1、考研数学一-387 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列命题正确的是_ A设 a n b n (n=1，2，)，并设 B设|a n |b n (n=1，2，)，并设 C设 a n |b n |(n=1，2，)，并设 D设|a n |b n |(n=1，2，)，并设 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)在 x=a的某邻域内有定义，在 x=a的某去心邻域内可导，下述论断正确的是_ A若 则 f“(a)=A B若 f“(a)=A，则 C若 则 f“(a)不存在 D若 f“(a)不存在，则 （分数：4.00）A.B.C.
2、D.3.设 f(x)是以 T为周期的连续函数(若下式中用到 f“(x)，则设 f“(x)存在)，则以下 4个结论中不正确的是_ Af“(x)必以 T为周期 B 必以 T为周期 C 必以 T为周期 D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 D是由曲线 y=x 3 与直线 x=-1，y=1 所围成的有界闭区域，则 _ A B C1 D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A是三阶非零矩阵，满足 A 2 =O，若线性非齐次方程组 AX=b有解，则其线性无关解向量个数是_（分数：4.00）A.1个B.2个C.3个D.4个6.设 A，B 均是三阶非零矩阵，满足 AB=O，其中 （分数：4.00
3、）A.a=-1时，必有 r(A)=1B.a-1 时，必有 r(A)=2C.a=2时，必有 r(A)=1D.a2 时，必有 r(A)=27.某人打靶的命中率为 ，当他连射三次后检查目标，发现靶已命中，则他在第一次射击时就已命中的概率为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设一批零件的长度服从正态分布 N(， 2 )，其中 2 已知， 未知现从中随机抽取 n个零件，测得样本均值 ，则当置信度为 0.90时，判断 是否大于 0 的接受条件为_ 其中 u 满足 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f“(a)存在，f“(
4、a)0，则 （分数：4.00）10.设 y=y(x)是由方程 y 3 +xy+x 2 -2x+1=0确定并且满足 y(1)=0的函数，则 （分数：4.00）11.设 l为圆周 （分数：4.00）12.设 S为球面 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 被锥面 截下的小的那部分，并设其中 A，B，R 均为正常数且AB，则第一型曲面积分 （分数：4.00）13.设 （分数：4.00）14.市场上某产品由甲、乙两厂各生产 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)使 （分数：10.00）_16.设常数 a0，讨论曲线 y=e
5、ax 与 y=x 2 的公共点的个数 （分数：10.00）_设 （分数：10.00）(1).a n+1 a n 且 （分数：5.00）_(2).级数 （分数：5.00）_设 f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f“(0)=1，且微分方程(xy(x+y)-f(x)y)dx+(f“(x)+x 2 y)dy=0为全微分方程（分数：10.00）(1).求 f(x)；（分数：5.00）_(2).该全微分方程的通解（分数：5.00）_设 a与 b都是常数且 ba0（分数：10.00）(1).试写出 yOz平面上的圆(y-b) 2 +z 2 =a 2 绕 Oz轴一圈生成的环面 S的方程；（分数：5.00
6、）_(2).S所围成的实心环的空间区域为 ，计算三重积分 （分数：5.00）_设线性方程组 添加一个方程 ax 1 +2x 2 +bx 3 -5x 4 =0后，成为方程组 （分数：11.00）(1).求解(*)的通解（分数：5.50）_(2).a、b 满足什么条件时，(*)(*)是同解方程组（分数：5.50）_A是三阶矩阵，有特征值 1 = 2 =2，对应两个线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 =-2对应的特征向量是 3 （分数：11.01）(1).问 1 + 2 是否是 A的特征向量?说明理由（分数：3.67）_(2). 2 + 3 是否是 A的特征向量?说明理由（分数：3.67）_(
7、3).证明：任一三维非零向量 (0)都是 A 2 的特征向量，并求对应的特征值（分数：3.67）_设随机变量 X在区间(a，b)上均匀分布，已知 P(-2X0)= 和 P(1X3)= （分数：11.00）(1).a，b 的值；（分数：5.50）_(2).|X|的概率密度（分数：5.50）_设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X的简单随机样本，而 XB(1，p)，0p1记 （分数：11.00）(1).试求： （分数：5.50）_(2).证明： （分数：5.50）_考研数学一-387 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列命题
8、正确的是_ A设 a n b n (n=1，2，)，并设 B设|a n |b n (n=1，2，)，并设 C设 a n |b n |(n=1，2，)，并设 D设|a n |b n |(n=1，2，)，并设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设 发散，从而 亦发散因若后者收敛，则 绝对收敛又由|a n |b n (n=1，2，)，故 为正项级数，且 发散，由比较判别法知， 发散，选 B 其他 A，C，D 均可举出反例如下： A的反例： C的反例： 2.设 f(x)在 x=a的某邻域内有定义，在 x=a的某去心邻域内可导，下述论断正确的是_ A若 则 f“(a)=A B若 f“(a)
9、=A，则 C若 则 f“(a)不存在 D若 f“(a)不存在，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 C 的证明若 今证 f“(a)必不存在用反证法，设 f“(a)存在，则 f(x)在 x=a处连续，再由题设，f(x)在 x=a的某邻域内连续，从而 矛盾，所以 f“(a)必不存在 其他 A，B，D 均可举出反例 A的反例：设当 x0 时，f(x)=1，f(0)=0 但 f“(0)不存在 B的反例：设当 x0 时， f(0)=0f“(0)存在且等于 0但 不存在 D的反例同 A的反例，f“(0)不存在，但 3.设 f(x)是以 T为周期的连续函数(若下式中用到 f“(x)，则设 f“
10、(x)存在)，则以下 4个结论中不正确的是_ Af“(x)必以 T为周期 B 必以 T为周期 C 必以 T为周期 D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 B 的反例：f(x)=sin 2 x，以 为周期，但 不是周期函数，B 不正确，选 B 事实上，设 f(x)有周期 T，则 有周期 T的充要条件是 证明如下：命 有 可见 F(x+T)F(x)的充要条件是 证毕以下说明 A，C，D 均正确 由 f(x+T)=f(x)及 f(x)可导，有 f“(x+T)=f“(x)所以 f“(x)有周期 T，A 正确C 中的被积函数是 t的周期函数，由以上证明， 以 T为周期的充要条件是 而该积分中
11、的被积函数 f(t)-f(-t)是 t的奇函数 成立，所以 C正确 D命 有 4.设 D是由曲线 y=x 3 与直线 x=-1，y=1 所围成的有界闭区域，则 _ A B C1 D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 作曲线 y=-x 3 ，连同 x轴与 y轴，将 D分成 4块，按逆时方向，这 4块分别记为 D 1 ，D 2 ，D 3 与 D 4 由奇偶性， 5.设 A是三阶非零矩阵，满足 A 2 =O，若线性非齐次方程组 AX=b有解，则其线性无关解向量个数是_（分数：4.00）A.1个B.2个C.3个 D.4个解析：解析 A 是 33矩阵，A 2 =AA=O，故 r(A)+r(
12、A)=2r(A)3，得 r(A) 6.设 A，B 均是三阶非零矩阵，满足 AB=O，其中 （分数：4.00）A.a=-1时，必有 r(A)=1B.a-1 时，必有 r(A)=2C.a=2时，必有 r(A)=1 D.a2 时，必有 r(A)=2解析：解析 A是非零矩阵，r(A)0 AB=0，r(A)+r(B)3，r(A)0，故 r(B)2 当 a=-1时，r(B)=1 r(A)=1或 2，A 不成立 a-1 时，必有 a=2，r(B)=2 r(A)=1，B 不成立 a2 时，必有 a=-1，r(B)=1 r(A)=1或 2D 不成立 由排除法应选 C 或当 a=2时，r(B)=2 7.某人打靶的
13、命中率为 ，当他连射三次后检查目标，发现靶已命中，则他在第一次射击时就已命中的概率为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查条件概率靶已命中，可以理解为至少中一次 设 A=至少中一次，B=第一次就命中所求概率为条件概率 8.设一批零件的长度服从正态分布 N(， 2 )，其中 2 已知， 未知现从中随机抽取 n个零件，测得样本均值 ，则当置信度为 0.90时，判断 是否大于 0 的接受条件为_ 其中 u 满足 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题假设检验的假设应为 H 0 ： 0 ；H 1 ： 0 统计量为 单侧检验 由于 故拒
14、绝域为 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f“(a)存在，f“(a)0，则 （分数：4.00）解析： 解析 可以用以下两种方法计算 方法一 将分子用皮亚诺余项泰勒公式展开至 o(x-a) 2 )， 方法二 用洛必达法则： 10.设 y=y(x)是由方程 y 3 +xy+x 2 -2x+1=0确定并且满足 y(1)=0的函数，则 （分数：4.00）解析：-3 解析 由隐函数求导，有 3y 2 y“+xy“+y+2x-2=0，得 再用洛必达法则， 而 11.设 l为圆周 （分数：4.00）解析： 解析 由轮换对称性知， l x 2 ds= l y 2 ds= l z 2 ds， 所
15、以 而 l ds为 l的全长，l 是平面 x+y+z=a上的圆周，点 O到此平面的距离为 所以此 l的半径为 所以 12.设 S为球面 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 被锥面 截下的小的那部分，并设其中 A，B，R 均为正常数且AB，则第一型曲面积分 （分数：4.00）解析： 解析 球面与锥面的交线在 xOy平面上的投影曲线的方程为 (A+1)x 2 +(B+1)y 2 =R 2 则 D=(x，y)|(A+1)x 2 +(B+1)y 2 R 2 球面方程(上部)为 D是个椭圆， 所以 13.设 （分数：4.00）解析：f(A)=E 因 A，知存在可逆阵 P，使得 P -1 AP= f(A
16、)=(PP -1 ) 3 -6(PP -1 ) 2 +11PP -1 -5E =P( 3 -6 2 +11-5E)P -1 =PEP -1 =E14.市场上某产品由甲、乙两厂各生产 （分数：4.00）解析： 解析 设随机变量 1 甲厂产品指标； 随机变量 2 乙厂产品指标； 随机变量 任取一件产品指标； 事件 A所取一件产品属甲厂生产 根据全概率公式，所求分布函数为 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)使 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 命 即去证明存在 (0，1)使 F()-(1-)F“()=0将 改为 x，即去证方
17、程 F(x)-(1-x)F“(x)=0 在(0，1)内存在根作函数(此种作函数的方法称微分方程法) (x)=(1-x)F(x)， 有 (0)=F(0)=0，(1)=0，由罗尔定理知存在 (0，1)使 “()=0，即 -F()+(1-)F“()=0 证明了 (0，1)的存在性再设 f(x)0，去证这种 是唯一的 设存在 (0，1)及 (0，1)，不妨设 ，使 两式相减，由 f(x)单调减少及 f(x)0，得 =(1-)f()-(1-)f()=(1-)f()-f()+(-)f()0 但左边 16.设常数 a0，讨论曲线 y=e ax 与 y=x 2 的公共点的个数 （分数：10.00）_正确答案：
18、()解析：解 当 x0，命 g(x)=e ax -x 2 g(0)=1，g“(x)=ae ax -2x0，所以在区间(-，0内g(x)有且仅有 1个零点，即 y=e ax 与 y=x 2 有且仅有 1个公共点 当 x0，直接讨论 y=e ax 与 y=x 2 不方便，改为讨论公共点个数，与此等价的是 z=lny=ax与 z=lny=2lnx 命 f(x)=ax-2lnx有 命 f“(x)=0，得唯一驻点 且当 时，f“(x)0；当 时，f“(x)0讨论零点个数如下：若 由在 左、右 f(x)的严格单调性及连续函数介值定理知，在区间 内，f(x)分别各有唯一零点 若 此时 f(x)正好有 1个零
19、点 若 f(x)无零点 综上所述，当 f(x)有 3个零点； 时，f(x)有 2个零点；当 设 （分数：10.00）(1).a n+1 a n 且 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 时，0tanx1，且仅在两处 x=0与 等号成立， 所以 又 又因 a n a n+2 ，所以 2a n a n +a n+2 ，从而 因 2a n+2 a n +a n+2 ，从而 于是 (2).级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由上一小题有|(-1) n a n | 所以 发散且 a n+1 a n ，并由已证 知 所以由莱布尼茨定理知 收敛，所以 设 f(x)具有二阶连续导数，
20、f(0)=0，f“(0)=1，且微分方程(xy(x+y)-f(x)y)dx+(f“(x)+x 2 y)dy=0为全微分方程（分数：10.00）(1).求 f(x)；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 (2).该全微分方程的通解（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 求全微分方程 xy 2 -(2cosx+sinx)y+2ydx+(-2sinx+cosx+2x+x 2 y)dy=0的通解关键是求原函数 方法一 凑原函数法 所以该全微分方程的通解为 方法二 折线法 设 a与 b都是常数且 ba0（分数：10.00）(1).试写出 yOz平面上的圆(y-b) 2 +z 2 =a 2
21、绕 Oz轴一圈生成的环面 S的方程；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 用 替代(y-b) 2 +z 2 =a 2 中的 y，便得 S的直角坐标方程 (2).S所围成的实心环的空间区域为 ，计算三重积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 用柱面坐标，按先 z再 r后 的次序， 其中 作积分变量替换：t=r-b，得 再命 t=asinu，从而 设线性方程组 添加一个方程 ax 1 +2x 2 +bx 3 -5x 4 =0后，成为方程组 （分数：11.00）(1).求解(*)的通解（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 (2).a、b 满足什么条件时，(*)(*)是同解方程组
22、（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 方法一 (*)(*)是同解方程 (*)的通解满足(*)的第 4个方程，代入得 -3ka=(-5k)2+bk+0=0， 即 (-3a+b)k=10k，因 k是任意常数故得-3a+b=10 方法二 (*)(*)是同解方程组，则(*)中新添方程应可由原方程的三个方程线性表出，即新添方程是多余方程 将方程的增广矩阵进行初等行变换得 故(*)(*)同解 A是三阶矩阵，有特征值 1 = 2 =2，对应两个线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 =-2对应的特征向量是 3 （分数：11.01）(1).问 1 + 2 是否是 A的特征向量?说明理由（分数：3.67
23、）_正确答案：()解析：解 1 + 2 仍是 A的对应于 1 = 2 =2的特征向量 因已知 A 1 =2 1 ，A 2 =2 2 ，故 A( 1 + 2 )=A 1 +A 2 =2 1 +2 2 =2( 1 + 2 )(2). 2 + 3 是否是 A的特征向量?说明理由（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 2 + 3 不是 A的特征向量假设是，设其对应的特征值为 ，则有 A( 2 + 3 )=( 2 + 3 )， 得 2 2 -2 3 - 2 - 3 =(2-) 2 -(2+) 3 =0， 因 2- 和 2+ 不同时为零，故 2 ， 3 线性相关，这和不同特征值对应的特征向量线性无关矛
24、盾，故 2 + 3 不是 A的特征向量(3).证明：任一三维非零向量 (0)都是 A 2 的特征向量，并求对应的特征值（分数：3.67）_正确答案：()解析：因 A有特征值 1 = 2 =2， 3 =-2，故 A 2 有特征值 1 - 2 - 3 =4对应的特征向 量仍是 1 ， 2 ， 3 ，且 1 ， 2 ， 3 线性无关故存在可逆阵 P= 1 ， 2 ， 3 ，使得 P -1 A 2 P=4E，A 2 =P(4E)P -1 =4E， 从而有对任意的 0，有 A 2 =4E=4，故知任意非零向量 都是 A 2 的对应于 =4 的特征向量设随机变量 X在区间(a，b)上均匀分布，已知 P(-
25、2X0)= 和 P(1X3)= （分数：11.00）(1).a，b 的值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 从 得出 b-a4 因为(0，1) (a，b)，所以 而另一方面， P(0X1)=1-P(X0)-P(X1)1-P(-2X0)-P(1X3)=1- 所以 即 b-a=4 现在来考察 P(X1) P(X1)=1-P(X1)1-P(0X1)-P(-2X0)= 同时，P(X1)P(1X3)= 故 即 1为 a，b 的中点，由 (2).|X|的概率密度（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 |X|的分布函数 F(x)=P(|X|x) 当 x0 时，F(x)=0 当 0x1 时， 当 1x3 时， 当 3x 时，F(x)=1 总之|X|的概率密度 解析 如果(-2，0) (a，b)，则 如果(-2，0) (a，b)不成立，则 总之， 设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X的简单随机样本，而 XB(1，p)，0p1记 （分数：11.00）(1).试求： （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 即 (2).证明： （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 其中，因为 X i 取值 0或 1，故 所以 解析 XB(1，p)，故 X有分布 从而
