1、考研数学一-408 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 b n 0(n=1，2，)，下述命题正确的是_ A设 发散， 发散，则 必发散 B设 发散， 收敛，则 必发散 C设 收敛， 收敛，则 必收敛 D设 收敛， 发散，则 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x，y)=|x-y|(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)的某邻域内连续则 (0，0)=0 是 f(x，y)在点(0，0)处可微的_（分数：4.00）A.必要条件但非充分条件B.充分条件但非必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件3.下列反常积分发散
2、的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 （分数：4.00）A.两个偏导数都存在，函数也连续B.两个偏导数都存在，但函数不连续C.偏导数不存在，但函数连续D.偏导数不存在，函数也不连续5.设 n维向量 1 ， 2 ， 3 满足 1 -2 2 +3 3 =0，对任意的 n维向量 ，向量组 1 +a， 2 +b， 3 线性相关，则参数 a，b 应满足条件_（分数：4.00）A.a=bB.a=-bC.a=2bD.a=-2b6.设 A是一个 n阶矩阵，先交换 A的第 i列与第 j列，然后再交换第 i行和第 j行，得到的矩阵记成 B，则下列五个关系 ()|A|=|B| ()r(A
3、)=r(B)； () ； ()AB； () （分数：4.00）A.2个B.3个C.4个D.5个7.设随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|-1x1，-1y1上服从均匀分布，记 A 1 =X0，A 2 =Y0，A 3 =XY0，A 4 =YX，则下列正确的是_（分数：4.00）A.A1，A2，A3 相互独立B.A1，A2，A3 两两独立C.A1，A2，A4 相互独立D.A1，A2，A4 两两独立8.设随机变量 （分数：4.00）A.必不相关B.必独立C.必不独立D.必相关二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.定积分 （分数：4.00）10.空间曲线 在 xOy平面上的投影围成的区域记
4、为 D，则二重积分 （分数：4.00）11.微分方程 ydx-xdy=x 2 ydy的通解为 1 （分数：4.00）12. （分数：4.00）13.直线 （分数：4.00）14.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自标准正态总体 X的简单随机样本，记 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 l为从点 A(-，0)沿曲线 y=sinx至点 B(，0)的有向弧段，求 （分数：10.00）_设 f(x，y)在平面区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 1上有二阶连续偏导数，且 （分数：10.00）(1).证明 （分数：5.00）_(2).求二重积分 （分数：5.00）_
5、设 （分数：10.00）(1).讨论函数 f(x)的定义域，奇偶性，单调性，极值；（分数：5.00）_(2).讨论曲线 y=f(x)的凹凸性，拐点，渐近线，并根据以上的讨论结果，画出曲线 y=f(x)的大致图形（分数：5.00）_(1).设常数 k0， （分数：5.00）_(2).证明：级数 （分数：5.00）_设微分方程 （分数：10.00）(1).作自变量变换 t=lnx以及因变量变换 （分数：5.00）_(2).求原微分方程的通解（分数：5.00）_设 （分数：11.00）(1).求满足 AX-XA=0的所有 X；（分数：5.50）_(2).方程 AX-XA=E，其中 E是 2阶单位矩阵
6、，问方程是否有解若有解，求满足方程的所有 X，若无解，说明理由（分数：5.50）_设二次型 满足 AB=O，其中 （分数：11.01）(1).用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换；（分数：3.67）_(2).求该二次型；（分数：3.67）_(3).f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1表示什么曲面?（分数：3.67）_设二维随机变量(U，V)的概率密度为 又设 X与 Y都是离散型随机变量，其中 X只取-1，0，1 三个值，Y 只取-1，1 两个值，且EX=0.2，EY=0.4又 PX=-1，Y=1=PX=1，Y=-1=PX=0，Y=1 （分数：11.00）(1).(X，Y)的概率分布；
7、（分数：5.50）_(2).Cov(X，Y)（分数：5.50）_设 X 1 ，X 2 ，X n 来自总体 X的一个简单随机样本，X 的密度函数为 （分数：11.01）(1).求 的最大似然估计量 ，并求 （分数：3.67）_(2).求 的矩估计量 ，并求 （分数：3.67）_(3).数理统计中有一个均方误差准则(MSE 准则)： 设 是 的估计量，称 为估计量 与参数真值 的均方误差，简记为 ，即 求证： 均方误差是评价点估计的最一般的标准，均方误差越小的估计越好请问在均方误差准则下，当 n2 时，（分数：3.67）_考研数学一-408 答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、
8、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 b n 0(n=1，2，)，下述命题正确的是_ A设 发散， 发散，则 必发散 B设 发散， 收敛，则 必发散 C设 收敛， 收敛，则 必收敛 D设 收敛， 发散，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 证明 C正确首先证明： 收敛 存在 事实上，左边级数前 n项部分和 S n =(a 1 -a 2 )+(a2 -a 3 )+(a n -a n+1 )=a 1 -a n+1 收敛 存在 存在 存在 由 存在， 根据比较判别法的极限形式知，级数 收敛，从而知 绝对收敛 A不正确，反例： 发散，而 不存在，所以 发散满足 A的题设条件，但
9、是收敛的 B不正确，反例： 发散，而 存在，所以 收敛，但 是收敛的，故 B不正确 D不正确，反例： 收敛， 发散，而 2.设 f(x，y)=|x-y|(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)的某邻域内连续则 (0，0)=0 是 f(x，y)在点(0，0)处可微的_（分数：4.00）A.必要条件但非充分条件B.充分条件但非必要条件C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件解析：解析 先证充分性设 (0，0)=0，由于 (x，y)在点(0，0)处连续，所以 由于 所以 所以 按可微定义，f(x，y)在点(0，0)处可微，且 df=0x+0y，即 f“ x (0，0)=0，f“ y (0，0)=
10、0 再证必要性设 f(x，y)在点(0，0)处可微，则 f“ x (0，0)与 f“ y (0，0)必都存在 3.下列反常积分发散的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 4.设 （分数：4.00）A.两个偏导数都存在，函数也连续B.两个偏导数都存在，但函数不连续C.偏导数不存在，但函数连续 D.偏导数不存在，函数也不连续解析：解析 ，由夹逼定理， 所以 f(x，y)在点(0，0)连续 5.设 n维向量 1 ， 2 ， 3 满足 1 -2 2 +3 3 =0，对任意的 n维向量 ，向量组 1 +a， 2 +b， 3 线性相关，则参数 a，b 应满足条件_（分数：4
11、.00）A.a=bB.a=-bC.a=2b D.a=-2b解析：解析 法一 因 1 ， 2 ， 3 满足 1 -2 2 +3 3 =0， (*) 要求向量组 1 +a， 2 +b， 3 线性相关，其中 是任意向量利用式(*)，取常数 k 1 =1，k 2 =-2，k 3 =3， 对向量组 1 +a， 2 +b， 3 作线性组合，得 ( 1 +a)-2( 2 +b)+3 3 = 1 -2 2 +3 3 +(a-2b)=(a-2b) 故当 a=2b时，对任意的 n维向量 均有 1 +a-2( 2 +b)+3 3 =0 即 a=2b时， 1 +a， 2 +b， 3 对任意 线性相关故应选 C 法二
12、1 +a， 2 +b， 3 线性相关 对矩阵( 1 +a， 2 +b， 3 )作初等列变换(不改变秩)有 ( 1 +a， 2 +b， 3 )( 1 +a， 2 +b， 1 +a-2( 2 +b)+3 3 ) 6.设 A是一个 n阶矩阵，先交换 A的第 i列与第 j列，然后再交换第 i行和第 j行，得到的矩阵记成 B，则下列五个关系 ()|A|=|B| ()r(A)=r(B)； () ； ()AB； () （分数：4.00）A.2个B.3个C.4个D.5个 解析：解析 将 A的 i列，j 列互换，再将 i行，j 行互换，相当于右乘、左乘相同的互换初等阵 E ij ，即 B=E ij AE ij
13、其中 |E ij |=-10，是可逆矩阵，|E ij | 2 =1，故()，()，()成立 故 故 AB()成立 故 7.设随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|-1x1，-1y1上服从均匀分布，记 A 1 =X0，A 2 =Y0，A 3 =XY0，A 4 =YX，则下列正确的是_（分数：4.00）A.A1，A2，A3 相互独立B.A1，A2，A3 两两独立 C.A1，A2，A4 相互独立D.A1，A2，A4 两两独立解析：解析 由(X，Y)服从二维均匀分布得到 由于 ，故 A 1 ，A 4 不独立，排除 C，D； 由 ，排除 A 又计算得 8.设随机变量 （分数：4.00）A.必不相关
14、B.必独立C.必不独立D.必相关解析：解析 设 PX=1，Y=1=PX=1，Y=-1=P， 则得联合分布 EY=0，E(XY)=0，C OV (X，Y)=E(XY)-EXEY=0，X 与 Y不相关选 A 注意 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.定积分 （分数：4.00）解析： 解析 作积分变量变换，令 ，原积分 所以 10.空间曲线 在 xOy平面上的投影围成的区域记为 D，则二重积分 （分数：4.00）解析：128 解析 由 两式相减，得 x 2 +y 2 -8z=0， 即 于是得投影曲线方程为 化简即得 D的边界的方程(如图) (x 2 +y 2 ) 2 =32(x 2 -y
15、2 ) 用极坐标表示，上式为 r 2 =32cos2，于是 11.微分方程 ydx-xdy=x 2 ydy的通解为 1 （分数：4.00）解析： ，其中 C为任意常数 解析 法一 将方程改写为 ，此为全微分方程，即 通解为 ，其中 C为任意常数 法二 改写为 12. （分数：4.00）解析：e -1 解析 13.直线 （分数：4.00）解析：0 解析 将盲线 L 1 的标准方程(点向式方程)改为交面式方程， ，即 即 L 1 和 L 2 相交于一点 四平面交于一点 方程组 有唯一解 对 作初等行变换，得 14.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自标准正态总体 X的简单随机样本，记 （分数：4
16、.00）解析： 解析 已知 ，且 与 S 2 相互独立，也就有 与 S相互独立，故 所以 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 l为从点 A(-，0)沿曲线 y=sinx至点 B(，0)的有向弧段，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 如图所示，添加有向直线段 y=0，自点 B(，0)至点 A(-，0)，其中自点 B至点 O(0，0)的有向直线段记为 l 1 ，点 O(0，0)至点 A的有向直线段记为 l 2 ，曲线 y=sinx(-x)与 l 1 和 l 2 构成 8字形分别围成的两个有界闭区域，记为 D 1 与 D 2 D 1 的边界走向为负向，D 2 的边界走向
17、为正向 由格林公式，可得 由于 ，而 S D1 =S D2 ，故 又 设 f(x，y)在平面区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 1上有二阶连续偏导数，且 （分数：10.00）(1).证明 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证 由格林公式，(2).求二重积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由上一小题并利用条件 f“ xx +f“ yy =e -(x2+y2) ，有 对于上面右边第 1式，由于在 l上，x 2 +y 2 =1，于是 从而 设 （分数：10.00）(1).讨论函数 f(x)的定义域，奇偶性，单调性，极值；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为二次式
18、x 2 x+1的判别式 =(1) 2 -4=-30，所以 x 2 x+10，f(x)的定义域为(-，+) 又 f(x)=-f(-x)，所以 f(x)为奇函数 当 时，f“(x)0当 时，f“(x)的分子中两项记为 a-b，a0，b0，考虑 故 0ab所以当 (2).讨论曲线 y=f(x)的凹凸性，拐点，渐近线，并根据以上的讨论结果，画出曲线 y=f(x)的大致图形（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 所以当-x0 时，曲线 y=f(x)的图形是凸的，当 0x+时曲线的图形是凹的点(0，f(0)为拐点 易知无铅直渐近线，考虑水平渐近线： 所以沿 x+方向有水平渐近线 y=-1由于 f(x)
19、为奇函数，所以沿 x-方向有一条水平渐近线y=1其图形如图所示： (1).设常数 k0， （分数：5.00）_正确答案：()解析：证 ，故至少存在一个零点 又 ，故至多存在一个零点，所以 F(x)有且仅有一个零点，记为 (2).证明：级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证 由 ，且级数 收敛，所以级数 收敛，且 设微分方程 （分数：10.00）(1).作自变量变换 t=lnx以及因变量变换 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 t=lnx，有 得 再由 ，得 z关于 t的微分方程为 (2).求原微分方程的通解（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由上述方程 解得 得
20、解得 设 （分数：11.00）(1).求满足 AX-XA=0的所有 X；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 用待定元素法求 X设 ，代入方程，则 各元素为零，得齐次线性方程组 对系数矩阵 B作初等行变换 得基础解系 1 =(2，2，1，0) T ， 2 =(1，0，0，1) T ， 通解为 ，其中 k 1 ，k 2 是任意常数 则 (2).方程 AX-XA=E，其中 E是 2阶单位矩阵，问方程是否有解若有解，求满足方程的所有 X，若无解，说明理由（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 设 ，同上一小题有， 得线性非齐次方程组 设二次型 满足 AB=O，其中 （分数：11.01）(1
21、).用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由题设条件 ，故 B的 3个列向量都是 Ax=0的解向量，也是 A的对应于 =0 的特征向量，其中 线性无关且正交， ，故 =0 至少是二重特征值 又因 ，另一个特征值是 3 =2，故 1 = 2 =0是二重特征值因 A是实对称矩阵，故对应 3 =2的特征向量应与 1 ， 2 正交，设 3 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则有 取 3 =(1，1，-2) T 故存在正交变换 x=Qy，其中 ，使得 (2).求该二次型；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 先求二次型对应矩阵，因 故 故
22、所求二次型为 (3).f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1表示什么曲面?（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 法一 由标准形知 表示两个平行平面 法二 由题得二次型 若 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1，得 设二维随机变量(U，V)的概率密度为 又设 X与 Y都是离散型随机变量，其中 X只取-1，0，1 三个值，Y 只取-1，1 两个值，且EX=0.2，EY=0.4又 PX=-1，Y=1=PX=1，Y=-1=PX=0，Y=1 （分数：11.00）(1).(X，Y)的概率分布；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由题意 于是 PX=-1，Y=1=PX=1，Y=-1=PX=0
23、，Y=1=0.25 设(X，Y)的概率分布为 则 即 因此(X，Y)的概率分布为 (2).Cov(X，Y)（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 C OV (X，Y)=E(XY)-EXEY， 其中 E(XY)=(-1)10.25+1(-1)0.25+110.2=-0.3，又 EX=0.2，EY=0.4，所以 C OV (X，Y)=-0.3-0.20.4=-0.38设 X 1 ，X 2 ，X n 来自总体 X的一个简单随机样本，X 的密度函数为 （分数：11.01）(1).求 的最大似然估计量 ，并求 （分数：3.67）_正确答案：()解析：解 似然函数为 显然 L()是 的单调增函数，因此 的最大似然估计量为 又 X min 的概率密度函数为 g(x)=ne -n(x-) ，x0，故 (2).求 的矩估计量 ，并求 （分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由于 ，令 +1=X， 所以 的矩估计量为： 又 故 (3).数理统计中有一个均方误差准则(MSE 准则)： 设 是 的估计量，称 为估计量 与参数真值 的均方误差，简记为 ，即 求证： 均方误差是评价点估计的最一般的标准，均方误差越小的估计越好请问在均方误差准则下，当 n2 时，（分数：3.67）_正确答案：()解析：证 由 MSE准则的定义得到 由第一小题得 由第二小题得 所以当 n2 时， ，所以 比
