1、考研数学一-413 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A、B、C 为事件，P(ABC)0，如果 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)，则（分数：4.00）A.P(C|AB)=P(C|A)B.P(C|AB)=P(C|B)C.)D.) P(B|AC2.已知随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(， 2)，如果 Pmax(X，Y)=a(0a1)，则 Pmin(X，Y)等于（分数：4.00）_3.设 1， 2， 3， 4， 5是 4 维向量，下列命题中正确的是（分数：4.00）A.如果 1， 2， 3， 4线性相关，那么
2、 k1，k 2，k 3，k 4不全为 0 时，有 k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0B.如果 1， 2， 3， 4线性相关，那么当 k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0 时，有 k1，k 2，k 3，k 4不全为 0C.如果 5不能由 1， 2， 3， 4线性表出，那么 1， 2， 3， 4必线性相关D.如果 1， 2， 3， 4线性相关，那么 5不能由 1， 2， 3， 4线性表出4.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（分数：4.00）A.B.C.D.5.设数列 an单调减少， 则幂级数 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.函数 （分
3、数：4.00）A.B.C.D.8.若 y=xex+x 是微分方程 y“-2y+ay=bx+c 的解，则（分数：4.00）A.a=1，b=1，c=0B.a=1，b=1，c=-2C.a=-3，b=-3，C=0D.a=-3，b=1，c=1二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=(x-1)(x-2)2(x-3)3(x-4)4，则 y“(3)=_（分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.设 D=(x，y)|x 2+Y22x+2y，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 z=f(xy，x 2+y2)，其中 f(u，v)有二阶连续偏导数则 （分数：4.
4、00）填空项 1:_13.设 A 是 3 阶矩阵，B 是 4 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，且|A|=2，|B|= （分数：4.00）填空项 1:_14.甲、乙两人各自独立地向同一目标重复射击两次，已知每次射击甲命中目标概率为 p(0p1)，乙命中目标的概率为 0.6，则使甲、乙两人命中目标次数相等的概率达到最大的 p= -|_|-（分数：4.00）_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.设 f(x)为连续函数， 当 x0 时 （分数：10.00）_17.计算线积分 （分数：10.00）_18.设 f(x)在0，+)上连续，且 收敛，令 证明：
5、 （分数：10.00）_19.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，常数 a0 与 b0求证：存在满足01 的 与 使得 af()+bf()=0（分数：10.00）_20.设二次型矩阵 A 满足 AB=0，其中 （分数：11.00）_21.设 A 是 4 阶非零矩阵， 1， 2， 3， 4是非齐次线性方程组 Ax=b 的不同的解()如果 1， 2， 3线性相关，证明 1- 2， 1- 3也线性相关；()如果 1， 2， 3， 4线性无关，证明 1- 2， 1- 3， 1- 4是齐次方程组 Ax=0 的基础解系（分数：11.00）_22.已知 X 服从参数为 1
6、 的指数分布，Y=|X|，试求：()(X，Y)的分布函数 F(x，y)；()关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数 Fx(x)和 Fy(y)；()X，Y 的相关系数 XY（分数：11.00）_23.已知 X1，X 2，X n是来自正态总体 N(0， 2)容量为 n(n1)的简单随机样本，样本均值与方差分别为 试求统计量 的期望 与方差 （分数：11.00）_考研数学一-413 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A、B、C 为事件，P(ABC)0，如果 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)，则（分数：4.00）A.P(C
7、|AB)=P(C|A)B.P(C|AB)=P(C|B)C.)D.) P(B|AC 解析：分析 已知 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)意指：“在 C 发生的条件下，A 与 B 独立”所以“在 C 发生的条件下，A 发生与否不影响 B 发生的概率”，即 P(B|AC)=P(B|C)，选择(D)我们也可以通过计算来确定选项事实上：P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)*P(A|C)P(B|AC)=P(A|C)P(B|C)*P(B|AC)=P(B|C)，选择(D)选项(A)、(C)表示：在 A 发生条件下，B 与 C 独立；选项(B)表示：在 B 发生条件下，A 与 C 独立评注 条件 P(
8、ABC)0，除了保证各条件概率有意义外，还保证各项概率均不为零2.已知随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(， 2)，如果 Pmax(X，Y)=a(0a1)，则 Pmin(X，Y)等于（分数：4.00）_解析：*选择(C)我们也可以这样考虑，由于*选择(C)说明 本题可以有如下的变式：已知随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(， 2)，且 PX0，y2=a，则 PX0，y2)=_答案 记 A=X0，B=X23.设 1， 2， 3， 4， 5是 4 维向量，下列命题中正确的是（分数：4.00）A.如果 1， 2， 3， 4线性相关，那么 k1，k 2，k 3，k 4不全为 0 时，有 k
9、1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0B.如果 1， 2， 3， 4线性相关，那么当 k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0 时，有 k1，k 2，k 3，k 4不全为 0C.如果 5不能由 1， 2， 3， 4线性表出，那么 1， 2， 3， 4必线性相关 D.如果 1， 2， 3， 4线性相关，那么 5不能由 1， 2， 3， 4线性表出解析：分析 因为 1， 2， 3， 4， 5是 5 个 4 维向量它必线性相关而当 1， 2， 3， 4线性无关时， 5必可由 1， 2， 3， 4线性表出现在 5不能由 1， 2， 3， 4线性表出，所以 1， 2， 3， 4必线性相关即命题(C)
10、正确按定义当 1， 2， 3， 4线性相关时，存在不全为 0 的 k1，k 2，k 3，k 4，使k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0，但不是对任意不全为 0 的 k1，k 2，k 3，k 4均有 k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0，故命题(A)不正确因为 0 1+0 2+0 3+0 4=0 恒成立，所以命题(B)不正确当 1， 2， 3， 4线性无关时， 5一定能由 1， 2， 3， 4线性表出，当 1， 2， 3， 4线性相关时， 5也有可能由 1， 2， 3， 4线性表出(例如 5= 1)，故命题(D)不正确4.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（分数：4.00）A.B.
11、C.D.解析：分析 (A)是实对称矩阵，(D)有 3 个不同的特征值，都可相似对角化，(B)和(C)矩阵的特征值分别是 2，2，0 和 2，2，1，特征值有重根易见秩*所以齐次方程组(2E-B)x=0 只有 1 个线性无关的解，亦即 =2 只有一个线性无关的特征向量故(B)不能相似对角化而*，对 =2，矩阵 C 有 2 个线性无关的特征向量，所以(C)和对角矩阵相似5.设数列 an单调减少， 则幂级数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析一 当 x=-1 时幂级数*又数列(a n)单调减少，由莱布尼兹准则知交错级数*收敛，且是条件收敛，则 x=-1 为幂级数*的收敛区间的左端点，右端
12、点应为 x=3，当 x=3 时，原幂级数*由*级数*发散，则幂级数*的收敛域为-1，3)，故应选(B)分析二 由*知*评注 这里用到一个常用的结论：“若幂级数*在 x=x1处条件收敛，则 x=x1为幂级数*的收敛区间的一个端点”6.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 当 x0 时，*为无穷小量，*为有界变量，则*从而，f(0)=0，故应选(C)7.函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 显然*则 f(x，y)在点(0，0)处连续，又*则 f(x，y)，)在点(0，0)处可微，故应选(C)评注 本题中的 f(x，y)在(0，0)点的偏导数不连续，事实上*8.若 y=
13、xex+x 是微分方程 y“-2y+ay=bx+c 的解，则（分数：4.00）A.a=1，b=1，c=0B.a=1，b=1，c=-2 C.a=-3，b=-3，C=0D.a=-3，b=1，c=1解析：分析 由解 y=xex+x 的形式及原方程右端的非齐次项可知，xe x为齐次方程的解，则其特征方程有二重根 1= 2=1，特征方程应为(-1) 2=0，则 a=1，而 y=x 应为非齐次方程的解，将其代入方程 y“-2y+y=bx+c 得 b=1，c=-2，故应选(B)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=(x-1)(x-2)2(x-3)3(x-4)4，则 y“(3)=_（分数：4.
14、00）填空项 1:_ （正确答案：12）解析：分析 令 (x)=(x-1)(x-2) 2(x-4)4则y=(x)(x-3) 3 设 (x)在 x=3 处的幂级数展开式为(x)=a 0+a1(x-3)+an(x-3)n+则y=(x-3)3a0+a1(x-3)+an(x-3)n+=a0(x-3)3+a1(x-3)4+an(x-3)n+3+从而y“(3)=a03!=6a0显然 a0=(3)=2，故 y“(3)=12评注 由本题的分析可得到一个常用的结论：若 (x)在 x0的某邻域内可展开为幂级数，y=(x-x 0)n(x)(n 为正整数)，则y(k)(x0)=0 k=1，2，n-1y(n)(x0)=
15、(x 0)n!10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：当 n 为偶数时为 0，当 n 为奇数时为*）解析：分析 当 n 为偶数时，*为偶函数，则*为奇函数，从而*当 n 为奇数时，*评注本题用到两个常用的结论：(1)设 f(x)连续，则当 f(x)为奇函数时，*为偶函数，当 f(x)为偶函数时，*为奇函数(2)设 f(x)连续，则*11.设 D=(x，y)|x 2+Y22x+2y，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：5）解析：分析 积分域 x2+y22x+2y 为圆域(x-1) 2+(y-1)22 令 x-1=u，Y-1=v，则*12.设 z=f(xy，x 2+y2
16、)，其中 f(u，v)有二阶连续偏导数则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *=f1+xyf“11+4xyf“22+2(x2+y2)f“1213.设 A 是 3 阶矩阵，B 是 4 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，且|A|=2，|B|= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*14.甲、乙两人各自独立地向同一目标重复射击两次，已知每次射击甲命中目标概率为 p(0p1)，乙命中目标的概率为 0.6，则使甲、乙两人命中目标次数相等的概率达到最大的 p= -|_|-（分数：4.00）_解析：分析 用 X，Y 分别表示两次射击甲，乙击中目标的次数，则 X
17、 与 Y 独立，XB(2，p)，YB(2，06)事件“两次射击甲、乙两人命中目标次数相等”=X=Y)=X=0，Y=0UX=1，Y=1三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：16.设 f(x)为连续函数， 当 x0 时 （分数：10.00）_正确答案：(令 x-t=u，则 dt=-du*)解析：17.计算线积分 （分数：10.00）_正确答案：(补线用格林公式，如右图，补线段*，则 L 与*围成两块平面域 D1和 D2，则 *)解析：评注 补线段*后对积分*用格林公式时应注意，曲线 L 和线段*围成了两块区域，分别为D1和 D2，而 D
18、1的边界曲线为逆时针方向(用格林公式取正号)，D 2的边界曲线为顺时针(用格林公式取负号)这里容易出现错误，请务必注意18.设 f(x)在0，+)上连续，且 收敛，令 证明： （分数：10.00）_正确答案：(令 nx=t，则*)解析：评注 本题在证明过程中用到一个重要的积分不等式，即 Cauchy 积分不等式*19.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，常数 a0 与 b0求证：存在满足01 的 与 使得 af()+bf()=0（分数：10.00）_正确答案：(令*，在0，c和c，1上分别对 f(x)用拉格朗日定理得*评注 本题给出了此类问题求解的一种常用方
19、法)解析：分析 本题属中值定理的证明题中要证存在两个不同点 和 ，这种问题应将0，1分为两个区间0，c和c，1，然后在这两个区间上分别用拉格朗日中值定理问题的关键在于 c 点的选取，为此，利用拉格朗日中值定理得*20.设二次型矩阵 A 满足 AB=0，其中 （分数：11.00）_正确答案：()AB=0 知 =0 是矩阵 A 的特征值且矩阵 B 的列向量(1，0，1) T是矩阵 A 属于特征值 =0的特征向量故有*由矩阵 A 的特征多项式*得矩阵 A 的特征值为：6，0，-6由(6E-A)x=0 得矩阵 A 属于特征值 6 的特征向量为(1，2，-1) T由(-6E-A)x=0 得矩阵 A 属于
20、特征值-6 的特征向量为(-1，1，1) T实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，单位化有*()不合同，因为*，它们的正负惯性指数不一样，所以不合同)解析：21.设 A 是 4 阶非零矩阵， 1， 2， 3， 4是非齐次线性方程组 Ax=b 的不同的解()如果 1， 2， 3线性相关，证明 1- 2， 1- 3也线性相关；()如果 1， 2， 3， 4线性无关，证明 1- 2， 1- 3， 1- 4是齐次方程组 Ax=0 的基础解系（分数：11.00）_正确答案：()因为 1， 2， 3线性相关，故有不全为 0 的 k1，k 2，k 3使得 k1 1+k2 2+k3 3=0，那么(k 1，k
21、2，k 3) 1=k2( 1- 2)+k3( 1- 3)因为 1- 2， 1- 1- 3是齐次方程组 Ax=0 的解，而 1是非齐次方程组 Ax=b 的解，所以 1不能由 1- 2， 1- 3线性表出，故必有 k1+k2+k3=0从而 k2( 1- 2)+k3( 1- 3)=0此时必有 k2，k 3不全为 O(否则 k1，k 2，k 3全为 0)，即 1- 2， 1- 3线性相关()由方程组的性质知 1- 2， 1- 3， 1- 4是 Ax=0 的解当 k1( 1- 2)+k2( 1- 3)+k3( 1- 4)=0 时即(k 1+k2+k3) 1-k1 2-k2 3-k3 4=0因为 1， 2
22、， 3， 4线性无关*即必有 k1=k2=k3=0从而 1- 2， 1- 3， 1- 4是 Ax=0 的 3 个线性无关的解那么 n-r(A)3 即 r(A)1，又 A0 有 r(A)1，从而 r(A)=1因此 1- 2， 1- 3， 1- 4是 Ax=0 的基础解系)解析：22.已知 X 服从参数为 1 的指数分布，Y=|X|，试求：()(X，Y)的分布函数 F(x，y)；()关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数 Fx(x)和 Fy(y)；()X，Y 的相关系数 XY（分数：11.00）_正确答案：()*故 XY=1)解析：评注 本题的关键在于 xE(1)，而 X 的密度函数为*X 取负值的概率为 0，故实际求解过程中把|X|就可以看成为 X23.已知 X1，X 2，X n是来自正态总体 N(0， 2)容量为 n(n1)的简单随机样本，样本均值与方差分别为 试求统计量 的期望 与方差 （分数：11.00）_正确答案：(由题设知总体 XN(0， 2)，故*)解析：评注 解答本题时我们应用了下面两个重要的结论：(1)如果总体 XN(， 2)，样本均值与方差分别为*，则*相互独立；(2)如果 X 2(n)，则 EX=n，DX=2n
