,+)上连续可导,且广义积分 均收敛,则 (分数:4.00)A.1B.0C.+D.-13.设 z=f(x,y)在(x 0 ,y 0 )处的全增量为 z,若 z=f(x,y)在(x 0 ,y 0 )处可微,则在(x 0 ,y 0 )处_(分数:4.00)A.z=dzB.z=f“xx+f“yyC.x=f“xdx+f“ydyD.z=dz+( 为高阶无穷

    2、小)4. 的值等于_ A B C D (分数:4.00)A.B.C.D.5.线性方程组 Ax=b 的系数矩阵 A 是 45 的矩阵,且 A 的行向量组线性无关,则下列命题错误的是_ A齐次方程组 A T x=0 只有零解 B齐次方程组 A T Ax=0 必有无穷多解 C b,方程组 A T x=b 总有唯一解 D (分数:4.00)A.B.C.D.6.设 A 为 n 阶反对称矩阵,即 A=-A T ,则对任意 n 维列向量 x,x T Ax_(分数:4.00)A.0B.0C.=0D.大小不确定7.设随机变量 X 和 Y 相互独立,其概率分布为 则下列式子正确的是_ AX=Y BPX=Y=0 C

    3、 (分数:4.00)A.B.C.D.8.设随机变量 XE(1),记 Y=max(X,1),则 E(Y)=_ A.1 B.1+e-1 C.1-e-1 D.e-1(分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.若 (分数:4.00)10.设 f(t)连续, (分数:4.00)11.微分方程 满足初值条件 (分数:4.00)12.已知 D 是长方形域:axb,0y1,且 则 (分数:4.00)13.设矩阵 (分数:4.00)14.设随机变量 X 服从区间a,b上的均匀分布,E(X k )=k 2 ,k=1,2,则 E(aX+b) 2 = 1 (分数:4.00)三、解答

    4、题(总题数:9,分数:94.00)15.设 计算 (分数:10.00)_16.设由 (分数:10.00)_17.设 f“(x)连续,f(0)=0,f“(0)0,求 (分数:10.00)_18.将 (分数:10.00)_19.设 f(x)在(-,+)内有连续的导函数,求 其中 L 为从点 (分数:10.00)_20.设 x 1 -x 2 =a 1 ,x 2 -x 3 =a 2 ,x 3 -x 4 =a 3 ,x 4 -x 5 =a 4 ,x 5 -x 1 =a 5 证明:这个方程组有解的充分必要条件是 (分数:11.00)_设二次型 (分数:11.00)(1).写出 f 的矩阵 A;(分数:2.

    5、75)_(2).求 f 的秩;(分数:2.75)_(3).写出 A -1 的特征值;(分数:2.75)_(4).用正交变换化二次型为标准形(分数:2.75)_21.N 个人同乘一辆长途汽车,沿途有 n 个车站,每到一个车站时,如果没有人下车,则不停车设每个人在任一站下车是等可能的,求停车次数的数学期望 (分数:11.00)_设分子速度总体 X 服从马克斯威尔(Maxwell)分布 (分数:11.00)(1).求出 的矩估计量和极大似然估计量;(分数:5.50)_(2).指出哪个是无偏估计量(说明理由)(分数:5.50)_考研数学一-415 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一

    6、、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 f(x)是以 4 为周期的连续函数,且 f“(1)=-1, 则 =_ A (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 由题设知 F“(x)是以 4 为周期的可导函数,且 F“(x)=f(x),F“(1)=-1,则有 2.设 f(x)在1,+)上连续可导,且广义积分 均收敛,则 (分数:4.00)A.1B.0 C.+D.-1解析:解析 对 有 由题设知 其中 a 是一个常数 又因为 收敛,且存在极限 必有极限值 a=0,即 3.设 z=f(x,y)在(x 0 ,y 0 )处的全增量为 z,若 z=f(x,y)在(x 0 ,y 0 )处可微,则在

    7、(x 0 ,y 0 )处_(分数:4.00)A.z=dzB.z=f“xx+f“yyC.x=f“xdx+f“ydyD.z=dz+( 为高阶无穷小) 解析:解析 由二元函数在一点可微的定义可知应选 D4. 的值等于_ A B C D (分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 利用极坐标计算此二重积分,有 5.线性方程组 Ax=b 的系数矩阵 A 是 45 的矩阵,且 A 的行向量组线性无关,则下列命题错误的是_ A齐次方程组 A T x=0 只有零解 B齐次方程组 A T Ax=0 必有无穷多解 C b,方程组 A T x=b 总有唯一解 D (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析

    8、因为矩阵的秩 r(A)=行秩=列秩,现 A 的行向量组线性无关,得 r(A)=4. A T 是 54 矩阵,r(A T )=r(A)=4,A T 的列向量线性无关,故 A T x=0 只有零解,A 正确 由于 A T A 是 5 阶矩阵,r(A T A)r(A)=45,故|A T A|=0,因此 A T Ax=0 必有无穷多解,B 亦正确 对 A 按列分块,记 A=( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ), i 是 4 维列向量,由于 r(A)=4,A 中有4 个列向量线性无关,不妨设 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,那么 b 与 5 均可由 1 , 2 , 3 , 4 线性表出,从而

    9、 b 可由 1 , 2 , 3 , 4 , 5 线性表出且表示法不唯一,即D 正确6.设 A 为 n 阶反对称矩阵,即 A=-A T ,则对任意 n 维列向量 x,x T Ax_(分数:4.00)A.0B.0C.=0 D.大小不确定解析:解析 由 X T Ax=(x T Ax) T =x T A T x 及同时有 x T Ax=x T (-A T )x, 得 2x T Ax=x T (A T -A T )x=0.故应选取 C7.设随机变量 X 和 Y 相互独立,其概率分布为 则下列式子正确的是_ AX=Y BPX=Y=0 C (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 8.设随机变量 XE

    10、(1),记 Y=max(X,1),则 E(Y)=_ A.1 B.1+e-1 C.1-e-1 D.e-1(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 如果先求 Y 的概率密度 f Y (y)计算量会很大,不如直接使用公式 其中 f(x)为指数分布的 X 的概率密度 所以 二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.若 (分数:4.00)解析:a=1,b=-2解析 10.设 f(t)连续, (分数:4.00)解析:2f(0)解析 11.微分方程 满足初值条件 (分数:4.00)解析: 解析 原方程化为 得通解 由 解得 C=-1,从而 12.已知 D 是长方形域:axb,0y1,且 则 (分数

    11、:4.00)解析:2 解析 由于 D 为长方形域,故由二重积分的计算法有 所以 13.设矩阵 (分数:4.00)解析: 解析 因 且|ABC|=|D|,故 则 14.设随机变量 X 服从区间a,b上的均匀分布,E(X k )=k 2 ,k=1,2,则 E(aX+b) 2 = 1 (分数:4.00)解析:16 解析 三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设 计算 (分数:10.00)_正确答案:()解析:先画积分区域,D=(x,y)|x|+|y|2的图形如下图: 记 D 1 =(x,y)|x|+|y|1,D 2 =(x,y)|1|x|+|y|2,则有 其中 D 1 与 D 2 关于 x

    12、,y 轴都对称,再记 D 11 =(x,y)|0x+y1,x0,y0,D 12 =(x,y)|1x+y2,x0,y0,被积函数 x 2 与 既是 x 又是 y 的偶函数,由区域对称性和被积函数的奇偶性有 对式中 采用极坐标,令 则 x+y=1 化为 于是 所以 16.设由 (分数:10.00)_正确答案:()解析:如图所示, 由 S“(t)=0 解出唯一驻点 ,因此 为极小值又 ,所以 S(t)最大值为 1,最小值为 17.设 f“(x)连续,f(0)=0,f“(0)0,求 (分数:10.00)_正确答案:()解析:这是“ ”型未定式,用洛必达法则 最后一个极限虽是“ ”型,但因 f“(x)未

    13、必存在,故不能再用洛必达法则,而须改用其他方法 18.将 (分数:10.00)_正确答案:()解析:为利用熟知的幂级数展开式 我们对原表达式进行变换,即得 为求其收敛域仍可回到原来的两个幂级数,即 及 由于前者的收敛半径为 1,后者为 2,所以前一个级数的收敛区间就是它们公共的收敛区间注意到 x=2 时,前一级数变为妻 级数收敛;x=0时,变为 19.设 f(x)在(-,+)内有连续的导函数,求 其中 L 为从点 (分数:10.00)_正确答案:()解析: 又 对 I 2 有 P(x,y)=yf(xy),Q(x,y)=xf(xy) 因此积分与路径无关,选取由 A 点到 B 点的双曲线弧段 L

    14、1 :xy=2 作为积分路径,则 故 20.设 x 1 -x 2 =a 1 ,x 2 -x 3 =a 2 ,x 3 -x 4 =a 3 ,x 4 -x 5 =a 4 ,x 5 -x 1 =a 5 证明:这个方程组有解的充分必要条件是 (分数:11.00)_正确答案:()解析: 知, 故方程组有解的充分必要条件是 由同解方程组 得一般解 设二次型 (分数:11.00)(1).写出 f 的矩阵 A;(分数:2.75)_正确答案:()解析:(2).求 f 的秩;(分数:2.75)_正确答案:()解析:由于|A|0,所以 r(A)=3,从而 f 的秩是 3.(3).写出 A -1 的特征值;(分数:2

    15、.75)_正确答案:()解析:令|E-A|=0,得 A 的特征值 1 =1, 2 =3, 3 =7,从而 A -1 的特征值是 1, , (4).用正交变换化二次型为标准形(分数:2.75)_正确答案:()解析:令(E-A)x=0,得属于 1 =1 的特征向量为 1 =(-1,1,1) T ; 令(3E-A)x=0,得属于 2 =3 的特征向量为 2 =(1,1,0) T ; 令(7E-A)x=0,得对应于 3 =7 的特征向量为 3 =(1,-1,2) T 由于 1 , 2 , 3 互异,从而 1 , 2 , 3 彼此正交 令 i=1,2,3,得 正交矩阵 所求正交变换为 x=Qy,即 经正

    16、交变换 x=Qy,二次型化为标准形: 21.N 个人同乘一辆长途汽车,沿途有 n 个车站,每到一个车站时,如果没有人下车,则不停车设每个人在任一站下车是等可能的,求停车次数的数学期望 (分数:11.00)_正确答案:()解析:设随机变量 X i 表示第 i 个车站的停车次数(i=1,2,n) 则 易知 X i 服从下列分布 于是,沿途停车次数的数学期望为 设分子速度总体 X 服从马克斯威尔(Maxwell)分布 (分数:11.00)(1).求出 的矩估计量和极大似然估计量;(分数:5.50)_正确答案:()解析:求矩估计量: 求极大似然估计量: (2).指出哪个是无偏估计量(说明理由)(分数:5.50)_正确答案:()解析:矩估计量为无偏估计量,因为


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