1、考研数学一-409 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在(a，b)内可导，下述结论正确的是_（分数：4.00）A.设 f(x)在(a，b)内只有 1 个零点，则 f“(x)在(a，b)内没有零点B.设 f“(x)在(a，b)内至少有一个零点，则 f(x)在(a，b)内至少有 2 个零点C.设 f“(x)在(a，b)内没有零点，则 f(x)在(a，b)内至多有 1 个零点D.设 f(x)在(a，b)内没有零点，则 f“(x)在(a，b)内至多有 1 个零点2.设函数 （分数：4.00）A.不存在B.有 1 个C.有 2
2、 个D.有 3 个3.幂级数 （分数：4.00）A.(-2，2)B.-2，2C.(-8，8)D.-8，84.由方程 2y 3 -2y 2 +2xy+y-x 2 =0 确定的函数 y=y(x)_（分数：4.00）A.没有驻点B.有唯一驻点，但不是极值点C.有唯一驻点为极小值点D.有唯一驻点为极大值点5.设 A，B，C，D 是四个 4 阶矩阵，其中 A，D 为非零矩阵，B，C 可逆，且满足 ABCD=O，若 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r，则 r 的取值范围是_（分数：4.00）A.r10B.10r12C.12r16D.r166.下列二次型中，正定二次型是_ A.f1(x1，x 2，x
3、 3，x 4)=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x4)2+(x4-x1)2 B.f2(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2 C.f3(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x3-x4)2+(x4+x1)2 D.f4(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2（分数：4.00）A.B.C.D.7.设连续函数 F(x)是分布函数，且 F(0)=0，则必可作为新分布函数的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.随
4、机变量 XN(2，4)，YN(2，5)，且 D(X+Y)=DX-DY+14，则下列正确的是_（分数：4.00）A.E(XY)=EXEY+2(DX-DY)B.D(X-Y)=DYC.X，Y 独立D.X，Y 不相关二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设空间区域 ，则 （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.设 y(x)0 且为连续函数， 分别为 y(x)与 的某两个原函数，又设 ，且 y(0)=1，并设 （分数：4.00）12.直线 （分数：4.00）13.设 A 是 3 阶矩阵，且每行元素之和为 2， 是线性无关的三维列向量，满足 A=，A=，则AA，其中 A= 1 （分数：4
5、.00）14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.yOz 平面上的曲线 （分数：10.00）_16.设有向曲面 S：z=x 2 +y 2 ，x0，y0，z1，法向量与 z 轴正向夹角为钝角求第二型曲面积分 （分数：10.00）_17.讨论常数 a 的值，确定曲线 y=ae x 与 y=1+x 的公共点的个数 （分数：10.00）_(1).叙述并证明一元函数微分学中的罗尔定理；（分数：5.00）_(2).叙述并证明一元函数微分学中的拉格朗日中值定理（分数：5.00）_18.设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(0)=2，且函数
6、满足 （分数：10.00）_设 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 3 维列向量， 1 0，满足 A 1 =2 1 ，A 2 = 1 +2 2 ，A 3 = 2 +2 3 （分数：11.00）(1).证明 1 ， 2 ， 3 线性元关；（分数：5.50）_(2).A 能否相似于对角矩阵，说明理由（分数：5.50）_设向量组() 1 =(2，4，-2) T ， 2 =(-1，a-3，1) T ， 3 =(2，8，b-1) T ； () 1 =(2，b+5，-2) T ， 2 =(3，7，a-4) T ， 3 =(1，2b+4，-1) T 记 A=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1
7、， 2 ， 3 ) 问（分数：11.00）(1).a，b 为何值时，A 等价于 B，a，b 为何值时，A 和 B 不等价；（分数：5.50）_(2).a，b 为何值时，向量组()等价于()，a，b 为何值时，向量组()，()不等价（分数：5.50）_已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)=Ae x(B-x) (-x+)，且有 EX=2DX试求：（分数：11.01）(1).常数 A，B 的值；（分数：3.67）_(2).E(X 2 +e X )的值；（分数：3.67）_(3). （分数：3.67）_设总体 X 的密度函数 （分数：11.00）(1).用原点矩求 ， 的矩估计量；（分数：5.50
8、）_(2).求 ， 的最大似然估计量（分数：5.50）_考研数学一-409 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在(a，b)内可导，下述结论正确的是_（分数：4.00）A.设 f(x)在(a，b)内只有 1 个零点，则 f“(x)在(a，b)内没有零点B.设 f“(x)在(a，b)内至少有一个零点，则 f(x)在(a，b)内至少有 2 个零点C.设 f“(x)在(a，b)内没有零点，则 f(x)在(a，b)内至多有 1 个零点 D.设 f(x)在(a，b)内没有零点，则 f“(x)在(a，b)内至多有 1 个零点解析：解
9、析 由罗尔中值定理，用反证法即可得其他均可举出反例 例如，f(x)=x 3 -x+6=(x+2)(x 2 -2x+3)只有唯一零点 x=-2，但 f“(x)=3x 2 -1 有两个零点，所以 A 不成立此例也说明 B 不成立又例如 f(x)=2+sinx，在(-，+)内没有零点，但 f“(x)=coax 在(-，+)内有无穷多个零点，所以 D 不成立2.设函数 （分数：4.00）A.不存在B.有 1 个C.有 2 个 D.有 3 个解析：解析 3.幂级数 （分数：4.00）A.(-2，2)B.-2，2C.(-8，8) D.-8，8解析：解析 用一般记号， 为了使用洛必达法则，将 用 x 表示，
10、nx 相当于 x0，并注意到 x 大于 0 的时候，xsinx， 所以可去掉绝对值号，考虑 所以收敛半径 R=8，收敛区间为(-8，8)为讨论收敛域，讨论 x=8 处对应的级数的敛散性在 x=8 处，对应的级数的通项为 将 记成 x，由 所以 4.由方程 2y 3 -2y 2 +2xy+y-x 2 =0 确定的函数 y=y(x)_（分数：4.00）A.没有驻点B.有唯一驻点，但不是极值点C.有唯一驻点为极小值点 D.有唯一驻点为极大值点解析：解析 由 2y 3 -2y 2 +2xy+y-x 2 =0 两边对 x 求导，得(6y 2 -4y+2x+1)y“+2y-2x=0令 y“=0，得y=x与
11、原方程联立，得 x(2x 2 -x+1)=0，有唯一解 x=0在 x=0 处对应 y=0，在点(0，0)处，y“的系数(6y 2 -4y+2x+1)| (0，0) =10 所以由方程 2y 3 -2y 2 +2xy+y-x 2 =0 确定的函数 y=y(x)有唯一驻点 x=0(对应 y=0)再求 y“， 有(6y 2 -4y+2x+1)y“+(12yy“-4y“+2)y“+2y“-2=0 以 x=0，y=0，y“=0 代入，得 y“-2=0，即 y“=20所以 x=0 处对应的 y=y(x)为极小值选 C5.设 A，B，C，D 是四个 4 阶矩阵，其中 A，D 为非零矩阵，B，C 可逆，且满足
12、 ABCD=O，若 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r，则 r 的取值范围是_（分数：4.00）A.r10B.10r12 C.12r16D.r16解析：解析 因 AO，DO，故 r(A)1，r(D)1，r(A)+r(D)2，|B|0，|C|0，故 r(B)=4，r(C)=4 从而有 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)10 又由 ABCD=O，其中 B，C 可逆，得 r(AB)+r(CD)=r(A)+r(D)4 从而有 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)12 故 10r126.下列二次型中，正定二次型是_ A.f1(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2)2+(x2-x3)
13、2+(x3-x4)2+(x4-x1)2 B.f2(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2 C.f3(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x3-x4)2+(x4+x1)2 D.f4(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 法一 A 存在 x 1 =(1，1，1，1) T ，使得 f 1 (x 1 )=0，f 1 不正定 B 存在 x 2 =(1，-1，1，-1) T ，使得 f 2 (x 2
14、 )=0，f 2 不正定 C 存在 x 3 =(1，1，-1，-1) T ，使得 f 3 (x 3 )=0，f 3 不正定 由排除法知，应选 D 法二 对 D，f 4 (x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=(x 1 -x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 +x 4 ) 2 +(x 4 +x 1 ) 2 ， 即 其中 故 x=C -1 y 是可逆线性变换，则由 知，f 4 是正定二次型 法三 f 4 (x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=(x 1 -x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 +(x 3 +x 4 ) 2 +(x 4 +x 1 ) 2 其中 7.
15、设连续函数 F(x)是分布函数，且 F(0)=0，则必可作为新分布函数的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 法一 应用分布函数的右连续性来排除，由于 G i (x)(i=1，2，3，4)是分段函数形式，x=1是分界点，于是立即想到要判断 是否成立因为 0F(1)1，经计算得 利用排除法，可得正确选项为 C 法二 直接验证 C 8.随机变量 XN(2，4)，YN(2，5)，且 D(X+Y)=DX-DY+14，则下列正确的是_（分数：4.00）A.E(XY)=EXEY+2(DX-DY)B.D(X-Y)=DY C.X，Y 独立D.X，Y 不相关解析：解析 D(X+Y
16、)=DX+DY+2C OV (X，Y)=DX-DY+14，把 DX=4，DY=5 代入上式，得 C OV (X，Y)=20，故 C，D 错误； A 不成立，因为 E(XY)=C OV (X，Y)+EXEY=2+22=6，而 EXEY+2(DX-DY)=22+2(4-5)=2； B 成立，因为 D(X-Y)=DX+DY-2C OV (X，Y)=4+DY-22=DY二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设空间区域 ，则 （分数：4.00）解析： 解析 用柱面坐标， 于是 10. （分数：4.00）解析： 解析 因此 11.设 y(x)0 且为连续函数， 分别为 y(x)与 的某两个原函数，
17、又设 ，且 y(0)=1，并设 （分数：4.00）解析：e -x 解析 由 ，有 两边对 x 求导，得 所以 所以 y=Ce x 由题设 y(0)=1，知 C=1又因为 12.直线 （分数：4.00）解析：x 2 +y 2 -z 2 +4z-4=0 解析 直线 在 yOz 平面上的投影直线 l 的方程为 y+z=2，即 y=2-z，它绕 Oz 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 13.设 A 是 3 阶矩阵，且每行元素之和为 2， 是线性无关的三维列向量，满足 A=，A=，则AA，其中 A= 1 （分数：4.00）解析： 解析 由题设条件 A 的每行元素之和为 2，可知 A 有特征值 1 =2 又
18、由 A= 及 A= 知 A(+)=+=+，A(-)=-=-(-)， 因为 ， 线性无关，所以 +0，-0故 A 有特征值 2 =1， 3 =-1 A 是 3 阶矩阵，有 3 个不同的特征值，故 AA，其中 14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 （分数：4.00）解析： 解析 由于 =0，则 X 与 Y 独立，故 X 与 Y 2 独立，所以 D(2X-Y 2 )=4DX+D(Y 2 ) 由 ，得 ；由 ，所以 ，即 2，可知 所以 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.yOz 平面上的曲线 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由于 及点密度关于旋转轴(z 轴)对称，所以
19、质心在 z 轴上，质心坐标为 ，其中 对 用柱面坐标，先 r， 后 z，于是 类似地， 所以 质心坐标为 16.设有向曲面 S：z=x 2 +y 2 ，x0，y0，z1，法向量与 z 轴正向夹角为钝角求第二型曲面积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 法一 投影法：S 在 yOz 平面上的有向投影为 D 1 =(y，z)|y 2 z1，y0，法向量向前； S 在 xOy 平面上的有向投影为 D 2 =(x，y)|0x 2 +y 2 1，x0，y0，法向量向下 所以 法二 先化成第一型曲面积分再计算有向曲面 S：z=x 2 +y 2 ，x0，y0，z1，它的与 z 轴正向夹角为钝角的
20、法向量 n=(2x，2y，-1)， 从而 又因 ，S 在 xOy 平面上的投影区域 D=x，y)|0x 2 +y 2 1，x0，y0，于是 17.讨论常数 a 的值，确定曲线 y=ae x 与 y=1+x 的公共点的个数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 若 a=0，则 y=ae x 成为 y=0，它与 y=1+x 有且仅有 1 个交点 x 0 =-1，y 0 =0 以下设 a0令 f(x)=ae x -1-x，f“(x)=ae x -1 若 a0，则 f“(x)0f(-)0，f(+)0，存在唯一公共点 若 0a1，则由 f“(x)=0 得唯一驻点 又 f“(x)=ae x 0所以
21、有且仅有 2 个公共点 若 a1，则由 f“(x)=0 得唯一驻点 (1).叙述并证明一元函数微分学中的罗尔定理；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 罗尔定理：设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)，则至少存在一点(a，b)使 f“()=0 证明：由于 f(x)在a，b上连续，所以 f(x)在a，b上存在最大值 M 和最小值 m 如果 M=m，则 f(x)C，从而 f“(x)0，任取 (a，b)均有 f“()=0 如果 Mm，由于 f(a)=f(b)，所以 M 或 m 中至少有 1 个在开区间(a，b)内取到，即在(a，b)内 f(x)可取到极值(极
22、大值或(和)极小值)由费马定理知，在对应点 x=(a，b)处，f“()=0(2).叙述并证明一元函数微分学中的拉格朗日中值定理（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 拉格朗日微分中值定理：设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则至少存在一点(a，b)，使 f(b)-f(a)=f“()(b-a) 证明：令 则有：(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 (a)=f(a)，(b)=f(a)，故 (a)=(b)，所以(x)在a，b上满足罗尔定理条件，从而知至少存在一点 (a，b)使 “()=0即 18.设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(0)=2，且函数 满足 （分数：10.
23、00）_正确答案：()解析：解 于是原方程化为(1-u 2 )f“(u)+2f(u)=u， 其中 ，初始条件为 f(0)=2解上述方程，得 再由初始条件 f(0)=2，求出 C=1所以 于是 设 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 3 维列向量， 1 0，满足 A 1 =2 1 ，A 2 = 1 +2 2 ，A 3 = 2 +2 3 （分数：11.00）(1).证明 1 ， 2 ， 3 线性元关；（分数：5.50）_正确答案：()解析：证 由题设条件，得 (A-2E) 1 =0，(A-2E) 2 = 1 ，(A-2E) 3 = 2 对任意常数 k 1 ，k 2 ，k 3 ，令 k 1
24、 1 +k 2 2 +k 3 3 =0 式两边左乘 A-2E，得 k 2 1 +k 3 2 =0； 式两边左乘 A-2E，得 k 3 1 =0 因 1 0，故 k 3 =0，代回式，得 k 2 =0，代回式得 k 1 =0 故 (2).A 能否相似于对角矩阵，说明理由（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由上一小题知 故 因 1 ， 2 ， 3 线性无关，故 C=( 1 ， 2 ， 3 )是可逆矩阵，则 C -1 AC=B，即 AB 又 B 有 1 = 2 = 3 =2，是三重特征值，但 (2E-B)x=0 只有一个线性无关解向量，故 由相似关系的传递性知， 设向量组() 1 =(2，4
25、，-2) T ， 2 =(-1，a-3，1) T ， 3 =(2，8，b-1) T ； () 1 =(2，b+5，-2) T ， 2 =(3，7，a-4) T ， 3 =(1，2b+4，-1) T 记 A=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 ， 2 ， 3 ) 问（分数：11.00）(1).a，b 为何值时，A 等价于 B，a，b 为何值时，A 和 B 不等价；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 将 A，B 合并，一起作初等行变换， 当 a1 且 b-1 时，r(A)=r(B)=3， ； 当 a=1 或 b=-1 时，r(A)=r(B)=2， (2).a，b 为何值时，向量组()等
26、价于()，a，b 为何值时，向量组()，()不等价（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 向量组可以相互表出 均有解 由上一小题知， a1，b-1 时， a=1，b=-1 时， a=1，b-1 时， 无解，()，()不等价； a1，b=-1 时， 已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)=Ae x(B-x) (-x+)，且有 EX=2DX试求：（分数：11.01）(1).常数 A，B 的值；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 与正态分布的概率密度函数 比较得： 由 EX=2DX 知 ，得 所以 (2).E(X 2 +e X )的值；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 所以
27、(3). （分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由 ，有 令 ， 当 y0 时，F Y (y)=0； 当 y0 时， 所以 设总体 X 的密度函数 （分数：11.00）(1).用原点矩求 ， 的矩估计量；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 直接计算 EX 和 E(X 2 )比较麻烦，事实上 ，故 E(X-)=EX-=，得 EX=+；E(X-) 2 =E(X 2 -2X+ 2 )=E(X 2 )=2EX+ 2 =E(X 2 )-2(+)+ 2 = 2 + 2 =2 2 ， 得 E(X 2 )= 2 +2+2 2 于是，由矩估计思想，用二阶原点矩，令 一 2 再开平方得 ，代入得 所以 ， 的矩估计量为 (2).求 ， 的最大似然估计量（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 因为似然函数为 于是 由此可知 lnL 关于 单调增加，即 L(x 1 ，x n ，)关于 单调增加 又因为 ，故 的最大似然估计量为 令 解得 的最大似然估计量为
