1、考研数学一-386 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 p(x)，q(x)，f(x)均连续，y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)是微分方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的三个线性无关的解，C 1 与 C 2 是两个任意常数，则这个方程的通解是_（分数：4.00）A.(C1+C2)y1+(C1-C2)y2-(C1+C2)y3B.(C1-C2)y1+(C2-C1)y2+(C1-C2)y3C.(C1+C2)y1+(1-C1)y2+(1-C2)y3D.(C1-C2)y1+(1-C1)y2+C2y32.设常数
2、0，积分 （分数：4.00）A.I1I2B.I1I2C.I1=I2D.I1与 I2的大小与 有关3.设 a n 0(n=0，1，)，且幂级数 的收敛半径为 4，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.直线 与平面 P：4x-y+z-4=0 的位置关系为_ A垂直 B斜交 C平行但 D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 ， 为 n维单位列向量，P 是 n阶可逆矩阵，则下列方程组中，只有零解的是_ A.(E- T)X=0 B.( TPP -1- T)X=0 C.( Tp-1P- T)X=0 D.(E+ T)X=0（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00
3、）A.AB，CDB.AD，BCC.AC，BDD.A，B，C，D 中没有相似矩阵7.设随机变量 X的概率分布为 k=0，1，2，则常数 a=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设相互独立的随机变量 X i 的分布函数为 F i (x)，概率密度为 f i (x)，i=1，2，则随机变量 Y=max(X 1 ，X 2 )的概率密度为_（分数：4.00）A.f1(x)f2(x)B.f1(x)+f2(x)C.f1(x)F1(x)+f2(x)F2(x)D.f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 f“(x)=arctan(x-1)
4、 2 ，f(0)=0，则 （分数：4.00）10.设 f(x)在 x=0处存在二阶导数，且 （分数：4.00）11.设当 x0 时，f(x)有连续的一阶导数，并且满足 f(x)=-1+x+ （分数：4.00）12.设 u(x，y)有连续的二阶偏导数，满足 （分数：4.00）13.设 A是 n阶矩阵， 是 n维列向量，a，b，c 是数，已知|A|=a， 则 （分数：4.00）14.设 X 1 ，X 2 ，X 2n 是取自标准正态总体的简单随机样本，已知统计量 Y= （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 b为常数，并设介于曲线 （分数：10.00）_16.求 y“+
5、y“-2y=mine x ，1的通解 （分数：10.00）_17.求 L (y 2 -z 2 )dx+(z 2 -x 2 )dy+(x 2 -y 2 )dz，其中 L为球面 x 2 +y 2 +z 2 =1在第 1象限部分的边界线从球心看 L，L 为逆时针 （分数：10.00）_18.设 f(x)在a，b上具有二阶导数，且 f“(x)0，证明： （分数：10.00）_19.将 展开成 x的幂级数，并指明其成立范围，并求级数 （分数：10.00）_20.设齐次线性方程组 （分数：11.00）_A是 n阶矩阵， 是实数， 是 n维非零向量（分数：11.01）(1).若 A=，求 A 2 的特征值、
6、特征向量；（分数：3.67）_(2).若 A 2 =，问 是否必是 A的特征向量，说明理由；（分数：3.67）_(3).若 A可逆，且有 A 3 =，A 5 =，证明 是 A的特征向量并指出其对应的特征值（分数：3.67）_线段上随机投掷两点，该两点的距离为 X，试求：（分数：11.00）(1).X的分布函数 F(x)和概率密度 f(x)；（分数：5.50）_(2).X的数学期望 E(X)（分数：5.50）_设总体 X的概率分布为 （分数：11.00）(1).参数 p的矩估计量和最大似然估计量；（分数：5.50）_(2).验证相应两个估计量的无偏性（分数：5.50）_考研数学一-386 答案解
7、析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 p(x)，q(x)，f(x)均连续，y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)是微分方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的三个线性无关的解，C 1 与 C 2 是两个任意常数，则这个方程的通解是_（分数：4.00）A.(C1+C2)y1+(C1-C2)y2-(C1+C2)y3B.(C1-C2)y1+(C2-C1)y2+(C1-C2)y3C.(C1+C2)y1+(1-C1)y2+(1-C2)y3D.(C1-C2)y1+(1-C1)y2+C2y3 解析：解析 一般有下述结论 如果 y
8、1 ，y 2 ，y 3 是二阶线性非齐次方程的 3个解，则当且仅当 a+b+c=1时，它们的线性组合 ay 1 +by 2 +cy 3 也是该方程的解 如果进一步设：y 1 ，y 2 ，y 3 是该方程的 3个线性无关解，并用 a，b，c 中含有 2个任意常数，则当且仅当 a+b+c=1时，它们的线性组合 ay 1 +by 2 +cy 3 是该方程的通解故知选 D2.设常数 0，积分 （分数：4.00）A.I1I2 B.I1I2C.I1=I2D.I1与 I2的大小与 有关解析：解析 对第二个积分作积分变量变换，命 从而有：当 时 t=0 仍将变换后的 t写成 x，有 当 从而 3.设 a n
9、0(n=0，1，)，且幂级数 的收敛半径为 4，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 例如 分别考虑两个幂级数 收敛半径都是 4，所以幂级数 在|x|4 内收敛但在 x=4处，上述级数成为 其前 n+1项部分和 级数在 x=4处发散，所以它的收敛半径 R=4但是它的 不存在所以选 D 【注】关于求收敛半径的定理是：“设 a n 0，(n=0，1，)且 ( 可以是+)，则幂级数 的收敛半径 R可以由下面关系得到：当 =0 时 R=+；=+时 R=0；0+时 ”此定理的前提为 a n 0，并且 存在或为+此两前提非常重要缺项的幂级数不能用这个办法计算，而应将该幂级数
10、中的 x看成“数”，用数项级数的办法考虑它的敛散性；只知道幂级数的收敛半径，在并不知道 存在或为+的前提下，不能由收敛半径R 去倒推 4.直线 与平面 P：4x-y+z-4=0 的位置关系为_ A垂直 B斜交 C平行但 D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 L 的方向向量 =-1，1，5，所以 L平行于 P又因 L与 P有公共点，故 L5.设 ， 为 n维单位列向量，P 是 n阶可逆矩阵，则下列方程组中，只有零解的是_ A.(E- T)X=0 B.( TPP -1- T)X=0 C.( Tp-1P- T)X=0 D.(E+ T)X=0（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析
11、 方法一 因 AX=(E- T )X=0，当 X=0 时，有 (E- T )=-( T )=0，(其中 T =1) 故排除 A BX=( T PP -1 - T )X=0，当 X=P0 时，有 ( T PP -1 - T )P=( T P)-( T P)=0 故排除 B CX=( T P -1 P- T )，取 X=P -1 0，有 ( T P -1 )-( T P -1 )=0， 故排除 C 由排除法，应选 D 方法二 由题设条件，对任意的”维单位列向量 ，任意的 n阶可逆阵 P，方程组均只有零解，若取特殊的 ，P，使方程组有非零解，则该选项即可排除 如对 A取 =1，0，0 T ，则 有非
12、零解 对 B取 =1，0，0 T ，P=E对 C取 -=1，0，0 T ，P=E即可排除 B，C 故应选 D 方法三 对矩阵 D=E+ T ，有 D 2 =(E+ T ) 2 =E+2 T + T T (其中 T =1) =E+3 T =3(E+ T )-2E =3D-2E D 2 -3D=D(D-3E)=-2E， 故 D可逆，且 故方程组 DX=(E+ T )X=0只有零解，应选 D 方法四 或设 =b 1 ，b 2 ，b n T ， 6.设 （分数：4.00）A.AB，CDB.AD，BC C.AC，BDD.A，B，C，D 中没有相似矩阵解析：解析 观察矩阵 A，B，C，D 知，有 r(A)
13、=r(B)=r(C)=r(D)=1，故 A，B，C，D 均有特征值 =0，且因 r(0E-A)=r(0E-B)=r(0E-C)=r(0E-D)=1，均对应有两个线性无关特征向量(=0 至少是二重特征值)，另一个特征值为 由于 A，B，C，D 均可相似对角化，且 A的特征值与 D的特征值相同，B 与 C特征值相同 显然 AD， 7.设随机变量 X的概率分布为 k=0，1，2，则常数 a=_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 泊松分布为 k=0，1，2， 如果把 a(1+e -1 )看成一个常数，对比 k=0，1，2， 可以看出 XP(1)，且 C=e -1 ，即 a
14、(1+e -1 )=e -1 ，得到 8.设相互独立的随机变量 X i 的分布函数为 F i (x)，概率密度为 f i (x)，i=1，2，则随机变量 Y=max(X 1 ，X 2 )的概率密度为_（分数：4.00）A.f1(x)f2(x)B.f1(x)+f2(x)C.f1(x)F1(x)+f2(x)F2(x)D.f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x) 解析：解析 首先求出随机变量 Y的分布函数 F Y (y)： F Y (y)=P(Yy)=P(max(X 1 ，X 2 )y) =P(X 1 y，X 2 y) =P(X 1 y)P(X 2 y) =F 1 (y)F 2 (y)， 所以随机
15、变量 Y=max(X 1 ，X 2 )的概率密度为 F“ Y y(y)=F 1 (y)F 2 (y)“=f 1 (y)F 2 (y)+f 2 (y)F 1 (y)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 f“(x)=arctan(x-1) 2 ，f(0)=0，则 （分数：4.00）解析：解析 10.设 f(x)在 x=0处存在二阶导数，且 （分数：4.00）解析：2 解析 由佩亚诺余项泰勒公式，f(x)=f(0)+f“(0)x+ +o(x 2 )，代入所给极限式有 11.设当 x0 时，f(x)有连续的一阶导数，并且满足 f(x)=-1+x+ （分数：4.00）解析： 解析 两边对
16、x求导两次，得 f“(x)=2f(x)f“(x)初始条件为 f(0)=-1，f“(0)=1上述方程可改写为 f“(x)=(f(x) 2 “，两边积分得 f“(x)=(f(x) 2 +C 1 ，由初始条件得出 C 1 =0于是f“(x)=(f(x) 2 分离变量后积分得 12.设 u(x，y)有连续的二阶偏导数，满足 （分数：4.00）解析： 解析 将 u(x，2x)=x 两边对 x求导数，有 u“ 1 (x，2x)+u“ 2 (x，2x)2=1 再对 x求导，有 u“ 11 (x，2x)+u“ 12 (x，2x)2+u“ 21 (x，2x)2+u“ 22 (x，2x)4=0 (1) 另一方面，
17、将 u“ 1 (x，2x)=x 2 两边对 x求导，有 u“ 11 (x，2x)+u“ 12 (x，2x)2=2x (2) 再由题设条件 u“ 11 (x，2x)=u“ 22 (x，2x)， (3) (1)，(2)，(3)联立解之，得 13.设 A是 n阶矩阵， 是 n维列向量，a，b，c 是数，已知|A|=a， 则 （分数：4.00）解析：(c-b)a 解析 14.设 X 1 ，X 2 ，X 2n 是取自标准正态总体的简单随机样本，已知统计量 Y= （分数：4.00）解析：1 解析 (X 1 +X 2 +X n )N(0，n)，而 且(X 1 +X 2 +X n )与 相互独立 所以 三、解
18、答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 b为常数，并设介于曲线 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 先求 的斜渐近线 曲线 与它的渐近线 y=x-1之间从 x=1延伸到 x之间的面积为 如果 b-1，那么无论 b-1 还是 b-1， 均与 A为有限值矛盾，故 b=-1，此时 16.求 y“+y“-2y=mine x ，1的通解 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 将 y“+y“-2y=mine x ，1的右边写成分段表达式， 分别解之，对于 y“+y“-2y=e x ， 特征方程为 r 2 +r-2=(r+2)(r-1)，对应的齐次微分方程的通解为 Y=C 1 e -
19、2x +C 2 e x 命非齐次微分方程的一个特解为 y 1 * =Axe x ，由待定系数法可求得 相应地，y=C 1 e -2x +C 2 e x + ，(当 x0)对于 y“+y“-2y=1 容易求得 y=C 3 e -2x +C 4 e x - ，(当 x0) 为使所得到的解在 x=0处连续且一阶导数连续，则 C 1 ，C 2 ，C 3 ，C 4 之间应满足 有 从而得原方程的通解 17.求 L (y 2 -z 2 )dx+(z 2 -x 2 )dy+(x 2 -y 2 )dz，其中 L为球面 x 2 +y 2 +z 2 =1在第 1象限部分的边界线从球心看 L，L 为逆时针 （分数：
20、10.00）_正确答案：()解析：解 方法一 参数式法，将 L分成 3段在 xOy平面上的一段记为 L 1 ，参数式为x=cost，y=sint，z=0，从 到 t=0于是 其他两段计算类似，于是 方法二 用斯托克斯公式，取曲面 S：x 2 +y 2 +z 2 =1，x0，y0，z0，法向量指向原点于是 取 计算之S 在 xOy平面上的投影为 D xy =(x，y)|x 2 +y 2 1，x0，y0 于是 其他两个类似，从而 18.设 f(x)在a，b上具有二阶导数，且 f“(x)0，证明： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 先证左边命 有 (a)=0， 其中 由于 f“(x)0，
21、所以 f“(x)严格单调增，从而 于是 “(x)0，所以当 xa 时 (x)0，有 (b)0，左边证毕 再证右边命 有 (a)=0， 19.将 展开成 x的幂级数，并指明其成立范围，并求级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 f“(x)=arctanx， 将后者展开，有 从而 当 x=1时右边级数收敛，左边函数连续，所以上式成立范围可扩大到 x=1，即上式成立范围为-1x1把 x=1代入上式左、右两边，得 从而 20.设齐次线性方程组 （分数：11.00）_正确答案：()解析：证 由题设条件： 1 ， 2 线性无关，r( 1 ， 2 )=2， 1 ， 2 线性无关，且 1 ， 2
22、是方程组的解，满足 方法一 用线性无关定义证 设有数 k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 使得 k 1 1 +k 2 2 +k 3 1 +k 4 2 =0， 两边左乘 且利用式得 的系数矩阵为 由 r(A)=r(A T A)及 1 ， 2 线性无关知， 方程组只有零解，从而得 k 1 -k 2 =0 将 k 1 ，k 2 代入式，因 1 ， 2 线性无关，得 k 3 =k 4 =0，从而得证 1 ， 2 ， 1 ， 2 线性无关 方法二 A是 n阶矩阵， 是实数， 是 n维非零向量（分数：11.01）(1).若 A=，求 A 2 的特征值、特征向量；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解
23、 由题设条件 A=， 两边左乘 A，得 A 2 =A= 2 ， 故 A 2 有特征值 2 ，对应的特征向量为 (2).若 A 2 =，问 是否必是 A的特征向量，说明理由；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 不一定是 A的特征向量，例如 故任意非零向量都是 A 2 的特征向量，故 是 A 2 的特征向量，但不是 A的特征向量，因 (3).若 A可逆，且有 A 3 =，A 5 =，证明 是 A的特征向量并指出其对应的特征值（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 A 3 = (1)，A 5 = (2) (1)式左乘 A 3 ，得 A 6 =A 3 = 2 ；(2)式左乘 A，得 A 6
24、 =A 故有 A= 2 ， 又因 A可逆，故 A 5 可逆，其对应的特征值 0，从而有 得证 也是 A的特征向量，且对应特征值为 线段上随机投掷两点，该两点的距离为 X，试求：（分数：11.00）(1).X的分布函数 F(x)和概率密度 f(x)；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 显然，当 x0 时，F(x)=P(Xx)=0； 当 x1 时，F(x)=P(Xx)=1 而当 0x1 时， 所以 (2).X的数学期望 E(X)（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 解析 设所投两点为 x 1 和 x 2 ，显然(x 1 ，x 2 )在正方形区域 0x 1 1，0x 2 1 上均匀分布，即有联合分布密度为 设总体 X的概率分布为 （分数：11.00）(1).参数 p的矩估计量和最大似然估计量；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 矩估计 ，矩估计量为 最大似然估计：似然函数 (2).验证相应两个估计量的无偏性（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由于 要证无偏性只要验证 即相应的估计量均为无偏估计量 解析 E(X)=p， 不难求出矩估计 对最大似然估计，关键是写出似然函数由于 x i 取自总体 X，故 x i 不是取 0就是取 1因此，X i 的分布可表示成 p xi (1-p) 1-xi ，似然函数为
