1、考研数学一-411 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设当|x|1 时 展开成收敛于它自身的幂级数 f(x)= （分数：4.00）A.an+2=an+1+anB.an+3=anC.an+4=an+2+anD.an+6=an2.当 x0 时，下列 3 个无穷小 （分数：4.00）A.，B.，C.，D.，3.设 f(x)是以 T 为周期的连续函数(若下式中用到 f“(x)，则设 f“(x)存在)，则以下结论中不正确的是_ Af“(x)必以 T 为周期 B 必以 T 为周期 C 必以 T 为周期 D （分数：4.00）A.B.C.D.
2、4.设 S 为球面 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 (常数 R0)的上半部分，方向为上侧则下述对坐标的曲面积分(即第二型曲面积分)不为零的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设三阶行列式 （分数：4.00）A.3B.4C.5D.66.已知 （分数：4.00）A.(2，1，3)B.(1，2-3，3-1)C.(31，2+3，2-3)D.(22，33，1)7.在正态总体的假设检验中，显著性水平为 ，则下列结论正确的是_（分数：4.00）A.若在 =0.1 下接受 H0，则在 =0.05 下必接受 H0B.若在 =0.1 下接受 H0，则在 =0.05 下必拒绝 H0C.
3、若在 =0.1 下拒绝 H0，则在 =0.05 下必接受 H0D.若在 =0.1 下拒绝 H0，则在 =0.05 下必拒绝 H08.设 XP()，其中 0 是未知参数，x 1 ，x 2 ，x n 是总体 X 的一组样本值，则 PX=0的最大似然估计值为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 n 为正整数，则 （分数：4.00）10.设 f(x)在区间a，+)上存在二阶导数，且 其中 a，b 均为常数，则 （分数：4.00）11.设 l 为圆周 一周，则空间第一型曲线积分 （分数：4.00）12.设 S 为球面 x 2 +y 2 +
4、z 2 =R 2 被锥面 截下的小的那部分，并设其中 A，B，R 均为正常数且AB，则第一型曲面积分 （分数：4.00）13.设 （分数：4.00）14.设 Y 2 (200)，则由中心极限定理得 PY200近似等于 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设当 x-1，1时 f(x)连续， （分数：10.00）(1).若 f(x)为偶函数，证明：F(x)也是偶函数；（分数：5.00）_(2).若 f(x)0(当-1x1)，证明：曲线 y=F(x)在区间-1，1上是凹的（分数：5.00）_15.设 0xy，a0，b0证明： （分数：10.00）_设 （分数：10.00）
5、(1).； （分数：5.00）_(2).级数 （分数：5.00）_设 f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且平面第二型曲线积分 （分数：10.00）(1).求 f(x)；（分数：5.00）_(2).求 （分数：5.00）_16.设平面区域 D 用极坐标表示为 求二重积分 （分数：10.00）_17.设方程组 （分数：11.00）_(1).A 是 n 阶实对称阵 1 ， 2 ， n 是 A 的特征值， 1 ， 2 ， n 是 A 的分别对应于 1 ， 2 ， n 的标准正交特征向量证明：A 可表示成 n 个秩为 1 的实对称矩阵的和（分数：5.50）_(2).设 （分数：5.50）_设随机变
6、量 T 为-1，3上的均匀分布，令 （分数：11.01）(1).(X，Y)的联合分布律；（分数：3.67）_(2).PY=0|X=1；（分数：3.67）_(3).方差 D(X-Y)（分数：3.67）_18.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2n (n2)是 X 的简单随机样本，且 及统计量 ()统计量 Y 是否为 2 的无偏估计? ()=0 时，试求 （分数：11.00）_考研数学一-411 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设当|x|1 时 展开成收敛于它自身的幂级数 f(x)= （分数：4.00）A.an+2=an+1+
7、anB.an+3=anC.an+4=an+2+anD.an+6=an 解析：解析 由 ，得 f(0)=1，再由 f(x)(x 2 -x+1)=x+1， (*) 两边对 x 求一阶导数，得 f“(x)(x 2 -x+1)+f“(x)(2x-1)=1 将 x=0 代入，得 f“(0)-f(0)=1，f“(0)=f(0)+1=2 将(*)式两边对 x 求 n 阶导数，n2，有 以 x=0 代入，得 即 f (n) (0)=nf (n-1) (0)-n(n-1)f (n-2) (0)，n=2，3， 又因为 所以有 2.当 x0 时，下列 3 个无穷小 （分数：4.00）A.，B.，C.，D.， 解析：
8、解析 所以当 x0 时， 所以当 x0 时， 对于 ，用带有佩亚诺余项的泰勒展开式展开最方便 所以当 x0 时， 3.设 f(x)是以 T 为周期的连续函数(若下式中用到 f“(x)，则设 f“(x)存在)，则以下结论中不正确的是_ Af“(x)必以 T 为周期 B 必以 T 为周期 C 必以 T 为周期 D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 B 的反例：f(x)=sin 2 x，以 为周期，但 不是周期函数，B 不正确，选 B 事实上，设 f(x)有周期 T，则 有周期 T 的充要条件是 证明如下： 令 有 可见 F(x+T)F(x)的充要条件是 证毕 以下说明 A，C，D 均
9、正确 由 f(x+T)=f(x)及 f(x)可导，有 f“(x+T)=f“(x)所以 f“(x)有周期 T，A 正确C 中的被积函数是 t 的周期函数，由以上证明， 以 T 为周期的充要条件是 而该积分中的被积函数 f(t)-f(-t)是 t 的奇函数， 成立，所以 C 正确 D 中令 有 4.设 S 为球面 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 (常数 R0)的上半部分，方向为上侧则下述对坐标的曲面积分(即第二型曲面积分)不为零的是_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 以 S 1 表示 S 的前半个，S 2 表示 S 的后半个在前半个 S 1 上， 其法向量与
10、x 轴正向夹角 在后半个 S 2 上， ，其法向量与 x 轴正向夹角 因此 5.设三阶行列式 （分数：4.00）A.3B.4 C.5D.6解析：解析 由 3 阶行列式的定义： 共 6 项每项均是三个不同行、不同列的三个元素乘积，且有三项取正号，三项取负号，由题设 a ij =1或-1，故|A|6 但|A|6若|A|=6，则正的三项中三个元素全取 1 或取 1 个 1，两个-1，总的-1 的个数为偶数个负的三项中三个元素取 1 个或 3 个-1，三项中总的-1 的个数为奇数，又正三项，负三项各自遍历了 9 个元素，和三个正项中-1 的个数矛盾，故|A|5 同样有|A|5若|A|=5，|A|的六项
11、中总有一项的值为-1，此时|A|4 而 6.已知 （分数：4.00）A.(2，1，3)B.(1，2-3，3-1)C.(31，2+3，2-3) D.(22，33，1)解析：解析 1 是 A 的属于 1 =1 的特征向量3 1 仍是 A 的属于 =-1 的特征向量 2 ， 3 是 A 的属于 2 =-1 的线性无关特征向量，故 2 + 3 0， 2 - 3 0 仍是 A 的属于 2 =-1的线性无关的特征向量根据 P 中的特征向量排列次序和 A 阵的 的排列次序一致的要求故应选 C A，B，D 均是错误的请读者说明理由7.在正态总体的假设检验中，显著性水平为 ，则下列结论正确的是_（分数：4.00
12、）A.若在 =0.1 下接受 H0，则在 =0.05 下必接受 H0 B.若在 =0.1 下接受 H0，则在 =0.05 下必拒绝 H0C.若在 =0.1 下拒绝 H0，则在 =0.05 下必接受 H0D.若在 =0.1 下拒绝 H0，则在 =0.05 下必拒绝 H0解析：解析 由于在显著性水平 =0.1 下的拒绝域 W 0.1 和在显著性水平 =0.05 下的拒绝域 W 0.05 的关系为 8.设 XP()，其中 0 是未知参数，x 1 ，x 2 ，x n 是总体 X 的一组样本值，则 PX=0的最大似然估计值为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设 XP()
13、，则 从而 PX=0=e - 先求 的最大似然估计值的一般形式对于样本值 x 1 ，x 2 ，x n ，似然函数为 两边取自然对数得 令 ，解得 的最大似然估计值 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 n 为正整数，则 （分数：4.00）解析： 解析 所以 10.设 f(x)在区间a，+)上存在二阶导数，且 其中 a，b 均为常数，则 （分数：4.00）解析：0 解析 取常数 h0，在区间x，x+h上用泰勒公式： 于是有 令 x+有 +，并且由已知 ，有 11.设 l 为圆周 一周，则空间第一型曲线积分 （分数：4.00）解析： 解析 由轮换对称性知， ，所以 而 为 l 的全长，
14、l 是平面 x+y+z=a 上的圆周，点 O 到此平面的距离为 ，所以 l 的半径为 所以 12.设 S 为球面 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 被锥面 截下的小的那部分，并设其中 A，B，R 均为正常数且AB，则第一型曲面积分 （分数：4.00）解析： 解析 球面与锥面的交线在 xOy 平面上的投影曲线的方程为(A+1)x 2 +(B+1)y 2 =R 2 ，则相应的投影区域为 D=(x，y)|(A+1)x 2 +(B+1)y 2 R 2 球面方程(上部)为 由于 D 是个椭圆，故 ，所以 13.设 （分数：4.00）解析： ，其中 k 1 ，k 2 是任意常数 解析 设 即解方程组
15、两个方程一起求解对增广矩阵作初等行变换 得 有解 有解 故 14.设 Y 2 (200)，则由中心极限定理得 PY200近似等于 1 （分数：4.00）解析： 解析 由 Y 2 (200)知，Y 可表示为 ，其中 X 1 ，X 2 ，X 200 相互独立且均服从 N(0，1)进而知 由中心极限定理知 N(200，400)，所以 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设当 x-1，1时 f(x)连续， （分数：10.00）(1).若 f(x)为偶函数，证明：F(x)也是偶函数；（分数：5.00）_正确答案：()解析：证 设 f(x)为连续的偶函数，则 (2).若 f(x)0(当-1x1)，证
16、明：曲线 y=F(x)在区间-1，1上是凹的（分数：5.00）_正确答案：()解析：证 15.设 0xy，a0，b0证明： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 若 a=b，则欲证之式成为当 0xy 时， 此式显然是正确的若 ab，将欲证的不等式两边同时提出因子 a，于是成为要证 即要去证明：当 0xy 时， 令 即要去证明：在区间(0，+)上 f(x)为严格单调减函数采用求导的方法，有 设 （分数：10.00）(1).； （分数：5.00）_正确答案：()解析：证 因为 时，0tanx1，且仅在两处 x=0 与 等号成立，所以 又 又因 a n a n+2 ，所以 2a n a n
17、+a n+2 ，从而 因 2a n+2 a n +a n+2 ，从而 ，于是 (2).级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证 由上一小题有 ，所以 发散又 a n+1 a n ，并由已证 知 所以由莱布尼茨定理知 收敛，所以 设 f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且平面第二型曲线积分 （分数：10.00）(1).求 f(x)；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 按通常的记号，令 P(x，y)=xy(1+y)-f(x)y，Q(x，y)=f(x)+x 2 y 由题设知 P(x，y)与 Q(x，y)在全平面存在连续的一阶偏导数全平面是个单连通区域曲线积分与 路径无关的充要条件
18、是处处有 (2).求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由上一小题可知所给曲线积分为 以下有多个方法 法一 凑微分法找原函数 所以可取原函数 ，于是 法二 折线法取如下路径：(1，1)(x，1)(x，y)， 法三 参数式法取起点为(1，1)终点为(a，b)的参数方程 当 t=0 时，(x，y)=(1，1)；当 t=1 时，(x，y)=(a，b) 于是可将曲线积分化成从 t=0 到 t=1 的定积分： 16.设平面区域 D 用极坐标表示为 求二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 区域 D 如图阴影部分，为清楚起见，4 个圆只画出有关的 4 个半圆 D 关于直线 y=x
19、 对称，交点 A，B，C 的极坐标分别为 17.设方程组 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 设方程组 ()当 即 a-70，a-10，a1 且 a7 时方程有唯一解 ()当 a=1，b2 时或 a=7，b8 时均有 无解 ()当 即 a=1，b=2 时有 有无穷多解 通解为 k 1 为任意常数 当 a=7，b=8 时 有无穷多解 通解为 k 2 (1).A 是 n 阶实对称阵 1 ， 2 ， n 是 A 的特征值， 1 ， 2 ， n 是 A 的分别对应于 1 ， 2 ， n 的标准正交特征向量证明：A 可表示成 n 个秩为 1 的实对称矩阵的和（分数：5.50）_正确答案：()解
20、析：解 令 Q=( 1 ， 2 ， n )，则 Q 是标准正交阵且 其中 均有 且 (2).设 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 A 有特征值 1 =-4， 2 =2， 3 =5 当 =-4 时， ，得 当 =2 时， ，得 当 =5 时， ，得 故 设随机变量 T 为-1，3上的均匀分布，令 （分数：11.01）(1).(X，Y)的联合分布律；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 X 与 Y 都只可能取 0，1 则(X，Y)的联合分布律为 (2).PY=0|X=1；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由(X，Y)的联合分布律得到边缘分布律 故 (3).方差 D(X-Y
21、)（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 18.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2n (n2)是 X 的简单随机样本，且 及统计量 ()统计量 Y 是否为 2 的无偏估计? ()=0 时，试求 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由 X 1 ，X 2n (n2)是 X 的简单随机样本，则 X 1 +X n+1 ，X 2 +X n+2 ，X n +X 2n 也独立 ()X i +X n+i (i=1，2，n)为 N(2，2 2 )的简单随机样本，可知其样本均值为 ，样本方差为 由于 E(S 2 )=2 2 ，所以 ，即 EY=2(n-1) 2 ，故 Y 不是 2 的无偏估计 ()在 =0 时，X i +X n+i N(0，2 2 )，i=1，2，n， 则 进一步 ，即 可得 ，所以
