1、考研数学一-389 及答案解析(总分：152.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 f(x)定义在(0，+)正函数， 在区间(0，+)上单调递减，则对 （分数：4.00）A.f(a+b)f(a)+f(b)B.f(a+b)f(a)+f(b)C.f(x)在(0，+)单调递减D.f(x)在(0，+)单调递增2.若 f(x)是实数集上二阶可导的奇函数，在(-，0)内 f“(x)0，且 f“(x)0，则在(0，+)内必有_（分数：4.00）A.f“(x)0，f“(0)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)03.函
2、数 f(x)在0，+)上连续，并满足条件 ，则_ A B C ，A 为正数 D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设有曲面 S 1 ：x 2 +2y 2 +3z 2 -1=0和 S 2 ：z-(x-1) 2 -y 2 -1=0另外，条件极值问题 在 P 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )点取得极小值 1而平面 1 ， 2 分别是曲面 S 1 和曲面 S 2 在点 P(x 0 ，y 0 ，z 0 )的两张切平面，则_ A 1 ， 2 的夹角是 0 B 1 ， 2 的夹角是 C 1 ， 2 的夹角是 D 1 ， 2 的夹角是 （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知三阶实矩阵 A=(a i
3、j ) 33 满足条件：|A|=1；a 33 =-1；a ij =A ij (i，j=1，2，3)，其中A ij 为 a ij 的代数余子式，则方程组 的解是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.向量组()： 1 ， 2 ， r 线性无关，且可由向量组()： 1 ， 2 ， s 线性表出，则下列说法正确的是_（分数：4.00）A.若向量组()线性无关，则 r=sB.若向量组()线性相关，则 rsC.不论怎样，都有 rsD.不论怎样，都有 rs7.设随机变量 XN(0，1)，Y 的分布为 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.38.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，且它们
4、不相关，则_（分数：4.00）A.X与 Y一定独立B.X与 Y未必独立C.X+Y服从一维正态分布D.(X，Y)服从二维正态分布二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若函数 f(x)在点 x=0处可导，且 f(0)=f“(0)=1，则 （分数：4.00）10.函数 ，n1，在点 （分数：4.00）11.级数 （分数：4.00）12.若 y 1 =sinx，y 2 =1+sinx，y 3 =e 2x +sinx是 y“+ 1 (x)y“+ 2 (x)y=f(x)的三个解，则 f(x)= 1 （分数：4.00）13.A，B 均为 3阶矩阵，E 是 3阶单位矩阵，已知 2AB+A+4B=0，且
5、 （分数：4.00）14.设某糖厂的糖果包装机包装好的糖果的重量 X服从正态分布，今已知其标准差为 =0.01(kg)每日开工后在生产线上抽测 n袋，得到均值 在显著性水平 =0.05 下，要求假设“E(X)=0.5(kg)”的拒绝域为： 或 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：96.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.设级数 在 x=4点处条件收敛，判断级数 （分数：10.00）_设 x=(t,)是微分方程初值问题 （分数：10.00）(1).求出 (t，)的表达式；（分数：5.00）_(2).证明 (t，)在 t- 全平面连续且可微（分数：5.00）_17.设有直角
6、三角形的闸板，两直角边之和为 l，将其竖直放入水中，使一条直角边与水面重合，另一直角边垂直向下，问两直角边成何比例时，三角形闸板承受水压力最大？设水的密度为 1，求出其最大压力 （分数：12.00）_已知 f(x)在(-，+)上可微，且 f(1)=1平面向量场 （分数：10.00）(1).求 f(x)；（分数：5.00）_(2).证明 （分数：5.00）_18.讨论 a，b 取何值时，下列方程组无解、有唯一解、有无穷多解，有解时求出其解 （分数：11.00）_设 n阶实对称矩阵 A的秩为 r，且满足 A 2 =A，求（分数：11.00）(1).二次型 x T Ax的标准形；（分数：5.50）_
7、(2).行列式|E+A+A 2 +A n |的值，其中 E为单位矩阵（分数：5.50）_19.设某网络服务器首次失效时间服从参数为 的指数分布 E()，现随机购得 4台求下列事件的概率：()事件 A：至少有一台其工作寿命(首次失效时间)等于此类服务器期望寿命； ()事件 B：有且仅有一台工作寿命小于此类服务器期望寿命 （分数：11.00）_设总体 X的概率密度函数为 （分数：11.01）(1).求 的最大似然估计量 （分数：3.67）_(2).证明 （分数：3.67）_(3).求 （分数：3.67）_考研数学一-389 答案解析(总分：152.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8
8、，分数：32.00)1.若 f(x)定义在(0，+)正函数， 在区间(0，+)上单调递减，则对 （分数：4.00）A.f(a+b)f(a)+f(b)B.f(a+b)f(a)+f(b) C.f(x)在(0，+)单调递减D.f(x)在(0，+)单调递增解析：解析 在(0，+)上单调递减，又 f(x)，a，b 均为正数，则 另由反例 可排除 C；由反例 2.若 f(x)是实数集上二阶可导的奇函数，在(-，0)内 f“(x)0，且 f“(x)0，则在(0，+)内必有_（分数：4.00）A.f“(x)0，f“(0)0 B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x
9、)0解析：解析 f(x)是奇函数，则 f(0)=0，f“(x)是偶函数，f“(x)是奇函数 所以，由在(-，0)内 f“(x)0，f“(x)0，得出在(0，+)内 f“(x)=f“(-x)0，f“(x)=-f“(-x)03.函数 f(x)在0，+)上连续，并满足条件 ，则_ A B C ，A 为正数 D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由已知得 ，0 1 ， 2 x做类似推导下去，可得 0f(x)x n f( n )，0 1 ， 2 ， n x，n=1，2， 由此可知，当 x0，1)时，f(x)0由连续性可得 ， 类似可推出，当 x1，2时，f(x)0，如此类推，可知当 x0，
10、+)时，f(x)0 因此 4.设有曲面 S 1 ：x 2 +2y 2 +3z 2 -1=0和 S 2 ：z-(x-1) 2 -y 2 -1=0另外，条件极值问题 在 P 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )点取得极小值 1而平面 1 ， 2 分别是曲面 S 1 和曲面 S 2 在点 P(x 0 ，y 0 ，z 0 )的两张切平面，则_ A 1 ， 2 的夹角是 0 B 1 ， 2 的夹角是 C 1 ， 2 的夹角是 D 1 ， 2 的夹角是 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 P 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )是 的解，得 是曲面 x 2 +2y 2 +3z 2 =1在
11、P 0 点处切平面 1 的法线向量； 是曲面 z-(x-1) 2 -y 2 -1=0在 P 0 点处切平面 2 的法线向量 可见有 5.已知三阶实矩阵 A=(a ij ) 33 满足条件：|A|=1；a 33 =-1；a ij =A ij (i，j=1，2，3)，其中A ij 为 a ij 的代数余子式，则方程组 的解是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 思路一：|A|按第 3行展开，利用 a 33 =-1=A 33 ，且|A|=1，得 因为|A|=1，由 其中 所以 思路二：因为 a ij =A ij ，i,j=1,2,3，所以 A * =A T ，又|A|=
12、1，可得 A -1 =A T ，AA T =E， 即 A为三阶正交矩阵，则方程 的解 为 A -1 的第三列，即 A的第三行，即 因 A为正交矩阵，则 x是单位向量，已 a 33 =-1，则有 a 31 =a 32 =0，故 6.向量组()： 1 ， 2 ， r 线性无关，且可由向量组()： 1 ， 2 ， s 线性表出，则下列说法正确的是_（分数：4.00）A.若向量组()线性无关，则 r=sB.若向量组()线性相关，则 rsC.不论怎样，都有 rsD.不论怎样，都有 rs 解析：解析 向量组()： 1 , 2 , r 可由向量组()： 1 , 2 , s 线性表示，则 r( 1 , 2 ,
13、 r )r( 1 , 2 , s )s 因为向量组()线性无关，所以有 r( 1 , 2 , r )=rrs，与()是否线性相关无关，故 C不正确 若向量组()线性无关，则有 r( 1 ， 2 ， r )=rr( 1 ， 2 ， s )=s，但不能推出 r=s，所以 A不对 若向量组()线性相关，则有 r( 1 ， 2 ， r )=rr( 1 ， 2 ， s )s，从而rs，所以 B不准确 综上，正确答案为 D.7.设随机变量 XN(0，1)，Y 的分布为 （分数：4.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析 记 y 1 =-1，y 2 =0，y 3 =1，由事件分解： 由全概率公式，得 所
14、以有 F Z (z)=P(XYz) =P(Y=-1)PX(-1)z+P(Y=0)P(X0z)+ P(Y=1)P(X1z) 8.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，且它们不相关，则_（分数：4.00）A.X与 Y一定独立B.X与 Y未必独立 C.X+Y服从一维正态分布D.(X，Y)服从二维正态分布解析：解析 若(X，Y)服从二维正态分布，则 X和 Y不相关与独立是等价的(X，Y)服从二维正态分布，是指 X，Y 的联合分布密度函数为 X和 Y都服从正态分布，是指(X，Y)关于 X和 Y的边缘分布都是正态分布，即 X的分布密度为 ，是正态分布 Y的分布密度为 二、填空题(总题数：6，分数：24.00
15、)9.若函数 f(x)在点 x=0处可导，且 f(0)=f“(0)=1，则 （分数：4.00）解析：-5 解析 10.函数 ，n1，在点 （分数：4.00）解析： 解析 记 ，则 ，它在 点处的梯度方向就是该点最大的方向导数的方向 ， 因此，所求最大的方向导数方向的单位向量 11.级数 （分数：4.00）解析：4e 解析 所以 12.若 y 1 =sinx，y 2 =1+sinx，y 3 =e 2x +sinx是 y“+ 1 (x)y“+ 2 (x)y=f(x)的三个解，则 f(x)= 1 （分数：4.00）解析：f(x)=-sinx-2cosx 解析 依题可知，齐次方程 y“+ 1 (x)y
16、“+ 2 (x)y=0的两个线性无关解为 13.A，B 均为 3阶矩阵，E 是 3阶单位矩阵，已知 2AB+A+4B=0，且 （分数：4.00）解析： 解析 2AB+A+4B=0，则 因此 14.设某糖厂的糖果包装机包装好的糖果的重量 X服从正态分布，今已知其标准差为 =0.01(kg)每日开工后在生产线上抽测 n袋，得到均值 在显著性水平 =0.05 下，要求假设“E(X)=0.5(kg)”的拒绝域为： 或 （分数：4.00）解析：16 解析 XN(， 2 )，其中 =0.01，=0.5，则 又 =0.01，=0.5，故 三、解答题(总题数：9，分数：96.00)15.求极限 （分数：10.
17、00）_正确答案：()解析：解析 16.设级数 在 x=4点处条件收敛，判断级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 因为幂级数的条件收敛点只能处于收敛区间的端点，而 在 x=4点处条件收敛，又收敛区间的中点为 x=1，由此得知其收敛半径为 R=4-1=3，收敛区间为(-2，4). 因为 ，又序列 单调增加，因此 而 对应于 在 x=e+1处的数项级数，且 x=e+1(-2，4)，所以 收敛又因为 x=e+1在其收敛区间内，根据幂级数性质判断 绝对收敛 由正项级数比较判敛法可知 设 x=(t,)是微分方程初值问题 （分数：10.00）(1).求出 (t，)的表达式；（分数：5.00
18、）_正确答案：()解析：解析 0 时， ，由 (0,)=0，得 c=1； =0 时，x=(t，)=t，因此得到 (2).证明 (t，)在 t- 全平面连续且可微（分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 只需讨论在 =0 处的连续性与可微性 首先，由 ，可知 (t，)在(t，0)处连续所以 (t，)在全平面上都连续 再考虑可微性：当 0 时， ； 当 =0 时， 又 所以偏导数 在 =0 处连续，所以 在全平面上连续 由于 17.设有直角三角形的闸板，两直角边之和为 l，将其竖直放入水中，使一条直角边与水面重合，另一直角边垂直向下，问两直角边成何比例时，三角形闸板承受水压力最大？设水的密度为
19、 1，求出其最大压力 （分数：12.00）_正确答案：()解析：解析 以垂直向下直角边顶点为坐标原点，垂直向上方向为 y轴，xOy 平面与三角板所在平面相平行建立坐标系，如下图所示 设水平直角边与垂直向下直角边的边长分别为 a与 ka， 则 a+ka=l，斜边所在直线方程为 y=kx 记 P(k)为闸板承受的水压力，横向分割三角形域， 则有 xdy表示面积微元，ka-y 为水深，则有微分关系 dP(k)=g(ka-y)xdy=gk 2 (ax-x 2 )dx， 于是 解得驻点 k=2，且 P“(k)在驻点两侧变号(先正后负)，因此最大压力为 已知 f(x)在(-，+)上可微，且 f(1)=1平
20、面向量场 （分数：10.00）(1).求 f(x)；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 设 F=(F 1 ，F 2 )是二元函数 u(x，y)的梯度向量， 即 ，所以 由 (2).证明 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 奇点为(0，0)，要证对任意一条包含 F奇点(0，0)的正向环路 C有 由复合环路定理，取正向环路为 C 0 ：x 4 +y 4 =1，则 由对称性，知该积分为零于是 18.讨论 a，b 取何值时，下列方程组无解、有唯一解、有无穷多解，有解时求出其解 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解析 将增广矩阵 用初等行变换化为阶梯形 讨论： 当 a=-1，
21、b36 时，r(A)=3， 方程组无解； 当 a-1，a6 时， ，方程组有唯一解，且唯一解为 当 a=-1，b=36 时， ，方程组有无穷多解，此时方程组化为 求非齐次方程特解：令 x 4 =0，有 x 3 =0，x 2 =-12，x 1 =6，即特解是 =(6，-12，0，0) T . 求解齐次方程组的基础解系，令 x 4 =1，有 x 3 =0，x 2 =5，x 1 =-2，即 =(-2，5，0，1) T 是基础解系，所以通解为 +k=(6，-12，0，0) T +k(-2，5，0，1) T ； (4)当 a=6时， ，方程组有无穷多解，此时方程组化为 求非齐次方程特解：令 x 3 =0
22、，有特解 求齐次方程组的基础解系，令 x 3 =1，=(-2，1，1，0) T 所以通解为 设 n阶实对称矩阵 A的秩为 r，且满足 A 2 =A，求（分数：11.00）(1).二次型 x T Ax的标准形；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 设 A=(0)，则 A 2 =A=，又 A 2 = 2 ， 故 的取值范围是 1或 0 由 n阶实对称矩阵 A的秩为 r知，=1，=0 分别为 A的 r重和 n-r重特征值， 故存在正交矩阵 P，使得 经正交变换 x=Py，二次型 x T Ax的标准形为 (2).行列式|E+A+A 2 +A n |的值，其中 E为单位矩阵（分数：5.50）_正
23、确答案：()解析：解析 由 A 2 =A，知 A 2 =A n =A，故 |E+nA|=|PP -1 +nPP -1 |=|P(E+n)P -1 | =|P|E+n|P -1 | =|E+n|=(n+1) r 19.设某网络服务器首次失效时间服从参数为 的指数分布 E()，现随机购得 4台求下列事件的概率：()事件 A：至少有一台其工作寿命(首次失效时间)等于此类服务器期望寿命； ()事件 B：有且仅有一台工作寿命小于此类服务器期望寿命 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解析 设服务器首次失效时间为 X，X 的概率密度 ()由于 X服从指数分布，为连续型随机变量而连续型随机变量取任一固
24、定值的概率为零，因此 P(A)=0 ()先求期望寿命 E(X) 因此一台服务器的寿命小于此类服务器期望寿命 E(X)的概率为 而每台服务器的寿命可能小于 E(X)，也可能超过 E(X)，购买 4台服务器，其中寿命小于 E(X)的台数应服从二项分布 B(4，p)，所以事件 B的概率为 设总体 X的概率密度函数为 （分数：11.01）(1).求 的最大似然估计量 （分数：3.67）_正确答案：()解析：解析 依题知，似然函数为 取对数然后求导可得 令 ，得 的最大似然估计量为 (2).证明 （分数：3.67）_正确答案：()解析：解析 故 ，即 (3).求 （分数：3.67）_正确答案：()解析：解析 故 D(|X|)=E(|X| 2 )-E 2 (|X|)=2 2 - 2 = 2 ， 则
