1、考研数学一-386 及答案解析(总分:150.01,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设函数 p(x),q(x),f(x)均连续,y 1 (x),y 2 (x),y 3 (x)是微分方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的三个线性无关的解,C 1 与 C 2 是两个任意常数,则这个方程的通解是_(分数:4.00)A.(C1+C2)y1+(C1-C2)y2-(C1+C2)y3B.(C1-C2)y1+(C2-C1)y2+(C1-C2)y3C.(C1+C2)y1+(1-C1)y2+(1-C2)y3D.(C1-C2)y1+(1-C1)y2+C2y32.设常数
2、0,积分 (分数:4.00)A.I1I2B.I1I2C.I1=I2D.I1与 I2的大小与 有关3.设 a n 0(n=0,1,),且幂级数 的收敛半径为 4,则_ A B C D (分数:4.00)A.B.C.D.4.直线 与平面 P:4x-y+z-4=0 的位置关系为_ A垂直 B斜交 C平行但 D (分数:4.00)A.B.C.D.5.设 , 为 n维单位列向量,P 是 n阶可逆矩阵,则下列方程组中,只有零解的是_ A.(E- T)X=0 B.( TPP -1- T)X=0 C.( Tp-1P- T)X=0 D.(E+ T)X=0(分数:4.00)A.B.C.D.6.设 (分数:4.00
3、)A.AB,CDB.AD,BCC.AC,BDD.A,B,C,D 中没有相似矩阵7.设随机变量 X的概率分布为 k=0,1,2,则常数 a=_ A B C D (分数:4.00)A.B.C.D.8.设相互独立的随机变量 X i 的分布函数为 F i (x),概率密度为 f i (x),i=1,2,则随机变量 Y=max(X 1 ,X 2 )的概率密度为_(分数:4.00)A.f1(x)f2(x)B.f1(x)+f2(x)C.f1(x)F1(x)+f2(x)F2(x)D.f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.已知 f“(x)=arctan(x-1)
4、 2 ,f(0)=0,则 (分数:4.00)10.设 f(x)在 x=0处存在二阶导数,且 (分数:4.00)11.设当 x0 时,f(x)有连续的一阶导数,并且满足 f(x)=-1+x+ (分数:4.00)12.设 u(x,y)有连续的二阶偏导数,满足 (分数:4.00)13.设 A是 n阶矩阵, 是 n维列向量,a,b,c 是数,已知|A|=a, 则 (分数:4.00)14.设 X 1 ,X 2 ,X 2n 是取自标准正态总体的简单随机样本,已知统计量 Y= (分数:4.00)三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设 b为常数,并设介于曲线 (分数:10.00)_16.求 y“+
5、y“-2y=mine x ,1的通解 (分数:10.00)_17.求 L (y 2 -z 2 )dx+(z 2 -x 2 )dy+(x 2 -y 2 )dz,其中 L为球面 x 2 +y 2 +z 2 =1在第 1象限部分的边界线从球心看 L,L 为逆时针 (分数:10.00)_18.设 f(x)在a,b上具有二阶导数,且 f“(x)0,证明: (分数:10.00)_19.将 展开成 x的幂级数,并指明其成立范围,并求级数 (分数:10.00)_20.设齐次线性方程组 (分数:11.00)_A是 n阶矩阵, 是实数, 是 n维非零向量(分数:11.01)(1).若 A=,求 A 2 的特征值、
6、特征向量;(分数:3.67)_(2).若 A 2 =,问 是否必是 A的特征向量,说明理由;(分数:3.67)_(3).若 A可逆,且有 A 3 =,A 5 =,证明 是 A的特征向量并指出其对应的特征值(分数:3.67)_线段上随机投掷两点,该两点的距离为 X,试求:(分数:11.00)(1).X的分布函数 F(x)和概率密度 f(x);(分数:5.50)_(2).X的数学期望 E(X)(分数:5.50)_设总体 X的概率分布为 (分数:11.00)(1).参数 p的矩估计量和最大似然估计量;(分数:5.50)_(2).验证相应两个估计量的无偏性(分数:5.50)_考研数学一-386 答案解
7、析(总分:150.01,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设函数 p(x),q(x),f(x)均连续,y 1 (x),y 2 (x),y 3 (x)是微分方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的三个线性无关的解,C 1 与 C 2 是两个任意常数,则这个方程的通解是_(分数:4.00)A.(C1+C2)y1+(C1-C2)y2-(C1+C2)y3B.(C1-C2)y1+(C2-C1)y2+(C1-C2)y3C.(C1+C2)y1+(1-C1)y2+(1-C2)y3D.(C1-C2)y1+(1-C1)y2+C2y3 解析:解析 一般有下述结论 如果 y
8、1 ,y 2 ,y 3 是二阶线性非齐次方程的 3个解,则当且仅当 a+b+c=1时,它们的线性组合 ay 1 +by 2 +cy 3 也是该方程的解 如果进一步设:y 1 ,y 2 ,y 3 是该方程的 3个线性无关解,并用 a,b,c 中含有 2个任意常数,则当且仅当 a+b+c=1时,它们的线性组合 ay 1 +by 2 +cy 3 是该方程的通解故知选 D2.设常数 0,积分 (分数:4.00)A.I1I2 B.I1I2C.I1=I2D.I1与 I2的大小与 有关解析:解析 对第二个积分作积分变量变换,命 从而有:当 时 t=0 仍将变换后的 t写成 x,有 当 从而 3.设 a n
9、0(n=0,1,),且幂级数 的收敛半径为 4,则_ A B C D (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 例如 分别考虑两个幂级数 收敛半径都是 4,所以幂级数 在|x|4 内收敛但在 x=4处,上述级数成为 其前 n+1项部分和 级数在 x=4处发散,所以它的收敛半径 R=4但是它的 不存在所以选 D 【注】关于求收敛半径的定理是:“设 a n 0,(n=0,1,)且 ( 可以是+),则幂级数 的收敛半径 R可以由下面关系得到:当 =0 时 R=+;=+时 R=0;0+时 ”此定理的前提为 a n 0,并且 存在或为+此两前提非常重要缺项的幂级数不能用这个办法计算,而应将该幂级数
10、中的 x看成“数”,用数项级数的办法考虑它的敛散性;只知道幂级数的收敛半径,在并不知道 存在或为+的前提下,不能由收敛半径R 去倒推 4.直线 与平面 P:4x-y+z-4=0 的位置关系为_ A垂直 B斜交 C平行但 D (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 L 的方向向量 =-1,1,5,所以 L平行于 P又因 L与 P有公共点,故 L5.设 , 为 n维单位列向量,P 是 n阶可逆矩阵,则下列方程组中,只有零解的是_ A.(E- T)X=0 B.( TPP -1- T)X=0 C.( Tp-1P- T)X=0 D.(E+ T)X=0(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析
11、 方法一 因 AX=(E- T )X=0,当 X=0 时,有 (E- T )=-( T )=0,(其中 T =1) 故排除 A BX=( T PP -1 - T )X=0,当 X=P0 时,有 ( T PP -1 - T )P=( T P)-( T P)=0 故排除 B CX=( T P -1 P- T ),取 X=P -1 0,有 ( T P -1 )-( T P -1 )=0, 故排除 C 由排除法,应选 D 方法二 由题设条件,对任意的”维单位列向量 ,任意的 n阶可逆阵 P,方程组均只有零解,若取特殊的 ,P,使方程组有非零解,则该选项即可排除 如对 A取 =1,0,0 T ,则 有非
12、零解 对 B取 =1,0,0 T ,P=E对 C取 -=1,0,0 T ,P=E即可排除 B,C 故应选 D 方法三 对矩阵 D=E+ T ,有 D 2 =(E+ T ) 2 =E+2 T + T T (其中 T =1) =E+3 T =3(E+ T )-2E =3D-2E D 2 -3D=D(D-3E)=-2E, 故 D可逆,且 故方程组 DX=(E+ T )X=0只有零解,应选 D 方法四 或设 =b 1 ,b 2 ,b n T , 6.设 (分数:4.00)A.AB,CDB.AD,BC C.AC,BDD.A,B,C,D 中没有相似矩阵解析:解析 观察矩阵 A,B,C,D 知,有 r(A)
13、=r(B)=r(C)=r(D)=1,故 A,B,C,D 均有特征值 =0,且因 r(0E-A)=r(0E-B)=r(0E-C)=r(0E-D)=1,均对应有两个线性无关特征向量(=0 至少是二重特征值),另一个特征值为 由于 A,B,C,D 均可相似对角化,且 A的特征值与 D的特征值相同,B 与 C特征值相同 显然 AD, 7.设随机变量 X的概率分布为 k=0,1,2,则常数 a=_ A B C D (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 泊松分布为 k=0,1,2, 如果把 a(1+e -1 )看成一个常数,对比 k=0,1,2, 可以看出 XP(1),且 C=e -1 ,即 a
14、(1+e -1 )=e -1 ,得到 8.设相互独立的随机变量 X i 的分布函数为 F i (x),概率密度为 f i (x),i=1,2,则随机变量 Y=max(X 1 ,X 2 )的概率密度为_(分数:4.00)A.f1(x)f2(x)B.f1(x)+f2(x)C.f1(x)F1(x)+f2(x)F2(x)D.f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x) 解析:解析 首先求出随机变量 Y的分布函数 F Y (y): F Y (y)=P(Yy)=P(max(X 1 ,X 2 )y) =P(X 1 y,X 2 y) =P(X 1 y)P(X 2 y) =F 1 (y)F 2 (y), 所以随机
15、变量 Y=max(X 1 ,X 2 )的概率密度为 F“ Y y(y)=F 1 (y)F 2 (y)“=f 1 (y)F 2 (y)+f 2 (y)F 1 (y)二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.已知 f“(x)=arctan(x-1) 2 ,f(0)=0,则 (分数:4.00)解析:解析 10.设 f(x)在 x=0处存在二阶导数,且 (分数:4.00)解析:2 解析 由佩亚诺余项泰勒公式,f(x)=f(0)+f“(0)x+ +o(x 2 ),代入所给极限式有 11.设当 x0 时,f(x)有连续的一阶导数,并且满足 f(x)=-1+x+ (分数:4.00)解析: 解析 两边对
16、x求导两次,得 f“(x)=2f(x)f“(x)初始条件为 f(0)=-1,f“(0)=1上述方程可改写为 f“(x)=(f(x) 2 “,两边积分得 f“(x)=(f(x) 2 +C 1 ,由初始条件得出 C 1 =0于是f“(x)=(f(x) 2 分离变量后积分得 12.设 u(x,y)有连续的二阶偏导数,满足 (分数:4.00)解析: 解析 将 u(x,2x)=x 两边对 x求导数,有 u“ 1 (x,2x)+u“ 2 (x,2x)2=1 再对 x求导,有 u“ 11 (x,2x)+u“ 12 (x,2x)2+u“ 21 (x,2x)2+u“ 22 (x,2x)4=0 (1) 另一方面,
17、将 u“ 1 (x,2x)=x 2 两边对 x求导,有 u“ 11 (x,2x)+u“ 12 (x,2x)2=2x (2) 再由题设条件 u“ 11 (x,2x)=u“ 22 (x,2x), (3) (1),(2),(3)联立解之,得 13.设 A是 n阶矩阵, 是 n维列向量,a,b,c 是数,已知|A|=a, 则 (分数:4.00)解析:(c-b)a 解析 14.设 X 1 ,X 2 ,X 2n 是取自标准正态总体的简单随机样本,已知统计量 Y= (分数:4.00)解析:1 解析 (X 1 +X 2 +X n )N(0,n),而 且(X 1 +X 2 +X n )与 相互独立 所以 三、解
18、答题(总题数:9,分数:94.00)15.设 b为常数,并设介于曲线 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 先求 的斜渐近线 曲线 与它的渐近线 y=x-1之间从 x=1延伸到 x之间的面积为 如果 b-1,那么无论 b-1 还是 b-1, 均与 A为有限值矛盾,故 b=-1,此时 16.求 y“+y“-2y=mine x ,1的通解 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 将 y“+y“-2y=mine x ,1的右边写成分段表达式, 分别解之,对于 y“+y“-2y=e x , 特征方程为 r 2 +r-2=(r+2)(r-1),对应的齐次微分方程的通解为 Y=C 1 e -
19、2x +C 2 e x 命非齐次微分方程的一个特解为 y 1 * =Axe x ,由待定系数法可求得 相应地,y=C 1 e -2x +C 2 e x + ,(当 x0)对于 y“+y“-2y=1 容易求得 y=C 3 e -2x +C 4 e x - ,(当 x0) 为使所得到的解在 x=0处连续且一阶导数连续,则 C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 之间应满足 有 从而得原方程的通解 17.求 L (y 2 -z 2 )dx+(z 2 -x 2 )dy+(x 2 -y 2 )dz,其中 L为球面 x 2 +y 2 +z 2 =1在第 1象限部分的边界线从球心看 L,L 为逆时针 (分数:
20、10.00)_正确答案:()解析:解 方法一 参数式法,将 L分成 3段在 xOy平面上的一段记为 L 1 ,参数式为x=cost,y=sint,z=0,从 到 t=0于是 其他两段计算类似,于是 方法二 用斯托克斯公式,取曲面 S:x 2 +y 2 +z 2 =1,x0,y0,z0,法向量指向原点于是 取 计算之S 在 xOy平面上的投影为 D xy =(x,y)|x 2 +y 2 1,x0,y0 于是 其他两个类似,从而 18.设 f(x)在a,b上具有二阶导数,且 f“(x)0,证明: (分数:10.00)_正确答案:()解析:证 先证左边命 有 (a)=0, 其中 由于 f“(x)0,
21、所以 f“(x)严格单调增,从而 于是 “(x)0,所以当 xa 时 (x)0,有 (b)0,左边证毕 再证右边命 有 (a)=0, 19.将 展开成 x的幂级数,并指明其成立范围,并求级数 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 f“(x)=arctanx, 将后者展开,有 从而 当 x=1时右边级数收敛,左边函数连续,所以上式成立范围可扩大到 x=1,即上式成立范围为-1x1把 x=1代入上式左、右两边,得 从而 20.设齐次线性方程组 (分数:11.00)_正确答案:()解析:证 由题设条件: 1 , 2 线性无关,r( 1 , 2 )=2, 1 , 2 线性无关,且 1 , 2
22、是方程组的解,满足 方法一 用线性无关定义证 设有数 k 1 ,k 2 ,k 3 ,k 4 使得 k 1 1 +k 2 2 +k 3 1 +k 4 2 =0, 两边左乘 且利用式得 的系数矩阵为 由 r(A)=r(A T A)及 1 , 2 线性无关知, 方程组只有零解,从而得 k 1 -k 2 =0 将 k 1 ,k 2 代入式,因 1 , 2 线性无关,得 k 3 =k 4 =0,从而得证 1 , 2 , 1 , 2 线性无关 方法二 A是 n阶矩阵, 是实数, 是 n维非零向量(分数:11.01)(1).若 A=,求 A 2 的特征值、特征向量;(分数:3.67)_正确答案:()解析:解
23、 由题设条件 A=, 两边左乘 A,得 A 2 =A= 2 , 故 A 2 有特征值 2 ,对应的特征向量为 (2).若 A 2 =,问 是否必是 A的特征向量,说明理由;(分数:3.67)_正确答案:()解析:解 不一定是 A的特征向量,例如 故任意非零向量都是 A 2 的特征向量,故 是 A 2 的特征向量,但不是 A的特征向量,因 (3).若 A可逆,且有 A 3 =,A 5 =,证明 是 A的特征向量并指出其对应的特征值(分数:3.67)_正确答案:()解析:解 A 3 = (1),A 5 = (2) (1)式左乘 A 3 ,得 A 6 =A 3 = 2 ;(2)式左乘 A,得 A 6
24、 =A 故有 A= 2 , 又因 A可逆,故 A 5 可逆,其对应的特征值 0,从而有 得证 也是 A的特征向量,且对应特征值为 线段上随机投掷两点,该两点的距离为 X,试求:(分数:11.00)(1).X的分布函数 F(x)和概率密度 f(x);(分数:5.50)_正确答案:()解析:解 显然,当 x0 时,F(x)=P(Xx)=0; 当 x1 时,F(x)=P(Xx)=1 而当 0x1 时, 所以 (2).X的数学期望 E(X)(分数:5.50)_正确答案:()解析:解 解析 设所投两点为 x 1 和 x 2 ,显然(x 1 ,x 2 )在正方形区域 0x 1 1,0x 2 1 上均匀分布,即有联合分布密度为 设总体 X的概率分布为 (分数:11.00)(1).参数 p的矩估计量和最大似然估计量;(分数:5.50)_正确答案:()解析:解 矩估计 ,矩估计量为 最大似然估计:似然函数 (2).验证相应两个估计量的无偏性(分数:5.50)_正确答案:()解析:解 由于 要证无偏性只要验证 即相应的估计量均为无偏估计量 解析 E(X)=p, 不难求出矩估计 对最大似然估计,关键是写出似然函数由于 x i 取自总体 X,故 x i 不是取 0就是取 1因此,X i 的分布可表示成 p xi (1-p) 1-xi ,似然函数为