1、考研数学一-384 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 b n 0(n=1，2，)，下述命题 （分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个2.设 f(x)=xe 2x -2x-cosx，它的零点的个数_（分数：4.00）A.没有B.正好 1 个C.正好 2 个D.多于 2 个3.下列反常积分发散的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 （分数：4.00）A.两个偏导数都存在，函数也连续B.两个偏导数都存在，但函数不连续C.偏导数不存在，但函数连续D.偏导数不存在，函数也不连续5.设 n 维
2、向量 1 ， 2 ， 3 满足 1 -2 2 +3 3 =0，对任意的 n 维向量 ，向量组 1 +a， 2 +b， 3 线性相关，则参数 a，b 应满足条件_（分数：4.00）A.a=bB.a=-bC.a=2bD.a=-2b6.设 A 是一个 n 阶矩阵，先交换 A 的第 i 列与第 j 列，然后再交换第 i 行和第 j 行，得到的矩阵记成 B，则下列五个关系 ()|A|=|B| ()r(A)=r(B) ()A B ()AB ()A （分数：4.00）A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个7.设随机变量 X 与 Y 独立，且 ，YN(0，1)，则概率 PXY0的值为_ A0 B C D （
3、分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机度量 X 的概率密度函数为 f(x)，则可以作出概率密度函数_（分数：4.00）A.f(2x)B.2f(x)C.|f(-x)|D.f(|x|)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 u=x 2 e y z 3 ，其中 z=z(x，y)由方程 x 3 +y 3 +z 3 -3xyz=0 所确定，则 du| x=-1，y=0 = 1 （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.微分方程 （分数：4.00）12. （分数：4.00）13.直线 （分数：4.00）14.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且均服从泊松分布 P(1)，则 PX+Y=
4、1= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 l 为从点 A(-，0)沿曲线 y=sinx 至点 B(，0)的有向弧段，求 I= l (e -x2 sinx+3y-cosy)dx+(xsiny-y 4 )dy （分数：10.00）_16.设平面区域 D=(x，y)|x|+|y|1，求 （分数：10.00）_17.求 （分数：10.00）_设“u 1 =1，u 2 =1，u n+1 =2u n +3u n-1 (n=2，3，)（分数：10.00）(1).设 证明： （分数：5.00）_(2).讨论级数 （分数：5.00）_18.求微分方程 （分数：10.00）_
5、19.A，B，X 均是三阶矩阵，其中 （分数：11.00）_设二次型 满足 AB=O，其中 （分数：11.01）(1).用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换；（分数：3.67）_(2).求该二次型；（分数：3.67）_(3).f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1 表示什么曲面?（分数：3.67）_设二维随机变量(X，Y)在区域 G=(x，y)|1x+y2，0y1上服从均匀分布求：（分数：11.01）(1).(X，Y)的边缘概率密度 f X (x)和 f Y (y)；（分数：3.67）_(2).Z=X+Y 的概率密度 f Z (z)；（分数：3.67）_(3).数学期望 E(Z)（分数
6、：3.67）_设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自标准正态总体 N(0，1)的简单随机样本，设 = （分数：11.00）(1).E(T)的值；（分数：5.50）_(2).E(T 2 )的值（分数：5.50）_考研数学一-384 答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 b n 0(n=1，2，)，下述命题 （分数：4.00）A.1 个 B.2 个C.3 个D.4 个解析：解析 命题(3)是正确的，其他均不正确 证明(3)正确首先证明： 事实上，左边级数前 n 项部分和 S n =(a 1 -a 2 )+(a 2 -a 3 )+(a
7、n -a n+1 )=a 1 -a n+1 由 根据比较判别法的极限形式知，级数 收敛，从而知 绝对收敛 不正确，反例： 发散，而 不存在，所以 发散满足(1)的题设条件，但 是收敛的 不正确，反例： 发散，而 存在，所以 收敛，但 是收敛的，故(2)不正确 不正确，反例： 收敛， 发散，而 2.设 f(x)=xe 2x -2x-cosx，它的零点的个数_（分数：4.00）A.没有B.正好 1 个C.正好 2 个 D.多于 2 个解析：解析 f(0)=-10，f(-1)=-e -2 +2-cos10，f(1)=e 2 -2-cos10所以在区间(-1，0)与区间(0，1)内分别至少有 1 个零
8、点f“(x)=e 2x +2xe 2x -2+sinx=2xe 2x +(e 2x -1)+(sinx-1)，当 x0 时f“(x)0，所以在区间(-，-1内 f(x)无零点，在区间(-1，0)内正好一个零点 f“(x)=4e 2x +4xe 2x +cosx =4(1+x)e 2x +cosx =(4e 2x +cosx)+4xe 2x 可见无论 x(-1，0)还是 x0，+)，f“(x)0，所以在区间(-1，+)内 f(x)至多有 2 个零点，而前已证明 f(x)在(-1，1)内至少有 2 个零点，所以 f(x)正好有 2 个零点3.下列反常积分发散的是_ A B C D （分数：4.00
9、）A.B.C. D.解析：解析 4.设 （分数：4.00）A.两个偏导数都存在，函数也连续B.两个偏导数都存在，但函数不连续C.偏导数不存在，但函数连续 D.偏导数不存在，函数也不连续解析：解析 由夹逼定理， 所以 f(x，y)在点(0，0)连续 5.设 n 维向量 1 ， 2 ， 3 满足 1 -2 2 +3 3 =0，对任意的 n 维向量 ，向量组 1 +a， 2 +b， 3 线性相关，则参数 a，b 应满足条件_（分数：4.00）A.a=bB.a=-bC.a=2bD.a=-2b 解析：解析 因 1 ， 2 ， 3 满足 1 -2 2 +3 3 =0(*)，要求向量组 1 +a， 2 +b
10、， 3 线性相关，其中 是任意向量利用(*)式，取常数 k 1 =1，k 2 =-2，k 3 =3，对向量组 1 +a， 2 +b， 3 作线性组合，得 ( 1 +a)-2( 2 +b)+3 3 = 1 -2 2 +3 3 +(a-2b)=(a-2b) 故当 a=2b 时，对任意的 n 维向量 均有 1 +a-2( 2 +b)+3 3 =0 即 a=2b 时， 1 +a， 2 +b， 3 对任意 线性相关故应选 D 或 1 +a， 2 +b， 3 线性相关 r 1 +a， 2 +b， 3 2对矩阵 1 +a， 2 +b， 3 作初等列变换(不改变秩)有 1 +a， 2 +b， 3 1 +a，
11、2 +b， 1 +a-2( 2 +b)+ 3 1 +a， 2 +b，(a-2b) 6.设 A 是一个 n 阶矩阵，先交换 A 的第 i 列与第 j 列，然后再交换第 i 行和第 j 行，得到的矩阵记成 B，则下列五个关系 ()|A|=|B| ()r(A)=r(B) ()A B ()AB ()A （分数：4.00）A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个 解析：解析 将 A 的 i 列，j 列互换，再将 i 行，j 行互换，相当于右乘、左乘相同的互换初等阵 E ij ，即 B=E ij AE ij ，其中 |E ij |=-10，是可逆阵，|E ij | 2 =1，故()，()，()成立 =E
12、ij ，故 E ij AE ij =E ij AE ij =B，故 AB，()成立 故 E ij AE ij = =B，故 A B，()成立 从而知()，()，()，()，()均成立应选 D 关键在于：将初等变换表示成左(右)乘初等阵及理解行列式，矩阵的秩，矩阵的等价、相似、合同的概念 7.设随机变量 X 与 Y 独立，且 ，YN(0，1)，则概率 PXY0的值为_ A0 B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 即 P(X=0)=P(X=1)= 可以将事件“X=0”和事件“X=1”看成一完备事件组 其中 (x)是标准正态分布 N(0，1)的分布函数， 故 8.设随机度量 X
13、 的概率密度函数为 f(x)，则可以作出概率密度函数_（分数：4.00）A.f(2x)B.2f(x)C.|f(-x)| D.f(|x|)解析：解析 不难验证|f(-x)|满足密度函数的充要条件： |f(-x)|0； 因为|f(-x)|=f(-x)0； 所以应选 C 由于 以及 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 u=x 2 e y z 3 ，其中 z=z(x，y)由方程 x 3 +y 3 +z 3 -3xyz=0 所确定，则 du| x=-1，y=0 = 1 （分数：4.00）解析：-5dx-2dy 解析 由 x 3 +y 3 +z 3 -3xyz=0 有 3x 2 dx+3y
14、2 dy+3z 2 dz-3yzdx-3xzdy-3xydz=0，再由 x=-1，y=0 可得 z=1将这些代入上述微分式中，得 dz=-dx-dy又因 du=2xe y z 3 dx+x 2 e y z 3 dy+3x 2 e y z 2 dz， 将 x=-1，y=0，z=1 及 dz=-dx-dy 代入，得 du=-2dx+dy+3dz=-5dx-2dy10. （分数：4.00）解析： 解析 交换积分次序： 11.微分方程 （分数：4.00）解析：y=lnx(ln|x|+C) 解析 由 按 e y 的线性方程解之， 若 x0，则上式为 若 x0，则为 12. （分数：4.00）解析：e -
15、1 解析 13.直线 （分数：4.00）解析：0 解析 将直线的标准方程(点向式方程)改为交面式方程， L 1 和 L 2 相交于一点 四平面交于一点 =r(A|b)=3 对(A|b)作初等行变换，得 14.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且均服从泊松分布 P(1)，则 PX+Y=1= 1 （分数：4.00）解析：2e -2 解析 XP(1)，故 k=0，1，2 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 l 为从点 A(-，0)沿曲线 y=sinx 至点 B(，0)的有向弧段，求 I= l (e -x2 sinx+3y-cosy)dx+(xsiny-y 4 )dy （分数：10.0
16、0）_正确答案：()解析：解 添有向直线段 y=0，自点 B(，0)至点 A(-，0)，其中自点 B 至点 O(0，0)的有向直线段记为 l 1 ，点 O(0，0)至点 A 的有向直线段记为 l 2 ，曲线 y=sinx(-x)与 l 1 和 l 2 构成 8 字形分别围成的两个有界闭区域，记为 D 1 与 D 2 D 1 的边界走向为负向，D 2 的边界走向为正向 由格林公式，可得 由于 而 S D1 =S D2 ，故 16.设平面区域 D=(x，y)|x|+|y|1，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 将 D 分成第 1，2，3，4 象限中的 4 块，分别记为 D 1 ，D
17、2 ，D 3 ，D 4 ，用极坐标，其中先对 D 1 进行积分： 根据对称性，被积函数关于 x，y 均为偶函数，且积分区域关于 y 轴，x 轴对称，故 17.求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 设“u 1 =1，u 2 =1，u n+1 =2u n +3u n-1 (n=2，3，)（分数：10.00）(1).设 证明： （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 考虑 令 b，由夹逼定理有 (2).讨论级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 用比值判别法， 所以级数 收敛 【注】此“ ”可由下面办法试探得来假设 存在，记为 b，则由 两边取极限得到 即 3b 2 +2b
18、-1=0，(3b-1)(b+1)=0，得 b=-1但不可能是 b=-1所以，若 存在，只能是 18.求微分方程 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 此为 y“=f(y，y“)型命 原方程化为 化为 解得 当 x=0 时，y=1，y“=1代入得 1=1(1+C 1 )，所以 C 1 =0于是得 p 2 =y 4 ，p=y 2 (因 y=1 时 y“=1，取正号)于是 再分离变量，积分得 将 x=0 时 y=1 代入得 C 2 =-1，从而得特解 19.A，B，X 均是三阶矩阵，其中 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由题设条件 AX-A=BX，得 (A-B)X=A， (*)
19、 其中 因 故 A-B 不可逆，(注意 X(A-B) -1 A) 将 X 与 A 以列分块，设 X= 1 ， 2 ， 3 ，A= 1 ， 2 ， 3 ，则(*)为(A-B) 1 ， 2 ， 3 = 1 ， 2 ， 3 ，则由(*)求 X，即相当于解方程组(A-B) i = i ，i=1，2，3将A-B， 1 ， 2 ， 3 作初等行变换，求解 x 1 ，x 2 ，x 3 因 则(A-B) 1 = 1 的通解为 1 =k 1 (-3，1，5) T +(7，0，-9) T ， (A-B) 2 = 2 的通解为 2 =k 2 (-3，1，5) T +(5，0，-3) T ， (A-B) 3 = 3
20、的通解为 3 =k 3 (-3，1，5) T +(7，0，-7) T ， 故 设二次型 满足 AB=O，其中 （分数：11.01）(1).用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由题设条件 故 B 的三个列向量都是 AX=0 的解向量，也是 A 的对应于 =0 的特征向量，其中 线性无关且正交， 3 = 故 =0 至少是二重特征值 又因 另一个是 3 =2，故 1 = 2 =0 是二重特征值。因 A 是实对称阵，故对应 3 =2 的特征向量应与 1 ， 2 正交，设 3 =x 1 ，x 2 ，x 3 T ，则有 得 3 =1，1，-2 T 故存
21、在正交变换 X=QY，其中 使得 (2).求该二次型；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 先求二次型对应矩阵，因 故 故所求二次型为 求二次型的对应矩阵 A，也可用 AB=O， (3).f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1 表示什么曲面?（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 方法一 由标准形知 表示两个平行平面 方法二 由上一小题得二次型 (x 1 +x 2 -2x 3 ) 2 ，若 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1，得(x 1 +x 2 -2x 3 )= 设二维随机变量(X，Y)在区域 G=(x，y)|1x+y2，0y1上服从均匀分布求：（分数：11.01）(1).(X
22、，Y)的边缘概率密度 f X (x)和 f Y (y)；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 总之 解析 可用公式 其中 (2).Z=X+Y 的概率密度 f Z (z)；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 故 解析 F Z (z)=P(Zz)=P(X+Yz)= (3).数学期望 E(Z)（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 解析 E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)= 或者设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自标准正态总体 N(0，1)的简单随机样本，设 = （分数：11.00）(1).E(T)的值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 (2).E(T 2 )的值（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 而 总之， 解析 由 和 S 2 的性质： 与 S 2 相互独立，且有
