1、考研数学一-385 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在(a，b)内可导，下述结论正确的是_（分数：4.00）A.设 f(x)在(a，b)内只有 1 个零点，则 f“(x)在(a，b)内没有零点B.设 f“(x)在(a，b)内至少有一个零点，则 f(x)在(a，b)内至少有两个零点C.设 f“(x)在(a，b)内没有零点，则 f(x)在(a，b)内至多 1 个零点D.设 f(x)在(a，b)内没有零点，则 f“(x)在(a，b)内至多 1 个零点2.设 则 （分数：4.00）A.极限存在但不连续B.连续但不可导C.可
2、导D.是否可导与 a 的取值有关3.设 y=f(x)为连续函数，除点 x=d 外，f(x)二阶可导y=f“(x)的图形如图所示则 y=f(x)_ （分数：4.00）A.有一个拐点，一个极小值点，一个极大值点B.有二个拐点，一个极小值点，一个极大值点C.有一个拐点，一个极小值点，二个极大值点D.有一个拐点，二个极小值点，一个极大值点4.设正项级数 收敛，正项级数 发散，则 （分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个5.设 A，B，C，D 是四个 4 阶矩阵，其中 A，D 非零，B，C 可逆，且满足 ABCD=O，若 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r，则 r 的取值范围是
3、_（分数：4.00）A.r10B.10r12C.12r16D.r166.下列二次型中，是正定二次型的是_ A.f1(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x4)2+(x4-x1)2 B.f2(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2 C.f3(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x3-x4)2+(x4+x1)2 D.f4(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2（分数：4.00）A.B.C.D.7.设
4、随机变量 X 的密度为 f(x)，数学期望 E(X)=0，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 服从 F(3，4)分布，对给定的 (01)，数 F (3，4)满足 P(XF (3，4)=，若 P(Xx)=1-，则 x 等于_ A B （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(u)有连续的一阶导数，S 是曲面 x=6+x 2 +y 2 (6z7)，法向量向上，则曲面积分 （分数：4.00）10.设函数 f(x)在(0，+)上连续，且对任意正值 a 与 b，积分 （分数：4.00）11.微分方程 满足初始条件 （分
5、数：4.00）12.设 L 为从点 A(-1，0)到点 B(3，0)的上半个圆周(x-1) 2 +y 2 =2 2 ，y0，则 （分数：4.00）13.设 A 是三阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，满足|A|=0，A=，A=，则 A，其中= 1 （分数：4.00）14.已知随机事件 A，B 满足条件 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.yOz 平面上的曲线 （分数：10.00）_16.求曲线 4z=3x 2 -2xy+3y 2 上的点到平面 x+y-4z=1 的最短距离 （分数：10.00）_17.设 f(x)为连续函数，且 且当 x0 时 （分数：10.00）_
6、设 a k 0(k=1，2，)， （分数：10.00）(1).证明存在 ，S n-1 S n ，使 （分数：5.00）_(2).证明级数 （分数：5.00）_18.求一条凹曲线，已知其上任意一点处的曲率 （分数：10.00）_19.设 A 是三阶矩阵，b=9，18，-18 T ，方程组 AX=b 有通解 k 1 -2，1，0 T +k 2 2，0，1 T +1，2，-2 T ，其中 k 1 ，k 2 是任意常数，求 A 及 A 100 （分数：11.00）_(1).设 r 个 n 维向量 1 ， 2 ， r 线性无关， 是 n 维向量，且 1 ， 2 ， r ， 线性相关证明： 可由 1 ，
7、2 ， r 线性表出，且表出法唯一（分数：5.50）_(2).设 A 是 nr 矩阵，r(A)=r若方程组 AX=b 有解，证明方程组 AX=b 必有唯一解，并求其解（分数：5.50）_设随机变量 （分数：11.00）(1).Z 的概率密度 f Z (z)；（分数：5.50）_(2).F(2，-1)的值（分数：5.50）_20.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为 （分数：11.00）_考研数学一-385 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在(a，b)内可导，下述结论正确的是
8、_（分数：4.00）A.设 f(x)在(a，b)内只有 1 个零点，则 f“(x)在(a，b)内没有零点B.设 f“(x)在(a，b)内至少有一个零点，则 f(x)在(a，b)内至少有两个零点C.设 f“(x)在(a，b)内没有零点，则 f(x)在(a，b)内至多 1 个零点 D.设 f(x)在(a，b)内没有零点，则 f“(x)在(a，b)内至多 1 个零点解析：解析 由罗尔定理，用反证法即可得其他均可举出反例 例如 f(x)=x 3 -x+6=(x+2)(x 2 -2x+3)， 只有唯一零点 x=-2，但 f“(x)=3x 2 -1 有两个零点，所以(A)不成立此例也说明(B)不成立又例如
9、 f(x)=2+sinx，在(-，+)内没有零点，但 f“(x)=cosx 在(-，+)内有无穷多个零点2.设 则 （分数：4.00）A.极限存在但不连续B.连续但不可导C.可导D.是否可导与 a 的取值有关 解析：解析 所以 F(x)在 x=0 连续，A 不成立 3.设 y=f(x)为连续函数，除点 x=d 外，f(x)二阶可导y=f“(x)的图形如图所示则 y=f(x)_ （分数：4.00）A.有一个拐点，一个极小值点，一个极大值点B.有二个拐点，一个极小值点，一个极大值点 C.有一个拐点，一个极小值点，二个极大值点D.有一个拐点，二个极小值点，一个极大值点解析：解析 x=a 处与 x=b
10、 处均是拐点x=c 处均为极小值点，x=d 处为极大值点 4.设正项级数 收敛，正项级数 发散，则 （分数：4.00）A.1 个 B.2 个C.3 个D.4 个解析：解析 正项级数 收敛，所以 所以当 n 足够大时，有 必收敛 的反例： 的反例： 的反例： 5.设 A，B，C，D 是四个 4 阶矩阵，其中 A，D 非零，B，C 可逆，且满足 ABCD=O，若 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r，则 r 的取值范围是_（分数：4.00）A.r10B.10r12 C.12r16D.r16解析：解析 因 AO，DO，故 r(A)1，r(D)1，r(A)+r(D)2，|B|0，|C|0，故 r
11、(B)=4，r(C)=4 从而有 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)10 又由 ABCD=O，其中 B，C 可逆，得 r(AB)+r(CD)=r(A)+r(D)4 从而有 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)12 故 10r126.下列二次型中，是正定二次型的是_ A.f1(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x4)2+(x4-x1)2 B.f2(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2 C.f3(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x3-x4)2+(x
12、4+x1)2 D.f4(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 方法一 A 存在 X 1 =1，1，1，1 T ，使得 f 1 (X 1 )=0，f 1 不正定 B 存在 X 2 =1，-1，1，-1 T ，使得 f 2 (X 2 )=0，f 2 不正定 C 存在 X 3 =1，1，-1，-1 T ，使得 f 3 (X 3 )=0，f 3 不正定 由排除法，知应选 D 方法二 或对 D，f 4 (x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=(x 1 -x 2 ) 2 +(x 2 +x 3
13、 ) 2 +(x 3 +x 4 ) 2 +(x 4 +x 1 ) 2 ， 其中 故 X=C -1 Y 是可逆线性变换，则由 知 f 4 是正定二次型 方法三 其中 D 是可逆阵故知 A=D T D 是正定阵，f 4 是正定二次型 方法四 写出各二次型的对应矩阵，用顺序主子式是否都大于零来判别，请读者自行计算 【注】要说明二次型不正定，只需找到 X0，使得 f(X)0 即可，要说明二次型正定，则应给出证明(利用二次型正定的定义或充分必要条件) 有人认为：四个选项均是正的平方和，作变换均可化为 7.设随机变量 X 的密度为 f(x)，数学期望 E(X)=0，则_ A B C D （分数：4.00）
14、A.B.C. D.解析：解析 因 而 即8.设随机变量 X 服从 F(3，4)分布，对给定的 (01)，数 F (3，4)满足 P(XF (3，4)=，若 P(Xx)=1-，则 x 等于_ A B （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因 XF(3，4)故 1-=P(Xx)=P(Xx)= 其中 所以 也可以考虑 P(Xx)=1-，有 P(Xx)=，即 x=F (3，4)但选项中没有此项根据公式 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(u)有连续的一阶导数，S 是曲面 x=6+x 2 +y 2 (6z7)，法向量向上，则曲面积分 （分数：4.00）解析：0 解析 添平面
15、S 1 ：z=7(x 2 +y 2 1)，法向量向下 10.设函数 f(x)在(0，+)上连续，且对任意正值 a 与 b，积分 （分数：4.00）解析： 解析 由 与 a 无关，所以 即 f(ab)b-f(a)0 上式对任意 a 应该成立，所以命 a=1 亦应成立，有 f(b)b-f(1)=0， 即有 可以验算， 11.微分方程 满足初始条件 （分数：4.00）解析： 解析 写成 令 y 2 =z，得 再令 z=ux，有 代入原方程，得 解之得 sinu=Cx 再以 代入，得 由初始条件得出 C，得特解 或 12.设 L 为从点 A(-1，0)到点 B(3，0)的上半个圆周(x-1) 2 +y
16、 2 =2 2 ，y0，则 （分数：4.00）解析：-+ln3 解析 按通常记号 P，Q，经计算有 改到 y=sint，t 从 到 0，点C(1，0)； 从 C 到 B于是 13.设 A 是三阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，满足|A|=0，A=，A=，则 A，其中= 1 （分数：4.00）解析： 解析 由题设条件|A|=0 知 A 有 1 =0，又由 A= 及 A= 知 A(+)=+=+， A(-)=-=(-)， 故 A 有 2 =1， 3 =-1 A 是三阶矩阵，有三个不同的特征值，故 A，其中 14.已知随机事件 A，B 满足条件 （分数：4.00）解析：解析 因为 ，所以 ，也就 ，即
17、 所以 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.yOz 平面上的曲线 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 取体积元素 dv，它的质量微元 dM=r 2 dv。 从而 用柱面坐标，先 r， 后 z，于是 16.求曲线 4z=3x 2 -2xy+3y 2 上的点到平面 x+y-4z=1 的最短距离 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 曲面上的点设为(x，y，z)，它到平面 x+y-4z-1=0 的距离为 在约束条件 3x 2 -2xy+3y 2 -4z=0 上求 d 的最小值此等价于求 S=(x+y-4z-1) 2 在上述约束条件下的最小值 命 解之，得唯一的解 此点到
18、平面 x+y-4z-1=0 的距离最小 17.设 f(x)为连续函数，且 且当 x0 时 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由题设条件有 另一方面， 在(*)中取 k=3，由(*)，有 按题设条件，有 再由(*)可知 且 故 f“(0)存在且 设 a k 0(k=1，2，)， （分数：10.00）(1).证明存在 ，S n-1 S n ，使 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 考虑 由拉格朗日中值定理，有 f(b)-f(a)=f“()(b-a) (ab) 命 a=S n-1 ，b=S n ，代入得 (2).证明级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 级数 18.求
19、一条凹曲线，已知其上任意一点处的曲率 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由曲率计算公式及曲线为凹知， 因为 为曲线在相应点的切线的倾斜角，且 cos0，所以 于是由条件 推知 整理得微分方程 2y 2 y“=(1+(y“) 2 ) 2 此为缺 x 的可降阶二阶方程命 代入上述微分方程，化简为 分离变量得 解得 y=(p 2 +1)+y(p 2 +1)C 1 由于曲线在点(1，1)处切线水平，故 y(1)=1，y“(1)=0于是有 1=1+C 1 ，C 1 =0 故得 y=p 2 +1， 即 由于曲线是凹的，y=1 不是解，再将 分离变量后积分得 由 y(1)=1，所以 C 2 =-
20、1，得 19.设 A 是三阶矩阵，b=9，18，-18 T ，方程组 AX=b 有通解 k 1 -2，1，0 T +k 2 2，0，1 T +1，2，-2 T ，其中 k 1 ，k 2 是任意常数，求 A 及 A 100 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 方法一 由题设条件知，对应齐次方程的基础解系是 1 =-2，1，0 T ， 2 =2，0，1 T ，即 1 ， 2 是 A 的对应于 =0 的两个线性无关特征向量，又 =1，2，-2 T 是 AX=b 的特解，即有 知 3 =1，2，-2 T = 是 A 的对应于 =9 的特征向量，取可逆阵 P= 1 ， 2 ， 3 ，则得 P
21、-1 AP=， A=PP -1 ， 其中 因 故(1) 或(2) 方法二 由方程组的通解直接求出系数矩阵 A 33 因对应齐次方程组 AX=0 有通解为 k 1 1 +k 2 2 =k 1 -2，1，0 T +k 2 2，0，1 T ，故 r(A)=1 可设方程组为 ax 1 +bx 2 +cx 3 =0， 将 1 ， 2 代入，则有 得 c=-2a，b=2a，故方程组为 a(x 1 +2x 2 -2x 3 )=0 对应的非齐次方程组为 将特解 =1，2，-2 T 代入得 k 1 =1，k 2 =2，k 3 =-2故得对应矩阵 再求 A 100 (见方法一(1) 或因 A 1 =0，故 A 1
22、00 1 =0； A 2 =0，故 A 100 2 =0 A=9，故 A 100 =9 100 故 (1).设 r 个 n 维向量 1 ， 2 ， r 线性无关， 是 n 维向量，且 1 ， 2 ， r ， 线性相关证明： 可由 1 ， 2 ， r 线性表出，且表出法唯一（分数：5.50）_正确答案：()解析：证 因 1 ， 2 ， r ， 线性相关，由定义，存在不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k r ，k r+1 ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k r r +k r+1 =0 (1) 其中 k r+1 0 (若 k r+1 =0，则(1)式为 k 1 1 +k 2 2 +k r r =
23、0 (2) 因 1 ， 2 ， r 线性无关，(2)成立，当且仅当 k 1 =k 2 =k r =0 这和 1 ， 2 ， 线性相关，k 1 ，k 2 ，k r+1 不全为零矛盾) 故 可由 1 ， 2 ， r 线性表出，且 其中 (2).设 A 是 nr 矩阵，r(A)=r若方程组 AX=b 有解，证明方程组 AX=b 必有唯一解，并求其解（分数：5.50）_正确答案：()解析：证 将 A 以列分块，设 A= 2 ， 2 ， r ，故知 1 ， 2 ， r 线性无关若方程组 AX=b 有解，即 b 可由 1 ， 2 ， r 线性表出，即 1 ， 2 ， r ，b线性相关则由(1)知 b 可由
24、 1 ， 2 ， r 线性表出，且表出法唯一即方程组 AX=b 必有唯一解方程组两边左乘 A T ，得 A T AX=A T b 因 r(A T A) rr =r(A)=r，故 A T A 是可逆阵，上式两边左乘(A T A) -1 ，得方程组的唯一解为 X=(A T A) -1 A T b设随机变量 （分数：11.00）(1).Z 的概率密度 f Z (z)；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 (2).F(2，-1)的值（分数：5.50）_正确答案：()解析： 解析 2X-1 也为离散分布： YE(1)，记 Y 的分布函数为 F Y (y)，密度函数为 f Y (y)， 则 现 Z=(2X-1)Y 是离散型与连续型的结合故有分布函数 或者用全概率公式： 20.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 解得 解析 求最大似然估计时，关键在于正确写出似然函数本题已给概率密度 f(x)，其似然函数为
