1、考研数学一-410 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 y=(x-1)(x-2)2(x-3)3(x-4)4的拐点是（分数：4.00）A.(1，0)B.(2，0)C.(3，0)D.(4，0)2.设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，对给定的 a(01)，数 u 满足 PXu =若 P|X|x)=，则 x 等于（分数：4.00）_3.考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质：f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续，f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续，f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，f
2、(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数存在（分数：4.00）A.B.C.D.4. （分数：4.00）A.B.C.D.5.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N(0，1)，Y 的概率分布为 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则 B-c 为（分数：4.00）A.B.-EC.D.7.设 A 为 n 阶实矩阵，A T是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()：Ax=0 和()：A TAx=0，必有（分数：4.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解B.()的解是()的解
3、，但()的解不是()的解C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解8.在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3为任意常数)为通解的是（分数：4.00）A.y“+y“-4y-4y=0B.y“+y“+4y+4y=0C.y“-y“-4y+4y=0D.y“-y“+4y-4y=0二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.对数螺线 （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 z=z(x，y)由方程 确定，其中 F 为可微函数，且 F20，则 （分数：4.00）填
4、空项 1:_12.已知曲线 L 的方程为 y=1-|x|(x-1，1)，起点是(-1，0)，终点为(1，0)，则曲线积分 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 =(1，1，1) T，=(1，0，k) T若矩阵 T相似于 （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15. （分数：10.00）_16.求方程 karctanx-x=0 不同实根的个数，其中 k 为参数（分数：10.00）_17.已知曲线 （分数：10.00）_18.设幂级数 在(-，+)内收敛，其和函数 y(x)满足y“
5、-2xy-4y=0，y(0)=0，y(0)=1()证明 （分数：10.00）_19.计算曲面积分 （分数：10.00）_20.设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵（分数：10.00）_21.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=-2， 1=(1，-1，1) T是 A 的属于 1的一个特征向量B=A 5-4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵()验证 1是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值的特征向量；()求矩阵 B（分数：10.00）_22.假设随机变量 u 在区间-2，2上服从均匀分布，随机变量（分数：10.00）_23.
6、设总体 X 的分布函数为 （分数：14.00）_考研数学一-410 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 y=(x-1)(x-2)2(x-3)3(x-4)4的拐点是（分数：4.00）A.(1，0)B.(2，0)C.(3，0) D.(4，0)解析：分析 由于曲线方程 y=(x-1)(x-2)2(x-3)3(x-4)4中含有(x-3)的 3 次因子(x-3) 3，则y“(3)=0，y“(3)0由拐点的充分条件知，(3，0)为该曲线的拐点，故应选(C)评注 本题用到一个基本结论：“若 f(x)=(x-a)ng(x)，其中 g(x
7、)任意阶可导，g(a)0，n 为正整数，则 f(k)(a)=0(k=0，1，2，n-1)，但 f(n)(a)0”事实上，若将 g(x)在 x=a 处展开为幂级数，则g(x)=a0+a1(x-a)+an(x-a)n+其中 a0=g(a)0，则f(x)=a0(x-a)n+a1(x-a)n+1+即 f(x)在 x=a 处的幂级数展开式中最低次项为(x-a)的 n 次项，则f(k)(a)=0(k=0，1，2，n-1)，但 f(n)(a)=0本题中y=(x-1)(x-2)2(x-3)3(x-4)4=(x-3)3g(x)g(x)=(x-1)(x-2)2(x-4)4，g(3)0，则y“(3)=0，y“(3)
8、02.设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，对给定的 a(01)，数 u 满足 PXu =若 P|X|x)=，则 x 等于（分数：4.00）_解析：分析 *解法二：*如图一所示，题设条件 PXu 3.考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质：f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续，f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续，f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数存在（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 由于 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续就能推得 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，
9、即*，而 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微就能推得 f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续，即*，故应选(A)*事实上(B)选项中的*是错误的；(C)选项中的*是错误的；(D)选项中的*是错误的评注 本题主要考察二元函数在一点连续，两个偏导数存在，两个偏导数连续及可微之间的关系它们之间的关系可用关系图表示4. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 *而*若 c=0，由 a2+c20 知，a0，由上式可知*与题设矛盾，则 c0，此时*故应选(D)评注 本题的关键是首先找出分子和分母中最低阶的无穷小项，并确定其阶数，注意到当 x0 时，tanx和 ln(1-2x)都为 z 的一
10、阶无穷小，而 1-cosx 和 1-*都是 x 的二阶无穷小，则分子分母同除以 x 问题很快得到解决5.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N(0，1)，Y 的概率分布为 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 随机变量函数 Z=XY 是由连续型随机变量 X 和离散型随机变量 Y 构成，对这类“混合型”的函数，一般从离散型随机变量着手由 Y 取值就两个：0 和 1可以将事件“Y=0”和“Y=1”看成一完备事件组由全概率公式*又由于 X、Y 相互独立，故*答案应选(B)评注 也可以将事件“Zz”分解成*结论是相同的6.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，E 为 n
11、阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则 B-c 为（分数：4.00）A. B.-EC.D.解析：分析 由*由*那么B-C=(E-A)-1-A(E-A)-1=(E-A)(E-A)-1=E故应选(A)7.设 A 为 n 阶实矩阵，A T是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()：Ax=0 和()：A TAx=0，必有（分数：4.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解 B.()的解是()的解，但()的解不是()的解C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解解析：分析 如果 ，是齐次方程组()的解，则 A=0，那么(ATA)=A T
12、(A)=A T0=0即 是齐次方程组()的解反之，若 是齐次方程组()的解，则 ATA=0用 T左乘得 TATA= T0=0 即 (A) T(A)=0那么 A=0，即 是齐次方程组 Ax=0 的解注 若 =(b 1，b 2，b n)T，则*8.在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3为任意常数)为通解的是（分数：4.00）A.y“+y“-4y-4y=0B.y“+y“+4y+4y=0C.y“-y“-4y+4y=0D.y“-y“+4y-4y=0 解析：分析 由于 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x 为方程的通解，则该齐次微分方程有特征根r1
13、=1，r 2,3=2i，则其特征方程为(r-1)(r2+4)=0即r3-r2+4r-4=0则所对应的微分方程为y“-y“+4y-4y=0故应选(D)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.对数螺线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 对数螺线 =e 的参数方程为*设曲线在点*处切线斜率为*评注 本题给出了当曲线用极坐标方程 =()给出，如何求该曲线在给定点处切线斜率的一般方法10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：sinx 2）解析：分析 令 x-t=u，则 dt=-du*则*故应填 sinx211.设函数 z=z(x，y)由方程 确定，其中 F
14、为可微函数，且 F20，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x）解析：分析 等式*两端分别对 x 和 y 求偏导数得*式乘 x2加式乘 xy 得(-z)F2+(xzx+yzy)F2=0由于 F20，则xzx-yzy=z即*12.已知曲线 L 的方程为 y=1-|x|(x-1，1)，起点是(-1，0)，终点为(1，0)，则曲线积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：分析一 直接法如图*分析二 补线用格林公式，补线段*则*13.设 =(1，1，1) T，=(1，0，k) T若矩阵 T相似于 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 *由于相似
15、矩阵有相同的特征值故知 T有特征值 1=3， 2= 3=0又*故 k=3-1=214.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-0.02）解析：分析 由于 cov(X2，Y 2)=EX2Y2-EX2EY2，其中*EX2=0.6，EY 2=0.5，EX 2Y2=0.28，所以 cov(X2，Y 2)=0.28-0.60.5=-0.02三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15. （分数：10.00）_正确答案：(解法一 *解法二 *解法三 *则*解法四 *)解析：16.求方程 karctanx-x=0 不同实根的个数，其中 k 为参数（分数：10
16、.00）_正确答案：(解法一 令 f(x)=karctanx-x，则 f(x)是(-，+)上的奇函数，且*当 k-10 即 k1 时，f(x)0(x0)，f(x)在(-，+)上单调减少，方程 f(x)=0 只有一个实根 x=0*+)，使得 f()=0由 f(x)是奇函数及其单调性可知，当 k1 时，方程 f(x)=0 有且仅有三个不同的实根 x=-，x=0，X=解法二 令 f(x)=karctanx-x，显然 f(x)是奇函数，则其零点关于原点对称，f(0)=0，只要讨论 f(x)在区间(0，+)上零点个数，为此，令*显然，(x)与 f(x)在区间(0，+)上零点个数相同，*令 g(x)=(1
17、+x2)arctanx-x，则g(x)=2xarctanx0 x(0，+)g(0)=0则 (x)0 x(0，+) (x)在(0，+)内单调增加，又*则，若 k1，(x)在(0，+)上无零点，原方程有唯一实根 x=0；若 k1，(x)在(0，+)上有唯一零点，原方程有且仅有三个实根)解析：17.已知曲线 （分数：10.00）_正确答案：(点(x，y，z)到 xoy 面的距离为|z|，故求 C 上距离 xoy 面最远点和最近点的坐标，等价地求函数 H=z2。在条件 x2+y2-2z2=0 与 x+y+3z=5 的最大值点和最小值点令 L(x，y，z，)=z 2+(x 2+y2-2z2)+(x+y+
18、3z-5)由*根据几何意义，曲线 C 上存在距离 xoy 面最远的点和最近的点，故所求的点依次为(-5，-5，5)和(1，1，1)解析：评注 本题主要考察条件极值的拉格朗日乘数法18.设幂级数 在(-，+)内收敛，其和函数 y(x)满足y“-2xy-4y=0，y(0)=0，y(0)=1()证明 （分数：10.00）_正确答案：()为了求 y(x)，要想通过解微分方程 y“-2xy-4y=0 求得 y(x)是不可取的，因为该方程是一个二阶变系数线性齐次方程，此类方程求解考研大纲不要求我们可利用()中得到的*及 y(0)=O，y(0)=1 求得 an表达式，然后进一步再求幂级数*的和函数 y(x)
19、*将 y，y，y“代入 y“-2xy-4y=0 得*则*)解析：分析 ()为了证明*只要将*利用等式两端同次幂系数相等便可得以证明19.计算曲面积分 （分数：10.00）_正确答案：(设 S 为球面 x2+y2+z2=1 的内侧，则*)解析：分析 本题是要计算封闭曲面 2x2+2y2+z2=4 外侧的对坐标的面积分，但不能用高斯公式，因为被积函数在原点(0，0，0)处无意义为此，以原点为中心做一个单位球面 x2+y2+z2=1，在该球面与椭圆球面 2x2+2y2+z2=4 所夹部分立体表面外侧用高斯公式20.设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵（分数：10.
20、00）_正确答案：()作分块矩阵乘法，并把 A*A=|A|E，A *=|A|A-1代入，有*)解析：21.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=-2， 1=(1，-1，1) T是 A 的属于 1的一个特征向量B=A 5-4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵()验证 1是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值的特征向量；()求矩阵 B（分数：10.00）_正确答案：()由 A= 有 An= n那么*所以 1是矩阵 B 属于特征值 1=-2 的特征向量类似地，由 A 2= 2 2，A 3= 3 3有*因为 2， 3是矩阵 A 中不同特征值的特征向量，2，3 是线性
21、无关的，那么 B 关于 =1 有 2 个线性无关的特征向量由 A 是对称矩阵，知矩阵 B 是对称矩阵，设(x 1，x 2，x 3)T是 B 关于 =1 的任一特征向量，那么由特征值不同特征向量相互正交，有 x1-x2+x3=0，得基础解系 2=(1，1，0) T， 3=(-1，0，1) T所以矩阵 B 关于 =-2 的特征向量为 k1(1，-1，1) T，k 1是不为 0 的任意常数；矩阵 B 关于 =1 的特征向量为 k2(1，1，0) T+k3(-1，0，1) T，k 2，k 3是不全为 0 的任意常数()由 B 1=-2 1，B 2= 2，B 3= 3有B( 1， 2， 3)=(-2 1， 2， 3)那么 B=(-2 1， 2， 3)( 1， 2， 3)-1*)解析：22.假设随机变量 u 在区间-2，2上服从均匀分布，随机变量（分数：10.00）_正确答案：(分析与解答 ()由题设知 U 的概率密度为*X 可能取值为-1，1；Y 可能取值为-1，1 且*根据联合分布与边缘分布关系可求得(X，Y)的联合概率分布*()由(X，Y)的概率分布可求得*)解析：23.设总体 X 的分布函数为 （分数：14.00）_正确答案：(分析与解答 ()X 的密度函数*()似然函数*)解析：
