1、考研数学一-382 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.两个可去间断点B.两个无穷间断点C.一个可去间断点，一个跳跃间断点D.一个可去间断点，一个无穷间断点2.已知 f(x)在 x=0处连续，且 （分数：4.00）A.1B.2C.3D.43.设 ， ， ， （分数：4.00）A.f(x)g(x)h(x)B.h(x)g(x)f(x)C.g(x)f(x)h(x)D.f(x)h(x)g(x)4.已知 f(x，y)在(0，0)点连续，且 （分数：4.00）A.f(x，y)在(0，0)点可微B.f“x(0，0)=-
2、2C.f“y(0，0)=1D.f“x(0，0)和 f“y(0，0)都不一定存在5.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 是 4维向量，下列命题中正确的是（分数：4.00）A.如果 1，2，3，4 线性相关，那么 k1，k2，k3，k4 不全为 0时，有k11+k22+k33+k44=0B.如果 1，2，3，4 线性相关，那么当 k11+k22+k33+k44=0 时，有 k1，k2，k3，k4 不全为 0C.如果 5 不能由 1，2，3，4 线性表出，那么 1，2，3，4 必线性相关D.如果 1，2，3，4 线性相关，那么 5 不能由 1，2，3，4 线性表出6.已知 A，B，C，D 都是
3、4阶非零矩阵，且 ABCD=O，如果|BC|0，记 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r，则 r的最大值是（分数：4.00）A.11B.12C.13D.147.随机变量 X的分布函数 F(x)，概率密度为 f(x)，a 为常数，则不能将概率密度设成（分数：4.00）A.f(x+a)B.af(ax)C.f(-x)D.2f(x)F(x)8.将长度为 1m的木棒随机地截成两段，设第一段的长度一半为 X，第二段长度的 为 Y，则 X，Y 的相关系数 XY = A-1 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 （分数：4.00）10.已知方程
4、 3x 4 -8x 3 -6x 2 +24x+a=0有四个不相同的实根，则 a的取值范围为 1 （分数：4.00）11.设连续函数 f(x)非负，且 （分数：4.00）12.积分 （分数：4.00）13.已知 （分数：4.00）14.市场上某产品由甲、乙两厂生产混合已知甲厂和乙厂的产品指标服从分布函数 F 1 (x)和 F 2 (x)，且甲厂的产量是乙厂的 3倍，则从市场上任取一件产品，其指标服从的分布函数为 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知曲线 y=f(x)和 在原点处相切，试求极限 （分数：10.00）_16.设抛物线 y=ax 2 +bx+c通过
5、点(0，0)和(1，2)，且 a0，试确定 a，b，c 的值使该抛物线与 x轴所围图形 D的面积最小，并求此图形 D绕直线 x=2旋转一周所得旋转体的体积 （分数：10.00）_17.计算线积分 ，其中 L为由点 A(-1，0)经点 B(1，0)到点 C(-1，2)的路径， 为下半圆周， （分数：10.00）_18.设 （分数：10.00）_19.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0，若 f(x)在0，1上的最大值为M0，n1证明存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 （分数：10.00）_20.解方程组 （分数：11.00）_21.设二次型 矩阵 A满足
6、AB=O，其中 （分数：11.00）_22.已知随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：11.00）_23.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自区间-1，+1上均匀分布的总体 X的简单随机样本，试求 ()参数 的矩估计 ； ()参数 的最大似然估计 （分数：11.00）_考研数学一-382 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.两个可去间断点B.两个无穷间断点C.一个可去间断点，一个跳跃间断点 D.一个可去间断点，一个无穷间断点解析：解析 f(x)仅在 x=0，x=1 没定义，由于 则 x=0为可去间断点
7、由于 2.已知 f(x)在 x=0处连续，且 （分数：4.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 是正确的，由于 ，且 ，则 ，又 f(x)在 x=0处连续，则 f(0)=0， 又 且 ，则 则正确 不正确 令 显然 ，则 而 不存在 是正确的 由 可知，存在 x=0的去心邻域，使 f(x)0，又 f(0)=0，则 f(x)在 x=0处取得极小值； 不正确 令 3.设 ， ， ， （分数：4.00）A.f(x)g(x)h(x)B.h(x)g(x)f(x)C.g(x)f(x)h(x) D.f(x)h(x)g(x)解析：解析 由于当 时，xtanx， 则 ，从而有 即 g(x)f(x) 又 当
8、 时，xsinx， 从而 xsinxcosx 即 f“(x)0，f(x)单调增，又 时，x 2 x， 则 4.已知 f(x，y)在(0，0)点连续，且 （分数：4.00）A.f(x，y)在(0，0)点可微B.f“x(0，0)=-2C.f“y(0，0)=1D.f“x(0，0)和 f“y(0，0)都不一定存在 解析：解析 由于上式分母趋于零，则其分子趋于零，由 f(x，y)的连续性知 f(0，0)=0 从而有 即 f(x，y)-f(0，0)=-2x+y+o() 其中 5.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 是 4维向量，下列命题中正确的是（分数：4.00）A.如果 1，2，3，4 线性相关，那
9、么 k1，k2，k3，k4 不全为 0时，有k11+k22+k33+k44=0B.如果 1，2，3，4 线性相关，那么当 k11+k22+k33+k44=0 时，有 k1，k2，k3，k4 不全为 0C.如果 5 不能由 1，2，3，4 线性表出，那么 1，2，3，4 必线性相关 D.如果 1，2，3，4 线性相关，那么 5 不能由 1，2，3，4 线性表出解析：解析 因为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 是 5个 4维向量它必线性相关 而当 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关时， 5 必可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出 现在 5 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，
10、所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 必线性相关 即命题 C正确 按定义当 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关时，存在不全为 0的 k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 ，使 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 +k 4 4 =0，但不是对任意不全为 0的 k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 均有 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 +k 4 4 =0，故命题 A不正确 因为 0 1 +0 2 +0 3 +0 4 =0恒成立，所以命题 B不正确 当 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关时， 5 一定能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，当 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关时，
11、 5 也有可能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出(例如 5 = 1 )，故命题 D不正确6.已知 A，B，C，D 都是 4阶非零矩阵，且 ABCD=O，如果|BC|0，记 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r，则 r的最大值是（分数：4.00）A.11B.12 C.13D.14解析：解析 由|BC|0 7.随机变量 X的分布函数 F(x)，概率密度为 f(x)，a 为常数，则不能将概率密度设成（分数：4.00）A.f(x+a)B.af(ax) C.f(-x)D.2f(x)F(x)解析：解析 f(x)成为概率密度的充要条件是 (1)f(x)0；(2) 不难验证，A、C、D 都满足这两
12、条充要条件 由于 a是常数，当 a0 时，af(ax)0，条件(1)不成立 或者当 a=0时， 8.将长度为 1m的木棒随机地截成两段，设第一段的长度一半为 X，第二段长度的 为 Y，则 X，Y 的相关系数 XY = A-1 B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 显然 2X+3Y=1，即 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 （分数：4.00）解析： 解析 由导数定义知 10.已知方程 3x 4 -8x 3 -6x 2 +24x+a=0有四个不相同的实根，则 a的取值范围为 1 （分数：4.00）解析：-13a-8 解析 令 f(x)=3x 4 -8x 3
13、-6x 2 +24x+a 则 f“(x)=12x 3 -24x 2 -12x+24 =12(x 3 -2x 2 -x+2)=12(x-2)(x-1)(x+1) 令 f“(x)=0，得 x 1 =-1，x 2 =1，x 3 =2， 在(-，-1)上，f“(x)0，f(x)单调减 在(-1，1)上，f“(x)0，f(x)单调增 在(1，2)上，f“(x)0，f(x)单调减 在(2，+)上，f“(x)0，f(x)单调增 要使方程 f(x)=0有四个不同实根，当且仅当 f(-1)0，f(1)0，f(2)0而 f(=1)=a-19，f(1)=13+a，f(2)=8+a 由此可得-13a-811.设连续函
14、数 f(x)非负，且 （分数：4.00）解析：2 解析 令 tx=u，则 令 x=0，得 C=0，且 ，令 x=2得 ， 则 f(x)在区间0，2上的平均值为 12.积分 （分数：4.00）解析： 解析 原积分在极坐标下计算不方便，将其化为直角坐标下累次积分计算记半圆 与x轴所围的区域为 D，则 由于积分域 D关于 x=1对称，则 13.已知 （分数：4.00）解析： ， 解析 对矩阵作初等行变换，有 故 Ax=0基础解系为： 1 =(1，1，0，0) T ， 2 =(2，0，-1，1) T 正交化 1 = 1 =(1，1，0，0) T 单位化得 ， 14.市场上某产品由甲、乙两厂生产混合已知
15、甲厂和乙厂的产品指标服从分布函数 F 1 (x)和 F 2 (x)，且甲厂的产量是乙厂的 3倍，则从市场上任取一件产品，其指标服从的分布函数为 1 （分数：4.00）解析： 解析 设取出产品指标为 X任取一件产品属甲厂生产为事件 A混合产品中甲、乙产品之比为 3:1所以 ， X 的分布函数为 F(x)=PXx 根据全概率公式 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知曲线 y=f(x)和 在原点处相切，试求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由于曲线 y=f(x)和 在原点处相切，则 f(0)=0， 从而有 =0 等式 两端对 x求导得 e-(y+x)2(y“+1)=
16、2y“-cosx将 x=0，y=0 代入上式得 y“(0)=2则 f“(0)=2 这是一个“1 型极限，而 而 则 ， 故 解析 首先利用曲线 y=f(x)和 在原点处相切，可求得 和 f“(0)，然后再进一步求极限 16.设抛物线 y=ax 2 +bx+c通过点(0，0)和(1，2)，且 a0，试确定 a，b，c 的值使该抛物线与 x轴所围图形 D的面积最小，并求此图形 D绕直线 x=2旋转一周所得旋转体的体积 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由抛物线 y=ax 2 +bx+c过点(0，0)和(1，2)知 c=0，a+b=2 又 a0，则 b2 令 ax 2 +bx=0，得 x
17、 1 =0， 则图形 D的面积为 令 ，得 b=6 且当 2b6 时， ，当 b6 时， ， 则当 b=6时，S 取得最小值，此时，a=-4，抛物线方程为 y=-4x2+6x为求 D绕 x=2旋转所得旋转体体积，先建立体积微元 dV=2(2-x)ydx=2(2-x)(6x-4x 2)dx17.计算线积分 ，其中 L为由点 A(-1，0)经点 B(1，0)到点 C(-1，2)的路径， 为下半圆周， （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 如下图补线段 ，则下图中构成绕坐标原点的闭路取 为 4x 2 +y 2 =1的逆时针方向也构成绕坐标原点的闭路由于 则 从而有 则 18.设 （分数：10
18、.00）_正确答案：()解析：证明 等式 两端分别对 x和 y求偏导得 由此可得 yf“(x)g(y)=xf(x)g“(y) 即 即 由于 x和 y是两个独立变量，则 则 上式两端对 x积分得 19.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0，若 f(x)在0，1上的最大值为M0，n1证明存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 由于 f(x)在0，1上连续，则 f(x)在0，1上有最大值 M和最小值 m，由题设知 M0，由于 f(0)=f(1)=0，则 m0，从而有 由连续函数的介值定理知，至少存在一点 c(0，1)
19、，使 由拉格朗日中值定理知存在 (0，c)，(c，1)，使 则 解析 本题是要证明存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 ，这里不能在同一区间(0，1)上用两次中值定理，因为无法说明 因此，往往需要将区间0，1分为两个区间0，c和c，1(其中 0c1)然后，分别在区间0，c和c，1上用拉格朗日中值定理，这里的关键和难点是 c点的选取一种有效的方法是 c点待定，先在0，c和c，1上分别用拉格朗日中值定理，将 f“()和f“()代入要证的结论 中来确定 c 由拉格朗日中值定理知，存在 (0，c)，(c，1)使 要使 即 ， ， 若能证明至少存在一点 c(0，1)，使 ，分点 c就应选使 20.解方程
20、组 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 对增广矩阵作初等行变换，有 ()如 a=1，同解方程组为 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =1其通解为：(1，0，0，0) T +k 1 (-1，1，0，0) T +k 2 (-1，0，1，0) T +k 3 (-1，0，0，1) T ()当 a1 时 21.设二次型 矩阵 A满足 AB=O，其中 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 二次型矩阵 ()AB=O 知 =0 是矩阵 A的特征值且矩阵 B的列向量(1，0，1) T 是矩阵 A属于特征值 =0 的特征向量故有 于是 由矩阵 A的特征多项式 得矩阵 A的特征值为：6，0，-
21、6 由(6E-A)x=0 得矩阵 A属于特征值 6的特征向量为(1，2，-1) T 由(-6E-A)x=0 得矩阵 A属于特征值-6 的特征向量为(-1，1，1) T 实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，单位化有 ， ， 那么令 则有 ()不合同，因为 ， 22.已知随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 ()常数 A可以通过性质 来求得 所以 A=1 () ，且 f X (x)0 而 f X (x)0 等价于 x0，所以当 x0 时， 即 x0 时， 23.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自区间-1，+1上均匀分布的总体 X的简单随机样本，试求 ()参数 的矩估计 ； ()参数 的最大似然估计 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 ()X 的概率密度为 一个参数 矩估计为 ，其中 所以 ()求最大似然估计 ，先求出似然函数 只要满足 ，L 始终为 也就是最大 所以 即 故最大似然估计 是一个范围中任一点都行，这范围是
