1、考研数学一-399 及答案解析(总分:150.01,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.极限 A0 B C D (分数:4.00)A.B.C.D.2.设 f(x)是连续函数,F(x)是 f(x)的原函数,则_(分数:4.00)A.当 f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数B.当 f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数C.当 f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数D.当 f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数3.设当 x0 时,(1-cosx)ln(1+x 2 )是比 xsinx m 高阶的无穷小,而 xsinx m 是比 e x2 -1 高阶的无穷小
2、,则正整数 m 等于_(分数:4.00)A.1B.2C.3D.44.点 P 0 (2,1,1)到平面 :x+y-z+1=0 的距离 d=_ A B C D (分数:4.00)A.B.C.D.5.设 A 为 n 阶方阵,齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解,A*是 A 的伴随矩阵,则有_(分数:4.00)A.A*x=0 的解均为 Ax=0 的解B.Ax=0 的解均为 A*x=0 的解C.Ax=0 与 A*x=0 无非零公共解D.Ax=0 与 A*x=0 恰好有一个非零公共解6.设 3 维向量 4 不能由向量组 1 , 2 , 3 线性表示,则必有_(分数:4.00)A.向量组 1,2,3
3、 线性无关B.向量组 1,2,3 线性相关C.向量组 1+4,2+4,3+4 线性无关D.向量组 1+4,2+4,3+4 线性相关7.设随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x),概率密度函数为 f 1 (x),且 E(X 1 )=1,随机变量 X 的分布函数为 F(x)=0.4F 1 (x)+0.6F 1 (2x+1),则 E(X)=_(分数:4.00)A.0.6B.0.5C.0.4D.18.设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布,X 1 ,X 2 ,X n 为来自总体 X 的简单随机样本记 , ,其中 a 为常数若 E(T) 2 ,则 a=_ A B (分数:4.00)A.B.C.D
4、.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.微分方程 yy“+y “2 =0 满足初始条件 y| x=0 =1, (分数:4.00)10.函数 z=xe 2y 在点 P(1,0)处沿从点 P(1,0)到点 Q(2,-1)的方向导数为 1 (分数:4.00)11.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,在(-,)上的表达式为 (分数:4.00)12.已知函数 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 -1=0 确定,则 y“(0)= 1 (分数:4.00)13.设 3 阶实对阵矩阵 A 满足 A 2 -3A+2E=0,且|A|=2,则二次型 f=x T Ax 的标准形为 1 (分数:4.0
5、0)14.在总体 N(1,4)中抽取一容量为 5 的简单随机样本 X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 ,X 5 ,则概率 PminX 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 ,X 5 1= 1 (分数:4.00)三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设函数 f(x),g(x)在a,b上连续,且 g(x)0,证明存在一点 a,b,使 (分数:10.00)_16.计算 ,其中 为下半球面 (分数:10.00)_17.设 z=z(x,y)是由方程 确定的隐函数,且具有连续的二阶导数 证明: 和 (分数:10.00)_18.已知曲线 L 的方程为 ,起点为 ,终点为 ,计算曲线积分 (分数:10
6、.00)_19.设函数 f(x),g(x)在a,b上连续,且 g(a)=g(b)-1,在(a,b)内 f(x),g(x)可导,且 g(x)+g“(x)0,f“(x)0证明: ,(a,b),使 (分数:10.00)_设有方程组 (分数:11.00)(1).求方程组()与()的基础解系与通解;(分数:5.50)_(2).求方程组()与()的公共解(分数:5.50)_已知矩阵 与 (分数:11.00)(1).求 x,y,z 的值(分数:5.50)_(2).求可逆矩阵 P,使 P -1 AP=B(分数:5.50)_设随机变量 X 在区间(0,1)上服从均匀分布,在 X=X(0x1)的条件下,随机变量
7、Y 在区间(0,x)上服从均匀分布,求(分数:11.01)(1).随机变量 X 和 Y 的联合概率密度;(分数:3.67)_(2).Y 的概率密度;(分数:3.67)_(3).概率 PX+Y1(分数:3.67)_设有两台仪器,每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布首先开动一台,发生故障时停用而另一台自动开动,求两台仪器无故障工作的总时间 T 的:(分数:11.00)(1).概率密度 f(t);(分数:5.50)_(2).数学期望和方差(分数:5.50)_考研数学一-399 答案解析(总分:150.01,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.极限 A0 B
8、C D (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:考点 变上限定积分求导;洛必达法则;等价无穷小替换 解析 利用洛必达法则及变上限定积分求导公式,直接计算即可 解: 2.设 f(x)是连续函数,F(x)是 f(x)的原函数,则_(分数:4.00)A.当 f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数 B.当 f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数C.当 f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数D.当 f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数解析:考点 函数 f(x)与其原函数 F(x)在周期性、单调性及奇偶性等方面的关系 解析 通过举反例并用排除法得到结论 解:用排除法 对于 B 选项,取 f
9、(x)=cosx+1 为偶函数,则 F(x)=sinx+x+1 为 f(x)的一个原函数,但 F(x)不是奇函数,故排除 B 项 对于 C 选项,令 f(x)=|sinx|,则 f(x)是周期函数,且 f(x)的一个原函数是 3.设当 x0 时,(1-cosx)ln(1+x 2 )是比 xsinx m 高阶的无穷小,而 xsinx m 是比 e x2 -1 高阶的无穷小,则正整数 m 等于_(分数:4.00)A.1B.2 C.3D.4解析:考点 无穷小阶的比较 解析 利用无穷小阶的定义 解:由条件知 所以 m3,而 4.点 P 0 (2,1,1)到平面 :x+y-z+1=0 的距离 d=_ A
10、 B C D (分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点 点到平面的距离 解析 直接利用公式: ,其中平面方程为 Ax+By+Cz+D=0,点的坐标是(x 0 ,y 0 ,z 0 ) 解:由点到平面的距离公式,得 5.设 A 为 n 阶方阵,齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解,A*是 A 的伴随矩阵,则有_(分数:4.00)A.A*x=0 的解均为 Ax=0 的解B.Ax=0 的解均为 A*x=0 的解 C.Ax=0 与 A*x=0 无非零公共解D.Ax=0 与 A*x=0 恰好有一个非零公共解解析:考点 伴随矩阵 A*的性质;线性方程组的解的性质 解析 利用 Ax=0 的解的性
11、质以及 A*的性质,从而求得 A*x=0 解的性质 解:由题意 n-r(A)2,从而 r(A)n-2,由 r(A)与 r(A*)之间关系知 r(A*)=0,即 A*=0,所以任选一个n 维向量均为 A*x=0 的解 故应选 B6.设 3 维向量 4 不能由向量组 1 , 2 , 3 线性表示,则必有_(分数:4.00)A.向量组 1,2,3 线性无关B.向量组 1,2,3 线性相关 C.向量组 1+4,2+4,3+4 线性无关D.向量组 1+4,2+4,3+4 线性相关解析:考点 向量组的线性关系 解析 对于 A、B 选项可以利用如下结论:若 1 , m 线性无关,且 , 1 , m 线性相关
12、,则 可由 1 , m 线性表示 对于 C、D 选项,可通过举反例加以排除 解:4 个 3 维向量 1 , 2 , 3 , 4 必线性相关若 1 , 2 , 3 线性无关,则 4 可由 1 , 2 , 3 线性表示,所以 B 正确 对于 C 选项,取 易知 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表示,但 1 + 4 , 2 + 3 , 3 + 4 线性相关,故 C 不正确 对于 D 选项,取 7.设随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x),概率密度函数为 f 1 (x),且 E(X 1 )=1,随机变量 X 的分布函数为 F(x)=0.4F 1 (x)+0.6F 1 (2x+1),则 E(
13、X)=_(分数:4.00)A.0.6B.0.5C.0.4 D.1解析:考点 考查数学期望的计算 解析 利用期望计算公式以及分布函数与概率密度的关系计算 解:已知随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x),概率密度函数为 f 1 (x),可以验证 F 1 (2x+1)为分布函数,记其对应的随机变量为 X 2 ,其中 X 2 为随机变量 X 1 的函数,且 ,记随机变量 X 2 的分布函数为 F 2 (x),概率密度函数为 f 2 (x),所以 X 的分布函数为 F(x)=0.4F 1 (x)+0.6F 2 (x) 两边同时对 x 求导,得 f(x)=0.4f 1 (x)+0.6f 2 (x)
14、于是 即 8.设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布,X 1 ,X 2 ,X n 为来自总体 X 的简单随机样本记 , ,其中 a 为常数若 E(T) 2 ,则 a=_ A B (分数:4.00)A. B.C.D.解析:考点 统计量的数字特征 解析 利用 解:因为 X 服从泊松分布 P(),则 E(X)=D(X)=, 由 E(T)= 2 ,可得 ,则 二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.微分方程 yy“+y “2 =0 满足初始条件 y| x=0 =1, (分数:4.00)解析: 考点 可降阶的二阶微分方程的解法,属基本题型 解析 本题是不显含自变量 x 的可降阶微分方程,令 p=
15、y“,代入原方程进行求解即可 解:令 y“=p,则 原方程可化为 于是 p=0 或 前者显然不满足初始条件 ,因此必有 积分得 由初始条件 ,得 ,于是 积分得 y 2 =x+C 2 再由初始条件 y| x=0 =1,得 C 2 =1, 故所求特解为 (或 y 2 =x+1) 故应填 10.函数 z=xe 2y 在点 P(1,0)处沿从点 P(1,0)到点 Q(2,-1)的方向导数为 1 (分数:4.00)解析: 考点 方向导数的计算 解析 先求出与向量 同方向的单位向量,再利用方向导数即可 解:由题设条件,知 于是 , 又因为 ,所以在点 P(1,0)处: 此时令 ,于是所求方向导数为 其中
16、, 故应填 11.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,在(-,)上的表达式为 (分数:4.00)解析: 考点 傅里叶级数展开 解析 利用公式求出傅里叶系数 a n ,b n ,再代入即可 解: 则 故应填 12.已知函数 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 -1=0 确定,则 y“(0)= 1 (分数:4.00)解析:-2 考点 隐函数求导,是常考的基本题型,必须掌握 解析 利用隐函数求导法则直接求导即可,并注意对 x 求导时,y 为关于 x 的函数 解:将方程两边对 x 求导,视 y 为关于 x 的函数,得 e y y“+6xy“+6y+2x=0, (*) 再对 x 求导,y 和
17、 y“均视为关于 x 的函数,得 e y y“+e y (y“)2+6xy“+12y“+2=0 (*) 当 x=0 时,由原方程知 y=0,再将 x=0,y=0 代入(*)式中,得 y“(0)=0,再代入(*)式中得 y“(0)=-2 故应填-213.设 3 阶实对阵矩阵 A 满足 A 2 -3A+2E=0,且|A|=2,则二次型 f=x T Ax 的标准形为 1 (分数:4.00)解析: 考点 二次型的标准形 解析 二次型可经过正交变换化为标准形,且标准形中平方项的系数即为对应实对称矩阵 A 的特征值 解:由 A 2 -3A+2E=0,得 A 的特征值为 1 或 2 又因为|A|=2,即特征
18、值乘积为 2,故 A 的特征值为 1,1,2 所以二次型的标准形为 故应填 14.在总体 N(1,4)中抽取一容量为 5 的简单随机样本 X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 ,X 5 ,则概率 PminX 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 ,X 5 1= 1 (分数:4.00)解析: 考点 统计量求概率 解析 利用随机变量的独立性以及正态分布的标准化求概率 解: 故应填 三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设函数 f(x),g(x)在a,b上连续,且 g(x)0,证明存在一点 a,b,使 (分数:10.00)_正确答案:()解析:证:因为 f(x),g(x)在a,b上连续,且 g
19、(x)0,由最值定理,知 f(x)在a,b上有最大值 M和最小值 m,即 mf(x)M,故 mg(x)f(x)g(x)Mg(x)所以 ,即 由介值定理知,存在 a,b,使 , 即 16.计算 ,其中 为下半球面 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解: 补一块有向平面 S - : 其法向量与 z 轴正向相反,从而得到 其中, 为 +S - 围成的空间区域,D 为 z=0 上的平面区域 x 2 +y 2 a 2 于是 17.设 z=z(x,y)是由方程 确定的隐函数,且具有连续的二阶导数 证明: 和 (分数:10.00)_正确答案:()解析:证:对方程两边求导,则 由此解得 ,所以, 将上
20、式再求导,得 ,相加得到 18.已知曲线 L 的方程为 ,起点为 ,终点为 ,计算曲线积分 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解法一:参数法 由 L 的方程: 知若以 为参数,则 L 的方程可表示为 所以 解法二:设 L 1 是从点 B 到点 A 的直线段, 为平面 z=x 上由 L 与 L 1 围成的半圆面下侧,其法向量的方向余弦为 由斯托克斯公式,得 由于曲面 关于 xOz 平面对称,被积函数关于 y 为奇数函数,所以 ,即 又 L 1 的参数方程为 x=0,y=y,z=0 ,所以 故 19.设函数 f(x),g(x)在a,b上连续,且 g(a)=g(b)-1,在(a,b)内 f(
21、x),g(x)可导,且 g(x)+g“(x)0,f“(x)0证明: ,(a,b),使 (分数:10.00)_正确答案:()解析:证:令 (x)=e x g(x),则由题设可知 f(x),(x)在a,b上满足柯西中值定理,于是存在(a,b),使得 g(b)=1,所以 又令 (x)=e x ,则 f(x),(x)在a,b上满足柯西中值定理,于是存在 (a,b),使得 由(*)、(*)可得 考点 微分中值定理的应用 解析 ,将 和 均看作变量,则上式可写成 设有方程组 (分数:11.00)(1).求方程组()与()的基础解系与通解;(分数:5.50)_正确答案:()解析:解:将方程组()改写为 令
22、取 , ,得()的基础解系 1 =(0,-1,1,0) T , 2 =(-1,0,0,1) T , 故方程组()的通解为 k 1 1 +k 2 2 ,k 1 ,k 2 为常数 又将方程组()改写为 令 取 (2).求方程组()与()的公共解(分数:5.50)_正确答案:()解析:联立方程组()和(),求得的通解即为公共解 对系数矩阵 A 进行初等行变换,可得 已知矩阵 与 (分数:11.00)(1).求 x,y,z 的值(分数:5.50)_正确答案:()解析:解:实对称矩阵 A 的特征多项式为 |E-A|=(-1) 2 (-3),故 A 的特征值为 1 = 2 =1, 3 =3于是,A 与对角
23、矩阵 相似,又因为 A 与 B 相似,故 B 也与对角矩阵 相似,因此,B 的特征值为 1 = 2 =1, 3 =3,且r(E-B)=1,又因为 x+5= 1 + 2 + 3 =5,解得 x=0 由 (2).求可逆矩阵 P,使 P -1 AP=B(分数:5.50)_正确答案:()解析:经计算可知,将实对称矩阵 A 化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为 ,即 把矩阵 B 化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为 ,即 取 有 设随机变量 X 在区间(0,1)上服从均匀分布,在 X=X(0x1)的条件下,随机变量 Y 在区间(0,x)上服从均匀分布,求(分数:11.01)(1).随机变量 X 和 Y 的联合概
24、率密度;(分数:3.67)_正确答案:()解析:解:X 的概率密度为 在 X=x(0x1)的条件下,Y 的条件概率密度为 当 0yx1 时,随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为 在其他点处,有 f(x,y)=0,即 (2).Y 的概率密度;(分数:3.67)_正确答案:()解析:当 0y1 时,Y 的概率密度为 当 y0 或 y1 时,f Y (y)=0因此 (3).概率 PX+Y1(分数:3.67)_正确答案:()解析:设有两台仪器,每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布首先开动一台,发生故障时停用而另一台自动开动,求两台仪器无故障工作的总时间 T 的:(分数:11.00)(1).概率密度 f(t);(分数:5.50)_正确答案:()解析:解:设 T=X 1 +X 2 ,其中 X 1 ,X 2 分别表示两台仪器无故障时的工作时间 因为 X i E(5)(i=1,2)且相互独立,故 X 1 ,X 2 的密度函数为 则由卷积公式 ,可得 (2).数学期望和方差(分数:5.50)_正确答案:()解析:因为 X i E(5)(i=1,2)且相互独立,由 ,可得