1、考研数学一-409 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：13，分数：13.00)1.若 （分数：1.00）2.过点(2，0，-3)且与直线 （分数：1.00）3.过原点及点(6，-3，2)且与平面 4x-y+2z=8 垂直的平面方程为 1 （分数：1.00）4.设 （分数：1.00）5.过点 A(3，2，1)且平行于直线 及 （分数：1.00）6.一平面经过点 M 1 (2，1，3)及点 M 2 (3，4，-1)，且与平面 3x-y+6z-6=0 垂直，则该平面方程为 1 （分数：1.00）7.曲面 x 2 +2y 2 +3z 2 =21 在点(1，
2、-2，2)处的法线方程为 1 （分数：1.00）8.点 M(1，-1，2)到平面 ：2x-y+5z-12=0 的距离为 d= 1 （分数：1.00）9.设平面 1 ：3x-2y+6z-2=0 与平面 2 ：3x-2y+6z+12=0，则两平行平面之间的距离为 1 （分数：1.00）10.点 M(3，-4，4)到直线 （分数：1.00）11.由曲线 绕 y 轴旋转一周所得到的旋转曲面在点 （分数：1.00）12.曲面 z-e z +2xy=3 在点(1，2，0)处的切平面方程为 1 （分数：1.00）13.曲面 z=x 2 (1-siny)+y 2 (1-sinx)在点(1，0，1)处的切平面方
3、程为 1 （分数：1.00）二、解答题(总题数：35，分数：87.00)14.设 f(x)在区间0，1上可导， （分数：2.00）_15.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_16.设 f(t)在0，上连续，在(0，)内可导，且 （分数：2.00）_17.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且|f“(x)|2证明： （分数：2.00）_18.设 f(x)在区间a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数（分数：2.00）(1).证明存在
4、c(0，1)，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；（分数：1.00）_(2).设 f(x)在(0，1)内可导，且 （分数：1.00）_19.求曲线 （分数：2.00）_20.求双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 )所围成的面积 （分数：2.00）_21.抛物线 y 2 =2x 把圆 x 2 +y 2 =8 分成两个部分，求左右两个部分的面积之比 （分数：2.00）_22.设 C 1 ，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C 1 ，C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 轴和
5、y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x 2 ，C 1 的方程是 ，求曲线 C 2 的方程 （分数：2.00）_23.设曲线 y=a+x-x 3 ，其中 a0当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在 x轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a （分数：2.00）_24.求曲线 y=x 2 -2x、y=0、x=1、x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V （分数：2.00）_25.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋
6、转体的体积 （分数：2.00）_设 L：y=e -x (x0)（分数：2.00）(1).求由 y=e -x 、x 轴、y 轴及 x-a(a0)所围成平面区域绕 x 轴一周而得的旋转体的体积 V(a)（分数：1.00）_(2).设 （分数：1.00）_26.求由曲线 y=4-x 2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积 （分数：2.00）_27.曲线 y=x 2 (x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 x 轴所围成的面积为 （分数：2.00）_28.求摆线 （分数：2.00）_29.设曲线 （分数：2.00）_30.设一抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)
7、与(1，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小 （分数：3.00）_设直线 y=kx 与曲线 （分数：3.00）(1).求 k，使得 D 1 与 D 2 分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V 1 与 V 2 之和最小，并求最小值；（分数：1.50）_(2).求此时的 D 1 +D 2 （分数：1.50）_31.求摆线 （分数：3.00）_32.设曲线 （分数：3.00）_33.一半径为 R 的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为 1，求将球从水中取出所做的功 （分数：3.00）_34.设 a，b 为非零向量，且|b|=1， 求 （分数：3.00）_
8、35.设 （分数：3.00）_36.设点 A(1，-1，1)，B(-3，2，-1)，C(5，3，-2)，判断三点是否共线，若不共线求过三点的平面的方程 （分数：3.00）_37.求经过平面 1 ：x+y+1=0 与 2 ：x+2y+2z=0 的交线，且与平面 3 ：2x-y-z=0 垂直的平面方程 （分数：3.00）_38.求过直线 （分数：3.00）_39.求经过点 P 1 (5，-4，3)和 P 2 (-2，1，8)及直线 （分数：3.00）_40.求过点 M(1，-2，2)且与直线 （分数：3.00）_41.求过点 A(-1，2，3)垂直于 （分数：3.00）_42.求直线 （分数：3.
9、00）_43.求直线 与直线 （分数：3.00）_设 （分数：3.00）(1).若 L 1 L 2 ，求 。（分数：1.50）_(2).若 L 1 ，L 2 共面，求 （分数：1.50）_44.求平面曲线 （分数：3.00）_考研数学一-409 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：13，分数：13.00)1.若 （分数：1.00）解析： 解析 由|a+b| 2 =(a+b)(a+b)=|a| 2 +|b| 2 +2ab=13+19+2ab=24，得 ab=-4，则|a-b| 2 =(a-b)(a-b)=|a| 2 +|b| 2 -2ab=13+19+8
10、=40则 2.过点(2，0，-3)且与直线 （分数：1.00）解析：-16x+14y+11z+65=0 解析 s 1 =1，-2，4，s 2 =3，5，-2)，所求平面的法向量 n=s 1 s 2 =-16，14，11，则所求平面方程为-16x+14y+11z+65=03.过原点及点(6，-3，2)且与平面 4x-y+2z=8 垂直的平面方程为 1 （分数：1.00）解析：2x+2y-3z=0解析 设所求平面为 ：Ax+By+Cz+D=0，因为 经过原点，所以 D=0，即：Ax+By+Cz=0，又因为 经过点(6，-3，2)且与 4x-y+2z=8 垂直，所以 解得4.设 （分数：1.00）解
11、析：(x-1)-3(y-2)+(z-3)=0 或 ：x-3y+z+2=0 解析 因为所求平面 经过 L 1 ，所以点M(1，2，3)在平面 上，因为 与 L 1 ，L 2 都平行，所以所求平面的法向量为 n=1，0，-12，1，1=1，-3，1，所求平面为 ：(x-1)-3(y-2)+(z-3)=0 或 ：x-3y+z+2=05.过点 A(3，2，1)且平行于直线 及 （分数：1.00）解析：-(x-3)+2(y-2)+5(z-1)=0，或 ：x-2y-5z+6=0 解析 直线 L 1 ，L 2 的方向向量为 s 1 =1，-2，1，s 2 =2，1，0，所求平面的法向量为 n=s 1 s 2
12、 =-1，2，5，则所求平面为 ：-(x-3)+2(y-2)+5(z-1)=0，或 ：x-2y-5z+6=06.一平面经过点 M 1 (2，1，3)及点 M 2 (3，4，-1)，且与平面 3x-y+6z-6=0 垂直，则该平面方程为 1 （分数：1.00）解析：7x-9y-5z+10=0解析 ，因为所求平面平行于向量7.曲面 x 2 +2y 2 +3z 2 =21 在点(1，-2，2)处的法线方程为 1 （分数：1.00）解析： 解析 n=2x，4y，6z (1，-2，2) =2，-8，12，法线方程为 8.点 M(1，-1，2)到平面 ：2x-y+5z-12=0 的距离为 d= 1 （分数
13、：1.00）解析：解析 9.设平面 1 ：3x-2y+6z-2=0 与平面 2 ：3x-2y+6z+12=0，则两平行平面之间的距离为 1 （分数：1.00）解析：2解析 10.点 M(3，-4，4)到直线 （分数：1.00）解析： 解析 点 M 0 (4，5，2)在直线上，s=2，-2，1为直线的方向向量 ，则点M(3，-4，4)到直线 的距离为 11.由曲线 绕 y 轴旋转一周所得到的旋转曲面在点 （分数：1.00）解析： 解析 曲线 L 绕 y 轴旋转一周所得的旋转曲面为：3x 2 +2y 2 +3z 2 -12=0 曲面过点 的法向量为 ，指向外侧的单位法向量为 12.曲面 z-e z
14、 +2xy=3 在点(1，2，0)处的切平面方程为 1 （分数：1.00）解析：2x+y-4=0 解析 曲面 z-e z +2xy=3 在点(1，2，0)处的法向量为 n=2y，2x，1-e z ) (1，2，0) =4，2，0， 则切平面为 ：4(x-1)+2(y-2)=0，即 ：2x+y-4=013.曲面 z=x 2 (1-siny)+y 2 (1-sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为 1 （分数：1.00）解析：2x-y-z-1=0 解析 F=x 2 (1-siny)+y 2 (1-sinx)-z， n=2x(1-siny)-y 2 cosx，2y(1-sinx)-x 2 cos
15、y，-1， 在点(1，0，1)处的法向量为 n=2，-1，-1)，切平面为 ：2(x-1)-y-(z-1)=0，即 ：2x-y-z-1=0二、解答题(总题数：35，分数：87.00)14.设 f(x)在区间0，1上可导， （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=x 2 f(x)，由积分中值定理得 ，其中 c ，即 (c)=(1)，显然(x)在区间0，1上可导，由罗尔中值定理，存在 (c，1) 15.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 令 ，显然 (x)在a，b上可导，又 (a)=(b)=0，由罗尔定
16、理，存在 (a，b)，使得 “()=0，而 ， 所以 ，即 解析 由 得 即 ，则辅助函数为 16.设 f(t)在0，上连续，在(0，)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 令 ，因为 F(0)=F()=0，所以存在 x 1 (0，)，使得 F“(x 1 )=0，即 f(x 1 )sinx 1 =0，又因为 sinx 1 0，所以 f(x 1 )=0 设 x 1 是 f(x)在(0，)内唯一的零点，则当 x(0，)且 xx 1 时，有 sin(x-x 1 )f(x)恒正或恒负，于是 而 ，矛盾，所以 f(x)在(0，)内至少有两个零点不妨设 f(x 1 )=f(x 2 )=
17、0，x 1 ，x 2 (0，)且 x 1 x 2 ，由罗尔中值定理，存在 (x 1 ，x 2 ) 17.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且|f“(x)|2证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 由微分中值定理得 f(x)-f(0)=f“( 1 )x，其中 0 1 x， f(x)-f(2)=f“( 2 )(x-2)，其中 x 2 2，于是 从而 18.设 f(x)在区间a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 令 ，则 F(x)在a，b上三阶连续可导，取 ，由泰勒公式得 两式相减得 ，即
18、 因为 f“(x)在a，b上连续，所以存在 1 ， 2 (a，b)，使得 ，从而 设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数（分数：2.00）(1).证明存在 c(0，1)，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；（分数：1.00）_正确答案：()解析：证明 S 1 (c)=cf(c)， ，即证明 S 1 (c)=S 2 (c)，或 令 ，(0)=(1)=0，根据罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 “(c)=0，即 (2).设 f(x)在(0，1)内可导，且 （分数：1.00）_正确答案：()解析：令19.求曲线 （分数：2.00）
19、_正确答案：()解析：解 取 ，则 dV y =2|x|cosxdx， 故 20.求双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 )所围成的面积 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 根据对称性，所求面积为第一卦限面积的 4 倍，令 则双纽线的极坐标形式为 ，第一卦限的面积为 21.抛物线 y 2 =2x 把圆 x 2 +y 2 =8 分成两个部分，求左右两个部分的面积之比 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 设左边的面积为 S 1 ，右边的面积为 S 2 ， 由 则 ， 由 得 22.设 C 1 ，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C 1 ，C
20、2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x 2 ，C 1 的方程是 ，求曲线 C 2 的方程 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由题设 C：y=x 2 ，C 1 ： ，令 C 2 ：x=f(y)，P 点坐标为(x，y)， 则 所以 ，因为 PC，所以有 ，即 ，两边对 x 求导，得 ，即 从而 C 2 的方程为 ，即 23.设曲线 y=a+x-x 3 ，其中 a0当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在 x轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a （分数
21、：2.00）_正确答案：()解析：解 设曲线 y=a+x-x3 与 x 轴正半轴的交点横坐标为 ，()，由条件得 ，移项得 ， 因为 0，所以 4a+2- 3 =0 又因为(，0)为曲线 y=a+x-x 3 与 x 轴的交点，所以有 a+- 3 =0，从而有 24.求曲线 y=x 2 -2x、y=0、x=1、x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 区域面积为 25.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积 （分数：2.00）_正确答案：(
22、)解析：解 取x，x+dx 0，1，则 ， 设 L：y=e -x (x0)（分数：2.00）(1).求由 y=e -x 、x 轴、y 轴及 x-a(a0)所围成平面区域绕 x 轴一周而得的旋转体的体积 V(a)（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 (2).设 （分数：1.00）_正确答案：()解析：解 由 得 ，解得26.求由曲线 y=4-x 2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 方法一 取x，x+dx -2，2，则 dV=2(3-x)(4-x 2 )dx， 方法二 取y，y+dy 0，4， 则 27.曲线 y=x
23、 2 (x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 x 轴所围成的面积为 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 设切点坐标为(a，a 2 )(a0)，则切线方程为 y-a 2 =2a(x-a)，即 y=2ax-a 2 ， 由题意得 ，解得 a=1， 则切线方程为 y=2x-1，旋转体的体积为 28.求摆线 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 29.设曲线 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 曲线与 x 轴和 y 轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中 b=4-a曲线可化为 ，对任意的x，x+dx 0，a，dV 2 =2xydx= 于是 ，根据对称性，有 于是 V(a)
24、=V 1 (a)+V 2 (a)= 令 ，又 V“(2)0，所以 a=2 时，两体积之和最大，且最大值为 30.设一抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)与(1，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为曲线过原点，所以 c=0，又曲线过点(1，2)，所以 a+b=2，b=2-a 因为 a0，所以 b0，抛物线与 z 轴的两个交点为 0， ，所以 设直线 y=kx 与曲线 （分数：3.00）(1).求 k，使得 D 1 与 D 2 分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V 1 与 V 2 之和最小，并求最小
25、值；（分数：1.50）_正确答案：()解析：解 由方程组 得直线与曲线交点为 ，则 ，令 ，因为 V“(k)0，所以函数 V(k)当 时取最小值，且最小值为 (2).求此时的 D 1 +D 2 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解 因为 ，所以此时31.求摆线 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 32.设曲线 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设切点为 ，则过原点的切线方程为 ，将 代入切线方程，得 a=2， ，故切线方程为 ， 由曲线 在区间1，2上的一段绕 x 轴一周所得旋转面的面积为 切线 在区间0，2上一段绕 x 轴一周所得旋转曲面面积为 所求旋转曲面的表面积为
26、 33.一半径为 R 的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为 1，求将球从水中取出所做的功 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 以球顶部与水面相切的点为坐标原点，x 轴铅直向下，取x，x+dx 0，2R，由于球的密度与水的密度相同，所以水面以下不做功， d=(2R-x)R 2 -(R-x) 2 1gdx=x(2R-x) 2 gdx， 34.设 a，b 为非零向量，且|b|=1， 求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 35.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 =-2，-1，-3-1，4，2=10，7，-9， 则ABC 的面积为 36.设点 A(1，-1，1
27、)，B(-3，2，-1)，C(5，3，-2)，判断三点是否共线，若不共线求过三点的平面的方程 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 ，因为 不平行，所以三点不共线过三点的平面的法向量为 n= 37.求经过平面 1 ：x+y+1=0 与 2 ：x+2y+2z=0 的交线，且与平面 3 ：2x-y-z=0 垂直的平面方程 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设经过两平面 1 ， 2 交线的平面方程为 ：x+y+1+(x+2y+2z)=0，即 ：(1+)x+(1+2)y+2z+1=0， 因为平面 与平面 3 ：2x-y-z=0 垂直，所以有 1+，1+2，2)2，-1，-1=0，即 2+2-1-2-2=0，解得 ， 所求平面方程为 38.求过直线 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 s 1 =1，-1，2，s 2 =-1，2，1，n=s 1 s 2 =-5，-3，1， 所求平面方程为 ：-5(x-2)-3(y+2)+(z-3)=0，即 ：-5x-3y+z+1=039.求经过点 P 1 (5，-4，3)和 P 2 (-2，1，8)及直线 （分数：3.00）_
