1、考研数学一-410 (1)及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.曲线 y=(x-1)(x-2)2(x-3)3(x-4)4的拐点是(分数:4.00)A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)2.设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1),对给定的 a(01),数 u 满足 PXu =若 P|X|x)=,则 x 等于(分数:4.00)_3.考虑二元函数 f(x,y)的下面 4 条性质:f(x,y)在点(x 0,y 0)处连续,f(x,y)在点(x 0,y 0)处的两个偏导数连续,f(x,y)在点(x 0,y 0)处可微,f
2、(x,y)在点(x 0,y 0)处的两个偏导数存在(分数:4.00)A.B.C.D.4. (分数:4.00)A.B.C.D.5.设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 X 服从标准正态分布 N(0,1),Y 的概率分布为 (分数:4.00)A.B.C.D.6.设 A,B,C 均为 n 阶矩阵,E 为 n 阶单位矩阵,若 B=E+AB,C=A+CA,则 B-c 为(分数:4.00)A.B.-EC.D.7.设 A 为 n 阶实矩阵,A T是 A 的转置矩阵,则对于线性方程组():Ax=0 和():A TAx=0,必有(分数:4.00)A.()的解是()的解,()的解也是()的解B.()的解是()的解
3、,但()的解不是()的解C.()的解不是()的解,()的解也不是()的解D.()的解是()的解,但()的解不是()的解8.在下列微分方程中,以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1,C 2,C 3为任意常数)为通解的是(分数:4.00)A.y“+y“-4y-4y=0B.y“+y“+4y+4y=0C.y“-y“-4y+4y=0D.y“-y“+4y-4y=0二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.对数螺线 (分数:4.00)填空项 1:_10. (分数:4.00)填空项 1:_11.设函数 z=z(x,y)由方程 确定,其中 F 为可微函数,且 F20,则 (分数:4.00)填
4、空项 1:_12.已知曲线 L 的方程为 y=1-|x|(x-1,1),起点是(-1,0),终点为(1,0),则曲线积分 (分数:4.00)填空项 1:_13.设 =(1,1,1) T,=(1,0,k) T若矩阵 T相似于 (分数:4.00)填空项 1:_14.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为(分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15. (分数:10.00)_16.求方程 karctanx-x=0 不同实根的个数,其中 k 为参数(分数:10.00)_17.已知曲线 (分数:10.00)_18.设幂级数 在(-,+)内收敛,其和函数 y(x)满足y“
5、-2xy-4y=0,y(0)=0,y(0)=1()证明 (分数:10.00)_19.计算曲面积分 (分数:10.00)_20.设 A 为 n 阶非奇异矩阵, 为 n 维列向量,b 为常数,记分块矩阵(分数:10.00)_21.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=1, 2=2, 3=-2, 1=(1,-1,1) T是 A 的属于 1的一个特征向量B=A 5-4A3+E,其中 E 为 3 阶单位矩阵()验证 1是矩阵 B 的特征向量,并求 B 的全部特征值的特征向量;()求矩阵 B(分数:10.00)_22.假设随机变量 u 在区间-2,2上服从均匀分布,随机变量(分数:10.00)_23.
6、设总体 X 的分布函数为 (分数:14.00)_考研数学一-410 (1)答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.曲线 y=(x-1)(x-2)2(x-3)3(x-4)4的拐点是(分数:4.00)A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0) D.(4,0)解析:分析 由于曲线方程 y=(x-1)(x-2)2(x-3)3(x-4)4中含有(x-3)的 3 次因子(x-3) 3,则y“(3)=0,y“(3)0由拐点的充分条件知,(3,0)为该曲线的拐点,故应选(C)评注 本题用到一个基本结论:“若 f(x)=(x-a)ng(x),其中 g(x
7、)任意阶可导,g(a)0,n 为正整数,则 f(k)(a)=0(k=0,1,2,n-1),但 f(n)(a)0”事实上,若将 g(x)在 x=a 处展开为幂级数,则g(x)=a0+a1(x-a)+an(x-a)n+其中 a0=g(a)0,则f(x)=a0(x-a)n+a1(x-a)n+1+即 f(x)在 x=a 处的幂级数展开式中最低次项为(x-a)的 n 次项,则f(k)(a)=0(k=0,1,2,n-1),但 f(n)(a)=0本题中y=(x-1)(x-2)2(x-3)3(x-4)4=(x-3)3g(x)g(x)=(x-1)(x-2)2(x-4)4,g(3)0,则y“(3)=0,y“(3)
8、02.设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1),对给定的 a(01),数 u 满足 PXu =若 P|X|x)=,则 x 等于(分数:4.00)_解析:分析 *解法二:*如图一所示,题设条件 PXu 3.考虑二元函数 f(x,y)的下面 4 条性质:f(x,y)在点(x 0,y 0)处连续,f(x,y)在点(x 0,y 0)处的两个偏导数连续,f(x,y)在点(x 0,y 0)处可微,f(x,y)在点(x 0,y 0)处的两个偏导数存在(分数:4.00)A. B.C.D.解析:分析 由于 f(x,y)在点(x 0,y 0)处的两个偏导数连续就能推得 f(x,y)在点(x 0,y 0)处可微,
9、即*,而 f(x,y)在点(x 0,y 0)处可微就能推得 f(x,y)在点(x 0,y 0)处连续,即*,故应选(A)*事实上(B)选项中的*是错误的;(C)选项中的*是错误的;(D)选项中的*是错误的评注 本题主要考察二元函数在一点连续,两个偏导数存在,两个偏导数连续及可微之间的关系它们之间的关系可用关系图表示4. (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:分析 *而*若 c=0,由 a2+c20 知,a0,由上式可知*与题设矛盾,则 c0,此时*故应选(D)评注 本题的关键是首先找出分子和分母中最低阶的无穷小项,并确定其阶数,注意到当 x0 时,tanx和 ln(1-2x)都为 z 的一
10、阶无穷小,而 1-cosx 和 1-*都是 x 的二阶无穷小,则分子分母同除以 x 问题很快得到解决5.设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 X 服从标准正态分布 N(0,1),Y 的概率分布为 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:分析 随机变量函数 Z=XY 是由连续型随机变量 X 和离散型随机变量 Y 构成,对这类“混合型”的函数,一般从离散型随机变量着手由 Y 取值就两个:0 和 1可以将事件“Y=0”和“Y=1”看成一完备事件组由全概率公式*又由于 X、Y 相互独立,故*答案应选(B)评注 也可以将事件“Zz”分解成*结论是相同的6.设 A,B,C 均为 n 阶矩阵,E 为 n
11、阶单位矩阵,若 B=E+AB,C=A+CA,则 B-c 为(分数:4.00)A. B.-EC.D.解析:分析 由*由*那么B-C=(E-A)-1-A(E-A)-1=(E-A)(E-A)-1=E故应选(A)7.设 A 为 n 阶实矩阵,A T是 A 的转置矩阵,则对于线性方程组():Ax=0 和():A TAx=0,必有(分数:4.00)A.()的解是()的解,()的解也是()的解 B.()的解是()的解,但()的解不是()的解C.()的解不是()的解,()的解也不是()的解D.()的解是()的解,但()的解不是()的解解析:分析 如果 ,是齐次方程组()的解,则 A=0,那么(ATA)=A T
12、(A)=A T0=0即 是齐次方程组()的解反之,若 是齐次方程组()的解,则 ATA=0用 T左乘得 TATA= T0=0 即 (A) T(A)=0那么 A=0,即 是齐次方程组 Ax=0 的解注 若 =(b 1,b 2,b n)T,则*8.在下列微分方程中,以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1,C 2,C 3为任意常数)为通解的是(分数:4.00)A.y“+y“-4y-4y=0B.y“+y“+4y+4y=0C.y“-y“-4y+4y=0D.y“-y“+4y-4y=0 解析:分析 由于 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x 为方程的通解,则该齐次微分方程有特征根r1
13、=1,r 2,3=2i,则其特征方程为(r-1)(r2+4)=0即r3-r2+4r-4=0则所对应的微分方程为y“-y“+4y-4y=0故应选(D)二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.对数螺线 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:分析 对数螺线 =e 的参数方程为*设曲线在点*处切线斜率为*评注 本题给出了当曲线用极坐标方程 =()给出,如何求该曲线在给定点处切线斜率的一般方法10. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:sinx 2)解析:分析 令 x-t=u,则 dt=-du*则*故应填 sinx211.设函数 z=z(x,y)由方程 确定,其中 F
14、为可微函数,且 F20,则 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:x)解析:分析 等式*两端分别对 x 和 y 求偏导数得*式乘 x2加式乘 xy 得(-z)F2+(xzx+yzy)F2=0由于 F20,则xzx-yzy=z即*12.已知曲线 L 的方程为 y=1-|x|(x-1,1),起点是(-1,0),终点为(1,0),则曲线积分 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:0)解析:分析一 直接法如图*分析二 补线用格林公式,补线段*则*13.设 =(1,1,1) T,=(1,0,k) T若矩阵 T相似于 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:2)解析:分析 *由于相似
15、矩阵有相同的特征值故知 T有特征值 1=3, 2= 3=0又*故 k=3-1=214.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:-0.02)解析:分析 由于 cov(X2,Y 2)=EX2Y2-EX2EY2,其中*EX2=0.6,EY 2=0.5,EX 2Y2=0.28,所以 cov(X2,Y 2)=0.28-0.60.5=-0.02三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15. (分数:10.00)_正确答案:(解法一 *解法二 *解法三 *则*解法四 *)解析:16.求方程 karctanx-x=0 不同实根的个数,其中 k 为参数(分数:10
16、.00)_正确答案:(解法一 令 f(x)=karctanx-x,则 f(x)是(-,+)上的奇函数,且*当 k-10 即 k1 时,f(x)0(x0),f(x)在(-,+)上单调减少,方程 f(x)=0 只有一个实根 x=0*+),使得 f()=0由 f(x)是奇函数及其单调性可知,当 k1 时,方程 f(x)=0 有且仅有三个不同的实根 x=-,x=0,X=解法二 令 f(x)=karctanx-x,显然 f(x)是奇函数,则其零点关于原点对称,f(0)=0,只要讨论 f(x)在区间(0,+)上零点个数,为此,令*显然,(x)与 f(x)在区间(0,+)上零点个数相同,*令 g(x)=(1
17、+x2)arctanx-x,则g(x)=2xarctanx0 x(0,+)g(0)=0则 (x)0 x(0,+) (x)在(0,+)内单调增加,又*则,若 k1,(x)在(0,+)上无零点,原方程有唯一实根 x=0;若 k1,(x)在(0,+)上有唯一零点,原方程有且仅有三个实根)解析:17.已知曲线 (分数:10.00)_正确答案:(点(x,y,z)到 xoy 面的距离为|z|,故求 C 上距离 xoy 面最远点和最近点的坐标,等价地求函数 H=z2。在条件 x2+y2-2z2=0 与 x+y+3z=5 的最大值点和最小值点令 L(x,y,z,)=z 2+(x 2+y2-2z2)+(x+y+
18、3z-5)由*根据几何意义,曲线 C 上存在距离 xoy 面最远的点和最近的点,故所求的点依次为(-5,-5,5)和(1,1,1)解析:评注 本题主要考察条件极值的拉格朗日乘数法18.设幂级数 在(-,+)内收敛,其和函数 y(x)满足y“-2xy-4y=0,y(0)=0,y(0)=1()证明 (分数:10.00)_正确答案:()为了求 y(x),要想通过解微分方程 y“-2xy-4y=0 求得 y(x)是不可取的,因为该方程是一个二阶变系数线性齐次方程,此类方程求解考研大纲不要求我们可利用()中得到的*及 y(0)=O,y(0)=1 求得 an表达式,然后进一步再求幂级数*的和函数 y(x)
19、*将 y,y,y“代入 y“-2xy-4y=0 得*则*)解析:分析 ()为了证明*只要将*利用等式两端同次幂系数相等便可得以证明19.计算曲面积分 (分数:10.00)_正确答案:(设 S 为球面 x2+y2+z2=1 的内侧,则*)解析:分析 本题是要计算封闭曲面 2x2+2y2+z2=4 外侧的对坐标的面积分,但不能用高斯公式,因为被积函数在原点(0,0,0)处无意义为此,以原点为中心做一个单位球面 x2+y2+z2=1,在该球面与椭圆球面 2x2+2y2+z2=4 所夹部分立体表面外侧用高斯公式20.设 A 为 n 阶非奇异矩阵, 为 n 维列向量,b 为常数,记分块矩阵(分数:10.
20、00)_正确答案:()作分块矩阵乘法,并把 A*A=|A|E,A *=|A|A-1代入,有*)解析:21.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=1, 2=2, 3=-2, 1=(1,-1,1) T是 A 的属于 1的一个特征向量B=A 5-4A3+E,其中 E 为 3 阶单位矩阵()验证 1是矩阵 B 的特征向量,并求 B 的全部特征值的特征向量;()求矩阵 B(分数:10.00)_正确答案:()由 A= 有 An= n那么*所以 1是矩阵 B 属于特征值 1=-2 的特征向量类似地,由 A 2= 2 2,A 3= 3 3有*因为 2, 3是矩阵 A 中不同特征值的特征向量,2,3 是线性
21、无关的,那么 B 关于 =1 有 2 个线性无关的特征向量由 A 是对称矩阵,知矩阵 B 是对称矩阵,设(x 1,x 2,x 3)T是 B 关于 =1 的任一特征向量,那么由特征值不同特征向量相互正交,有 x1-x2+x3=0,得基础解系 2=(1,1,0) T, 3=(-1,0,1) T所以矩阵 B 关于 =-2 的特征向量为 k1(1,-1,1) T,k 1是不为 0 的任意常数;矩阵 B 关于 =1 的特征向量为 k2(1,1,0) T+k3(-1,0,1) T,k 2,k 3是不全为 0 的任意常数()由 B 1=-2 1,B 2= 2,B 3= 3有B( 1, 2, 3)=(-2 1, 2, 3)那么 B=(-2 1, 2, 3)( 1, 2, 3)-1*)解析:22.假设随机变量 u 在区间-2,2上服从均匀分布,随机变量(分数:10.00)_正确答案:(分析与解答 ()由题设知 U 的概率密度为*X 可能取值为-1,1;Y 可能取值为-1,1 且*根据联合分布与边缘分布关系可求得(X,Y)的联合概率分布*()由(X,Y)的概率分布可求得*)解析:23.设总体 X 的分布函数为 (分数:14.00)_正确答案:(分析与解答 ()X 的密度函数*()似然函数*)解析: