1、考研数学一-403 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在-，二阶连续可导， 是 f(x)的傅氏系数，则 （分数：4.00）A.B.C.D.2.盒中盛有 10 个分币，其中含有 0 个，1 个，2 个，10 个铜币是等可能的现向盒中放入一个铜币，然后随机从盒中取出一个分币，则这个分币为铜币的概率是（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 y=f(x)的导函数 f(x)在区间0，4上的图形如右图，则 f(x)（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 L 是从点 沿曲线 2y=x2到点 B(2，2)的弧段，则曲线积分
2、（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 n 维列向量 矩阵 A=E-4 T，其中 E 是 n 阶单位矩阵，若 n 维列向量 =(1，1，1) T，则向量 A 的长度为（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 X1，X 2，X n+1是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本，记 则（分数：4.00）A.B.C.D.8.二次型 xTAx=(x1+2x2+a3x3)(x1+5x2+b3x3)的正惯性指数 p 与负惯性指数 q 分别是（分数：4.00）A.p=2，q=1B.p=2，q=0C.p=1，q=1D.与 a3，b 3有关，不能确定二、填空题(总题
3、数：6，分数：24.00)9.已知当 x0 时 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 y=y(x)在0，+)可导，在 处的增量 y=y(x+Ax)-y(x)满足（分数：4.00）填空项 1:_11.设 (u，v，w)有一阶连续偏导数且 2- 30，z=z(x，y)是由 (x 2-y2，y 2-z2，z 2-x2)=0 确定的函数，则当 z0 时 （分数：4.00）填空项 1:_12.如果将柱坐标系中的三重积分 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知矩阵 A=( 1， 2， 3， 1)，B=( 3， 1， 2， 2)都是 4 阶矩阵，其中 1， 2， 3， 1， 2均是 4 维列向量若|
4、A|=1，|B|=2，则|A-2B|=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 （分数：4.00）_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：11.00）_16.设 f(x，y)在点(0，0)处连续，且()求 并讨论 f(x，y)在(0，0)处是否可微，若可微求出 （分数：11.00）_17.证明不等式 （分数：11.00）_18.求幂级数 （分数：11.00）_19.设 其中()选取参数 ，使得 （分数：11.00）_20.已知 4 元齐次线性方程组 （分数：11.00）_21.已知三元二次型 xTAx 的平方项系数均为 0，并且 =(1，2，-1) T满足 A=
5、2()求该二次型表达式；()求正交变换 x=Qy 化二次型为标准形，并写出所用坐标变换；()若 A+kE 正定，求 k 的值（分数：11.00）_22.设随机变量(X，Y)的联合概率密度为（分数：11.00）_23.设 X1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为（分数：6.00）_考研数学一-403 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在-，二阶连续可导， 是 f(x)的傅氏系数，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 *为考察*敛散性，要对 an进行估计为此要对 n。的表达式
6、作必要的变形分部积分*注意|cosx|1，f“(x)在-，连续，故有界*常数 M，使*收敛*收敛，即*绝对收敛故应选(B)2.盒中盛有 10 个分币，其中含有 0 个，1 个，2 个，10 个铜币是等可能的现向盒中放入一个铜币，然后随机从盒中取出一个分币，则这个分币为铜币的概率是（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析一 用全概率公式设盒中有 i 个铜币的事件为 Ai=1，2，11)，B 为取到铜币的事件，则*故应选(D)分析二 将该题看成有 11 个盒子，各盒中均有 11 个分币，其中依次有 1，2，11 个铜币现任取一盒，再从该盒中任取一个分币，则共有 121 个分币，每个分币被等可
7、能地取到，而其中铜币的个数为1+2+11=66，用古典概型，有*所以选(D)3.设 y=f(x)的导函数 f(x)在区间0，4上的图形如右图，则 f(x)（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 如右图，当 x(0，1)或 x(3，4)时*在(0，1)，(3，4)单调下降；当 x(1，3)时*在(1，3)单调上升又 f(x)在(0，2)单调上升*在(0，2)是凹的；f(x)在(2，4)单调下降*在(2，4)是凸的因此，应选(B)*4.设 L 是从点 沿曲线 2y=x2到点 B(2，2)的弧段，则曲线积分（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析一 直接化为定积分将*代入曲线积分得*故
8、应选(D)分析二 易求被积表达式的原函数，即*故应选(D)5.设 n 维列向量 矩阵 A=E-4 T，其中 E 是 n 阶单位矩阵，若 n 维列向量 =(1，1，1) T，则向量 A 的长度为（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 利用向量内积可计算出向量的长度由于*又 A TA=(E-4 T)T(E-4T)=(E-4 T)(E-4 T)=E-8 T+16( T) T=E-8 T+8 T=E，而*所以*故应选(B)注意*评注 本题考查用内积求向量的长度，因为本题中所给矩阵 A 是下交矩阵，因而可看出经正交就能换向量的长度不变，即|A|=|.6.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解
9、析：分析 *当 x0 时，由于*故*当 x0 时，由于*，故*于是*故*即 f(x)在点 x=0 处连续因此，选(D)评注 *7.设 X1，X 2，X n+1是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本，记 则（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 *由于 X1，X 2，X n+1相互独立，当 ij 时，cov(X i，X j)=0；当 i=j 时，cov(X i，X i)= 2，所以*故选(B)评注 *8.二次型 xTAx=(x1+2x2+a3x3)(x1+5x2+b3x3)的正惯性指数 p 与负惯性指数 q 分别是（分数：4.00）A.p=2，q=1B.p=2，q=0C.p=1，q
10、=1 D.与 a3，b 3有关，不能确定解析：分析 由惯性定理，经坐标变换二次型的正、负惯性指数是不变的，那么令*因为*所以()是坐标变换那么经坐标变换()，有xTAx=y1y2再令*那么经坐标变换()，有*故 p=1，q=1应选(C)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知当 x0 时 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：6）解析：分析 确定 n0 使得下面的极限存在且不为 0，即*其中*因此，n=610.设 y=y(x)在0，+)可导，在 处的增量 y=y(x+Ax)-y(x)满足（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=(1+x)1+ln(1+x)）解析：分析
11、 可转化成求解微分方程的初值问题将等式两边同除 x，并令 x0，注意*(可导必连续)，*于是得*这是一阶线性非齐次方程，两边乘以*得*两边积分得*即 y=(1+x)1+ln(1+x)11.设 (u，v，w)有一阶连续偏导数且 2- 30，z=z(x，y)是由 (x 2-y2，y 2-z2，z 2-x2)=0 确定的函数，则当 z0 时 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析一 方程两边求全微分得 1d(x2-y2)+ 2d(y2-z2)+ 3d(z2-x2)=0，即 1(2xdx-2ydy)+ 2(2ydy-2zdz)+ 3(2zdz-2xdx)=0，整理得 x( 1-
12、3)dx+y( 2- 1)dy=z( 2- 3)dz，于是*由 dx，dy 的系数分别为*分析二 代公式，先分别求出*与*方程记为 F(x，y)=0，其中F(x，y)=(x 2-y2，y 2-z2，z 2-x2)，*12.如果将柱坐标系中的三重积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 这是三重积分*作柱坐标变换(x=Fcos，y=rsin，z=z)后的累次积分将 的柱坐标表示*化为 Oxyz 中的直角坐标表示：* (x，y)D xy：x 2+y23，x0，y0*13.已知矩阵 A=( 1， 2， 3， 1)，B=( 3， 1， 2， 2)都是 4 阶矩阵，其中 1，
13、2， 3， 1， 2均是 4 维列向量若|A|=1，|B|=2，则|A-2B|=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：21）解析：分析 因为 A-2B=( 1-2 3， 2-2 1， 3-2 2， 1- 2)，则有|A-2B|=| 1-2 3， 2-2 1， 3-2 2， 1|-| 1-2 3， 2-2 1， 3-2 2，2 2|，又*于是有*类似地*有*所以 |A-2B|=-7-(-28)=2114.设随机变量 （分数：4.00）_解析：分析 由题设知 PX1+X20=0，而PX1+X20=PX 1=-1，X 2=-1+PX1=-1，X 2=0+PX1=0，X 2=-1+PX1=0
14、，X 2=1+PX1=1，X 2=1三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 ()由定积分的几何意义知*(这是以原点为心，半径为 x 的圆在第一象限部分的面积)再用分段积分法求 f(x)表达式中的另一积分：当 0x1 时*当 x1 时*于是*为求 f(x)在(0，+)上的最小值，先求 f(x)*由*f(x)在(0，+)的最小值点是*()由于*故*所以 f(x)在(0，+)不存在最大值)解析：16.设 f(x，y)在点(0，0)处连续，且()求 并讨论 f(x，y)在(0，0)处是否可微，若可微求出 （分数：11.00）_正确答案：(分析与
15、求解 ()当*再由 f(x，y)在点(0，0)处的连续性即得*由极限与无穷小的关系可知*由可微性概念*在点(0，0)处可微且*故*()由题()知 f(0，0)=1，于是由已知条件*再由极限不等式性质*当 0x 2+y2 2时*即 f(x，y)-f(0，0)0因此，f(x，y)在点(0，0)处取极小值)解析：17.证明不等式 （分数：11.00）_正确答案：(分析与证明 由*可得*又因当 x0 时 ln(1-x)0，而当 0x1 时 ln(1-x)0，故当 x1 且 x0 时总有 xln(1-x)0，于是*考察函数 f(x)=x+ln(1-x)-xln(1-x)，知 f(0)=0，且*故 f(x
16、)当 x0 时单调减少，从而 f(x)f(0)=0 当 x0 时成立，又 f(x)当 0x1 时单调增加，从而f(x)f(0)=0 当 0x1 时成立综合即得 f(x)0 当 x1 且 x0 时成立这表明不等式*当 x1且 x0 时成立)解析：18.求幂级数 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 求*及其收敛域，令*转化为求*及其收敛域由于*因为逐项求导数保持幂级数的收敛半径不变*与有相同的收敛半径 R=1，回到原问题*有收敛半径*且*于是*在收敛区间端点*幂级数*是收敛的，又*处连续，因此*)解析：评注 利用逐项求志或逐项积分的方法求幂级数的收敛域与和函数时，往往可以不必先求收敛半径
17、，而是利用逐项求导或逐项积分保持收敛不变的性质，由已知逐项求导或逐项积分后幂级数的收敛半径而求得原幂级数的收敛半径，然后再验证收敛区间端点的敛散性而求得收敛域。这是缺项幂级数(有无穷多项系数数为零)，若先求它的收敛半径时，不能直接用求 R 公式，只能用如下两种方法：*19.设 其中()选取参数 ，使得 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 ()这里区域 D 是单连通的，P，Q 在 D 上有连续的偏导数，于是*即在区域 D 上*因此，仅当 =-1 时*在 D 内与路径无关()只要 P，Q 在 D 上连续，则Pdx+Qdy 在 D 上存在原函数*在 D 内与路径无关因此，由题()知，仅当
18、=-1 时 Pdx+Qdy 在 D 存在原函数下求原函数 u(du=Pdx+Qdy)：方法 1 不定积分法由*注意*再由*因此求得 Pdx+Qdy 的全体原函数为*方法 2 特殊路径积分法*取(x 0，y 0)=(0，1)及积分路径为折线如右图，则*因此，全体原函数为*)解析：20.已知 4 元齐次线性方程组 （分数：11.00）_正确答案：(解 ()因为方程组(i)的解全是(ii)的解，所以(i)与*同解那么(i)和(iii)的系数矩阵*有相同的秩如 a=0，则 r(A)=1，而 r(B)=2，所以下设 a0由于*因为 a 和 a-1 不能同时为 0，故秩 r(A)=3又*当*时，r(B)=
19、3，此时(i)与(iii)同解()由于*基础解系为*则通解是 k，其中 k 为任意实数()由于 x1+x2+x3=0 的基础解系为 1=(-1，1，0，0) T， 2=(-1，0，1，0) T， 3=(0，0，0，1) T，则通解是 k1 1+k2 2+k3 3，其中 k1，k 2，k 3是任意实数)解析：21.已知三元二次型 xTAx 的平方项系数均为 0，并且 =(1，2，-1) T满足 A=2()求该二次型表达式；()求正交变换 x=Qy 化二次型为标准形，并写出所用坐标变换；()若 A+kE 正定，求 k 的值（分数：11.00）_正确答案：(解 ()据已知条件，有*即*解出 a12=
20、2，a 13=2，a 23=-2，所以 x TAx=4x1x2+4x1x3-4x2x3()由*得矩阵 A 的特征值为 2，2，-4由(2E-A)X=0，*得 =2 的特征向量 1=(1，1，0) T， 2=(1，0，1) T；由(-4E-A)x=0，*得 =-4 的特征向量 3=(-1，1，1) T将 1， 2正交化令 1= 1，则*再对 1， 2， 3单位化，有*那么令*()因为 A+kE 的特征值为 k+2，k+2，k-4，所以当 k4 时，矩阵 A+kE 正定)解析：22.设随机变量(X，Y)的联合概率密度为（分数：11.00）_解析：23.设 X1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为（分数：6.00）_正确答案：(*从而*故 的矩估计量*所以*是 的无偏估计量()未知参数 的似然函数和对数似然函数分别为*故 的最大似然估计量*)解析：
