1、考研数学一-412 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)连续，且 f(1)=1，则 =_ A1 B-1 C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.函数 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.33.设函数 f(x)可导，则 为_ A2f“(x) B C （分数：4.00）A.B.C.D.4.微分方程 y“-4y“+4y=xe 2x 具有如下形式的特解(其中 A，B 为待定常数)_ A.(Ax+B)e2x B.(Ax2+Bx)e2x C.(Ax3+Bx2)e2x D.Ax3e2x（分数：4.00）A.B.C.D.5.
2、设 A 为 n(n2)阶方阵，A * 为 A 的伴随矩阵，若对任一 n 维列向量 ，均有 A*=0，则齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数 k 必定满足_（分数：4.00）A.k=0B.k=1C.k1D.k=n6.已知 A 为三阶方阵，1，1，2 是 A 的三个特征值， 1 ， 2 ， 3 分别为对应的三个特征向量，则_（分数：4.00）A.1，2，3 必为矩阵 2E-A 的特征向量B.1-2 必为矩阵 2E-A 的特征向量C.1+3 不是矩阵 2E-A 的特征向量D.1，2 不是矩阵 2E-A 的特征向量，3 必为矩阵 2E-A 的特征向量7.设随机变量 X 1 ，X 2 都
3、服从区间0，4上的均匀分布，且 PX 1 3，X 2 3=1，则 PX 1 3，X 2 3=_ A0 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.假设(X，Y)为二维随机变量，则下列结论正确的是_（分数：4.00）A.如果(X，Y)服从二维正态分布，则 X 与 Y 一定独立B.如果(X，Y)服从二维正态分布，则 X 与 Y 一定不独立C.如果(X，Y)不服从二维正态分布，则 X 与 Y 一定都不服从正态分布D.如果(X，Y)不服从二维正态分布，则 X 与 Y 不一定都不服从正态分布二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 f，g 均可微，z=f(xy，lnx+g(xy)，则
4、（分数：4.00）10. （分数：4.00）11.已知 （分数：4.00）12.设 f(x)在区间-，上连续且满足 f(x+)=-f(x)，则 f(x)的傅里叶系数 a 2n = 1(n=1，2，) （分数：4.00）13.已知 （分数：4.00）14.设随机变量 X 服从区间a，b上的均匀分布，E(X k )=k 2 ，k=1，2，则 E(aX+b) 2 = 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 （分数：10.00）_16.设 z=z(x，y)是由 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +18=0
5、确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值 （分数：10.00）_17.设 1x+时， 且 f“(x)连续，试证 （分数：10.00）_18.计算 （分数：10.00）_19.设有一质量为 m 的质点，受弹力作用在其平衡位置附近做上下振动，且在振动时受到的阻力与该质点的运动速度成正比，求质点运动方程 （分数：10.00）_设二次型 （分数：11.01）(1).将上述二次型表示成矩阵形式；（分数：3.67）_(2).用正交变换化上述二次型成标准形，并写出所作正交变换及标准形；（分数：3.67）_(3).将上述二次型的对应矩阵 A 表示成 A=WW T ，其中 W 是三阶方阵（分数：3.67）
6、_设 （分数：11.00）(1).计算 A 2 ，并将 A 2 用 A 和 E 表出；（分数：5.50）_(2).设 A 是二阶方阵，当 k2 时，证明 A k =0 的充分必要条件是 A 2 =0.（分数：5.50）_已知(X，Y)的联合概率密度函数为 （分数：11.01）(1).求在 Y=y 的条件下，X 的条件概率密度函数；（分数：3.67）_(2).X 与 Y 是否相互独立?说明理由；（分数：3.67）_(3). （分数：3.67）_从正态总体 N(， 2 )中抽取一容量为 16 的样本，S 2 为样本方差，这里 和 2 均未知，求：（分数：11.00）(1). （分数：5.50）_(
7、2).D(S 2 )（分数：5.50）_考研数学一-412 答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)连续，且 f(1)=1，则 =_ A1 B-1 C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 2.函数 （分数：4.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析 注意 x=1 不是垂直渐近线 本题考查渐近线的求法3.设函数 f(x)可导，则 为_ A2f“(x) B C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 4.微分方程 y“-4y“+4y=xe 2x 具有如下形式的特解(其中 A，B 为待定常数)_ A.(
8、Ax+B)e2x B.(Ax2+Bx)e2x C.(Ax3+Bx2)e2x D.Ax3e2x（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 特征方程为 2 -4+4=(-2) 2 =0，=2 为二重根，故特解为 x 2 (Ax+B)e 2x ，应选C 本题考查二阶线性微分方程的解的结构5.设 A 为 n(n2)阶方阵，A * 为 A 的伴随矩阵，若对任一 n 维列向量 ，均有 A*=0，则齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数 k 必定满足_（分数：4.00）A.k=0B.k=1C.k1 D.k=n解析：解析 由题设必有 A * =0，从而 r(A)n-1，故 Ax=0 的基础解
9、系所含解向量的个数 k1. 本题考查齐次线性方程组的基础解系6.已知 A 为三阶方阵，1，1，2 是 A 的三个特征值， 1 ， 2 ， 3 分别为对应的三个特征向量，则_（分数：4.00）A.1，2，3 必为矩阵 2E-A 的特征向量 B.1-2 必为矩阵 2E-A 的特征向量C.1+3 不是矩阵 2E-A 的特征向量D.1，2 不是矩阵 2E-A 的特征向量，3 必为矩阵 2E-A 的特征向量解析：解析 利用特征值的定义 A i = i i ，i=1，2，3，有(2E-A) i =(2- i ) i ，i=1，2，3 可见 1 ， 2 ， 3 为 2E-A 的特征向量，故选 A 本题考查特
10、征值和特征向量的定义7.设随机变量 X 1 ，X 2 都服从区间0，4上的均匀分布，且 PX 1 3，X 2 3=1，则 PX 1 3，X 2 3=_ A0 B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 8.假设(X，Y)为二维随机变量，则下列结论正确的是_（分数：4.00）A.如果(X，Y)服从二维正态分布，则 X 与 Y 一定独立B.如果(X，Y)服从二维正态分布，则 X 与 Y 一定不独立C.如果(X，Y)不服从二维正态分布，则 X 与 Y 一定都不服从正态分布D.如果(X，Y)不服从二维正态分布，则 X 与 Y 不一定都不服从正态分布 解析：解析 由二维正态分布的性质知，
11、如果(X，Y)服从二维正态分布，则 X 与 Y 独立 X 与 Y 不相关 =0，而二维正态分布中的 未必为零，故 A，B 不正确 对于(X，Y)不服从二维正态分布的，其边缘分布可以都是正态分布，例如： (X，Y)不服从二维正态分布，且 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 f，g 均可微，z=f(xy，lnx+g(xy)，则 （分数：4.00）解析：f“ 2 解析 10. （分数：4.00）解析： 解析 令 则 x=t 3 ，dx=3t 2 dt 11.已知 （分数：4.00）解析：1 解析 由题设有 即 12.设 f(x)在区间-，上连续且满足 f(x+)=-f(x)，则 f
12、(x)的傅里叶系数 a 2n = 1(n=1，2，) （分数：4.00）解析：0 解析 前一积分，令 t=x+，所以 x=t-，则 13.已知 （分数：4.00）解析： 解析 14.设随机变量 X 服从区间a，b上的均匀分布，E(X k )=k 2 ，k=1，2，则 E(aX+b) 2 = 1 （分数：4.00）解析：16 解析 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 需证存在 (a，b)，使 f“()-kf()=0，两边同乘 e -k ，得 e -k f“()-ke -k f()=0，
13、即e -kx f(x)“| x= =0，为此设 F(x)=e -kx f(x)， 不妨假定 f(a)0，则 又因 e -kx 0，故有： 由连续函数的介值定理知，存在 x 1 ，x 2 使 F(x 1 )=F(x 2 )=0，且 16.设 z=z(x，y)是由 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值 （分数：10.00）_正确答案：()解析：可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值 因为 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2
14、+18=0，所以 令 得 故 将上式代入 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +18=0，可得 由于 所以 故 从而点(9，3)是 z(x，y)的极小值点，极小值为 z(9，3)=3. 类似地，由 可知 17.设 1x+时， 且 f“(x)连续，试证 （分数：10.00）_正确答案：()解析：当 1x+，由 f“(x)0 知 f(x)单调增加，又 得 即 这样 x n =f(n)单调增加有上界，由数列极限收敛准则知 18.计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：c 的参数方程为 t 从 0 到 2： 所以 故 19.设有一质量为 m 的质点，受弹力作用在其平衡位置附近做上下
15、振动，且在振动时受到的阻力与该质点的运动速度成正比，求质点运动方程 （分数：10.00）_正确答案：()解析：选择质点的平衡位置作为坐标原点，质点的位置 x 随时间 t 变化，即 x 是 t 的函数：x=x(t)，此即为所要确定的质点的运动方程 根据题意可知，质点运动到位置 x 时所受的弹力与阻力分别是： 弹力：f 弹 =-kx，其中 k0 为弹性系数， 阻力： 其中 h0 为比例系数 上述二式中的负号分别表示弹性恢复力的方向以及阻力的方向与质点位移的方向相反 由牛顿第二定律，得 令 上式成为： 这是二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程 r 2 +2ar+b 2 =0 的根为 因此： (1)
16、当 ab 时， 与 为相异的实根，原方程的解为 x=C 1 e r1t +C 2 e r2t ； (2)当 a=b 时，r 1 =r 2 =-a，为重根，原方程的解为 x=(C 1 +C 2 t)e -at (3)当 ab 时， 为一对共轭复根，原方程的解为：x=e -at (C 1 cost+C 2 sint)=Ae -at sin(t+)， 其中： 由此可见，无论何种情形，都有 即质点随时间无限延长而趋于平衡位置，但是仅当 时，质点的运动为周期为 设二次型 （分数：11.01）(1).将上述二次型表示成矩阵形式；（分数：3.67）_正确答案：()解析：(2).用正交变换化上述二次型成标准形
17、，并写出所作正交变换及标准形；（分数：3.67）_正确答案：()解析： 特征值为： 1 =9， 2 = 3 =6. 对 1 =9，解方程组 ，得 1 =(1，1，1) T ， 对 2 = 3 =6，解方程组 得 2 =(1，-1，0) T ， 3 =(1，1，-2) T (取 3 时，已考虑到 3 与 2 正交) 将 1 ， 2 ， 3 单位化，得正交矩阵 (3).将上述二次型的对应矩阵 A 表示成 A=WW T ，其中 W 是三阶方阵（分数：3.67）_正确答案：()解析： 其中 设 （分数：11.00）(1).计算 A 2 ，并将 A 2 用 A 和 E 表出；（分数：5.50）_正确答案
18、：()解析： 令 A 2 =xA+yE，得 (2).设 A 是二阶方阵，当 k2 时，证明 A k =0 的充分必要条件是 A 2 =0.（分数：5.50）_正确答案：()解析：充分性：A 2 =0，显然有 A k =0(k2)，充分性成立 必要性：A k =0，|A k |=|A| k =0，|A|=0，即 ad-bc=0. 由(1)知 A 2 =(a+d)A+0E，得 A k =(a+d) k-1 A=0，则 a+d=0 或 A=0，从而有 A 2 =(a+d)A=0. 注：必要性也可利用 r(A)=1 的特点来证，A 是 22 矩阵，|A|=0，故 r(A)1. r(A)=0 时，有 A
19、=0，A 2 =0. r(A)=1 时，A= T ，A 2 =( T ) T = T A A k =( T ) k-1 A=0 得 T =0 或 A=0，从而有 A 2 =0.已知(X，Y)的联合概率密度函数为 （分数：11.01）(1).求在 Y=y 的条件下，X 的条件概率密度函数；（分数：3.67）_正确答案：()解析：当 0y1 时， (2).X 与 Y 是否相互独立?说明理由；（分数：3.67）_正确答案：()解析： (3). （分数：3.67）_正确答案：()解析：从正态总体 N(， 2 )中抽取一容量为 16 的样本，S 2 为样本方差，这里 和 2 均未知，求：（分数：11.00）(1). （分数：5.50）_正确答案：()解析：由于 所以 (2).D(S 2 )（分数：5.50）_正确答案：()解析：
