1、考研数学一-388 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 f(x)在a，b上可导，且 f“ + (a)f“ - (b)0 和 f(a)=f(b)=0今给出下列论断： f(x)在(a，b)内必有拐点 f(x)在(a，b)内必有极大值点和极小值点 f(x)的最大点和最小点都在(a，b)内 f(x)在(a，b)内只可能有有限个极值点 其中正确的论断有_（分数：4.00）A.一个B.二个C.三个D.四个2.设 D t =(x，y)R 2 |x 2 +y 2 t 2 ，t0，f(x)为满足 的连续函数， （分数：4.00）A.B.2.C.
2、-2.D.-.3.设函数 将 f(x)展成周期 T=2l=4 的余弦级数，其和函数为 S(x)，则其余弦级数系数 a 0 及 S(-3)+S(4)的值分别是_ A0 及 B1 及 1 C0 及 0 D1 及 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 C 为正向： ，则 与 （分数：4.00）A.0 与 0B.0 与 8C.8 与 0D.8 与 85.n 阶矩阵 A 经初等行变换得到矩阵 B，下列命题正确的是_（分数：4.00）A.A 与 B 有相同的特征值和特征向量B.Ax=b 是 Bx=b 的同解方程组C.A 的行向量组与 B 的行向量组是等价的D.A 的列向量组与 B 的列向量组是等价的6
3、.已知 （分数：4.00）A.a-10B.a=10C.a10.D.a-10.7.设(X 1 ，X 2 )服从二维正态分布 N(0,0, 2 , 2 ,0.5)，令 ， （分数：4.00）A.Y1 和 Y2 都服从正态分布，但分布参数有所不同B.Y1 和 Y2 都服从正态分布，但不相互独立C.Y1 和 Y2 都服从正态分布，而且相互独立D.Y1 和 Y2 有相等的数学期望和方差，但不服从正态分布8.设有 2 个袋子，各装 r+b 只球，其中红球 r 只，黑球 b 只，今从第 1 个袋子随机取一球，放入第 2 个袋子，再从第 2 个袋子随机取一球令 （分数：4.00）A.X1 和 X2 独立，不同
4、分布B.X1 和 X2 不独立，同分布C.X1 和 X2 独立，同分布D.X1 和 X2 不独立，不同分布二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.微分方程 y“-4y“+4y“=1 的一般解为 1 （分数：4.00）10.定积分 （分数：4.00）11.若 f(x)在(-1，1)内可微，且 f“(0)=0，f“(0)=A，则 （分数：4.00）12.设 z=xf(y)-yg(xy)，其中函数 f，g 具有二阶连续导数若 f“(0)=1，g“(0)=g“(0)=A则 （分数：4.00）13.设 A 是 n(n2)阶非零实矩阵，A 的元素 a ij 与其相应的代数余子式 A ij 相等，i，
5、j=1，2，n若 a 11 =a 12 =a 1n 0，则 a 11 = 1 （分数：4.00）14.设 XN(0，2 2 )，X k (k=1，2，3，4)是来自总体 X 的简单样本，令 S 2 =a(X 1 -2X 2 ) 2 +b(3X 3 -4X 4 ) 2 ， 其中 a，b 为常数若统计量 S 2 服从 2 (n)分布，则 a，b，n 分别等于 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.求过点(-1，0，4)，平行于平面：3x-4y+z=10，且与直线 L 1 ： （分数：10.00）_设 （分数：10.00）(1).求
6、 （分数：5.00）_(2).求级数 （分数：5.00）_17.设 f(x)在a，b上连续非负，且单调增加， 为区域 D=(x，y)R 2 |axb，0yf(x)的重心，证明 （分数：10.00）_18.设函数 f(t)在 t0 时具有连续三阶导数， 证明曲线积分： （分数：10.00）_设 （分数：11.00）(1).求满足 AX-XA=0 的所有 X（分数：5.50）_(2).AX-XA=E，E 是二阶单位阵，是否有解，若无解，说明理由，若有解求满足方程的所有的 X.（分数：5.50）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX= ，经过正交变换 X=QY 化为标准形 （分
7、数：11.00）(1).求 a，b 的值；（分数：5.50）_(2).求正交矩阵 Q（分数：5.50）_某种产品的寿命 X 服从指数分布，概率密度为 （分数：11.00）(1).问售出一件产品，厂家的平均收入是多少？（分数：5.50）_(2).若某公司买了 6 件此种产品使用，问恰有 2 件在一年内损坏的概率（分数：5.50）_19.总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）_考研数学一-388 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 f(x)在a，b上可导，且 f“ + (a)f“ - (b)0 和 f(a)=f(b)=0今给出
8、下列论断： f(x)在(a，b)内必有拐点 f(x)在(a，b)内必有极大值点和极小值点 f(x)的最大点和最小点都在(a，b)内 f(x)在(a，b)内只可能有有限个极值点 其中正确的论断有_（分数：4.00）A.一个B.二个C.三个 D.四个解析：解析 对选项：用反证法，如果 f(x)在(a，b)内没有拐点，则 f(x)在(a，b)内都是上凸的，或者都是下凸的即 f“(x)在(a，b)内是单调减的，或者 f“(x)在(a，b)内是单调增的因此 f“(x)在(a，b)至多有一个零点但由条件 f“ + (a)f“ - (b)0 和 f(a)=f(b)=0，可推出 f(x)在(a，b)内至少还有
9、一个零点，即 f(x)在a，b内至少有三个零点，因此，f“(x)在(a，b)内至少有两个零点，这与 f“(x)在(a，b)内单调矛盾因此正确 选项：f(x)在a，b上连续 f(x)在a，b上有最大、最小点； f(a)=f(b)和 f“(a)f“(b)0 最大最小点不在端点； 区间内的最大值、最小值点必是极大值、极小值点 f(x)在(a，b)内必有极大值点和极小值点，正确 对于选项：不正确，可举反例： 函数 满足条件：在a，b上可导，且 f“ + (a)f“ - (b)0 和 f(a)=f(b)=0其导函数为 2.设 D t =(x，y)R 2 |x 2 +y 2 t 2 ，t0，f(x)为满足
10、 的连续函数， （分数：4.00）A.B.2. C.-2.D.-.解析：解析 依题意得 令 u=t-，得 因为 f(u)是连续函数，所以 F(t)可导，且 所以 3.设函数 将 f(x)展成周期 T=2l=4 的余弦级数，其和函数为 S(x)，则其余弦级数系数 a 0 及 S(-3)+S(4)的值分别是_ A0 及 B1 及 1 C0 及 0 D1 及 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 如图，作偶延拓，由狄利克雷收敛定理知 则 4.设 C 为正向： ，则 与 （分数：4.00）A.0 与 0B.0 与 8C.8 与 0 D.8 与 8解析：解析 前者用格林公式： 后者直接用第一类
11、曲线积分计算： 5.n 阶矩阵 A 经初等行变换得到矩阵 B，下列命题正确的是_（分数：4.00）A.A 与 B 有相同的特征值和特征向量B.Ax=b 是 Bx=b 的同解方程组C.A 的行向量组与 B 的行向量组是等价的 D.A 的列向量组与 B 的列向量组是等价的解析：解析 矩阵 A 经初等行变换得到矩阵 B，故有可逆矩阵 P，使 PA=B，将 A，B 按行分块，有 故 i =P i1 1 +P i2 2 +P in n (i=1，2，n)， 即 1 ， 2 ， n 可由 1 ， 2 ， n 线性表出 又因为 A=P -1 B，从而 即 1 ， 2 ， n 可由 1 ， 2 ， n 线性表
12、出. 所以 A 与 B 的行向量组是等价的 由于|E-B|=|E-PA|E-A|，故经初等变换，矩阵 A，B 的特征值是不同的，从而特征向量也不同A 不成立 对于 B，仅对系数矩阵而非增广矩阵作初等行变换，两个方程组不同解，B 不成立，初等行变换后，A，B的列向量组不等价，如 6.已知 （分数：4.00）A.a-10 B.a=10C.a10.D.a-10.解析：解析 已知 即 b=2 是 A 的二重特征值，应对应有两个线性无关特征向量，即知 r(2E-A)=1， 7.设(X 1 ，X 2 )服从二维正态分布 N(0,0, 2 , 2 ,0.5)，令 ， （分数：4.00）A.Y1 和 Y2 都
13、服从正态分布，但分布参数有所不同B.Y1 和 Y2 都服从正态分布，但不相互独立 C.Y1 和 Y2 都服从正态分布，而且相互独立D.Y1 和 Y2 有相等的数学期望和方差，但不服从正态分布解析：解析 因为(X 1 ，X 2 )N(0，0， 2 ， 2 ，0.5)，则其边缘分布服从正态分布：X 1 N(0， 2 )，X 2 N(0， 2 )，且线性随机函数 Y=aX 1 +bX 2 服从正态分布则 8.设有 2 个袋子，各装 r+b 只球，其中红球 r 只，黑球 b 只，今从第 1 个袋子随机取一球，放入第 2 个袋子，再从第 2 个袋子随机取一球令 （分数：4.00）A.X1 和 X2 独立
14、，不同分布B.X1 和 X2 不独立，同分布 C.X1 和 X2 独立，同分布D.X1 和 X2 不独立，不同分布解析：解析 由题设得 X 1 的分布为 X 2 的分布是 因为 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.微分方程 y“-4y“+4y“=1 的一般解为 1 （分数：4.00）解析： (C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数) 解析 y“-4y“+4y“=0 的特征方程为 3 -4 2 +4=0，特征根是 1 =0， 2 = 3 =2 因而齐次微分方程一般解为 观察得到非齐次微分方程的一个特解为 因此非齐次微分方程的一般解为 10.定积分 （分数：4.00）解析： 解析 思路一
15、： 又 则 思路二： 令 =arcsinx，则 x=sin，dx=cosd，故 11.若 f(x)在(-1，1)内可微，且 f“(0)=0，f“(0)=A，则 （分数：4.00）解析： 解析 其中 在 x 与 ln(1+x)之间，即 由夹逼准则得到 ，再由极限运算得 12.设 z=xf(y)-yg(xy)，其中函数 f，g 具有二阶连续导数若 f“(0)=1，g“(0)=g“(0)=A则 （分数：4.00）解析：1 解析 由已知得 所以 13.设 A 是 n(n2)阶非零实矩阵，A 的元素 a ij 与其相应的代数余子式 A ij 相等，i，j=1，2，n若 a 11 =a 12 =a 1n
16、0，则 a 11 = 1 （分数：4.00）解析： 解析 a ij =A ij A * =(A ji )=(A ij ) T =(a ij ) T =A T ，则 因为 ，所以|A|=1， ，从而 14.设 XN(0，2 2 )，X k (k=1，2，3，4)是来自总体 X 的简单样本，令 S 2 =a(X 1 -2X 2 ) 2 +b(3X 3 -4X 4 ) 2 ， 其中 a，b 为常数若统计量 S 2 服从 2 (n)分布，则 a，b，n 分别等于 1 （分数：4.00）解析： 解析 设 Y 1 =X 1 -2X 2 ，Y 2 =3X 3 -4X 4 ，由 EX i =0，DX i =
17、2 =4，i=1，2，3，4则 E(Y 1 )=E(Y 2 )=0，D(Y 1 )=D(X 1 -2X 2 )=D(X 1 )+4D(X 2 )=4+16=20， D(Y 2 )=D(3X 3 -4X 4 )=9D(X 3 )+16D(X 4 )=36+64=100. 因此 Y 1 N(0，20)，Y 2 N(0，100)规范化得 ， ， 由 2 分布的定义知 故 ， 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 利用泰勒公式： ，e x2 =1+x 2 +o(x 2 )， 则 所以 16.求过点(-1，0，4)，平行于平面：3x-4y
18、+z=10，且与直线 L 1 ： （分数：10.00）_正确答案：()解析：解析 由题设可知，直线 ，其方向向量 s 1 =(1，1，2)，过点 B(-1，3，0) 思路一：设所求直线 L 为 ，其方向向量 s=(l，m，n)，过点 A(-1，0，4) 平面：3x-4y+z=10，其法线向量为 n=(3，-4，1) 因为 L平面，所以 ，即 3l-4m+n=0 又直线 L 与 L 1 相交，则三向量 s，s 1 和 共面，从而有 由此得联立方程 解得 ， 取 l=16，m=19，n=28 即得所求直线 L 的方程 思路二：所求直线 L，既在过点 A(-1，0，4)平行于：3x-4y+z=10
19、的平面 1 上，又在过点(-1，0，4)且通过直线 的平面 2 上因此，平面 1 和 2 的联立即是所求直线 L 的方程 平面 1 的方程是：3(x+1)-4y+z-4=0，即为 3x-4y+z=1 先在 L 1 上找两点：(-1，3，0)，(0，4，2)，平面 2 的方程是： ，即 10x-4y-3z=-22. 得所求直线 L 的方程是 其参数式为 设 （分数：10.00）(1).求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 记 于是 ，所以 (2).求级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 对于幂级数 ，有 a n 0， ，则 ，故收敛半径 R=1，收敛区间为(-1，1)
20、当 x=-1 时，对于级数 ，有 ，从而 其中 条件收敛， 绝对收敛，因此级数 条件收敛 当 x=1 时，对于级数 ，因有 a n 0 及 ，故 发散 因此级数 17.设 f(x)在a，b上连续非负，且单调增加， 为区域 D=(x，y)R 2 |axb，0yf(x)的重心，证明 （分数：10.00）_正确答案：()解析：【证明】 本题要证 ，即要证 (1) 思路一：将 b 视为变量，引入变上限积分 F(x)，证明函数不等式 F(x)0 令 ，则 F(a)=0 又 其中 (a，x)，又 f(x)单调增加，因而 F“(x)0，则 F(b)F(a)=0，即不等式(1)成立 思路二：利用积分的不等性质
21、和对区间的可加性，按被积函数同号划分区间 其中用到：当 时， ，当 时， 思路三：利用广义积分中值定理 因为，其中 ， 18.设函数 f(t)在 t0 时具有连续三阶导数， 证明曲线积分： （分数：10.00）_正确答案：()解析：【证明】 只需证明，对任何简单封闭路径 CR 2 (0，0)，都有 因为 由格林公式可知，对于不包围原点的任意封闭曲线 C，曲线积分 其中 D C 是以曲线 C 为边界的有界闭域 对于包围原点的任意封闭曲线 C 取包围在封闭曲线 C 内的圆周 C 1 ：x 2 +y 2 =a 2 ，则 由于 ，0t2，代入上式，得 综上可知，对于区域 D 内的任意封闭曲线 C，都有
22、 设 （分数：11.00）(1).求满足 AX-XA=0 的所有 X（分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 设 ，则 得齐次方程组 由 得其基础解系 1 =2，2，1，0 T ， 2 =1，0，0，1 T ，其通解为x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 T =c 1 1 +c 2 2 ， 即 x 1 =2c 1 +c 2 ， x 2 =2c 1 ， x 3 =c 1 ， x 4 =c 2 (c 1 ，c 2 为任意常数) 故所求的所有矩阵为 (2).AX-XA=E，E 是二阶单位阵，是否有解，若无解，说明理由，若有解求满足方程的所有的 X.（分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 由
23、上一小题知 AX-XA=E 有解 有解，因 设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX= ，经过正交变换 X=QY 化为标准形 （分数：11.00）(1).求 a，b 的值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 二次型 2x 2 x 3 ，其中 因为 ，所以 A，于是 A 的特征值为 1，1，4 思路一：由 ，得 a=2 得 b=1 思路二：由|E-A|= 3 -(a+4) 2 +(4a-b 2 +2)+(-3a-2b+2b 2 +2)，所以有 3 -(a+4) 2 +(4a-b 2 +2)+(-3a-2b+2b 2 +2)=(-1) 2 (-4) = 3 -6 2 +
24、9-4 建立方程组 (2).求正交矩阵 Q（分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 当 1 = 2 =1 时，由(E-A)X=0 得 解得 当 3 =4 时，由(4E-A)X=0， 解得 ， 1 ， 2 ， 3 两两正交，单位化为 则正交矩阵为 某种产品的寿命 X 服从指数分布，概率密度为 （分数：11.00）(1).问售出一件产品，厂家的平均收入是多少？（分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 设厂家售出一件产品收入为 Y，由于 X 服从参数为 5 的指数分布，故 E(X)=5(年)，则 平均收入为 E(Y)=0.1P(0X1)+0.3P(1X5)+0.6P(X5)， 由于 ，x0，
25、所以 (2).若某公司买了 6 件此种产品使用，问恰有 2 件在一年内损坏的概率（分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 因为 p=P(X1)=1-e -0.2 =0.181所以，由独立重复实验可知 19.总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解析 取一组样本值 x 1 ，x 2 ，x n ，均大于等于 ，于是有似然函数 显然，当 取可能的最大值时，L()为最大 而 取值范围是 0minx 1 ，x 2 ，x n ，故当 =minx 1 ，x 2 ，x n 时，L()的值最大 因此， 的最大似然估计值为 ，最大似然估计量为 (X 1 ，X 2 ，X n ) 由于 ，x； F(x)=0，x， 所以 因此 则 所以
