1、考研数学一-398 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 n 为自然数，则 （分数：4.00）AnB.2nC.3nD.4n2.曲面 （分数：4.00）A.2x+y+z-3=0B.2x+2y-z-3=0C.2x+2y+z-3=0D.2x+2y-z+3=03.设 f(0)=0，则 f(x)在点 x=0 处可导的充要条件为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 是正项级数，下列结论中正确的是_ A若 ，则级数 收敛 B若存在非零常数 ，使得 ，则级数 发散 C若级数 收敛，则 D若级数 发散，则存在非零常数 ，使
2、得 （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 n 维向量组() 1 ， 2 ， s 和() 1 ， 2 ， t 的秩都为 r，则下列命题中不正确的是_（分数：4.00）A.若 s=t，则向量组()与()等价B.若向量组()是()的部分组，则向量组()与()等价C.若向量组()能由()线性表示，则向量组()与()等价D.若向量组()：1，2，s，1，2，t 的秩为 r，则向量组()和()等价6.矩阵 与_相似 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(1，2)，YN(2，2)，ZN(3，7)，记 a=PXY，b=PYZ，则_（分数：4.0
3、0）A.abB.abC.a=bD.无法确定8.设一批零件的长度服从正态分布 N(， 2 )，其中 ， 2 均未知现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值 ，样本标准差 s=1cm，则 的置信度为 0.90 的置信区间是_(其中 t (n)是上侧分位点) A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)是 3 次多项式，且有 ，则 （分数：4.00）10.函数 f(x)=2x 3 -6x 2 -18x-7 在1，4上的最大值是 1 （分数：4.00）11.交换二次积分的积分次序： （分数：4.00）12.设 y=e x (C 1 si
4、nx+C 2 cosx)(C 1 ，C 2 是任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为 1 （分数：4.00）13.设 A 是 3 阶实对称矩阵，且满足 A 2 +2A=O，若 kA+E 是正定矩阵，则 k 1 （分数：4.00）14.设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 E(X-1)(X-2)=1，则 = 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 ，且 f(0)=g(0)=0，试求 （分数：10.00）_16.计算曲线积分 （分数：10.00）_17.设 f(x，y)=x 3 +y 3 -3x 2 -3y 2 ，求 f(x，y)的极值
5、及其在 x 2 +y 2 16 上的最大值 （分数：10.00）_18.设函数 f(x)连续，证明： （分数：10.00）_19.求幂级数 （分数：10.00）_20.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 4 维列向量，满足 2 ， 3 ， 4 线性无关，且 1 + 3 =2 2 令 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，= 1 + 2 + 3 + 4 ，求线性方程组 Ax= 的通解 （分数：11.00）_设 A 是一个 n 阶方阵，满足 A 2 =A，r(A)=s 且 A 有两个不同的特征值（分数：11.00）(1).试证 A 可对角化，并求对角阵 （分数：5.50）_(2).计算行列式|A
6、-2E|（分数：5.50）_设随机变量 X 与 Y 独立同分布，且 X 的概率分布为 X 1 2 P * * 记 U=maxX，Y，V=minX，Y（分数：11.00）(1).求(U，V)的概率分布；（分数：5.50）_(2).求 U 与 V 的协方差 Cov(U，V)（分数：5.50）_已知 X 1 ，X n 为总体 X 的一组样本，总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）(1). 的矩估计量；（分数：5.50）_(2). 的最大似然估计量（分数：5.50）_考研数学一-398 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 n 为自
7、然数，则 （分数：4.00）AnB.2nC.3nD.4n 解析：考点 定积分的计算 解析 先求出函数 的导数，由周期函数的积分性质再去掉绝对值符号，直接计算定积分即可 解：由于 ，则 注意到|sint|是以 为周期的函数，则 2.曲面 （分数：4.00）A.2x+y+z-3=0B.2x+2y-z-3=0 C.2x+2y+z-3=0D.2x+2y-z+3=0解析：考点 多元函数微分学的几何应用 解析 待求平面的法向量 n=(2，2，-1)，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程 解：令 ，则 F“ x =x，F“ y =2y，F“ z =1由条件知所求平面的法向量 n=(F“ x ，F“ y ，F
8、“ z )=(x，2y，-1)平行于已知平面的法向量，n 1 =(2，2，-1)，从而有 ，由此得 x=2，y=1， 3.设 f(0)=0，则 f(x)在点 x=0 处可导的充要条件为_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 导数的定义 解析 利用排除法或导数定义可得结论 解法一：排除法 对于 A 选项，取 f(x)=|x|，则 ， 极限存在，但 f(x)=|x|在 x=0 处不可导，故排除 A； 对于 C 选项，仍取 f(x)=|x|，有 极限存在，但 f(x)在 x=0 处不可导，故排除 C 项； 对于 D 选项，取 则 极限存在，但 f(x)在 x=0 不连续，
9、从而 f“(0)也不存在，故排除 D 项 故应选 B 解法二：利用导数定义，直接考查 B 选项， 因此， 4.设 是正项级数，下列结论中正确的是_ A若 ，则级数 收敛 B若存在非零常数 ，使得 ，则级数 发散 C若级数 收敛，则 D若级数 发散，则存在非零常数 ，使得 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 级数的敛散性 解析 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项 解：取 ，则 发散，则排除 A、D 项； 又取 ，则级数 收敛，但 5.已知 n 维向量组() 1 ， 2 ， s 和() 1 ， 2 ， t 的秩都为 r，则下列命题中不正确的是_（分
10、数：4.00）A.若 s=t，则向量组()与()等价 B.若向量组()是()的部分组，则向量组()与()等价C.若向量组()能由()线性表示，则向量组()与()等价D.若向量组()：1，2，s，1，2，t 的秩为 r，则向量组()和()等价解析：考点 向量组的等价 解析 举反例可得 A 选项错误；或者逐一判断 B、C、D 选项正确，从而排除 A 解：取向量组()： ， 和向量组()： ， 6.矩阵 与_相似 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 矩阵相似的判别 解析 利用矩阵相似的必要条件排除 A、B、C 项；或者直接判别题目中矩阵与 D 项的矩阵都与同一个对角阵相似
11、 解：令矩阵 ，则 A 的特征值为 1 和 2 而 A 选项中矩阵的特征值为-1 和-2，故矩阵 A 不与 A 选项的矩阵相似 又因为 ，而 B 选项中 ，C 选项中 ，故矩阵 A 不与 B、C 选项的矩阵相似 所以，矩阵 A 与 D 选项的矩阵相似 事实上， 和 均与对角阵 相似再由相似的传递性， 和 7.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(1，2)，YN(2，2)，ZN(3，7)，记 a=PXY，b=PYZ，则_（分数：4.00）A.ab B.abC.a=bD.无法确定解析：考点 考查正态分布 解析 利用正态分布标准化 解：因为 XYN(-1，4)，YZN(-1，9)，则 由于分布
12、函数 8.设一批零件的长度服从正态分布 N(， 2 )，其中 ， 2 均未知现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值 ，样本标准差 s=1cm，则 的置信度为 0.90 的置信区间是_(其中 t (n)是上侧分位点) A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 考查正态总体参数区间估计 解析 当总体为正态总体， 2 未知时， 的置信区间为 解：由正态总体抽样分布的性质知， ，故 的置信度为 0.90 的置信区间是 ，即 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)是 3 次多项式，且有 ，则 （分数：4.00）解析： 考点 未定式极限 解析 由题设条件先求出
13、 f“(2a)及 f“(4a)；再求出 f(x)的表达式，从而得到所求极限 解：由 ，知 f(2a)=0，于是得 同理，由 ，知 f(4a)=0，f“(4a)=1 又因为 f(x)是三次多项式，x=2a 与 x=4a 是 f(x)的两个零点，令 f(x)=k(x-2a)(x-4a)(x-a)，则 f“(x)=k(x-4a)(x-)+(x-2a)(x-)+(x-2a)(x-4a) 由 得 =3a,于是 f(x)=k(x-2a)(x-3a)(x-4a) 又因为 ，则得到 ，故 ，则 故应填 10.函数 f(x)=2x 3 -6x 2 -18x-7 在1，4上的最大值是 1 （分数：4.00）解析：
14、-29 考点 求函数在闭区间上的最值 解析 求出 f(x)在(1，4)内的极值可疑点及端点的值，取其最大者即可 解：由题可得 f“(x)=6x 2 -12x-18，令 f“(x)=0，则 x 1 =-1，x 2 =3 因为 ，所以 x 2 =3 是 f(x)在(1，4)内的极值可疑点，于是 f(x)在1，4上的最大值是 11.交换二次积分的积分次序： （分数：4.00）解析： 考点 交换二次积分的积分次序 解析 因为已知二次积分中当 1x2 时， ，由此可知这个二次积分不能直接转化为二重积分；而二次积分 与已知二次积分只相差一个负号，且该积分可转化为二重积分 ，其中积分区域D 如图所示；再由二
15、重积分得到所求积分次序的二次积分 解：因为 ，则积分区域(如图所示)为 将 D 改写为 则有 故应填 12.设 y=e x (C 1 sinx+C 2 cosx)(C 1 ，C 2 是任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为 1 （分数：4.00）解析：y“-2y“+2y=0 考点 已知微分方程的解反求微分方程 解析 本题可以从不同思路分析：其一，由通解形式可得特征根，根据特征根写出特征方程，最后由特征方程与微分方程的关系写出所求微分方程；其二，由通解消去参数 C 1 ，C 2 ，得所求微分方程 解法一：根据二阶常系数齐次线性微分方程的特征根与对应通解之间的关系可知，特征根为
16、一对复数根： 1,2 =1i，于是特征方程为-(1+i)-(1-i)= 2 -2+2=0，故相应的二阶常系数齐次线性微分方程为 y“-2y“+2y=0 解法二：无须了解所求微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解 y=e x (C 1 sinx+C 2 cosx)，求得 y“=e x (C 1 -C 2 )sinx+(C 1 +C 2 )cosx， y“=e x (-2C 2 sinx+2C 1 cosx)， 由上面三个式子消去 C 1 与 C 2 ，得 y“-2y“+2y=0 故应填 y“-2y“+2y=013.设 A 是 3 阶实对称矩阵，且满足 A 2 +2A=O，若 kA+E 是正定矩
17、阵，则 k 1 （分数：4.00）解析： 考点 正定矩阵 解析 先求出 A 的特征值，进而求出 kA+E 的特征值，再确定 k 值 解：由 A 2 +2A=0 知，A 的特征值是 0 或-2，则 kA+E 的特征值是 1 或-2k+1又因为矩阵正定的充要条件是特征值大于 0，所以， 故应填小于 14.设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 E(X-1)(X-2)=1，则 = 1 （分数：4.00）解析：1 考点 考查泊松分布 解析 利用泊松分布的数字特征结论 解：由题意可得 E(X-1)(X-2)=E(X 2 -3X+2)=E(X 2 )-3E(X)+2 =D(X)+E(X) 2 -3E(
18、X)+2=1， 由随机变 X 服从参数为 的泊松分布，则有 D(X)=E(X)=，从而 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 ，且 f(0)=g(0)=0，试求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：因为 ，则 ，又因为 f(0)=0，代入表达式得 C=0，故 ， 同理，由 及 g(0)=0，得 g(x)=ln(1+x)于是 因为 ，即 ，故 16.计算曲线积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：取 为平面 x+y+z=2 的上侧被 L 所围成的部分， 的单位法向量为 ，即 由斯托克斯公式，得 其中 在 xOy 面上的投影域 D 为|x|+|y|1(如图所示
19、)在 上：z=2-x-y，(x，y)D， 因此 17.设 f(x，y)=x 3 +y 3 -3x 2 -3y 2 ，求 f(x，y)的极值及其在 x 2 +y 2 16 上的最大值 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：根据题意可得 解得 x 1 =0，x 2 =2，y 1 =0，y 2 =2 即共有 4 个极值可疑点：(0，0)，(0，2)，(2，0)，(2，2) 又因为 则在点(0，0)处， B 2 -AC=0-(-6)(-6)=-360 且 A=-60 所以点(0，0)是一个极大值点且极大值为 f(0，0)=0 同理，f(2，2)=-8 是一个极小值；而 f(0，2)与 f(2，
20、0)不是极值 由上面讨论可知，f(x，y)在闭域 D 上的最大值，若在 D 内达到，必是在(0，0)点取得，但也可能在 D 的边界上，故建立拉格朗日函数 令 L(x，y，)=x 3 +y 3 -3x 2 -3y 2 +(x 2 +y 2 -16)， 则有 解得：x=0，y=4 或 x=4，y=0 或 因此 f(x，y)在 D 上的最大值为 18.设函数 f(x)连续，证明： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证：如图所示， 考点 二重积分对称性 解析 所证等式的右边是定积分，左边是累次积分，而且发现式子左边无论是先对 y 还是先对 x 积分，里层的积分均无法积出，因此要另辟蹊径若把左边
21、看成二重积分： 右边亦视为二重积分： 19.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：因为 ，所以当 x 2 1，即-1x1 时，原幂级数绝对收敛 当 x=1 时，级数为 ，显然收敛，故收敛域为-1，1； 设 ，x-1，1，则 于是，得 ，由 S(0)=1，得 20.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 4 维列向量，满足 2 ， 3 ， 4 线性无关，且 1 + 3 =2 2 令 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，= 1 + 2 + 3 + 4 ，求线性方程组 Ax= 的通解 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：先求 Ax=0 的基础解系 由于 2 ， 3 ， 4
22、 线性无关，且 1 =2 2 - 3 ，得 r(A)=3又因为 1 -2 2 + 3 +0 4 =0， 故 Ax=0 基础解系为(1，-2，1，0) T 再求 Ax= 的一个特解 由于 = 1 + 2 + 3 + 4 ，故(1，1，1，1) T 为一个特解所以，Ax= 的通解为 (1，1，1，1) T +k(1，-2，1，0) T ，k 为常数 考点 非齐次线性方程组的结构 解析 利用非齐次线性方程组解的结构求解先求对应导出组的基础解系，再求一个特解设 A 是一个 n 阶方阵，满足 A 2 =A，r(A)=s 且 A 有两个不同的特征值（分数：11.00）(1).试证 A 可对角化，并求对角阵
23、 （分数：5.50）_正确答案：()解析：证：设 是 A 的特征值，由于 A 2 =A，所以 2 =，且 A 有两个不同的特征值，从而 A 的特征值为 0 和 1 又因为 A 2 =A，即 A(A-E)=0，故 r(A)+r(A-E)=n事实上，因为 A(A-E)=0，所以 r(A)+r(A-E)n 另一方面，由于 E-A 与 A-E 的秩相同，则有 n=r(E)=r(E-A)+Ar(A)+(E-A)=r(A)+r(A-E)， 从而 r(A)+r(A-E)=n 当 =1 时，因为 r(A-E)=n-r(A)=n-s，从而齐次线性方程组(E-A)x=0 的基础解系含有 s 个解向量，因此，A 属
24、于特征值 1 有 s 个线性无关特征向量，记为 1 ， 2 ， s 当 =0 时，因为 r(A)=s，从而齐次线性方程组(0E-A)x=0 的基础解系含 n-s 个解向量因此，A 属于特征值 0 有 n-s 个线性无关的特征向量，记为 s+1 ， s+2 ， n 于是 1 ， 2 ， n 是 A 的 n 个线性无关的特征向量，所以 A 可对角化，并且对角阵为 (2).计算行列式|A-2E|（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：令 P=( 1 ， 2 ， 3 ， n )，则 ，所以 设随机变量 X 与 Y 独立同分布，且 X 的概率分布为 X 1 2 P * * 记 U=maxX，Y，V=
25、minX，Y（分数：11.00）(1).求(U，V)的概率分布；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：(U，V)的可能取值为(1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)，则 PU=1，V=2=0； 故(U，V)的概率分布为 (2).求 U 与 V 的协方差 Cov(U，V)（分数：5.50）_正确答案：()解析：由(U，V)的概率分布可得 所以 已知 X 1 ，X n 为总体 X 的一组样本，总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）(1). 的矩估计量；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解： 令 ，解得 ，即 (2). 的最大似然估计量（分数：5.50）_正确答案：()解析：似然函数为 对数似然函数为 对数似然方程为 其最大似然估计值为 ，即 的最大似然估计量为 考点 考查参数的点估计 解析 利用
