1、考研数学一-399 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.极限 A0 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则_（分数：4.00）A.当 f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数B.当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C.当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数D.当 f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数3.设当 x0 时，(1-cosx)ln(1+x 2 )是比 xsinx m 高阶的无穷小，而 xsinx m 是比 e x2 -1 高阶的无穷小
2、，则正整数 m 等于_（分数：4.00）A.1B.2C.3D.44.点 P 0 (2，1，1)到平面 ：x+y-z+1=0 的距离 d=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 为 n 阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解，A*是 A 的伴随矩阵，则有_（分数：4.00）A.A*x=0 的解均为 Ax=0 的解B.Ax=0 的解均为 A*x=0 的解C.Ax=0 与 A*x=0 无非零公共解D.Ax=0 与 A*x=0 恰好有一个非零公共解6.设 3 维向量 4 不能由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，则必有_（分数：4.00）A.向量组 1，2，3
3、 线性无关B.向量组 1，2，3 线性相关C.向量组 1+4，2+4，3+4 线性无关D.向量组 1+4，2+4，3+4 线性相关7.设随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x)，概率密度函数为 f 1 (x)，且 E(X 1 )=1，随机变量 X 的分布函数为 F(x)=0.4F 1 (x)+0.6F 1 (2x+1)，则 E(X)=_（分数：4.00）A.0.6B.0.5C.0.4D.18.设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本记 ， ，其中 a 为常数若 E(T) 2 ，则 a=_ A B （分数：4.00）A.B.C.D
4、.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.微分方程 yy“+y “2 =0 满足初始条件 y| x=0 =1， （分数：4.00）10.函数 z=xe 2y 在点 P(1，0)处沿从点 P(1，0)到点 Q(2，-1)的方向导数为 1 （分数：4.00）11.设 f(x)是周期为 2 的周期函数，在(-，)上的表达式为 （分数：4.00）12.已知函数 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 -1=0 确定，则 y“(0)= 1 （分数：4.00）13.设 3 阶实对阵矩阵 A 满足 A 2 -3A+2E=0，且|A|=2，则二次型 f=x T Ax 的标准形为 1 （分数：4.0
5、0）14.在总体 N(1，4)中抽取一容量为 5 的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 ，则概率 PminX 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 1= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，且 g(x)0，证明存在一点 a，b，使 （分数：10.00）_16.计算 ，其中 为下半球面 （分数：10.00）_17.设 z=z(x，y)是由方程 确定的隐函数，且具有连续的二阶导数 证明： 和 （分数：10.00）_18.已知曲线 L 的方程为 ，起点为 ，终点为 ，计算曲线积分 （分数：10
6、.00）_19.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，且 g(a)=g(b)-1，在(a，b)内 f(x)，g(x)可导，且 g(x)+g“(x)0，f“(x)0证明： ，(a，b)，使 （分数：10.00）_设有方程组 （分数：11.00）(1).求方程组()与()的基础解系与通解；（分数：5.50）_(2).求方程组()与()的公共解（分数：5.50）_已知矩阵 与 （分数：11.00）(1).求 x，y，z 的值（分数：5.50）_(2).求可逆矩阵 P，使 P -1 AP=B（分数：5.50）_设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，在 X=X(0x1)的条件下，随机变量
7、Y 在区间(0，x)上服从均匀分布，求（分数：11.01）(1).随机变量 X 和 Y 的联合概率密度；（分数：3.67）_(2).Y 的概率密度；（分数：3.67）_(3).概率 PX+Y1（分数：3.67）_设有两台仪器，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布首先开动一台，发生故障时停用而另一台自动开动，求两台仪器无故障工作的总时间 T 的：（分数：11.00）(1).概率密度 f(t)；（分数：5.50）_(2).数学期望和方差（分数：5.50）_考研数学一-399 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.极限 A0 B
8、C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 变上限定积分求导；洛必达法则；等价无穷小替换 解析 利用洛必达法则及变上限定积分求导公式，直接计算即可 解： 2.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则_（分数：4.00）A.当 f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数 B.当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C.当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数D.当 f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数解析：考点 函数 f(x)与其原函数 F(x)在周期性、单调性及奇偶性等方面的关系 解析 通过举反例并用排除法得到结论 解：用排除法 对于 B 选项，取 f
9、(x)=cosx+1 为偶函数，则 F(x)=sinx+x+1 为 f(x)的一个原函数，但 F(x)不是奇函数，故排除 B 项 对于 C 选项，令 f(x)=|sinx|，则 f(x)是周期函数，且 f(x)的一个原函数是 3.设当 x0 时，(1-cosx)ln(1+x 2 )是比 xsinx m 高阶的无穷小，而 xsinx m 是比 e x2 -1 高阶的无穷小，则正整数 m 等于_（分数：4.00）A.1B.2 C.3D.4解析：考点 无穷小阶的比较 解析 利用无穷小阶的定义 解：由条件知 所以 m3，而 4.点 P 0 (2，1，1)到平面 ：x+y-z+1=0 的距离 d=_ A
10、 B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 点到平面的距离 解析 直接利用公式： ，其中平面方程为 Ax+By+Cz+D=0,点的坐标是(x 0 ，y 0 ，z 0 ) 解：由点到平面的距离公式，得 5.设 A 为 n 阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解，A*是 A 的伴随矩阵，则有_（分数：4.00）A.A*x=0 的解均为 Ax=0 的解B.Ax=0 的解均为 A*x=0 的解 C.Ax=0 与 A*x=0 无非零公共解D.Ax=0 与 A*x=0 恰好有一个非零公共解解析：考点 伴随矩阵 A*的性质；线性方程组的解的性质 解析 利用 Ax=0 的解的性
11、质以及 A*的性质，从而求得 A*x=0 解的性质 解：由题意 n-r(A)2，从而 r(A)n-2，由 r(A)与 r(A*)之间关系知 r(A*)=0，即 A*=0，所以任选一个n 维向量均为 A*x=0 的解 故应选 B6.设 3 维向量 4 不能由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，则必有_（分数：4.00）A.向量组 1，2，3 线性无关B.向量组 1，2，3 线性相关 C.向量组 1+4，2+4，3+4 线性无关D.向量组 1+4，2+4，3+4 线性相关解析：考点 向量组的线性关系 解析 对于 A、B 选项可以利用如下结论：若 1 ， m 线性无关，且 ， 1 ， m 线性相关
12、，则 可由 1 ， m 线性表示 对于 C、D 选项，可通过举反例加以排除 解：4 个 3 维向量 1 ， 2 ， 3 ， 4 必线性相关若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 B 正确 对于 C 选项，取 易知 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但 1 + 4 ， 2 + 3 ， 3 + 4 线性相关，故 C 不正确 对于 D 选项，取 7.设随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x)，概率密度函数为 f 1 (x)，且 E(X 1 )=1，随机变量 X 的分布函数为 F(x)=0.4F 1 (x)+0.6F 1 (2x+1)，则 E(
13、X)=_（分数：4.00）A.0.6B.0.5C.0.4 D.1解析：考点 考查数学期望的计算 解析 利用期望计算公式以及分布函数与概率密度的关系计算 解：已知随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x)，概率密度函数为 f 1 (x)，可以验证 F 1 (2x+1)为分布函数，记其对应的随机变量为 X 2 ，其中 X 2 为随机变量 X 1 的函数，且 ，记随机变量 X 2 的分布函数为 F 2 (x)，概率密度函数为 f 2 (x)，所以 X 的分布函数为 F(x)=0.4F 1 (x)+0.6F 2 (x) 两边同时对 x 求导，得 f(x)=0.4f 1 (x)+0.6f 2 (x)
14、于是 即 8.设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本记 ， ，其中 a 为常数若 E(T) 2 ，则 a=_ A B （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 统计量的数字特征 解析 利用 解：因为 X 服从泊松分布 P()，则 E(X)=D(X)=， 由 E(T)= 2 ，可得 ，则 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.微分方程 yy“+y “2 =0 满足初始条件 y| x=0 =1， （分数：4.00）解析： 考点 可降阶的二阶微分方程的解法，属基本题型 解析 本题是不显含自变量 x 的可降阶微分方程，令 p=
15、y“，代入原方程进行求解即可 解：令 y“=p，则 原方程可化为 于是 p=0 或 前者显然不满足初始条件 ，因此必有 积分得 由初始条件 ，得 ，于是 积分得 y 2 =x+C 2 再由初始条件 y| x=0 =1，得 C 2 =1， 故所求特解为 (或 y 2 =x+1) 故应填 10.函数 z=xe 2y 在点 P(1，0)处沿从点 P(1，0)到点 Q(2，-1)的方向导数为 1 （分数：4.00）解析： 考点 方向导数的计算 解析 先求出与向量 同方向的单位向量，再利用方向导数即可 解：由题设条件，知 于是 ， 又因为 ，所以在点 P(1，0)处： 此时令 ，于是所求方向导数为 其中
16、， 故应填 11.设 f(x)是周期为 2 的周期函数，在(-，)上的表达式为 （分数：4.00）解析： 考点 傅里叶级数展开 解析 利用公式求出傅里叶系数 a n ，b n ，再代入即可 解： 则 故应填 12.已知函数 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 -1=0 确定，则 y“(0)= 1 （分数：4.00）解析：-2 考点 隐函数求导，是常考的基本题型，必须掌握 解析 利用隐函数求导法则直接求导即可，并注意对 x 求导时，y 为关于 x 的函数 解：将方程两边对 x 求导，视 y 为关于 x 的函数，得 e y y“+6xy“+6y+2x=0， (*) 再对 x 求导，y 和
17、 y“均视为关于 x 的函数，得 e y y“+e y (y“)2+6xy“+12y“+2=0 (*) 当 x=0 时，由原方程知 y=0，再将 x=0，y=0 代入(*)式中，得 y“(0)=0，再代入(*)式中得 y“(0)=-2 故应填-213.设 3 阶实对阵矩阵 A 满足 A 2 -3A+2E=0，且|A|=2，则二次型 f=x T Ax 的标准形为 1 （分数：4.00）解析： 考点 二次型的标准形 解析 二次型可经过正交变换化为标准形，且标准形中平方项的系数即为对应实对称矩阵 A 的特征值 解：由 A 2 -3A+2E=0，得 A 的特征值为 1 或 2 又因为|A|=2，即特征
18、值乘积为 2，故 A 的特征值为 1，1，2 所以二次型的标准形为 故应填 14.在总体 N(1，4)中抽取一容量为 5 的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 ，则概率 PminX 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 1= 1 （分数：4.00）解析： 考点 统计量求概率 解析 利用随机变量的独立性以及正态分布的标准化求概率 解： 故应填 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，且 g(x)0，证明存在一点 a，b，使 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证：因为 f(x)，g(x)在a，b上连续，且 g
19、(x)0，由最值定理，知 f(x)在a，b上有最大值 M和最小值 m，即 mf(x)M，故 mg(x)f(x)g(x)Mg(x)所以 ，即 由介值定理知，存在 a，b，使 ， 即 16.计算 ，其中 为下半球面 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解： 补一块有向平面 S - ： 其法向量与 z 轴正向相反，从而得到 其中， 为 +S - 围成的空间区域，D 为 z=0 上的平面区域 x 2 +y 2 a 2 于是 17.设 z=z(x，y)是由方程 确定的隐函数，且具有连续的二阶导数 证明： 和 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证：对方程两边求导，则 由此解得 ，所以， 将上
20、式再求导，得 ，相加得到 18.已知曲线 L 的方程为 ，起点为 ，终点为 ，计算曲线积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解法一：参数法 由 L 的方程： 知若以 为参数，则 L 的方程可表示为 所以 解法二：设 L 1 是从点 B 到点 A 的直线段， 为平面 z=x 上由 L 与 L 1 围成的半圆面下侧，其法向量的方向余弦为 由斯托克斯公式，得 由于曲面 关于 xOz 平面对称，被积函数关于 y 为奇数函数，所以 ，即 又 L 1 的参数方程为 x=0，y=y，z=0 ，所以 故 19.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，且 g(a)=g(b)-1，在(a，b)内 f(
21、x)，g(x)可导，且 g(x)+g“(x)0，f“(x)0证明： ，(a，b)，使 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证：令 (x)=e x g(x)，则由题设可知 f(x)，(x)在a，b上满足柯西中值定理，于是存在(a，b)，使得 g(b)=1，所以 又令 (x)=e x ，则 f(x)，(x)在a，b上满足柯西中值定理，于是存在 (a，b)，使得 由(*)、(*)可得 考点 微分中值定理的应用 解析 ，将 和 均看作变量，则上式可写成 设有方程组 （分数：11.00）(1).求方程组()与()的基础解系与通解；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：将方程组()改写为 令
22、取 ， ，得()的基础解系 1 =(0，-1，1，0) T ， 2 =(-1，0，0，1) T ， 故方程组()的通解为 k 1 1 +k 2 2 ，k 1 ，k 2 为常数 又将方程组()改写为 令 取 (2).求方程组()与()的公共解（分数：5.50）_正确答案：()解析：联立方程组()和()，求得的通解即为公共解 对系数矩阵 A 进行初等行变换，可得 已知矩阵 与 （分数：11.00）(1).求 x，y，z 的值（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：实对称矩阵 A 的特征多项式为 |E-A|=(-1) 2 (-3)，故 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =3于是，A 与对角
23、矩阵 相似，又因为 A 与 B 相似，故 B 也与对角矩阵 相似，因此，B 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =3，且r(E-B)=1，又因为 x+5= 1 + 2 + 3 =5，解得 x=0 由 (2).求可逆矩阵 P，使 P -1 AP=B（分数：5.50）_正确答案：()解析：经计算可知，将实对称矩阵 A 化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为 ，即 把矩阵 B 化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为 ，即 取 有 设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，在 X=X(0x1)的条件下，随机变量 Y 在区间(0，x)上服从均匀分布，求（分数：11.01）(1).随机变量 X 和 Y 的联合概
24、率密度；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解：X 的概率密度为 在 X=x(0x1)的条件下，Y 的条件概率密度为 当 0yx1 时，随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为 在其他点处，有 f(x，y)=0，即 (2).Y 的概率密度；（分数：3.67）_正确答案：()解析：当 0y1 时，Y 的概率密度为 当 y0 或 y1 时，f Y (y)=0因此 (3).概率 PX+Y1（分数：3.67）_正确答案：()解析：设有两台仪器，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布首先开动一台，发生故障时停用而另一台自动开动，求两台仪器无故障工作的总时间 T 的：（分数：11.00）(1).概率密度 f(t)；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：设 T=X 1 +X 2 ，其中 X 1 ，X 2 分别表示两台仪器无故障时的工作时间 因为 X i E(5)(i=1，2)且相互独立，故 X 1 ，X 2 的密度函数为 则由卷积公式 ，可得 (2).数学期望和方差（分数：5.50）_正确答案：()解析：因为 X i E(5)(i=1，2)且相互独立，由 ，可得
