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    【考研类试卷】考研数学一-388及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学一-388及答案解析.doc

    1、考研数学一-388 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.若 f(x)在a,b上可导,且 f“ + (a)f“ - (b)0 和 f(a)=f(b)=0今给出下列论断: f(x)在(a,b)内必有拐点 f(x)在(a,b)内必有极大值点和极小值点 f(x)的最大点和最小点都在(a,b)内 f(x)在(a,b)内只可能有有限个极值点 其中正确的论断有_(分数:4.00)A.一个B.二个C.三个D.四个2.设 D t =(x,y)R 2 |x 2 +y 2 t 2 ,t0,f(x)为满足 的连续函数, (分数:4.00)A.B.2.C.

    2、-2.D.-.3.设函数 将 f(x)展成周期 T=2l=4 的余弦级数,其和函数为 S(x),则其余弦级数系数 a 0 及 S(-3)+S(4)的值分别是_ A0 及 B1 及 1 C0 及 0 D1 及 (分数:4.00)A.B.C.D.4.设 C 为正向: ,则 与 (分数:4.00)A.0 与 0B.0 与 8C.8 与 0D.8 与 85.n 阶矩阵 A 经初等行变换得到矩阵 B,下列命题正确的是_(分数:4.00)A.A 与 B 有相同的特征值和特征向量B.Ax=b 是 Bx=b 的同解方程组C.A 的行向量组与 B 的行向量组是等价的D.A 的列向量组与 B 的列向量组是等价的6

    3、.已知 (分数:4.00)A.a-10B.a=10C.a10.D.a-10.7.设(X 1 ,X 2 )服从二维正态分布 N(0,0, 2 , 2 ,0.5),令 , (分数:4.00)A.Y1 和 Y2 都服从正态分布,但分布参数有所不同B.Y1 和 Y2 都服从正态分布,但不相互独立C.Y1 和 Y2 都服从正态分布,而且相互独立D.Y1 和 Y2 有相等的数学期望和方差,但不服从正态分布8.设有 2 个袋子,各装 r+b 只球,其中红球 r 只,黑球 b 只,今从第 1 个袋子随机取一球,放入第 2 个袋子,再从第 2 个袋子随机取一球令 (分数:4.00)A.X1 和 X2 独立,不同

    4、分布B.X1 和 X2 不独立,同分布C.X1 和 X2 独立,同分布D.X1 和 X2 不独立,不同分布二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.微分方程 y“-4y“+4y“=1 的一般解为 1 (分数:4.00)10.定积分 (分数:4.00)11.若 f(x)在(-1,1)内可微,且 f“(0)=0,f“(0)=A,则 (分数:4.00)12.设 z=xf(y)-yg(xy),其中函数 f,g 具有二阶连续导数若 f“(0)=1,g“(0)=g“(0)=A则 (分数:4.00)13.设 A 是 n(n2)阶非零实矩阵,A 的元素 a ij 与其相应的代数余子式 A ij 相等,i,

    5、j=1,2,n若 a 11 =a 12 =a 1n 0,则 a 11 = 1 (分数:4.00)14.设 XN(0,2 2 ),X k (k=1,2,3,4)是来自总体 X 的简单样本,令 S 2 =a(X 1 -2X 2 ) 2 +b(3X 3 -4X 4 ) 2 , 其中 a,b 为常数若统计量 S 2 服从 2 (n)分布,则 a,b,n 分别等于 1 (分数:4.00)三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.求极限 (分数:10.00)_16.求过点(-1,0,4),平行于平面:3x-4y+z=10,且与直线 L 1 : (分数:10.00)_设 (分数:10.00)(1).求

    6、 (分数:5.00)_(2).求级数 (分数:5.00)_17.设 f(x)在a,b上连续非负,且单调增加, 为区域 D=(x,y)R 2 |axb,0yf(x)的重心,证明 (分数:10.00)_18.设函数 f(t)在 t0 时具有连续三阶导数, 证明曲线积分: (分数:10.00)_设 (分数:11.00)(1).求满足 AX-XA=0 的所有 X(分数:5.50)_(2).AX-XA=E,E 是二阶单位阵,是否有解,若无解,说明理由,若有解求满足方程的所有的 X.(分数:5.50)_设二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=X T AX= ,经过正交变换 X=QY 化为标准形 (分

    7、数:11.00)(1).求 a,b 的值;(分数:5.50)_(2).求正交矩阵 Q(分数:5.50)_某种产品的寿命 X 服从指数分布,概率密度为 (分数:11.00)(1).问售出一件产品,厂家的平均收入是多少?(分数:5.50)_(2).若某公司买了 6 件此种产品使用,问恰有 2 件在一年内损坏的概率(分数:5.50)_19.总体 X 的概率密度为 (分数:11.00)_考研数学一-388 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.若 f(x)在a,b上可导,且 f“ + (a)f“ - (b)0 和 f(a)=f(b)=0今给出

    8、下列论断: f(x)在(a,b)内必有拐点 f(x)在(a,b)内必有极大值点和极小值点 f(x)的最大点和最小点都在(a,b)内 f(x)在(a,b)内只可能有有限个极值点 其中正确的论断有_(分数:4.00)A.一个B.二个C.三个 D.四个解析:解析 对选项:用反证法,如果 f(x)在(a,b)内没有拐点,则 f(x)在(a,b)内都是上凸的,或者都是下凸的即 f“(x)在(a,b)内是单调减的,或者 f“(x)在(a,b)内是单调增的因此 f“(x)在(a,b)至多有一个零点但由条件 f“ + (a)f“ - (b)0 和 f(a)=f(b)=0,可推出 f(x)在(a,b)内至少还有

    9、一个零点,即 f(x)在a,b内至少有三个零点,因此,f“(x)在(a,b)内至少有两个零点,这与 f“(x)在(a,b)内单调矛盾因此正确 选项:f(x)在a,b上连续 f(x)在a,b上有最大、最小点; f(a)=f(b)和 f“(a)f“(b)0 最大最小点不在端点; 区间内的最大值、最小值点必是极大值、极小值点 f(x)在(a,b)内必有极大值点和极小值点,正确 对于选项:不正确,可举反例: 函数 满足条件:在a,b上可导,且 f“ + (a)f“ - (b)0 和 f(a)=f(b)=0其导函数为 2.设 D t =(x,y)R 2 |x 2 +y 2 t 2 ,t0,f(x)为满足

    10、 的连续函数, (分数:4.00)A.B.2. C.-2.D.-.解析:解析 依题意得 令 u=t-,得 因为 f(u)是连续函数,所以 F(t)可导,且 所以 3.设函数 将 f(x)展成周期 T=2l=4 的余弦级数,其和函数为 S(x),则其余弦级数系数 a 0 及 S(-3)+S(4)的值分别是_ A0 及 B1 及 1 C0 及 0 D1 及 (分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 如图,作偶延拓,由狄利克雷收敛定理知 则 4.设 C 为正向: ,则 与 (分数:4.00)A.0 与 0B.0 与 8C.8 与 0 D.8 与 8解析:解析 前者用格林公式: 后者直接用第一类

    11、曲线积分计算: 5.n 阶矩阵 A 经初等行变换得到矩阵 B,下列命题正确的是_(分数:4.00)A.A 与 B 有相同的特征值和特征向量B.Ax=b 是 Bx=b 的同解方程组C.A 的行向量组与 B 的行向量组是等价的 D.A 的列向量组与 B 的列向量组是等价的解析:解析 矩阵 A 经初等行变换得到矩阵 B,故有可逆矩阵 P,使 PA=B,将 A,B 按行分块,有 故 i =P i1 1 +P i2 2 +P in n (i=1,2,n), 即 1 , 2 , n 可由 1 , 2 , n 线性表出 又因为 A=P -1 B,从而 即 1 , 2 , n 可由 1 , 2 , n 线性表

    12、出. 所以 A 与 B 的行向量组是等价的 由于|E-B|=|E-PA|E-A|,故经初等变换,矩阵 A,B 的特征值是不同的,从而特征向量也不同A 不成立 对于 B,仅对系数矩阵而非增广矩阵作初等行变换,两个方程组不同解,B 不成立,初等行变换后,A,B的列向量组不等价,如 6.已知 (分数:4.00)A.a-10 B.a=10C.a10.D.a-10.解析:解析 已知 即 b=2 是 A 的二重特征值,应对应有两个线性无关特征向量,即知 r(2E-A)=1, 7.设(X 1 ,X 2 )服从二维正态分布 N(0,0, 2 , 2 ,0.5),令 , (分数:4.00)A.Y1 和 Y2 都

    13、服从正态分布,但分布参数有所不同B.Y1 和 Y2 都服从正态分布,但不相互独立 C.Y1 和 Y2 都服从正态分布,而且相互独立D.Y1 和 Y2 有相等的数学期望和方差,但不服从正态分布解析:解析 因为(X 1 ,X 2 )N(0,0, 2 , 2 ,0.5),则其边缘分布服从正态分布:X 1 N(0, 2 ),X 2 N(0, 2 ),且线性随机函数 Y=aX 1 +bX 2 服从正态分布则 8.设有 2 个袋子,各装 r+b 只球,其中红球 r 只,黑球 b 只,今从第 1 个袋子随机取一球,放入第 2 个袋子,再从第 2 个袋子随机取一球令 (分数:4.00)A.X1 和 X2 独立

    14、,不同分布B.X1 和 X2 不独立,同分布 C.X1 和 X2 独立,同分布D.X1 和 X2 不独立,不同分布解析:解析 由题设得 X 1 的分布为 X 2 的分布是 因为 二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.微分方程 y“-4y“+4y“=1 的一般解为 1 (分数:4.00)解析: (C 1 ,C 2 ,C 3 为任意常数) 解析 y“-4y“+4y“=0 的特征方程为 3 -4 2 +4=0,特征根是 1 =0, 2 = 3 =2 因而齐次微分方程一般解为 观察得到非齐次微分方程的一个特解为 因此非齐次微分方程的一般解为 10.定积分 (分数:4.00)解析: 解析 思路一

    15、: 又 则 思路二: 令 =arcsinx,则 x=sin,dx=cosd,故 11.若 f(x)在(-1,1)内可微,且 f“(0)=0,f“(0)=A,则 (分数:4.00)解析: 解析 其中 在 x 与 ln(1+x)之间,即 由夹逼准则得到 ,再由极限运算得 12.设 z=xf(y)-yg(xy),其中函数 f,g 具有二阶连续导数若 f“(0)=1,g“(0)=g“(0)=A则 (分数:4.00)解析:1 解析 由已知得 所以 13.设 A 是 n(n2)阶非零实矩阵,A 的元素 a ij 与其相应的代数余子式 A ij 相等,i,j=1,2,n若 a 11 =a 12 =a 1n

    16、0,则 a 11 = 1 (分数:4.00)解析: 解析 a ij =A ij A * =(A ji )=(A ij ) T =(a ij ) T =A T ,则 因为 ,所以|A|=1, ,从而 14.设 XN(0,2 2 ),X k (k=1,2,3,4)是来自总体 X 的简单样本,令 S 2 =a(X 1 -2X 2 ) 2 +b(3X 3 -4X 4 ) 2 , 其中 a,b 为常数若统计量 S 2 服从 2 (n)分布,则 a,b,n 分别等于 1 (分数:4.00)解析: 解析 设 Y 1 =X 1 -2X 2 ,Y 2 =3X 3 -4X 4 ,由 EX i =0,DX i =

    17、2 =4,i=1,2,3,4则 E(Y 1 )=E(Y 2 )=0,D(Y 1 )=D(X 1 -2X 2 )=D(X 1 )+4D(X 2 )=4+16=20, D(Y 2 )=D(3X 3 -4X 4 )=9D(X 3 )+16D(X 4 )=36+64=100. 因此 Y 1 N(0,20),Y 2 N(0,100)规范化得 , , 由 2 分布的定义知 故 , 三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.求极限 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解析 利用泰勒公式: ,e x2 =1+x 2 +o(x 2 ), 则 所以 16.求过点(-1,0,4),平行于平面:3x-4y

    18、+z=10,且与直线 L 1 : (分数:10.00)_正确答案:()解析:解析 由题设可知,直线 ,其方向向量 s 1 =(1,1,2),过点 B(-1,3,0) 思路一:设所求直线 L 为 ,其方向向量 s=(l,m,n),过点 A(-1,0,4) 平面:3x-4y+z=10,其法线向量为 n=(3,-4,1) 因为 L平面,所以 ,即 3l-4m+n=0 又直线 L 与 L 1 相交,则三向量 s,s 1 和 共面,从而有 由此得联立方程 解得 , 取 l=16,m=19,n=28 即得所求直线 L 的方程 思路二:所求直线 L,既在过点 A(-1,0,4)平行于:3x-4y+z=10

    19、的平面 1 上,又在过点(-1,0,4)且通过直线 的平面 2 上因此,平面 1 和 2 的联立即是所求直线 L 的方程 平面 1 的方程是:3(x+1)-4y+z-4=0,即为 3x-4y+z=1 先在 L 1 上找两点:(-1,3,0),(0,4,2),平面 2 的方程是: ,即 10x-4y-3z=-22. 得所求直线 L 的方程是 其参数式为 设 (分数:10.00)(1).求 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解析 记 于是 ,所以 (2).求级数 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解析 对于幂级数 ,有 a n 0, ,则 ,故收敛半径 R=1,收敛区间为(-1,1)

    20、当 x=-1 时,对于级数 ,有 ,从而 其中 条件收敛, 绝对收敛,因此级数 条件收敛 当 x=1 时,对于级数 ,因有 a n 0 及 ,故 发散 因此级数 17.设 f(x)在a,b上连续非负,且单调增加, 为区域 D=(x,y)R 2 |axb,0yf(x)的重心,证明 (分数:10.00)_正确答案:()解析:【证明】 本题要证 ,即要证 (1) 思路一:将 b 视为变量,引入变上限积分 F(x),证明函数不等式 F(x)0 令 ,则 F(a)=0 又 其中 (a,x),又 f(x)单调增加,因而 F“(x)0,则 F(b)F(a)=0,即不等式(1)成立 思路二:利用积分的不等性质

    21、和对区间的可加性,按被积函数同号划分区间 其中用到:当 时, ,当 时, 思路三:利用广义积分中值定理 因为,其中 , 18.设函数 f(t)在 t0 时具有连续三阶导数, 证明曲线积分: (分数:10.00)_正确答案:()解析:【证明】 只需证明,对任何简单封闭路径 CR 2 (0,0),都有 因为 由格林公式可知,对于不包围原点的任意封闭曲线 C,曲线积分 其中 D C 是以曲线 C 为边界的有界闭域 对于包围原点的任意封闭曲线 C 取包围在封闭曲线 C 内的圆周 C 1 :x 2 +y 2 =a 2 ,则 由于 ,0t2,代入上式,得 综上可知,对于区域 D 内的任意封闭曲线 C,都有

    22、 设 (分数:11.00)(1).求满足 AX-XA=0 的所有 X(分数:5.50)_正确答案:()解析:解析 设 ,则 得齐次方程组 由 得其基础解系 1 =2,2,1,0 T , 2 =1,0,0,1 T ,其通解为x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 T =c 1 1 +c 2 2 , 即 x 1 =2c 1 +c 2 , x 2 =2c 1 , x 3 =c 1 , x 4 =c 2 (c 1 ,c 2 为任意常数) 故所求的所有矩阵为 (2).AX-XA=E,E 是二阶单位阵,是否有解,若无解,说明理由,若有解求满足方程的所有的 X.(分数:5.50)_正确答案:()解析:解析 由

    23、上一小题知 AX-XA=E 有解 有解,因 设二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=X T AX= ,经过正交变换 X=QY 化为标准形 (分数:11.00)(1).求 a,b 的值;(分数:5.50)_正确答案:()解析:解析 二次型 2x 2 x 3 ,其中 因为 ,所以 A,于是 A 的特征值为 1,1,4 思路一:由 ,得 a=2 得 b=1 思路二:由|E-A|= 3 -(a+4) 2 +(4a-b 2 +2)+(-3a-2b+2b 2 +2),所以有 3 -(a+4) 2 +(4a-b 2 +2)+(-3a-2b+2b 2 +2)=(-1) 2 (-4) = 3 -6 2 +

    24、9-4 建立方程组 (2).求正交矩阵 Q(分数:5.50)_正确答案:()解析:解析 当 1 = 2 =1 时,由(E-A)X=0 得 解得 当 3 =4 时,由(4E-A)X=0, 解得 , 1 , 2 , 3 两两正交,单位化为 则正交矩阵为 某种产品的寿命 X 服从指数分布,概率密度为 (分数:11.00)(1).问售出一件产品,厂家的平均收入是多少?(分数:5.50)_正确答案:()解析:解析 设厂家售出一件产品收入为 Y,由于 X 服从参数为 5 的指数分布,故 E(X)=5(年),则 平均收入为 E(Y)=0.1P(0X1)+0.3P(1X5)+0.6P(X5), 由于 ,x0,

    25、所以 (2).若某公司买了 6 件此种产品使用,问恰有 2 件在一年内损坏的概率(分数:5.50)_正确答案:()解析:解析 因为 p=P(X1)=1-e -0.2 =0.181所以,由独立重复实验可知 19.总体 X 的概率密度为 (分数:11.00)_正确答案:()解析:解析 取一组样本值 x 1 ,x 2 ,x n ,均大于等于 ,于是有似然函数 显然,当 取可能的最大值时,L()为最大 而 取值范围是 0minx 1 ,x 2 ,x n ,故当 =minx 1 ,x 2 ,x n 时,L()的值最大 因此, 的最大似然估计值为 ,最大似然估计量为 (X 1 ,X 2 ,X n ) 由于 ,x; F(x)=0,x, 所以 因此 则 所以


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