1、考研数学一-411 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，其分布函数为 F(x)，随机变量 Y=F(X)，则 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设随机变量 X1，X 9相互独立分布，E(X i)=1，D(X i)=1，i=1，9令 S9= Xi，则对任意0，从切比雪夫不等式直接可得（分数：4.00）A.B.C.D.3.若 的收敛域是(-8，8，则 的收敛半径及 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 Mi(xi，y i)(i=1，2，n)为 xOy 面上 n 个不同的点，令 （
2、分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 A，B 是 n 阶矩阵，且 AB，则下列命题中正确的命题有( )个()当|A|0 时，ABBA； ()A 2B 2；()当 B-1存在时，A -1B -1； ()A TB T（分数：4.00）A.4B.3C.2D.16.设 ， ，n=1，2，则下列命题正确的是（分数：4.00）A.B.C.D.7.由 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 F(x)是 f(x)的原函数，且 f(x)是偶函数，则（分数：4.00）A.F(x)一定是奇函数B.F(x)一定是偶函数C.F(x)一定是既非奇函数，又非偶函数D.只有当 F(x)=二、填空题(总题数：6，分数：2
3、4.00)9.函数 y=f(x)在点(1，0)处有y=x+o(x)，则极限 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x，y)为连续函数，且 f(x，y)=x （分数：4.00）_11.设 ，则向量场 grad u 通过球面： （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(x)在(-，+)内连续，且 （分数：4.00）填空项 1:_13.若三维列向量 ， 满足 T=2，则矩阵 T的特征值为_（分数：4.00）填空项 1:_14.设某仪器有 3 只独立工作的同型号电子元件，其使用寿命 X(单位：小时)均服从同一指数分布（分数：4.00）_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数
4、 f(x，y)可微，且 ， ， （分数：10.00）_16.试求 （分数：10.00）_17.设半径为 R 的半圆形薄片的直径上接上一个边与直径重合的同材质矩形薄片，设薄片的面密度为 1，要使新形成的物体重心在圆心，问接上的矩形的另一边长 h 为多少?（分数：10.00）_18.设 f(x)在(-，+)内具有一阶连续导数，L 是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b)，终点为(c，d)，记 （分数：10.00）_19.设 f(0)=0，0f(x)1，比较 与 （分数：10.00）_20.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 0，1，1，a 1，a 2是 A 的两个不同的特征向量，且 A(
5、1+ 2)= 2(1)证明： （分数：11.00）_21.已知方程 x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4 可经正交线性变换(x，y，z) T=Q(x，y，z) T化为方程y 2+4z 2=4，求 a，b 的值和正交矩阵 Q（分数：11.00）_22.设随机变量 X1，X 2，X 3相互独立且都服从参数为 p 的 01 分布，已知矩阵 为正定矩阵的概率为求：(1)参数 p 的值；(2)随机变量 （分数：11.00）_23.设总体 X 服从参数为 (0)的指数分布，又设 X1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本，令 （分数：11.00）_考研数学一-411 (1)答案解析(总
6、分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，其分布函数为 F(x)，随机变量 Y=F(X)，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 利用正态分布的有关性质解题详解 由已知，F(x)是严格单调增甬数，且*，所以*即其值与参数 和 均无关，故选(D)评注 服从正态分布的随机变量的分布函数是严格单调增函数2.设随机变量 X1，X 9相互独立分布，E(X i)=1，D(X i)=1，i=1，9令 S9= Xi，则对任意0，从切比雪夫不等式直接可得（分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 因为 E(S
7、9)=9，D(S 9)=9，由切比雪夫不等式有*而*，*，由切比雪夫不等式*所以选(B)3.若 的收敛域是(-8，8，则 的收敛半径及 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 由*的收敛域是(-8，8可知，幂级数*的收敛半径是 8，从而幂级数*的收敛半径也是 8，又因幂级数*是幂级数*两次逐项求积分所得，由幂级数和函数的性质可得，幂级数*的收敛半径也是 8幂级数*的收敛域-8x 38 即-2x2，故选(A)评注 应掌握幂级数收敛性的如下特点：幂级数*与逐项求导，逐项求积分后的幂级数*有相同的收敛半径本题还考查间接求幂级数收敛域的方法4.设 Mi(xi，y i)(i=1，2，n)为 xO
8、y 面上 n 个不同的点，令 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 n 个不同的点共线即为任意三个点均共线所以先考虑三个点共线的情形详解 设任意三个不同点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，它们共线的充要条件是以它们为顶点的三角形面积为零，即*，即矩阵*的秩小于 3又它们为三个不同点，所以，向量(x 1，y 1，1)与(x 2，y 2，1)线性无关，因此，矩阵*的秩为 2所以，秩(A)=2，故选(B)评注 本题将几何与代数问题结合起来5.已知 A，B 是 n 阶矩阵，且 AB，则下列命题中正确的命题有( )个()当|A|0 时，ABBA； ()A 2B 2；
9、()当 B-1存在时，A -1B -1； ()A TB T（分数：4.00）A.4 B.3C.2D.1解析：分析 AB*存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B详解 ()|A|0，A -1存在A -1(AB)A=BA，所以()正确；()P -1AP=B，B 2=(P-1AP)(P-1AP)=P-1A2P，所以()正确；()P -1AP=B，B -1=(P-1AP)=P-1A-1P，所以()正确；()P -1AP=B，B T=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=PTAT(PT)-1，所以(IV)正确所以(A)为答案评注 该题考查了：可逆、相似、转置的定义及运算法则6.设 ， ，n=1，2，则下列
10、命题正确的是（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 *若有*，当两级数收敛时，有*详解 p n+qn=an，p n-qn=|an|，当*收敛时，*收敛，所以*，*都收敛所以*收敛*收敛，(B)为答案评注 对于两个级数*，考察*的收敛性时，有：1敛+敛=敛2敛+散=散3散+散=不确定7.由 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由*的符号即可判断曲线的单调性与凹向详解 当*时，x(0，1) *故选(B)评注 本题属于基本题型，只是函数以参数方程形式出现8.设 F(x)是 f(x)的原函数，且 f(x)是偶函数，则（分数：4.00）A.F(x)一定是奇函数B.F(x)一定是偶函数
11、C.F(x)一定是既非奇函数，又非偶函数D.只有当 F(x)= 解析：分析 F(x)=*f(t)dt+C，应注意常数 C 是偶函数详解 F(x)=*f(t)dt+C，当 f(x)是偶函数时，*f(t)dt 是奇函数，常数 C 是偶函数因此当 C0 时，F(x)是非奇非偶函数，当 C=0 时，F(x)是奇函数，故(D)为答案二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 y=f(x)在点(1，0)处有y=x+o(x)，则极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 首先由微分的定义得 f(1)=1，再利用洛必达法则与导数定义求极限详解 由已知得函数 f(x)在 x=1
12、处可微，且 f(1)=1，所以*评注 利用导数定义求含抽象函数的极限是常见的题型，本题以微分定义的形式给出导数10.设 f(x，y)为连续函数，且 f(x，y)=x （分数：4.00）_解析：详解 在给定积分区域后，二重积分是常量，可设为 A，于是 f(x，y)=Ax+y 2，从而有等式*因此 *评注 当积分区域有对称性，被积函数有相应的奇偶性时，要利用它简化积分的计算对于二重积分有如下结论：设平面区域 D 关于 y 轴对称，f(x，y)在 D 上可积，则*其中 D 1=Dx0若平面上区域 D 关于 x 轴对称，f(x，y)在 D 可积，则*其中 D 1=Dy011.设 ，则向量场 grad
13、u 通过球面： （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-4）解析：分析 根据曲面积分的意义，所求通量为*gradudS，再求该积分即可详解 由 gradu=*得通量为*对于积分*有*，当(x,y,z)(0,0,0)时此时不能直接利用高斯公式作曲面 *：x 2+y2+z2= 2，取外侧，其中 0，并足够地小使曲面 *在的内部，则有*因此，所求通量为-4评注 利用高斯公式计算曲面积分时要注意条件，并掌握以下结论：设 G 是单连通区域，P、Q、R 在 G内除点 M 外具有一阶连续偏导数且有*则对于 G 内的包含点 M 的任意两张同向光滑闭曲面 1和 2，有*12.设 f(x)在(-，+)内连
14、续，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：F(1，1)-F(0，0)）解析：分析 *详解 *所以*所以*评注 若存在 u(x，y)使 du=P(x，y)dx+Q(x，y)dy，则*，其中 A 为曲线 L 的始点，B 为终点13.若三维列向量 ， 满足 T=2，则矩阵 T的特征值为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2，0，0）解析：分析 对于 n 维列向量 ， T为矩阵， T 为数值详解 T=2，设 A= T，则 A2=( T)( T)=( T) T=2 T=2A设 是 A 的特征值，则 2=2，所以 =2，=0因为 r(A)=1，所以 Ax=0 的基础解系解向量个数为
15、 2，所以 =0 为二重特征根，所以 1=2， 2=0， 3=0评注 设 ， 为 n 维列向量，=( 1， 2， n)T，=(b 1，b 2，b n)T，若 A= T用同样方法可得 A 的特征值为： 1=a1b1+a2b2+anbn， 2= n=014.设某仪器有 3 只独立工作的同型号电子元件，其使用寿命 X(单位：小时)均服从同一指数分布（分数：4.00）_解析：分析 设事件 A=X200，p=pX200，Y 为在使用的最初 200 小时内电子元件损坏的个数，即事件 A 发生的次数，则 YB(3，p)则所求概率为*详解 设事件 A=X200三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设
16、函数 f(x，y)可微，且 ， ， （分数：10.00）_正确答案：(详解 因为 f(x，y)可微，所以偏导数存在，由偏导数定义得*即*，两边对 y 积分得 lnf(0，y)=lnsiny+lnC，即 f(0，y)=Csiny，又*，得 f(0，y)=siny由*，得*，两边对 x 积分，得 lnf(x，y)=-x+InC(y)，即 f(x，y)=C(y)e -x，代入 f(0，y)=siny，得 C(y)=siny，所以，f(x，y)=e -xsiny)解析：分析 首先利用偏导数定义及 1 型极限得到偏导数方程，再通过积分得到函数评注 本题属于已知关于偏导数的方程，通过积分求函数其中综合了偏
17、导数定义以及 1 型极限的求解技巧16.试求 （分数：10.00）_正确答案：(详解 令*收敛半径：*当 x=1 时，级数发散，收敛域为(-1，1)*所以 *)解析：分析 本题实质上是求级数*的和，所以可以先求*的和函数，然后代入*评注 用幂级数求数项级数的和是常用的方法该题综合了幂级数收敛半径、收敛域、逐项积分、逐项求导等概念与方法17.设半径为 R 的半圆形薄片的直径上接上一个边与直径重合的同材质矩形薄片，设薄片的面密度为 1，要使新形成的物体重心在圆心，问接上的矩形的另一边长 h 为多少?（分数：10.00）_正确答案：(详解 按题意正确选择坐标系如图，设矩形的边长为 2R 和 h*又设
18、重心坐标为*，则由对称性知*，按题意知*，所以*所以*，所以*)解析：分析 做应用题，正确选择坐标系是关键评注 这题是关于二重积分的应用题，类似的，可将圆换成半球，将矩形换成圆柱，若重心在原点，可计算圆柱的高当密度为 1 时，重心即是形心因此将重心换成形心时，计算方法相同18.设 f(x)在(-，+)内具有一阶连续导数，L 是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b)，终点为(c，d)，记 （分数：10.00）_正确答案：(详解 (1)*所以曲线积分与路径无关(2)*所以*)解析：分析 曲线积分与路径无关*评注 计算积分值可取 L 为(a，b)(c，b)(c，d)路径，希望读者自己完成1
19、9.设 f(0)=0，0f(x)1，比较 与 （分数：10.00）_正确答案：(详解 令*，则 F(0)=0*因为 f(0)=0，0f(x)1，所以 f(x)f(0)=0再令*，则 G(0)=0G(x)=2f(x)-2f(x)f(x)=2f(x)(1-f(x)0，G(x)单增，当 x0 时 G(x)0，F(x)0，F(x)0(x0)即*)解析：分析 构造辅助函数*用单调性进行证明评注 对于常数不等式或定积分不等武，经常将某常数改成 x(本题中将 1 改成 x)，然后用单调性进行证明20.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 0，1，1，a 1，a 2是 A 的两个不同的特征向量，且 A( 1+ 2
20、)= 2(1)证明： （分数：11.00）_正确答案：(详解 如果 1与 2都是 A 的属于特征值 0 的特征向量，则 A( 1+ 2)=A 1+A 2=0，与 A( 1+ 2)= 20 相矛盾同理，如果 1与 2都是 A 的属于特征值 1 的特征向量，也会出现矛盾如果 1是 A 的属于特征值 1 的特征向量， 2是 A 的属于特征值 0 的特征向量，则有 A( 1+ 2)=A 1+A 2= 1与 A( 1+ 2)= 2相矛盾所以， 1是 A 的属于特征值 0 的特征向量， 2是 A 的属于特征值 1 的特征向量(1)因为 A 是对称矩阵，所以，不同特征值所对应的特征向量必正交，有*(2)因为
21、 A 是对称矩阵，所以存在可逆阵 P，使*因为矩阵*的秩为 2，故 A 的秩为 2，所以，齐次方程组 Ax=0 的基础解系包含一个解向量又 A 1=0，A 2= 2，所以 1是齐次方程组 Ax=0 的基础解系， 2是方程组 Ax= 2的一个特解，所以方程组 Ax= 2的通解为 k 1+ 2)解析：分析 首先，由特征值与特征向量的定义及 A( 1+ 2)= 2，可得 1是 A 的属于特征值 0 的特征向量， 2是 A 的属于特征值 1 的特征向量其次，利用对称矩阵的性质及线性方程组的解的结构即可得到结论评注 对于抽象的矩阵，经常利用定义与性质讨论其特征值与特征向量问题对于抽象的线性方程组，经常利
22、用线性方程组解的性质与结构定理讨论解的问题21.已知方程 x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4 可经正交线性变换(x，y，z) T=Q(x，y，z) T化为方程y 2+4z 2=4，求 a，b 的值和正交矩阵 Q（分数：11.00）_正确答案：(详解 由已知，二次型 f=x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz 的矩阵*与对角矩阵*相似，所以，r(A)=r(A)，|A|=|A|，得 a=3，b=1，且矩阵 A 的特征值为 0，1，4对于特征值 0，可求得 A 的相应单位特征向量*对于特衙值 1，可求得 A 的相应单位特征向量*对于特征值 4，可求得 A 的相应单位特征向量*因此，所求正交矩阵为*)解析：分析 将二次型的变换转化为相应的矩阵的变换评注 该题属于基本题型22.设随机变量 X1，X 2，X 3相互独立且都服从参数为 p 的 01 分布，已知矩阵 为正定矩阵的概率为求：(1)参数 p 的值；(2)随机变量 （分数：11.00）_解析：23.设总体 X 服从参数为 (0)的指数分布，又设 X1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本，令 （分数：11.00）_正确答案：(详解 *)解析：分析 由总体密度计算出*的密度，然后再计算 EZ评注 极大分布与极小分布(即*的分布)是常考内容，应熟练掌握计算方法
