1、考研数学一-405 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 g(x)在 x=0 的某邻域内连续且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.f(0)不是 f(x)的极值D.f(0)是否为 f(x)的极值要由具体的 g(x)决定2.设 （分数：4.00）A.在区间(-，0)内是严格单调增，在(0，+)内严格单调减B.在区间(-，0)内是严格单调减，在(0，+)内严格单调增C.在区间(-，0)与(0，+)内都是严格单调增D.在区间(-，0)与(0，+)内都是严格单调减3.设 （分数：4.00
2、）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可微D.可微4.设 f(x)在 x=x 0 的某邻域内连续，且在该邻域内 xx 0 处 f“(x)存在，则 （分数：4.00）A.充分必要条件B.必要条件而非充分条件C.充分条件而非必要条件D.既非充分又非必要条件5.设 A，B 是 n 阶实对称可逆矩阵则下列关系错误的是_ A.A，B 等价 B.AB，BA 相似 C.A，B 合同 D.A2，B 2合同（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A 是 3 阶矩阵， 1 =(1，2，-2) T ， 2 =(2，1，-1) T ， 3 =(1，1，t) T 是线性非齐次方程组 Ax=b 的解向量，其中
3、 b=(1，3，-2) T ，则_（分数：4.00）A.t=-1 时，必有 r(A)=1B.t=-1 时，必有 r(A)=2C.t-1 时，必有 r(A)=1D.t-1 时，必有 r(A)=27.设(X，Y)为二维连续型随机变量，则在下列各项公式都有意义的条件下 f(x，y)=f X (x)f Y (y)； ，其中 （分数：4.00）A.1B.2C.3D.48.设 A 与 B 是两随机事件，P(B)=0.6 且 P(A|B)=0.5，则 P(A （分数：4.00）A.0.1B.0.3C.0.5D.0.7二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.设 u=u(x，y，
4、z)具有二阶连续偏导数，且满足 又设 S 为曲面 x 2 +y 2 +z 2 =2az(a0)的外侧，则 （分数：4.00）11.设 e -x2 是 f(x)的一个原函数，则 （分数：4.00）12.设 e x sin 2 x 为某 n 阶常系数线性齐次微分方程的一个解，则该方程的阶数 n 至少是 1，该方程为 2 （分数：4.00）13.设 A，B，C 均是 3 阶矩阵，满足 AB=B 2 -BC，其中 （分数：4.00）14.设随机变量 X 的密度为 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求曲面 4z=3x 2 +3y 2 -2xy 上的点到平面 x-y-z=1
5、 的最短距离 （分数：10.00）_16.设 l 为自点 O(0，0)沿曲线 y=sinx 至点 A(，0)的有向弧段，求平面第二型曲线积分 （分数：10.00）_17.设 x 与 y 均大于 0 且 xy证明： （分数：10.00）_18.设 =(x，y，z)|x 2 +y 2 3z,1z4，求三重积分 （分数：10.00）_设数列a n 满足 a 0 =1，a 1 =1，a n+1 =3a n +4a n-1 (n=1，2，3，)（分数：10.00）(1).求幂级数 （分数：5.00）_(2).证明该幂级数的收敛域等于收敛区间（分数：5.00）_A 是 3 阶矩阵，有特征值 1 = 2 =
6、2，对应两个线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 =-2 对应的特征向量是 3 （分数：11.01）(1).问 1 + 2 是否是 A 的特征向量?说明理由；（分数：3.67）_(2). 2 + 3 是否是 A 的特征向量?说明理由；（分数：3.67）_(3).证明：任意三维非零向量 (0)都是 A 2 的特征向量，并求对应的特征值（分数：3.67）_19.设 A 是 n 阶矩阵，A 的第 i 行，第 j 列的元素 a ij =ij，求 ()r(A)； ()A 的特征值，特征向量，并问 A 能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由 （分数：11.00）_设随机变量 X 服
7、从参数为 的指数分布令 （分数：11.01）(1).PX+Y=0；（分数：3.67）_(2).Y 的分布函数；（分数：3.67）_(3).EY（分数：3.67）_设某种电子器件的寿命(以小时计)T 服从参数为 的指数分布，其中 0 未知从这批器件中任取 n只在时刻 t=0 时投入独立寿命试验，试验进行到预订时间 T 0 结束，此时有 k(0kn)只器件失效（分数：11.00）(1).求一只器件在时间 T 0 未失效的概率；（分数：5.50）_(2).求 的最大似然估计值（分数：5.50）_考研数学一-405 答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32
8、.00)1.设 g(x)在 x=0 的某邻域内连续且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.f(0)不是 f(x)的极值D.f(0)是否为 f(x)的极值要由具体的 g(x)决定解析：解析 当 x0 时， ，由于 g(x)在 x=0 处连续， 所以 即 2.设 （分数：4.00）A.在区间(-，0)内是严格单调增，在(0，+)内严格单调减B.在区间(-，0)内是严格单调减，在(0，+)内严格单调增C.在区间(-，0)与(0，+)内都是严格单调增 D.在区间(-，0)与(0，+)内都是严格单调减解析：解析 3.设 （分数：4.00）A.极限不存在
9、B.极限存在但不连续C.连续但不可微 D.可微解析：解析 所以 ，f(x，y)在点 O 处连续，排除 A，B下面考查 C 所以 若在点 O(0，0)处可微，则应有 但是上式并不成立，事实上， 4.设 f(x)在 x=x 0 的某邻域内连续，且在该邻域内 xx 0 处 f“(x)存在，则 （分数：4.00）A.充分必要条件B.必要条件而非充分条件C.充分条件而非必要条件 D.既非充分又非必要条件解析：解析 在所说前提及条件 下，由洛必达法则： 所以 ，从而知 的充分条件但不是必要条件，反 例如下：设 本例满足本题所说的前提(其中 x 0 =0)， 不存在， 而 却是存在的所以 5.设 A，B 是
10、 n 阶实对称可逆矩阵则下列关系错误的是_ A.A，B 等价 B.AB，BA 相似 C.A，B 合同 D.A2，B 2合同（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 A 成立，A，B 均是可逆矩阵，均可以通过初等行变换化成单位矩阵，即有可逆矩阵 P，Q，使得 PA=QB=E，即有 Q -1 PA=B，故 B 成立，取可逆矩阵 P=A，则有 P -1 (AB)P=A -1 (AB)A=BA故 ABBA D 成立，A，B 是实对称可逆矩阵，特征值分别为 i ， i (i=1，2，n)且均不为零，A 2 ，B 2 的特征值分别为 ，则 A 2 ，B 2 均是正定矩阵它们的正惯性指数均为 n(负惯
11、性指数为零)故 由排除法，应选 C 对于 C，取 6.设 A 是 3 阶矩阵， 1 =(1，2，-2) T ， 2 =(2，1，-1) T ， 3 =(1，1，t) T 是线性非齐次方程组 Ax=b 的解向量，其中 b=(1，3，-2) T ，则_（分数：4.00）A.t=-1 时，必有 r(A)=1B.t=-1 时，必有 r(A)=2C.t-1 时，必有 r(A)=1 D.t-1 时，必有 r(A)=2解析：解析 法一 由 1 ， 2 ， 3 是 Ax=b 的解向量，t-1 时，r(B)=3，知 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 - 2 ， 2 - 3 是对应齐次方程组 Ax=0 的两个线
12、性无关解，故 r(A)1，但 A0(若 A=O，则Ax=b 无解，这和题设条件矛盾)，故必有 r(A)=1，故应选 C 法二 A i =b(i=1，2，3)，故有 7.设(X，Y)为二维连续型随机变量，则在下列各项公式都有意义的条件下 f(x，y)=f X (x)f Y (y)； ，其中 （分数：4.00）A.1 B.2C.3D.4解析：解析 需要独立条件才成立； 应该为 8.设 A 与 B 是两随机事件，P(B)=0.6 且 P(A|B)=0.5，则 P(A （分数：4.00）A.0.1B.0.3C.0.5D.0.7 解析：解析 由于 又 P(B)=0.6，则 P(AB)=0.3 所以 二、
13、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析： 解析 再令 tanx=t，有 x=arctant， 10.设 u=u(x，y，z)具有二阶连续偏导数，且满足 又设 S 为曲面 x 2 +y 2 +z 2 =2az(a0)的外侧，则 （分数：4.00）解析： 解析 由高斯公式，以 表示 S 所围的球域，有 11.设 e -x2 是 f(x)的一个原函数，则 （分数：4.00）解析： 解析 由条件知 f(x)=(e -x2 )“=-2xe -x2 而 f“(x)=-2e -x2 +4x 2 e -x2 ， 所以 12.设 e x sin 2 x 为某 n 阶常系数线性齐次微分
14、方程的一个解，则该方程的阶数 n 至少是 1，该方程为 2 （分数：4.00）解析：3；y“-3y“+7y“-5y=0 解析 13.设 A，B，C 均是 3 阶矩阵，满足 AB=B 2 -BC，其中 （分数：4.00）解析： 解析 ，故 B 可逆，则由 AB=B 2 -BC=B(B-C)，得 A=B(B-C)B -1 ， 于是 A 5 =B(B-C)B -1 B(B-C)B -1 B(B-C)B -1 =B(B-C) 5 B -1 ， 又易知 故 14.设随机变量 X 的密度为 （分数：4.00）解析：43 解析 由 X 的概率密度函数知 ，则 由 YP(1)，有 EY=DY=1，故 三、解答
15、题(总题数：9，分数：94.00)15.求曲面 4z=3x 2 +3y 2 -2xy 上的点到平面 x-y-z=1 的最短距离 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 设曲面上的点的坐标为(x，y，z)，其到平面 x-y-z=1 的距离为 在约束条件 3x 2 +3y 2 -2xy-4z=0 下，求 d 2 的最小值为此，令 解之得唯一解 ，此点到平面的距离为最小，且 16.设 l 为自点 O(0，0)沿曲线 y=sinx 至点 A(，0)的有向弧段，求平面第二型曲线积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 令 ，而 17.设 x 与 y 均大于 0 且 xy证明： （分数：1
16、0.00）_正确答案：()解析：证 不妨认为 yx0(因若 xy0，则变换所给不等式左边的 x 与 y，由行列式的性质知，左式的值不变)，则 由柯西中值定理知，存在 (x，y)使上式 18.设 =(x，y，z)|x 2 +y 2 3z,1z4，求三重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 用柱面坐标，dv=rdrddz， 设数列a n 满足 a 0 =1，a 1 =1，a n+1 =3a n +4a n-1 (n=1，2，3，)（分数：10.00）(1).求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由所给条件知 令 ，得 b n 0(n=0，1，2，)，且 而 为一确定的
17、数，令 n，由夹逼定理得 故知 的收敛半径 ，收敛区间为 和函数： 所以 (2).证明该幂级数的收敛域等于收敛区间（分数：5.00）_正确答案：()解析：证 既然由上一小题已证 即 另一方面，由展开式的唯一性， (*)式的第 1 个级数当 或 时均发散，而第 2 个级数当 或 时均收敛所以级数 当 或 时均发散故而级数 的收敛域也是 A 是 3 阶矩阵，有特征值 1 = 2 =2，对应两个线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 =-2 对应的特征向量是 3 （分数：11.01）(1).问 1 + 2 是否是 A 的特征向量?说明理由；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 1 + 2 仍
18、是 A 的对应于 1 = 2 =2 的特征向量 因已知 A 1 =2 1 ，A 2 =2 2 ，故 A( 1 + 2 )=A 1 +A 2 =2 1 +2 2 =2( 1 + 2 )(2). 2 + 3 是否是 A 的特征向量?说明理由；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 2 + 3 不是 A 的特征向量假设是，设其对应的特征值为 ，则有 A( 2 + 3 )=( 2 + 3 )， 得 2 2 -2 3 - 2 - 3 =(2-) 2 -(2+) 3 =0， 因 2- 和 2+ 不同时为零，故 2 ， 3 线性相关，这和不同特征值对应的特征向量线性无关矛盾，故 2 + 3 不是 A 的
19、特征向量(3).证明：任意三维非零向量 (0)都是 A 2 的特征向量，并求对应的特征值（分数：3.67）_正确答案：()解析：因 A 有特征值 1 = 2 =2， 3 =-2，故 A 2 有特征值 1 = 2 = 3 =4对应的特征向量仍是 1 ， 2 ， 3 ，且 1 ， 2 ， 3 线性无关故存在可逆矩阵 P=( 1 ， 2 ， 3 )，使得 P -1 A 2 P=4E，A 2 =P(4E)P -1 =4E， 从而对任意的 0，有 A 2 =4E=4，故知任意非零向量 都是 A 2 的对应于 =4 的特征向量19.设 A 是 n 阶矩阵，A 的第 i 行，第 j 列的元素 a ij =i
20、j，求 ()r(A)； ()A 的特征值，特征向量，并问 A 能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 法一 ()由题设条件知 ，且 ，故 r(A)=1 ()由 A 的特征多项式 故 A 有特征值 当 1 = 2 = n-1 =0 时，方程组(E-A)x=0 就是方程组 Ax=0，其同解方程是 x 1 +2x 2 +nx n =0，解得对应的特征向量为 k 1 1 +k 2 2 +k n-1 n-1 ，其中 1 =(-2，1，0，0) T ， 2 =(-3，0，1，0，0) T ， n-1 =(-n，0，0，1) T ，k 1 ，
21、k 2 ，k n-1 为不全为零的任意常数 当 时，( n E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换，得 方程组的同解方程组为 解得对应的特征向量为 k n n ，其中 n =(1，2，n) T ，k n 为任意的非零常数 从而知 A 有，n 个线性无关的特征向量， ，取 则 法二 ()由题设条件 ，A 中第 i 行元素是第 1 行的 i 倍，故有 其中 =(1，2，n) T 0故 r(A)=1 ()因 ，故知 A 的特征值为 0， 当 =0 时，对应的特征向量满足 Ax= T x=0，因 在方程 T x=0 两边左乘 T ， 得 T ( T x)=( T ) T x=0，得 T x=0 当 T
22、 x=0 时，两边左乘 ，得 T =0，故方程组 T x=0 与 T x=0 同解解方程 T x=O，得线性无关的特征向量为 1 =(-2，1，0，0) T ， 2 =(-3，0，1，0，0) T ， n-1 =(-n，0，0，1) T ， 因此对应于 =0 的特征向量为 k 1 1 +k 2 2 +k n-1 n-1 ，k 1 ，k 2 ，k n-1 为不全为零的任意常数 又 ，故 A 有一个非零特征值 当 时，由( n E-A)x=( T E- T )x=0，当 x= 时，有 ( T E- T )=( T )-( T )=( T )=( T )=0， 故 =k n (1，2，n) T (k
23、 n 0)是对应于 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布令 （分数：11.01）(1).PX+Y=0；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 PX+Y=0=PY=-X=P|X|1=PX1=e - (2).Y 的分布函数；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 F Y (y)=PYy=PYy，|X|1+PYy，|X|1 =PXy，-1X1+P-Xy，X1+P-Xy，X-1 =PXy，-1X1+PX-y，X1+PX-y，X-1 当 y-1 时，F Y (y)=PX-y=e y ； 当-1y0 时，F Y (y)=P-1Xy+PX1=e - ； 当 0y1 时，F Y (y)=P-1Xy+
24、PX1=1-e -y +e - ； 当 1y 时，F Y (y)=1 Y 的分布函数为 (3).EY（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 设某种电子器件的寿命(以小时计)T 服从参数为 的指数分布，其中 0 未知从这批器件中任取 n只在时刻 t=0 时投入独立寿命试验，试验进行到预订时间 T 0 结束，此时有 k(0kn)只器件失效（分数：11.00）(1).求一只器件在时间 T 0 未失效的概率；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 记 T 的分布函数为 F(t)， (2).求 的最大似然估计值（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 考虑事件 A=试验直至时间 T 0 为止，有 k 只器件失效，而有 n-k 只未失效的概率 由于各只器件的试验是相互独立的，因此事件 A 的概率为 这就是所求的似然函数取对数得 令 得 ne -T 0 =n-k 解得 的最大似然估计值为
