1、考研数学一-389 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知反常积分 （分数：4.00）A.02B.12C.23D.132.设 在 x=-2 处条件收敛，则 在 （分数：4.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.必发散D.敛散性不确定3.函数 （分数：4.00）A.不连续B.偏导数不存在C.可微D.偏导数连续4.若 y=xe x +x 是微分方程 y“-2y“+ay=bx+c 的解，则（分数：4.00）A.a=1，b=1，c=0B.a=1，b=1，c=-2C.a=-3，b=-3，c=0D.a=-3，b=1，c=15.设 ， ，
2、， （分数：4.00）AABBCCDD6.已知多项式 （分数：4.00）A.1，40B.0，40C.0，-40D.1，-407.甲、乙两人各自独立地向同一目标重复射击两次，已知每次射击甲命中目标的概率为 p(0p1)，乙命中目标的概率为 0.6，则使甲、乙两人命中目标次数相等的概率达到最大的 p 为 A0.6 B0.7 C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.已知随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(， 2 )，如果 Pmax(X，Y)=a(0a1)，则Pmin(X，Y)等于 A B （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设方程 确定了函数
3、y=f(x)，则 （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.设 D=(x，y)|x 2 +y 2 2x+2y)，则 （分数：4.00）12.设 z=f(xy，x 2 +y 2 )，其中 f(u,v)有二阶连续偏导数，则 （分数：4.00）13.设 =(1，0，1) T ，=(0，1，-1) T ， （分数：4.00）14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(1，-2； 2 ， 2 ；0)，则 PXY2-2X+Y= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：9.00）_16.设 f(x)为连续函数， ， ，当 x0 时 F(x)- （分数
4、：11.00）_17.计算 ，其中 () 为 的上侧 () 为上半椭球面 （分数：10.00）_18.设 f(x)在0，+)上连续，且 收敛，令 ，证明： （分数：10.00）_19.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，常数 a0 与 b0求证：存在满足01 的 与 使得 af“()+bf“()=0 （分数：10.00）_20.已知 1 ， 2 ， 1 ， 2 均是 3 维向量，且 1 ， 2 线性无关， 1 ， 2 线性无关，证明存在非零向量 ，使得 既可由 1 ， 2 线性表出，又可由 1 ， 2 线性表出 当 ， ， ， （分数：11.00）_21.已
5、知二次型 T A= （分数：11.00）_22.设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，1)，YU(1，2)，记 Z=|X-Y| 求()随机变量 Z 的概率密度 f Z (z)； ()随机变量 Z 的数学期望 EZ （分数：11.00）_23.已知 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N(0， 2 )容量为 n(n1)的简单随机样本，样本均值与方差分别为 和 S 2 记 （分数：11.00）_考研数学一-389 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知反常积分 （分数：4.00）A.02B.12C.23 D.13解析：
6、解析 由与 x=0 是无界点，则将原积分为两个反常积分 由于当 x0 时，ln(1+x 2 )x 2 ，则反常积分 同敛散，而要使 收敛，-21，则由 收敛可得 3 由于反常积分 当 1 时收敛，当 1 时发散，且 ，则当 1 时， 发散，而当1 时， ，其中 0，-1，由于 收敛， ，则 收敛 故要使反常积分 2.设 在 x=-2 处条件收敛，则 在 （分数：4.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.必发散D.敛散性不确定解析：解析 显然幂级数 的收敛半径为 1，由于幂级数 在 x=-2 处条件收敛，则 x=-2 为该幂级数收敛区间的端点，从而 a=-3 或 a=-1，但 a=-3 与 在 x
7、=-2 处条件收敛矛盾，而 a=-1 时， 在 x=-2 处条件收敛，符合题意， 则 a=-1，此时， 显然该幂级数的收敛半径为 1，则其收敛区间为(-2，0)，又 ，则幂级数 在 3.函数 （分数：4.00）A.不连续B.偏导数不存在C.可微 D.偏导数连续解析：解析 显然 ，则 f(x，y)在点(0，0)处连续，又 同理 f y (0，0)=0 4.若 y=xe x +x 是微分方程 y“-2y“+ay=bx+c 的解，则（分数：4.00）A.a=1，b=1，c=0B.a=1，b=1，c=-2 C.a=-3，b=-3，c=0D.a=-3，b=1，c=1解析：解析 由解 y=xe x +x
8、的形式及原方程右端的非齐次项可知，xe x 为齐次方程的解，则其特征方程有二重根 1 - 2 =1，特征方程应为(-1) 2 =0，则 a=1，而 y=x 应为非齐次方程的解，将其代入方程 y“-2y“+y=bx+c 得 b=1，c=-2，故应选 B5.设 ， ， ， （分数：4.00）AABBCCDD 解析：解析 C 是对称矩阵必和对角矩阵相似 矩阵 A 的特征值是 1，2，3，有 3 个不同的特征值必和对角矩阵相似 矩阵 B 的特征值是 3，3，-1，特征值有重根，但 =3 有 2 个线性无关的特征向量，故和对角矩阵相似 矩阵 D 的特征值是 2，0，0，特征值有重根，但 =0 时(0E-
9、D)=0 只有一个线性无关的解，亦即 =0 只有一个线性无关的特征向量，故 D 不能相似对角化6.已知多项式 （分数：4.00）A.1，40B.0，40C.0，-40 D.1，-40解析：解析 由于行列式是不同行不同列元素乘积的代数和，现在第四行元素中没有 x 项，因此多项式f(x)中不存在 x 4 项，其系数必为 0 而常数项是由不含 x 的项所得，故令 x=0，有 7.甲、乙两人各自独立地向同一目标重复射击两次，已知每次射击甲命中目标的概率为 p(0p1)，乙命中目标的概率为 0.6，则使甲、乙两人命中目标次数相等的概率达到最大的 p 为 A0.6 B0.7 C D （分数：4.00）A.
10、B.C.D. 解析：解析 用 X，Y 分别表示两次射击甲、乙击中目标的次数，则 X 与 y 相互独立XB(2，p)，YB(2，0.6) 事件“两次射击甲、乙两人命中目标次数相等”即X=Y，为 X=0，Y=0)X=1，Y=1X=2，Y=2)依题意选 p 使得 PX=Y)最大由于 对 p 求导，得 8.已知随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(， 2 )，如果 Pmax(X，Y)=a(0a1)，则Pmin(X，Y)等于 A B （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 选择 C 我们也可以这样考虑，由于 Pmax(X，Y)=1-Pmax(X，Y) =1-PX，Y 1-P(AB)， 其中
11、A=X，B=Y，已知 XN(， 2 )，YN(， 2 )， 所以 P(A)=P(B)= ， 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设方程 确定了函数 y=f(x)，则 （分数：4.00）解析：解析 又 t=1 时 x=0，则10. （分数：4.00）解析：当 n 为偶数时为 0，当 n 为奇数时为 解析 当 n 为偶数时，t n e -t2 为偶函数，则 为奇函数，从而 为奇函数，则 当 n 为奇数时， 11.设 D=(x，y)|x 2 +y 2 2x+2y)，则 （分数：4.00）解析：5 解析 积分域 x 2 +y 2 2x+2y 为圆域(x-1) 2 +(y-1) 2 2 令 x
12、-1=u，y-1=v，则 12.设 z=f(xy，x 2 +y 2 )，其中 f(u,v)有二阶连续偏导数，则 （分数：4.00）解析：f“ 1 +xyf“ 11 +4xyf“ 22 +2(x 2 +y 2 )f“ 22 解析 13.设 =(1，0，1) T ，=(0，1，-1) T ， （分数：4.00）解析： 解析 记 又 B 2 =( T )( T )=( T ) T =- T =-B 递推地，B 2017 =(-1) 2016 B=B 故 A 2017 =(P -1 BP) 2017 =P -1 B 2017 P=P -1 BP 注意 14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(1
13、，-2； 2 ， 2 ；0)，则 PXY2-2X+Y= 1 （分数：4.00）解析： 解析 (X，Y)N(1，-2； 2 ， 2 ；0)，所以 X 与 Y 相互独立，且 XN(1， 2 )和 YN(-2， 2 )，也就有(X-1)N(0 2 )与(Y+2)N(0， 2 )，且(X-1)与(Y+2)也相互独立 PXY2-2X+Y=PXY+2X-Y-20=P(X-1)(Y+2)0 =PX-10，Y+20)+PX-10，Y+20 =PX-10PY+20+PX-10PY+20 根据正态分布的对称性： PX-10=PX-10)=PY+20=PY+20= 所以 PXY2-2X+Y= 三、解答题(总题数：9
14、，分数：94.00)15.求极限 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解法 1 解法 2 解法 3 16.设 f(x)为连续函数， ， ，当 x0 时 F(x)- （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 令 x-t=u，则 dt=-dv 由 知 从而，f(0)=1， ，且 k=3， ，此时 17.计算 ，其中 () 为 的上侧 () 为上半椭球面 （分数：10.00）_正确答案：()解析： 其中 S 为平面域 x 2 +y 2 a 2 的下侧，则由高斯公式得 ()补面 1 和 2 ，其中 1 为上半球面 的下侧， 2 为 xOy 面上介于 x 2 +y 2 =1 与 18.设 f(x
15、)在0，+)上连续，且 收敛，令 ，证明： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 令 nx=t，则 从而 又由于 收敛，设 ，则 当 0 时，级数 收敛，故级数 19.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，常数 a0 与 b0求证：存在满足01 的 与 使得 af“()+bf“()=0 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 令 ，在0，c和c，1上分别对 f(x)用拉格朗日定理得 此时， 解析 本题属中值定理的证明题中要证存在两个不同点 和 ，这种问题应将0，1分为两个区间0，c和c，1，然后在这两个区间上分别用拉格朗日中值定理问题的关键在
16、于 c点的选取，为此，利用拉格朗日中值定理得 从而有 若能选得 c(0，1)，使 ，则必有 af“()+bf“()=0，问题得以证明显然 20.已知 1 ， 2 ， 1 ， 2 均是 3 维向量，且 1 ， 2 线性无关， 1 ， 2 线性无关，证明存在非零向量 ，使得 既可由 1 ， 2 线性表出，又可由 1 ， 2 线性表出 当 ， ， ， （分数：11.00）_正确答案：()解析：证4 个 3 维向量 1 ， 2 ， 1 ， 2 必线性相关，故 不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，l 1 ，l 2 使 k1 1+k2 2+l1 1+l2 2令 =k 1 1 +k 2 2 =-l 1 1
17、-l 2 2 如果 =0，即 k 1 1 +k 2 2 =0 且 l 1 1 +l 2 2 =0 由 1 ， 2 线性无关，故必有 k 1 =0，k 2 =0，同理由 1 ， 2 线性无关知 l 1 =0，l 2 =0 与 k 1 ，k 2 ，l 1 ，l 2 不全为 0 相矛盾所以必有 0 且 即可由 1 ， 2 线性表出，又可由 1 ， 2 线性表出 对已知的 1 ， 2 ， 1 ， 2 设 x 1 1 +x 2 2 +y 1 1 +y 2 2 =0 作初等行变换有 21.已知二次型 T A= （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 ()二次型矩阵 由 A 的特征值：2+2a，2-a
18、(二重根) 对 =2+2a，由(E-A)=0 且 a0 有 得基础解系 1 =(1，1，1) T 对 =2-a，由(E-A)=0 得基础解系 2 =(-1，1，0) T ， 3 =(-1，0，1) T 故 =2+2a 时，特征向量为 k 1 1 ，k 1 0， =2-a 时，特征向量为 k 2 2 +k 3 3 ，k 2 ，k 3 不全为 0 ()二次 T A 正定 a(-1，2) ()当 a=-2 时 A 的特征值为：4，4，-2 故二次型经正交变换为 22.设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，1)，YU(1，2)，记 Z=|X-Y| 求()随机变量 Z 的概率密度 f Z (z)； (
19、)随机变量 Z 的数学期望 EZ （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 ()记随机变量 Z 的分布函数为 F Z (z)， F Z (z)=PZz=P|X-Y|z， 由于 Y 的取值在(1，2)内，X 的值在(0，1) 故 F Z (z)=PY-Xz)= X，Y 相互独立，故 当 z0 时，F Z (z)=0； 当 0z1 时， 当 1z2 时， 当 2z 时，F Z (z)=1 ()方法一， 方法二， 23.已知 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N(0， 2 )容量为 n(n1)的简单随机样本，样本均值与方差分别为 和 S 2 记 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 统计量 T 是参数 2 的无偏估计，所以 ET= 2 由题设知总体 XN(0， 2 )，故 和 ，且 与 S 2 相互独立由此得 ，也就有 根据 2 (n)分布性质：如果 Y 2 (n)，则 EY=n，DY=2n，所以 ，即 ，而 E(S 2 )=DX= 2 总之 解得 现计算 由于 与 S 2 相互独立，所以 也与 相互独立，所以 因为 ，故 ，即 而 ，故 ，即 D 总之
