1、考研数学一-404 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 f(x)在点 x 0 处的左、右导数都存在，则 f(x)在点 x 0 处（分数：4.00）A.可导B.连续C.不可导D.不一定连续2.设 （分数：4.00）A.连续B.有一个可去间断点C.有一个跳跃间断点D.有一个第二类间断点3.设函数 f(x)有二阶导数，且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点4.
2、设可微函数 f(x，y)满足 ， （分数：4.00）A.f(1，1)1B.f(-1，1)-2C.f(-1，-1)0D.f(1，-1)25.已知 ， 1 ， 2 ， 3 均为 4 维列向量，若|A|=|， 1 ， 2 ， 3 |=3，|B|=|， 1 ， 2 ， 3 |=1，则|A+2B|=（分数：4.00）A.135B.45C.15D.816.三元二次型 xTA=(x 1+3x2+ax3)(x1+5x2+bx3)的正惯性指数 p=（分数：4.00）A.1B.2C.3D.与 a，b 有关7.设 A，B 为两个随机事件，且 A B，则 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变
3、量 X 与 Y 相互独立，且均服从参数为 1 的指数分布，则 Pmin(X，Y)2)= A.1-e-2 B.1-e-4 C.(1-e-1)2 D.(1-e-2)2（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 n 为正整数，则 （分数：4.00）10.设 f(x，y)为连续函数，且 f(x，y)=y 2 +x （分数：4.00）11.设 Q 为区域 x 2 +y 2 +z 2 1，则 （分数：4.00）12.设有向量场 A=2x 3 yzi-x 2 y 2 zj-x 2 yz 2 k，则其散度 divA 在点 M(1，1，2)处沿方向 l=2，2，-1)的方
4、向导数 （分数：4.00）13.二次型 （分数：4.00）14.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自标准正态总体 X 的简单随机样本，记 ， ， （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.设对任意分片光滑有向闭曲面 S，都有 （分数：10.00）_17.设 f(x，y)有二阶连续导数，g(x，y)=f(e xy ，x 2 +y 2 )，且 （分数：10.00）_18.求幂级数 （分数：10.00）_19.设 f(x)和 g(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=f(1)=-1， （分数：10.00）_20.已知齐次线性方
5、程组 () 和() （分数：11.00）_21.设 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 3 维列向量，其中 3 0，若 A 1 = 2 ，A 2 = 3 ，A 3 =0 ()证明 1 ， 2 ， 3 线性无关； ()求矩阵 A 的特征值和特征向量； ()求行列式|A+2E|的值 （分数：11.00）_22.设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布的部分数据如下： （分数：11.00）_23.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，而 XB(1，p)，0p1，记 ， ()试求 的概率分布； ()证明 （分数：11.00）_考研数学一-404 (1)答案解析(总分
6、：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 f(x)在点 x 0 处的左、右导数都存在，则 f(x)在点 x 0 处（分数：4.00）A.可导B.连续 C.不可导D.不一定连续解析：解析 由 f(x)在点 x 0 处的左、右导数都存在可知，f(x)在点 x 0 处左连续且右连续，故 f(x)在点 x 0 处连续2.设 （分数：4.00）A.连续B.有一个可去间断点C.有一个跳跃间断点 D.有一个第二类间断点解析：解析 当 0x2 时， 当 2x 时， 3.设函数 f(x)有二阶导数，且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是
7、 f(x)的极小值 C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析 由 ， 得 ， 又由 f(x)二阶可导知 f(x)连续，所以 则 ， ，且 则 ， 4.设可微函数 f(x，y)满足 ， （分数：4.00）A.f(1，1)1B.f(-1，1)-2C.f(-1，-1)0D.f(1，-1)2 解析：解析 f(1，-1)=f(1，-1)-f(0，-1)+f(0，-1)-f(0，0) =f“ x (，-1)-f“ y (0，) (拉格朗日中值定理) 1+1=2 故应选 D5.已知 ， 1 ， 2 ， 3 均为 4
8、维列向量，若|A|=|， 1 ， 2 ， 3 |=3，|B|=|， 1 ， 2 ， 3 |=1，则|A+2B|=（分数：4.00）A.135 B.45C.15D.81解析：解析 由 A+2B=(+2，3 1 ，3 2 ，3 3 ) 知|A+2B|=27|+2， 1 ， 2 ， 3 | =27(|A|+2|B|)=1356.三元二次型 xTA=(x 1+3x2+ax3)(x1+5x2+bx3)的正惯性指数 p=（分数：4.00）A.1 B.2C.3D.与 a，b 有关解析：解析 令 有 T A=y 1 y 2 再令 得 7.设 A，B 为两个随机事件，且 A B，则 A B C D （分数：4.
9、00）A.B.C. D.解析：解析 方法 1 A B 则 ，所以 ， 方法 2 8.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从参数为 1 的指数分布，则 Pmin(X，Y)2)= A.1-e-2 B.1-e-4 C.(1-e-1)2 D.(1-e-2)2（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 Pmin(X，Y)2=1-Pmin(X，Y)2=1-PX2，Y2 =1-PX2PY2)=1-e -2 e -2 =1-e -4 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 n 为正整数，则 （分数：4.00）解析：解析 10.设 f(x，y)为连续函数，且 f(x，y)=y 2 +x （分数
10、：4.00）解析： 解析 等式 两端积分得 由奇偶性知 由变量对称性知 则 则 11.设 Q 为区域 x 2 +y 2 +z 2 1，则 （分数：4.00）解析： 解析 由变量的对称性知 12.设有向量场 A=2x 3 yzi-x 2 y 2 zj-x 2 yz 2 k，则其散度 divA 在点 M(1，1，2)处沿方向 l=2，2，-1)的方向导数 （分数：4.00）解析： 解析 divA=6x 2 yz-2x 2 yz-2x 2 yz=2x 2 yz 13.二次型 （分数：4.00）解析： 解析 二次型矩阵 ， 由 矩阵 A 的特征值：1，3，-2 那么经正交变换则二次型标准形为 ， 而规
11、范形是 用配方法亦可： 亦知规范形是 14.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自标准正态总体 X 的简单随机样本，记 ， ， （分数：4.00）解析： 解析 已知 ， ，ES 2 =DX=1 且 相互独立，也就有 与 S 相互独立 总之 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 解析 这是一个 型的极限，事实上 ，同样 16.设对任意分片光滑有向闭曲面 S，都有 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由题设对任意的分片光滑有向闭曲面 S，都有 及高斯公式得 其中 为曲面 S 所围的区域由曲面 S 的任意性知 (y+1)f“(
12、x)+(1-2y)f(x)+yf“(x)-2e x =0 即 yf“(x)-2f(x)+f“(x)+f“(x)+f(x)-2e x =0 从而有 17.设 f(x，y)有二阶连续导数，g(x，y)=f(e xy ，x 2 +y 2 )，且 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由题设 知 f(x，y)=-(x-1)-y+() 其中 18.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 因为 由于该幂级数缺偶次项，则收敛半径 当 x=-1 时，级数成为 该级数收敛； 当 x=1 时，级数成为 该级数收敛，因此，原幂级数收敛域为-1，1 令 则 又 S(0)=0，则 19.设 f(
13、x)和 g(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=f(1)=-1， （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 令 F(x)=(f(x)-x)e g(x) ，则 F(0)=-eg(0)0，F(1)=-2e g(1)0，又 20.已知齐次线性方程组 () 和() （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 对方程组()的系数矩阵 A 作初等行变换，有 可求出()的基础解系为 1 =(-1，1，-4，0) T ， 2 =(-a，0，-3a，1) T 对方程组()的系数矩阵 B 作初等行变换，有 由于()与()同解，r(A)=r(B)知 ，有 b=-1 由于()与()同解， 1 ，
14、 2 也是()的基础解系，它应是 的解从而 21.设 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 3 维列向量，其中 3 0，若 A 1 = 2 ，A 2 = 3 ，A 3 =0 ()证明 1 ， 2 ， 3 线性无关； ()求矩阵 A 的特征值和特征向量； ()求行列式|A+2E|的值 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 ()设 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0 (1) 因为 A 1 = 2 ，A 2 = 3 ，A 3 =0， 用 A 左乘(1)式两端，有 k 1 2 +k 2 3 =0 (2) 再用 A 左乘(2)式两端，有 k 1 3 =0 由于 3 0故必有 k
15、 1 =0 把 k 1 =0 代入(2)得 k 2 =0把 k 1 =0，k 2 =0 代入(1)得 k 3 =0所以 1 ， 2 ， 3 线性无关 ()由于 据()知 1 ， 2 ， 3 线性无关，即矩阵 P=( 1 ， 2 ， 3 )可逆由 AP=PB 从而 22.设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布的部分数据如下： （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 ()首先将空白处填上待求未知数 显然 p 11 +0.02=0.1，故 p 11 =0.08 又因 0=EX=-1p 1 .+1p 2 .=p 2 .-p 1 .，也就有 p 1 .=p 2 .=0.5 所以 而 1=0.1+
16、p .2 +p .3 =0.1+(p 12 +p 22 )+(0.1+p 23 )，即 p 12 +p 22 +p 23 =0.8 再考虑到 p 22 +p 23 =0.48，所以 p 12 =0.32，进一步得 p 11 =0.08 总之现有 p 11 =0.08，p 12 =0.32，p 22 +p 23 =0.48 现考虑 X，Y 不相关，即 cov(X，Y)=0，也就有 EXY=EXEY=0 而 XY 的分布 由此得 EXY=-0.12+p 11 +p 23 =0，即 p 23 =0.04 而 p 22 +p 23 =0.48，p 22 =0.44 总之 ()X，Y 显然不独立，因 p ij p i. p .j. () 23.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，而 XB(1，p)，0p1，记 ， ()试求 的概率分布； ()证明 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 ()XB(1，p)，故 X 有分布 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，从而 ，即 的分布为 () 由于 X i 的取值仅为 0 或 1，故 所以 ()
