1、考研数学一-410 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.三个非零向量 a，b 与 c，则 ab+bc+ca=0 是 a，b，c 共面的_（分数：4.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件2.设 ，则 （分数：4.00）A.2B.4C.6D.83.设常数 a1，函数 （分数：4.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导，f“(0)=D.可导，f“(0)=04.空间 n 个点 P i (x i ，y i ，z i )，i=1，2，n，n4矩阵 （分数：4.00）A.r=1B.r=2C.r=3
2、D.1r35.二次型 的规范形是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.AB，CDB.AD，BCC.AC，BDD.A，B，C，D 中没有相似矩阵7.设 X 的密度函数为 f(x)， ，且 X，Y 相互独立，则 的概率密度为_ Af(x) Bf(-z) C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 XN(0， 2 )( 2 已知)，X 1 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，S 2 为样本方差，则下列正确的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 f“(x)=arctan(
3、x-1) 2 ，f(0)=0，则 （分数：4.00）10.设 f(u)有连续的一阶导数，S 是曲面 z=6+x 2 +y 2 (6z7)，方向取上侧则曲面积分 （分数：4.00）11.椭圆 （分数：4.00）12.设 ，则 （分数：4.00）13.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，a，b，c 是实数，已知 则 （分数：4.00）14.设 X 的分布函数为 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 b 为常数，并设介于曲线 （分数：10.00）_16.求 y“+y“-2y=mine x ，1的通解 （分数：10.00）_17.设有向曲面 S 为锥面 的下侧，
4、且介于 z=1 与 z=4 之间，f(x，y，z)为连续函数，求第二型曲面积分 （分数：10.00）_18.在区间 上设 f(x)=minx，ln1+(e-1)x， 求 （分数：10.00）_(1).求幂级数 （分数：5.00）_(2).求数项级数 （分数：5.00）_已知 1 ， 2 及 1 ， 2 均是 3 维线性无关向量组（分数：11.00）(1).若 不能由 1 ， 2 线性表出，证明 1 ， 2 ， 线性无关（分数：5.50）_(2).证明存在三维向量 ， 不能由 1 ， 2 线性表出，也不能由 1 ， 2 线性表出（分数：5.50）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )=X
5、 T AX，且|A|0（分数：11.00）(1).证明：存在 n 维向量 0 ，使得 （分数：5.50）_(2).设 求 0 ，使得 （分数：5.50）_设 X 1 P( 1 )，X 2 P( 2 )，且 X 1 与 X 2 相互独立（分数：11.00）(1).证明：X 1 +X 2 的分布为 P( 1 + 2 )；（分数：5.50）_(2).求在 X 1 +X 2 =n(n1)的条件下，X 1 的条件分布（分数：5.50）_设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，已知方差 DX=1，而随机变量 Y 的密度函数为 f(-y)，且 X 与 Y 的相关系数为 （分数：11.00）(1).求 EZ，
6、DZ；（分数：5.50）_(2).用切比雪夫不等式估计 P|Z|2（分数：5.50）_考研数学一-410 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.三个非零向量 a，b 与 c，则 ab+bc+ca=0 是 a，b，c 共面的_（分数：4.00）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件解析：解析 设 ab+bc+ca=0，即 ab=-bc-ca，于是(ab)c=-(bc)c-(ca)c，混合积中有两向量相同，则该混合积为零，所以(ab)c=0于是 a，b，c 共面 反之，设 a，b，c 共面，例如取
7、a=i，b=j，c=i+j，显然它们共面，而 ab+bc+ca=ij+j(i+j)+(i+j)i=k-k-k=-k0 所以条件不必要2.设 ，则 （分数：4.00）A.2B.4C.6 D.8解析：解析 所以 3.设常数 a1，函数 （分数：4.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导，f“(0)=D.可导，f“(0)=0 解析：解析 考虑 x0 处，由于 1，有 当 时， ，所以 x0 - 时， 又 f(0)=0所以 f(x)在 x=0 处连续，不选 A再看 f“(0)是否存在，等于多少? 而当 时， 令 x0 - ，由于 a1，再由夹逼定理得 4.空间 n 个点 P i (x i ，y i
8、，z i )，i=1，2，n，n4矩阵 （分数：4.00）A.r=1B.r=2C.r=3D.1r3 解析：解析 先举例说明为什么不选 A，B，C例子如下：取点 P 1 (1，1，1)，P 2 (2，2，2)，P 3 (3，3，3)，P 4 (4，4，4)此 4 点在一条直线上，显然共面矩阵 的秩为 2，所以不选 A，C又如 共面(共面方程 x+y+z=1)，矩阵 的秩为 3，不选 A，B以下证明 D 是正确的证明如下： 设这 n 个点共面，则其中任取 4 个点，例如 P 1 ，P 2 ，P 3 与 P 4 也必共面于是 5.二次型 的规范形是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D
9、. 解析：解析 法一 用配方法化规范形 f 的正惯性指数为 1，负惯性指数为 0，故选 D 法二 用正交变换化规范形f 的对应矩阵 6.设 （分数：4.00）A.AB，CDB.AD，BC C.AC，BDD.A，B，C，D 中没有相似矩阵解析：解析 观察矩阵 A，B，C，D 知，有 r(A)=r(B)=r(C)=r(D)=1，故 A，B，C，D 均有特征值 =0，且因 r(0E-A)=r(0E-B)=r(0E-C)=r(0E-D)=1，均对应有两个线性无关特征向量(=0 至少是二重特征值)，另一个特征值为 由于 A，B，C，D 均可相似对角化，且 A 的特征值与 D 的特征值相同，B 的特征值与
10、 C 的特征值相同，故 7.设 X 的密度函数为 f(x)， ，且 X，Y 相互独立，则 的概率密度为_ Af(x) Bf(-z) C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设 X 的分布函数为 F(x)，由 X，Y 相互独立，则 Z 的分布函数为 所以 Z 的概率密度函数为 8.设总体 XN(0， 2 )( 2 已知)，X 1 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，S 2 为样本方差，则下列正确的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 XN(0， 2 )，有 A 不正确，因为 ，则 B 不正确，因为 ，又 与 S 2 独立，则 C 正确，因
11、为 ，则 又 与 S 2 独立，则由 2 分布的可加性知 D 不正确，因为 ，所以 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 f“(x)=arctan(x-1) 2 ，f(0)=0，则 （分数：4.00）解析： 解析 10.设 f(u)有连续的一阶导数，S 是曲面 z=6+x 2 +y 2 (6z7)，方向取上侧则曲面积分 （分数：4.00）解析：0 解析 添平面 S 1 ：z=7(x 2 +y 2 1)，向下， 11.椭圆 （分数：4.00）解析： 解析 令 x=4sint， 12.设 ，则 （分数：4.00）解析： 解析 而 另一方面， 由夹逼定理， 13.设 A 是 n 阶矩阵
12、， 是 n 维列向量，a，b，c 是实数，已知 则 （分数：4.00）解析：(c-b)a解析 14.设 X 的分布函数为 （分数：4.00）解析：3 解析 由 得 c=1由 得 1=2-b，故 b=1，再由 F(a + )=F(a)得 a 2 -1=0，解得 a=1 或 a=-1 但当 a=-1 时， 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 b 为常数，并设介于曲线 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 先求 的斜渐近线 介于曲线 与它的斜渐近线 y=x-1 之间的从 x=1 延伸到 x+的图形的面积为 显然 h(x)在(1，+)上无奇点，又 b 为常数，故 x 足够大时，
13、h(x)恒为正或恒为负，所以 A 与 的敛散性相同而 如果 b-1 时，那么无论 b-1 还是 b-1，都有 16.求 y“+y“-2y=mine x ，1的通解 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 将 y“+y“-2y=mine x ，1的右边写成分段表达式： 分别解之对于 y“+y“-2y=e x ，特征方程为 r 2 +r-2=(r+2)(r-1)，对应的齐次微分方程的通解为 Y=C 1 e -2x +C 2 e x 令非齐次微分方程的一个特解为 y*=Axe x ，由待定系数法可求得 故相应非齐次微分方程的通解为 对于 y“+y“=2y=1，容易求得通解为 为使所得到的解在
14、x=0 处连续且一阶导数连续，则 C 1 ，C 2 ，C 3 ，C 4 之间应满足 解得 ，从而得原方程的通解为 17.设有向曲面 S 为锥面 的下侧，且介于 z=1 与 z=4 之间，f(x，y，z)为连续函数，求第二型曲面积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 S 下侧的单位法向量记为 n=(cos，cos，cos) 所给曲面可写为 x 2 +y 2 -z 2 =0， n=(2x，2y，-2z)， 从而 由于 所以 18.在区间 上设 f(x)=minx，ln1+(e-1)x， 求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 令 易见 (0)=0，(1)=0是否还有其他的 x
15、 使 (x)=0，为此考虑在区间 内 (x)是否还会变号 在区间 由于分母 1+(e-1)x0，分子(e-1)x-(e-2)0，所以在区间 又因 (0)=0，所以在区间 上，(x)0(x)在该区间内无零点 再考虑在区间(0，1)上，“(x)同上，仍有分母大于零令 “(x)的分子为零，得 (x)的驻点 易见 0x 0 1在区间(0，x 0 )上 “(x)0，又因 (0)=0，所以在区间(0，x 0 )上 (x)0在区间(x 0 ，1)上，“(x)0，(1)=0，所以在区间(x 0 ，1)上 (x)0 再考虑在区间(1，+)上，仍有分母大于零，分子 1+(e-1)x-(e-1)=(e-1)(x-1
16、)+10， 所以在区间(1，+)上 “(x)0又因 (1)=0，所以当 x(1，+)时 (x)0总结以上，有 从而知 再考虑积分 由分部积分： 在交界点 x=0 与 x=1 处分别连续，于是有 最后得 (1).求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 令 u=x 2 ，化为“的幂级数 易知 所以收敛半径 R=1，收敛区间为(-1，1)回到原给幂级数，收敛半径也是 1，收敛区间也是(-1，1) 当 x=1 时，易知原幂级数收敛，所以收敛域为-1，1 在收敛域1，1上，令其和函数为 在区间(-1，1)内，令 最后，当 x(-1，1)时， (2).求数项级数 （分数：5.00）_正确答案
17、：()解析：解 由于幂级数的和函数 S(x)在其收敛域上为连续函数，所以由上一小题得到的 S(x)的表达式，有 即 已知 1 ， 2 及 1 ， 2 均是 3 维线性无关向量组（分数：11.00）(1).若 不能由 1 ， 2 线性表出，证明 1 ， 2 ， 线性无关（分数：5.50）_正确答案：()解析：证 设有数 k 1 ，k 2 ，k 3 ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k 3 =0， 其中 k 3 =0(若 k 3 0，则 (2).证明存在三维向量 ， 不能由 1 ， 2 线性表出，也不能由 1 ， 2 线性表出（分数：5.50）_正确答案：()解析：证 1 ， 2 是 2 个 3
18、 维向量，不可能表出所有 3 维向量， 1 ， 2 也一样若 不能由 1 ， 2 线性表出，也不能由 1 ， 2 线性表出，则 即为所求 现设 1 不能由 1 ， 2 线性表出，但可由 1 ， 2 线性表出，设为 1 =x 1 1 +x 2 2 ； 设 2 不能由 1 ， 2 表出，但可由 1 ， 2 线性表出，设 2 =y 1 1 +y 2 2 ， 则向量 = 1 + 2 既不能由 1 ， 2 线性表出，也不能由 1 ， 2 线性表出，向量 即为所求 因若 = 1 + 2 =k 1 1 +k 2 2 ， 则 1 =- 2 =(k 1 -y 1 ) 1 +(k 2 -y 2 ) 2 ，这和 1
19、 不能由 1 ， 2 线性表出矛盾 (或 2 =- 1 =(k 1 -x 1 ) 1 +(k 2 -x 2 ) 2 ，这和 2 不能由 1 ， 2 线性表出矛盾)设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )=X T AX，且|A|0（分数：11.00）(1).证明：存在 n 维向量 0 ，使得 （分数：5.50）_正确答案：()解析：证 设 A 有特征值 i ，i=1，2，n，则 可知 A 有奇数个特征值小于零设 0 0，其对应的特征向量为 0 ，则有 A 0 = 0 0 ，其中 0 0 两边左乘 ，得 因 0 0，故有 又 0 0，故 ，得证存在 n 维向量 0 ，使得 (2).设 求 0
20、，使得 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由上一小题可知先求 A 的特征值 得 A 的负特征值 0 =-4 由( 0 E-A)X=(-4E-A)X=0， ，解得 此时 设 X 1 P( 1 )，X 2 P( 2 )，且 X 1 与 X 2 相互独立（分数：11.00）(1).证明：X 1 +X 2 的分布为 P( 1 + 2 )；（分数：5.50）_正确答案：()解析：证 (2).求在 X 1 +X 2 =n(n1)的条件下，X 1 的条件分布（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 其中 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，已知方差 DX=1，而随机变量 Y 的密度函数为 f(-y)，且 X 与 Y 的相关系数为 （分数：11.00）(1).求 EZ，DZ；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 又 DY=E(Y 2 )-(EY) 2 其中 所以 DY=E(X 2 )-(-EX) 2 =E(X 2 )-(EX) 2 =DX=1， 故 (2).用切比雪夫不等式估计 P|Z|2（分数：5.50）_正确答案：()解析：解
