1、考研数学一-407 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在(-，+)内连续且严格单调增加，f(0)=0，常数 n 为正奇数并设 （分数：4.00）A.F(x)在(-，0)内严格单调增，在(0，+)内也严格单调增B.F(x)在(-，0)内严格单调增，在(0，+)内严格单调减C.F(x)在(-，0)内严格单调减，在(0，+)内严格单调增D.F(x)在(-，0)内严格单调减，在(0，+)内也严格单调减2.设以 a n 0(n=1，2，)，下述命题正确的是_ A设存在 N0，当 nN 时， ，则 必收敛 B设 收敛，则必存在
2、N0，当 nN 时， C设存在 N0，当 nN 时， ，则 必发散 D设 发散，则必存在 N0，当 nN 时， （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 D=(x，y)|x 2 +y 2 0，l 是 D 内的任意一条逐段光滑的简单封闭曲线，则下列第二型曲线积分必有_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4. _ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 是 33 矩阵， 1 ， 2 ， 3 是互不相同的 3 维列向量，且都不是方程组 Ax=0 的解，记B=( 1 ， 2 ， 3 )，且满足 r(AB)r(A)，r(AB)r(B)则 r(AB)等于_（分数：4.
3、00）A.0B.1C.2D.36.设 A，B 均是 n(n0)阶方阵，方程 AX=0 和 BX=0 有相同的基础解系 1 ， 2 ， 3 ，则下列方程组中也以 1 ， 2 ， 3 为基础解系的是_ A(A+B)X=0 B(AB)X=0 C(BA)X=0 D （分数：4.00）A.B.C.D.7.将一枚均匀硬币连续抛 n 次，以 A 表示“正面最多出现一次”，以 B 表示“正面和反面各至少出现一次”，则_ An=2 时，A 与 B 相互独立 Bn=2 时， （分数：4.00）A.B.C.D.8.甲乙两人约定在 812 点某地会面，设两人 8 点后 X 与 Y 小时到达会面地点，且两人到达时间相互
4、独立且均服从0，4上的均匀分布，则先到者的平均等待时间为多少小时_ A B C1 D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设常数 a0，曲线 （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.由参数式 （分数：4.00）12.微分方程 （分数：4.00）13.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T AX 的正惯性指数为 1，又矩阵 A 满足 A 2 -2A=3E，则此二次型的规范形是 1 （分数：4.00）14.设随机变量 X 的概率密度为 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知ABC 的面积为 S，三边
5、长分别为 a，b，c在该三角形内求一点 P，使该点到ABC 三边的距离的乘积为最大并求出乘积最大时的这三个距离及此乘积的最大值 （分数：10.00）_(1).设 0x+，证明存在 ，01，使 （分数：5.00）_(2).求出上一小题中 关于 x 的函数具体表达式 =(x)，并求出当 0x+时函数 (x)的值域（分数：5.00）_16.设常数 a，b，c 均为正数，且各不相等有向曲面 求第二型曲面积分 （分数：10.00）_17.设常数 0，积分 （分数：10.00）_(1).设 计算变限积分 （分数：5.00）_(2).求微分方程 满足初始条件 （分数：5.00）_18.设 A，B，X 均是
6、3 阶矩阵，其中 （分数：11.00）_设 A，B，C 均是 3 阶矩阵，满足 AB=-2B，CA T =2C 其中 （分数：11.00）(1).求 A；（分数：5.50）_(2).证明：对任何 3 维向量 ，A 100 与 必线性相关（分数：5.50）_等边三角形 ROT(如图)的边长为 1，在三角形内随机地取点 Q(X，Y)(意指随机点(X，Y)在三角形 ROT 内均匀分布)求： （分数：11.01）(1).点 Q 到底边 OT 的距离的概率密度；（分数：3.67）_(2). （分数：3.67）_(3).f X|Y (x|y)（分数：3.67）_19.设总体 X 的概率密度为 （分数：11
7、.00）_考研数学一-407 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在(-，+)内连续且严格单调增加，f(0)=0，常数 n 为正奇数并设 （分数：4.00）A.F(x)在(-，0)内严格单调增，在(0，+)内也严格单调增B.F(x)在(-，0)内严格单调增，在(0，+)内严格单调减C.F(x)在(-，0)内严格单调减，在(0，+)内严格单调增 D.F(x)在(-，0)内严格单调减，在(0，+)内也严格单调减解析：解析 法一 利用积分中值定理， 其中，若 x0，则 0x；若 x0，则 x0 当 x0 时则有 0 n x n
8、 ，由于 f(x)严格单调增且 f(0)=0，从而 0f()f(x)及 0 n f()x n f(x)于是 F“(x)0 当 x0 时，则有 x n n 0，并且 f(x)f()0于是仍有 x n (x) n f()0所以 F“(x)0选 C 法二 当 x0 时，0tx，0f(t)f(x)，0t n f(t)x n f(x)，从而 F“(x)0 当 x0 时，xt0，x n t n 0，f(x)f(t)0，于是 2.设以 a n 0(n=1，2，)，下述命题正确的是_ A设存在 N0，当 nN 时， ，则 必收敛 B设 收敛，则必存在 N0，当 nN 时， C设存在 N0，当 nN 时， ，则
9、 必发散 D设 发散，则必存在 N0，当 nN 时， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 在 C 的条件下，必有 ，从而推知级数发散A 的反例： 但 发散；B 的反例：收敛但当 n 为奇数时，3.设 D=(x，y)|x 2 +y 2 0，l 是 D 内的任意一条逐段光滑的简单封闭曲线，则下列第二型曲线积分必有_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 对于 A 和 B，令 ，通过具体计算，易知 (当(x，y)(0，0)所以当 l 不包含(0，0)在其内部时， B 不正确若取 l 为 x=cost，y=sint，t 从 0 至 2，则 A 中 所以 A 不正确
10、 对于 C 和 D，令 ，通过具体计算，也有 当 l 不包含(0，0)在其内部时， ，D 不正确，若取 l 为 x=cost，y=sint，不妨认为 t 从- 到 ，则 所以对于 D 内任意 l， 4. _ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由上、下限知，积分区域 D=D 1 D 2 =(x，y)|0x1，0y1(X，y)|lnyx1，1ye =(x，y)|0ye x ，0x1， 则 而 可看成半径为 e x 的 圆面积，为 所以 5.设 A 是 33 矩阵， 1 ， 2 ， 3 是互不相同的 3 维列向量，且都不是方程组 Ax=0 的解，记B=( 1 ， 2 ，
11、 3 )，且满足 r(AB)r(A)，r(AB)r(B)则 r(AB)等于_（分数：4.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析 已知 i (i=1，2，3)都不是 Ax=0 的解，即 AB0，r(AB)1又 r(AB)r(A)，则矩阵B 不可逆(若 B 可逆，则 r(AB)=r(A)，这和 r(AB)r(A)矛盾)，r(B)2，从而 r(AB)r(B)2，即 r(AB)1，从而有 r(AB)=16.设 A，B 均是 n(n0)阶方阵，方程 AX=0 和 BX=0 有相同的基础解系 1 ， 2 ， 3 ，则下列方程组中也以 1 ， 2 ， 3 为基础解系的是_ A(A+B)X=0 B(AB)
12、X=0 C(BA)X=0 D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 AX=0 和 BX=0 有相同的基础解系，是同解方程显然 1 ， 2 ， 3 也满足 ，又因 故 没有比 AX=0(或 BX=0)更多的解故 AX=0，BX=0 和 7.将一枚均匀硬币连续抛 n 次，以 A 表示“正面最多出现一次”，以 B 表示“正面和反面各至少出现一次”，则_ An=2 时，A 与 B 相互独立 Bn=2 时， （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 当 n=2 时， 由 P(AB)P(A)P(B)知 A 与 B 不相互独立，排除 A 又 P(A)P(B)知 ，排除 B AB=B，故 A
13、与 B 互不相容不成立，排除 C 当 n=3 时， 8.甲乙两人约定在 812 点某地会面，设两人 8 点后 X 与 Y 小时到达会面地点，且两人到达时间相互独立且均服从0，4上的均匀分布，则先到者的平均等待时间为多少小时_ A B C1 D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题意知，(X，Y)服从区域 D=(x，y)|0x4，0y4上的均匀分布，X 与 Y 相互独立，则 ，其中(x，y)D先到者的等待时间为|X-Y|，故先到者的平均等待时间为二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设常数 a0，曲线 （分数：4.00）解析：x+y=2a，z=a 解析 将 x 看成自变量
14、，方程两边对 x 求导，得 yz+xy“z+xyz“=0 及 x+yy“=az“将(x，y，z)=(a，a，a)代入，得 y“(a)+z“(a)=-1，y“(a)-z“(a)=-1解得 y“(a)=-1，z“(a)=0 所以切线方程为 10. （分数：4.00）解析： 解析 用球面坐标， 11.由参数式 （分数：4.00）解析： 解析 ，t=0 时对应的点为 12.微分方程 （分数：4.00）解析： ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数 解析 此为欧拉方程令 x=e t ，于是 所以原方程化为 按 y 对 t 的二阶常系数线性非齐次微分方程的解法解之，得通解 13.设二次型 f(x 1 ，x
15、2 ，x 3 )=x T AX 的正惯性指数为 1，又矩阵 A 满足 A 2 -2A=3E，则此二次型的规范形是 1 （分数：4.00）解析： 解析 由 A 2 -2A=3E 知 A 2 -2A-3E=(A-3E)(A+E)=O，且 A-E，A3E，因此|A-3E|=0 且|A+E|=0A 有特征值 =3，=-1 因为 A 的正惯性指数 P=1，故规范形为 14.设随机变量 X 的概率密度为 （分数：4.00）解析：解析 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知ABC 的面积为 S，三边长分别为 a，b，c在该三角形内求一点 P，使该点到ABC 三边的距离的乘积为最大并求出乘积最大
16、时的这三个距离及此乘积的最大值 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 设点 P 到边长分别为 a，b，c 的边的距离分别为 x，y，z于是 即 ax+by+cz-2S=0 令 F(x，y，z，)=xyz+(ax+by+cz-2S)， 由拉格朗日乘数法， 解得 当点 P 在三角形的边上时，xyz=0而 P 在三角形内部时，xyz0所以当点 P 在三角形内部时，乘积xyz 有最大值所以当 时，xyz 最大，最大值为 (1).设 0x+，证明存在 ，01，使 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证 取 ，由拉格朗日中值定理有 f(x+1)-f(x)=f“()(x+1-x)， 即 (2).
17、求出上一小题中 关于 x 的函数具体表达式 =(x)，并求出当 0x+时函数 (x)的值域（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由上一小题有 两边平方： 故 (x)在区间(0，+)上严格单调增加又 所以值域为 16.设常数 a，b，c 均为正数，且各不相等有向曲面 求第二型曲面积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 以 S 的方程 代入分母，得 加、减曲面 S 1 =(x，y，z)|z=0，x 2 +y 2 1，下侧，并记 再用高斯公式，有 分别计算上述积分由球面坐标， 同理 令 D=(x，y)|x 2 +y 2 1，于是 从而 17.设常数 0，积分 （分数：10.00）_
18、正确答案：()解析：解 当 时， ，从而 且 cosxsinx于是知 I 1 I 2 ，即 (1).设 计算变限积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由分部积分， (2).求微分方程 满足初始条件 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 将方程 两边对 x 积分，从 x=1 到 x=x，由上一小题，得 故有 即 此为一阶线性微分方程，由通解公式， 由于 所以通解为 因为 x=1 时， ，则有 ，所以 故所求的特解为 18.设 A，B，X 均是 3 阶矩阵，其中 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由题设条件，矩阵方程为(A-B)X=B， 将 X 和 B 以列分块，则矩
19、阵方程为 对增广矩阵 作初等行变换 a=-1 时， ，矩阵方程无解； a-1 时， ，矩阵方程有解且仅有唯一解 其中(A-B)X 1 = 1 有解 (A-B)X 2 = 2 有解 2 =(-1，2，1) T ， (A-B)X 3 = 3 有解 故解得 设 A，B，C 均是 3 阶矩阵，满足 AB=-2B，CA T =2C 其中 （分数：11.00）(1).求 A；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由题设条件AB=-2B，将 B 按列分块，设 B=( 1 ， 2 ， 3 )，则有 A( 1 ， 2 ， 3 )=-2( 1 ， 2 ， 3 )，即 A i =-2 i ，i=1，2，3，故
20、 i (i=1，2，3)是 A 的对应于 =-2的特征向量又因 1 ， 2 线性无关， 3 = 1 + 2 ，故 1 ， 2 是 A 的属于 =-2 的线性无关特征向量CA T =2C，两边转置得 AC T =2C T ，将 C T 按列分块，设 C T =( 1 ， 2 ， 3 )，则有 A( 1 ， 2 ， 3 )=2( 1 ， 2 ， 3 )，A i =2 i ，i=1，2，3，故 i (i=1，2，3)是A 的属于 =2 的特征向量，因 1 ， 2 ， 3 互成比例，故 1 是 A 的属于特征值 =2 的线性无关的特征向量 取 P=( 1 ， 2 ， 1 )，则 P 可逆，且 其中 (
21、2).证明：对任何 3 维向量 ，A 100 与 必线性相关（分数：5.50）_正确答案：()解析：证 因 A i =-2 i (i=1，2)，故 A 100 i =(-2) 100 i =2 100 i (i=1，2)，A 1 =2 1 ，故 A 100 1 =2 100 1 对任意的 3 维向量 ，因 1 ， 2 ， 1 线性无关， 可由 1 ， 2 ， 1 线性表示，且表示法唯一 设 = 1 1 + 2 2 + 3 1 ，则 A 100 =A 100 ( 1 1 + 2 2 + 3 1 )= 1 A 100 1 + 2 A 100 2 + 3 A 100 1 = 1 2 100 1 +
22、2 2 100 2 + 3 2 100 1 =2 100 ( 1 1 + 2 2 + 3 1 )=2 100 得证 A 100 和 成比例，A 100 和 线性相关等边三角形 ROT(如图)的边长为 1，在三角形内随机地取点 Q(X，Y)(意指随机点(X，Y)在三角形 ROT 内均匀分布)求： （分数：11.01）(1).点 Q 到底边 OT 的距离的概率密度；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 因三角形 ROT 的面积为 ，故(X，Y)的概率密度为 点 Q(X，Y)到底边 OT 的距离就是 Y，因而求 Q 到 OT 的距离的概率密度，就是求(X，Y)关于 Y 的边缘密度，从而 (2). （分数：3.67）_正确答案：()解析：解 如图所示： (3).f X|Y (x|y)（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 在 条件下， 19.设总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 因为 f(x；，)0，所以 0，0 又 故 故矩估计量 ，矩估计值 似然函数 L()=f(x 1 ；)f(x 2 ；)f(x 8 ；)= 5 (1-) 3 ， 故 lnL()=5ln+3ln(1-) 令 所以最大似然估计值
