1、考研数学一-393 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=|x|，g(x)=x 2 -x，则等式 fg(x)=gf(x)成立时，x 的变化范围是_（分数：4.00）A.(-，10B.(-，0.C.0,+).D.1,+)0.2.设非负可微函数 f(x)满足条件 f“(x)0， 收敛，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 y=y(x)是初值问题 的解，则 Ax=1 是 y(x)的极大点，且极限 Bx=1 是 y(x)的极大点，且极限 Cx=1 是 y(x)的极小点，且极限 Dx=1 是否为 y(x
2、)的极值点与参数 a 有关，且极限 （分数：4.00）A.B.C.D.4.如下四个论断中正确的是_ A若级数 收敛，且 u n v n ，则 也收敛 B若 收敛，则 都收敛 C若正项级数 发散，则 D若 都收敛，则 （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 A，B 均是 n 阶正交矩阵，A * ，B * 是 A，B 的伴随矩阵，且|A|=-|B|，则 |A+B|=0 |A-B|=0 |A * +B * |=0. |A * -B * |=0. 中，正确的结果有_（分数：4.00）A.1 项B.2 项C.3 项D.4 项6.设 A 是 4 阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是_ A.AX=0
3、 和 A2X=0 B.A2X=0 和 A3X=0 C.A3X=0 和 A4X=0 D.A4X=0 和 A5X=0（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 XN(0，1)，对给定的 (0a1)，数 u 满足 PXu =，若 P|X|x=，则x 等于_ A B C （分数：4.00）A.B.C.D.8.若(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0，1，1，)，令 U=X+Y，V=X-Y，则 cov(U，V)=_ A. 2+ 2 B. 2- 2 C. 2+2+ 2 D. 2-2+ 2.（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设有曲线 （分数：4.00）10
4、.设 z=f(x，y)在全平面 R 2 上有连续的二阶偏导数，并且满足方程 （分数：4.00）11.二重积分 （分数：4.00）12.设 L 为闭曲线 4x 2 +y 2 =8x 的沿逆时针方向，则 L e y2 dx+(x+y 2 )dy= 1 （分数：4.00）13.设 （分数：4.00）14.设 X 1 ,X 2 ，X 9 是来自正态总体 X 的简单随机样本， ， （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 f“(x)为连续的偶函数，满足条件 f“(e -x )=xe -x ，f(-1)=0求 f(x)的表达式 （分数：10.00）_16.设 （分数：10.0
5、0）_17.若 u 0 =0，u 1 =1， ，n=1，2，其中 ， 是正实数，求 （分数：10.00）_设函数集合 ，其中每一函数 f(x)，满足下列条件： ()f(x)是定义在0，1上的非负函数，且 f(1)=1； () （分数：10.00）(1).证明 中每一函数 f(x)都是单调增加的（分数：5.00）_(2).对所有这一类函数 ，求积分 （分数：5.00）_18.已知曲线 （分数：10.00）_设向量组(i) 1 =1，2，-1 T ， 2 =1，3，-1 T ， 3 =-1，0，a-2 T ； () 1 =-1，-2，3 T ， 2 =-2，-4，5 T ， 3 =1，b，-1 T
6、 ； 记 A= 1 ， 2 ， 3 ，B= 1 ， 2 ， 3 （分数：11.00）(1).问 a，b 为何值时，A，B 等价；a，b 为何值时，A，B 不等价；（分数：5.50）_(2).问 a，b 为何值时，向量组()，()等价；a，b 为何值时，向量组()，()不等价（分数：5.50）_设 A，B 是 n 阶矩阵，证明：（分数：11.00）(1).当 A 可逆时，AB 和 BA 有相同的特征值（分数：5.50）_(2).证明 AB 和 BA 有相同的特征值（分数：5.50）_已知随机变量 X 与 Y 的联合概率分布为表所示 （分数：11.00）(1).证明 X 与 Y 不相关的充分必要条
7、件是事件Y=1与X+Y=1相互独立；（分数：5.50）_(2).若 X 与 Y 不相关，求 X 与 Y 的边缘分布（分数：5.50）_设总体 X 的分布 X 1 2 3 p 2 2(1-) (1-) 2 其中 01，X 1 ，X 2 ，X 3 为来自总体的简单随机样本（分数：11.00）(1).求参数 的极大似然估计 （分数：5.50）_(2).判断 （分数：5.50）_考研数学一-393 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=|x|，g(x)=x 2 -x，则等式 fg(x)=gf(x)成立时，x 的变化范围是_（分数
8、：4.00）A.(-，10B.(-，0.C.0,+).D.1,+)0. 解析：解析 fg(x)=|g(x)|=|x 2 -x|，gf(x)=f 2 (x)-f(x)=|x| 2 -|x|=x 2 -|x| 由 fg(x)=gf(x)，得|x 2 -x|=x 2 -|x|. 当 x 2 x，即 x0 或者 x1 时，有 x 2 -x=x 2 -|x|，即 x=|x|，解得 x0综合得 x1 当 x 2 x，即 1x0 时，x-x 2 =x 2 -x，即 2x=2x 2 ，解得 x=1 或 x=0综上所述，当 x1 或 x=0时，fg(x)=gf(x)2.设非负可微函数 f(x)满足条件 f“(x
9、)0， 收敛，则_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由于 f“(x)0，所以 f(x)为单调下降函数 由于 收敛，则 又 故 由夹逼定理可知 又当 x1 时，0f(x)xf(x)，从而有 3.设 y=y(x)是初值问题 的解，则 Ax=1 是 y(x)的极大点，且极限 Bx=1 是 y(x)的极大点，且极限 Cx=1 是 y(x)的极小点，且极限 Dx=1 是否为 y(x)的极值点与参数 a 有关，且极限 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 y(x)是方程 的解 由 y“(1)=0，知 x=1 是 y(x)的一个驻点 又 y“(1)=(e x-
10、1 -2y“-ay)| x=1 =0，所以 x=1 是 y(x)的极小点 4.如下四个论断中正确的是_ A若级数 收敛，且 u n v n ，则 也收敛 B若 收敛，则 都收敛 C若正项级数 发散，则 D若 都收敛，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 A 此论断只对正项级数成立，所以不对 B 由反例 u n =1， ，否定了此论断 C 由反例 ，否定了此论断 D 正确因为 都收敛，所以 收敛，再由级数的运算性质，得 5.已知 A，B 均是 n 阶正交矩阵，A * ，B * 是 A，B 的伴随矩阵，且|A|=-|B|，则 |A+B|=0 |A-B|=0 |A * +B * |=0
11、. |A * -B * |=0. 中，正确的结果有_（分数：4.00）A.1 项B.2 项C.3 项D.4 项 解析：解析 A，B 是正交阵，则有 AA T =E=A T A，BB T =E=B T B，故 6.设 A 是 4 阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是_ A.AX=0 和 A2X=0 B.A2X=0 和 A3X=0 C.A3X=0 和 A4X=0 D.A4X=0 和 A5X=0（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 显然，由 A i X=0，两边左乘以 A，得 A i+1 X=0，i=1，2，3，4，四个选项均成立 反之，若 A i+1 X=0，是否有 A i X=0
12、对 A，取 ，A 2 =0，取 X=0，0，1，1 T ，则 A 2 X=0x=0，但 AX= ，故 A 不是同解方程组 对 B，取 ， ，A 3 =0，取 X=0，0，0，1 T ，则 A 3 X=0，但 ，故 B 不是同解方程组 对 C，取 ， ，A 4 =0，取 X=0，0，0，1 T ，则 A 4 X=0，但 ，故 C 不是同解方程组 由排除法知，应选择 D 对于 D：易知 A 4 X=0 A 5 X=0，要证 A 5 X=0 A 4 X=0，用反证法，设 A 5 X=0，而 A 4 X0，因 5 个四维向量 X，AX，A 2 X，A 3 X，A 4 X 必线性相关，存在不全为零的数
13、k 0 ，k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 使得 k 0 X+k 1 AX+k 2 A 2 X+k 3 A 3 X+k 4 A 4 X=0 (*) 对(*)式两边左乘 A 4 ，得 k 0 A 4 X+k 1 A 5 X+k 2 A 6 X+k 3 A 7 X+k 4 A 8 X=0 k 0 A 4 X=0， 又 A 4 X0 得 k 0 =0，将 k 0 =0 代入(*)式，类似的再两边左乘 A 3 ，可得 k 1 =0，同理可得 k 2 =k 3 =k 4 =0，这和 X，AX，A 2 X，A 3 X，A 4 X 线性相关矛盾，故 A 5 X=0 A 4 X=0(一般地，当 A为 n
14、阶方阵时，有 A n+1 X=0 7.设随机变量 XN(0，1)，对给定的 (0a1)，数 u 满足 PXu =，若 P|X|x=，则x 等于_ A B C （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 XN(0，1)，(-x)=1-(x) 由正态分布图，可知 8.若(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0，1，1，)，令 U=X+Y，V=X-Y，则 cov(U，V)=_ A. 2+ 2 B. 2- 2 C. 2+2+ 2 D. 2-2+ 2.（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由(X，Y)N(0，0，1，1，)，得 XN(0，1)，YN(0，1) 则 E(X)=0，1=D(X)=
15、E(X 2 )-(EX) 2 =E(X 2 )， E(Y)=0，1=D(Y)=E(Y 2 )-(EY) 2 =E(Y 2 ) cov(U,V)=E(U-EU)(V-EV)=E(UV)-E(U)E(V)=E(UV) =E(X+Y)(X-Y) =E( 2 X 2 - 2 Y 2 )= 2 - 2 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设有曲线 （分数：4.00）解析： 解析 由已知得 由切线与直线平行可知 得解 ，且 由此得切点为 和 所求切线方程为 和 ， 即 和 10.设 z=f(x，y)在全平面 R 2 上有连续的二阶偏导数，并且满足方程 （分数：4.00）解析：1 解析 f(-x，
16、x)=-x 2 -f“ 1 (-x，x)+f“ 2 (-x，x)=-2x 11.二重积分 （分数：4.00）解析： 解析 思路一：在极坐标系下，x=cos，y=sin，则 其中 思路二： 其中 所以 思路三：选 v 轴垂直于直线 3x+4y=0，令 3x+4y=u 则 12.设 L 为闭曲线 4x 2 +y 2 =8x 的沿逆时针方向，则 L e y2 dx+(x+y 2 )dy= 1 （分数：4.00）解析： 解析 由于 ，L 是半轴分别为 1 和 2 的椭圆 由格林公式得 其中 D 是由 围成的椭圆域，由于该椭圆域关于 x 轴对称，ye y2 是 y 的奇函数，所以 ，从而 13.设 （分
17、数：4.00）解析： 解析 由已知得 A 可逆，A * =|A|A -1 =-2A -1 故 (A-2E) -1 (A * +E)=(A-2E) -1 (-2A -1 +E)=(A-2E) -1 (A-2E)A -1 =A -1 ， 利用初等变换法求逆 则 14.设 X 1 ,X 2 ，X 9 是来自正态总体 X 的简单随机样本， ， （分数：4.00）解析：t(2) 解析 设 XN(，)，由题设得 E(Y 1 -Y 2 )=0， 故 ， ，又 ，Y 1 -Y 2 与 S 2 独立，则 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 f“(x)为连续的偶函数，满足条件 f“(e -x )
18、=xe -x ，f(-1)=0求 f(x)的表达式 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 f“(e -x )=xe -x ，令 e -x =|t|，则 x=-ln|t|，于是有 积分得 当 x0 时， 当 x0 时， 综上，得 16.设 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 得到 ，(|x|1)，代入方程得 17.若 u 0 =0，u 1 =1， ，n=1，2，其中 ， 是正实数，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 由 ，得 则 设函数集合 ，其中每一函数 f(x)，满足下列条件： ()f(x)是定义在0，1上的非负函数，且 f(1)=1； () （分数：1
19、0.00）(1).证明 中每一函数 f(x)都是单调增加的（分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 证明 f(x)是单调增函数，因为 x，x+x0，1，f(x+x)f(x)+f(x) x0，f(x+x)-f(x)f(x)0 (2).对所有这一类函数 ，求积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 对 f(x)， x0,1，有 1=fx+(1-x)f(x)+f(1-x)， 从而 而今函数 f 0 (x)x，x0，1，显然 f 0 (x)又 所以有 对所有这一类函数中，积分 的最大取值为 18.已知曲线 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 点(x，y，z)到 xOy 面的距
20、离为 d=|z|，故求 C 上距离 xOy 面的最远点和最近点的坐标，等价于条件极值问题： ，构造拉格朗日函数 L(x,y,z,)=z 2 +(x 2 +y 2 -2z 2 )+(x+y+3z-5)， 则 由(1)(2)得 x=y，代入(4)(5)有 解得 设向量组(i) 1 =1，2，-1 T ， 2 =1，3，-1 T ， 3 =-1，0，a-2 T ； () 1 =-1，-2，3 T ， 2 =-2，-4，5 T ， 3 =1，b，-1 T ； 记 A= 1 ， 2 ， 3 ，B= 1 ， 2 ， 3 （分数：11.00）(1).问 a，b 为何值时，A，B 等价；a，b 为何值时，A，
21、B 不等价；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 A，B 等价 r(A)=r(B)，将 A，B 合并成 ，一起作初等行变换，得 (2).问 a，b 为何值时，向量组()，()等价；a，b 为何值时，向量组()，()不等价（分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 向量组()，()等价 设 A，B 是 n 阶矩阵，证明：（分数：11.00）(1).当 A 可逆时，AB 和 BA 有相同的特征值（分数：5.50）_正确答案：()解析：【证明】 当 A 可逆时，因 A -1 (AB)A=(A -1 A)BA=BA，故 ABBA相似矩阵有相同的特征值，故AB 和 BA 有相同的特征值(2).
22、证明 AB 和 BA 有相同的特征值（分数：5.50）_正确答案：()解析：【证明】 思路一：若 AB 有特征值 =0，则|AB|=|A|B|=|BA|=0，故 BA 也有特征值 =0；若 AB有特征值 0，并设相应的特征向量为 (0)，即 (AB)=，(0) (*) (*)式左乘 B，得 B(AB)=B (BA)(B)=B，其中 B0，(若 B=0，则由(*)式(AB)=A(B)=0，这和 0 且 0 矛盾)，故 BA 也有特征值 0，对应的特征向量为 B，得证 AB 和BA 有相同的特征值 思路二：AB 有特征值 =0，则|AB|=|A|B|=|BA|=0，故 BA 也有特征值 =0；若
23、0，则 已知随机变量 X 与 Y 的联合概率分布为表所示 （分数：11.00）(1).证明 X 与 Y 不相关的充分必要条件是事件Y=1与X+Y=1相互独立；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 由概率分布的性质知 X 与 Y 不相关 cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 X 的概率分布为 Y 的概率分布为 XY 的概率分布为 则 故 X 与 Y 不相关 ，即 另一方面，事件Y=1与X+Y=1相互独立的充分必要条件是 PY=1，X+Y=1=PY=1PX+Y=1 而今已知 ，及 故事件Y=1与X+Y=1相互独立的充分必要条件也是 (2).若 X 与 Y 不相关，求 X 与
24、Y 的边缘分布（分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 若 X 与 Y 不相关，则 ， 故 X 的概率分布为 ，Y 的概率分布为 设总体 X 的分布 X 1 2 3 p 2 2(1-) (1-) 2 其中 01，X 1 ，X 2 ，X 3 为来自总体的简单随机样本（分数：11.00）(1).求参数 的极大似然估计 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 求参数 的极大似然估计 ，总体分布可表示为 P(X=k)=C(k)(1-) k-1 3-k ，k=1，2，3 其中 C(1)=1，C(2)=2，C(3)=1 似然函数 ， 即 ，其中 解方程得 ， 的最大似然估计 (2).判断 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 判断 的无偏性和一致性 的无偏性： 又 E(X)=1 2 +22(1-)+3(1-) 2 =3-2， 则 是 的无偏估计 的一致性：因为 ，则 D(X)=E(X 2 )-(EX) 2 =1 2 +42(1-)+9(1-) 2 -(3-2) 2 =3-2 =1 2 +42(1-)+9(1-) 2 -(3-2) 2 =2(1-)， 由切比雪夫不等式， 对有 即 ，
