1、考研数学一-298 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.以下说法正确的是( )（分数：4.00）A.若 x=x0是 f(x)的无穷间断点，则它不会是函数 f(x)的极小值点B.若 f(x)在(a，b)内连续，且在 x=a 与 x=b 点有定义，则 f(x)在a，b上必有界C.若D.f()f()0 是方程 f(x)=0 在(a，b)有解的充分非必要条件2.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 XN(2，2 2)，Y=aX+bN(0，1)，则 a，b 的可能取值为( )（分数：4.00）A.a=2，b=-2B.，b=-1C.
2、a=-2，b=-1D.，b=14.已知 0，则对于反常积分 （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知向量组 与向量组 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设随机变量 XF(n，n)，记 =P(X1)，=P(X1)，则( )（分数：4.00）A.=B.C.D.， 的大小与 n 的取值有关，不确定7.对于函数 f(x，y)=x 4+y4-2x2-2y2+4xy 与 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 S(x)是 f(x)以 2 为周期的傅里叶级数展开式，则 S(4)=( )（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_1
3、0.三叶玫瑰线 r=asin 3 在对应 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f 可微，则由方程 f(cx-az，cy-bz)=0 确定的函数 z=z(x，y)满足 azx+bzy=_（分数：4.00）填空项 1:_12.设函数 f(u)可微，f(0)=0，且 t0，又 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.当 （分数：4.00）填空项 1:_14.投掷 n 枚骰子，出现点数之和的数学期望为_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.请证明：函数 f(x)在 x0处可导的充要条件是存在一个关于x 的线性函数 L(x)=x(其中 为常数)，使 （
4、分数：10.00）_16.设 f(x)在-a，a上具有三阶连续导数，且满足 ，f(0)=0，证明存在 -a，a，使得（分数：10.00）_17.求解微分方程 （分数：10.00）_18.已知椭球面 x2+y2+z2+xy+yz=a2(a0)，()求椭球面上 z 坐标为最大与最小点；()求椭球面的 xOy 面上投影区域的边界曲线（分数：10.00）_19.计算积分其中是曲线 （分数：10.00）_20.设 1， 2， n是线性无关的 n 维列向量组，且 n+1=x1 1+x2 2+xn n，其中数x1，x 2，x n全不为零，请证明：向量组 1， 2， n， n+1中任意 n 个向量都线性无关（
5、分数：11.00）_21.设 A=(aij)nn，若任意 n 维非零列向量都是 A 的特征向量，请证明：A 为数量矩阵，即存在常数 k，使A=kE（分数：11.00）_22.设 ，Y 服从0，3上的均匀分布，且 X 与 Y 独立，求行列式 （分数：11.00）_23.设总体 XN( 1， 2)，YN( 2， 2)从总体 X，Y 中独立地抽取两个容量为 m，n 的样本X1，X m和 Y1，Y n记样本均值分别为 ， 若 （分数：11.00）_考研数学一-298 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.以下说法正确的是( )（分数：4.00
6、）A.若 x=x0是 f(x)的无穷间断点，则它不会是函数 f(x)的极小值点B.若 f(x)在(a，b)内连续，且在 x=a 与 x=b 点有定义，则 f(x)在a，b上必有界C.若 D.f()f()0 是方程 f(x)=0 在(a，b)有解的充分非必要条件解析：本题考查一元函数微分学的若干基本概念，属于基本题对于(A)、(B)、(D)，可通过举反例的方法排除，对于正确选项(C)，可以证明对于(A)选项，可举出反例：*是函数 f(x)的无穷间断点，但 x=0 是函数 f(x)的极小值点；对于(B)选项，可举出反例：*f(x)在*内连续，且在 x=*与*点有定义，但 f(x)在*上无界；对于(
7、D)选项，可举出反例：*显然 f(a)f(b)0 并非方程 f(x)=0 在(a，b)有解的充分条件；对于(C)选项，可证明如下：因为*，则 f(a)0，故*2.已知 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：将可逆矩阵 P 按列向量分块记为 P=( 1 2 3)，则*(A 1 A 2 A 3)=( 1 2 0)*A 1= 1，A 2= 2，A 3=0，则 1， 2为 A 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量， 3为 A 的属于特征值 0 的特征向量由题设知 1， 2是 A 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量， 3是 A 的属于特征值 0 的特征向量，所以 P=( 2 1 3)是合适的，
8、所以排除(B)据特征值的性质：“若 是 A 的属于特征值 的线性无关的特征向量，k0，则 k 也是 A 的属于特征值 的线性无关的特征向量”，可推得 P=(- 1 5 2 3)是合适的，所以排除(A)据特征值的性质：“若 ， 均为 A 的属于 的线性无关的特征向量，k，t 为不全为零的数，则k+t 也是 A 的属于 的特征向量，”可推得 1+ 2也是 A 的属于 1 的特征向量，注意到当 1， 2线性无关时， 1+ 2， 2也相性无关，所以 P=( 1+ 2 2 3)是合适的，据此排除(C)据特征值的性质：“若 ， 是 A 的属于不同特征值的特征向量，则 + 不是 A 的特征向量”知 2+ 3
9、不是 A 的特征向量，故 P 不能为( 1 2 2+ 3)，所以应填(D)3.设 XN(2，2 2)，Y=aX+bN(0，1)，则 a，b 的可能取值为( )（分数：4.00）A.a=2，b=-2B.，b=-1 C.a=-2，b=-1D.，b=1解析：本题考查随机变量的函数的数学期望，属于基础题因*解得*，b=-1 或*，b=1故选择(B)4.已知 0，则对于反常积分 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查反常积分的敛散性的理论判别，是历届考生复习比较薄弱的知识点首先，考生需要掌握的已知结论是：对于无界函数的反常积分*(奇点 x=0)：在 p1 时收敛，在 p1时发散根据上述结论，
10、作如下讨论：当 1 时，取正数 充分小，使得 +1，由于*故，当 x0 +时，*是比*高阶的无穷大，于是*收敛；当 1 时，由于*，故，当 x0 +时，*是比*低阶的无穷大，于是*发散5.已知向量组 与向量组 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：本题考查向量组的秩的相关知识，是考生比较熟悉的知识点，是一道基础题 1和 2线性无关， 3=3 1+2 2，所以向量组 1， 2， 3线性相关，且秩为 2， 1， 2是它的一个极大线性无关组由于向量组 1， 2， 3与 1， 2， 3具有相同的秩，故 1， 2， 3线性相关，从而*由此解得 a=3b又 3可由 1， 2， 3线性表示，从而可由 1
11、， 2线性表示，所以 1， 2， 3线性相关于是*，解之得 2b-10=0于是 a=15，b=56.设随机变量 XF(n，n)，记 =P(X1)，=P(X1)，则( )（分数：4.00）A.= B.C.D.， 的大小与 n 的取值有关，不确定解析：本题考查统计量的概率规律，是一道基础题由 XF(n，n)，故*，从而*，即 =7.对于函数 f(x，y)=x 4+y4-2x2-2y2+4xy 与 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：本题考查二元函数的极值问题，属于基本题对于函数 f(x，y)=x 4+y4-2x2-2y2+4xy 在(0，0)点的邻域，考察两条特殊的路径：取路径 y=x，则
12、f(x，y)=f(x，x)=2x 4，显然(0，0)点是这条路径上的极小值点，取路径 y=-x，则 f(x，y)=f(x，-x)=2x 4-8x2，于是 f=8x3-16x，f“=24x 2-16，将 x=0 代入，f=0，f“0，故(0，0)点是这条路径上的极大值点；由此可得，(0，0)点不是 f(x，y)的极小值点对于函数*，通过恒等变形，得*在(0，0)点的邻域，考察两条特殊的路径：x=0 和 y=2x2，则*可以得出(0，0)点是 x=0 这条路径上的极小值，是 y=2x2这条路径上的极大值，由此可得，(0，0)点也不是 g(x，y)的极小值点8.设 S(x)是 f(x)以 2 为周期
13、的傅里叶级数展开式，则 S(4)=( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查傅里叶级数的相关知识，考生需要掌握其周期延拓和狄利克雷收敛性定理，即可解决此问题由周期性及狄利克雷收敛性定理：*，选(C)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：本题考查函数极限的基本计算，属于基础题令*，原式=*10.三叶玫瑰线 r=asin 3 在对应 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：本题考查在给出极坐标方程条件下的切线方程的求法，属于有一定难度的计算题将所给的极坐标方程化为参数方程：*则*切点为*故切线方程*11
14、.设 f 可微，则由方程 f(cx-az，cy-bz)=0 确定的函数 z=z(x，y)满足 azx+bzy=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：c）解析：本题考查多元微分法，是一道基础计算题方程两边求全微分，得 f1(cdx-adz)+f2(cdy-bdz)=0，即*故*12.设函数 f(u)可微，f(0)=0，且 t0，又 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：f(0)）解析：本题考查三重积分的基本计算、洛必达法则、变限积分求导和导数定义，是一道有一定综合性的计算题用球坐标，有*，则*13.当 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：本题考查矩阵的
15、运算，是一道有一定计算量的题目由于|A|=1，故*又由于 A6=E，有*14.投掷 n 枚骰子，出现点数之和的数学期望为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：本题是考查数字特征性质与计算的基础题假设 Xi表示第 i 颗骰子的点数(i=1，2，n)则*又令*，则*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.请证明：函数 f(x)在 x0处可导的充要条件是存在一个关于x 的线性函数 L(x)=x(其中 为常数)，使 （分数：10.00）_正确答案：(本题考查一元函数的可微定义与导数定义，是一道基于概念的逻辑推理题，题目本身并不难，但是对很多考生而言，这类着眼于定义的证明题比
16、较棘手必要性 若 f(x)在 x0点可导，即 f(x)在 x0点可微，由可微定义得f(x0+x)-f(x 0)=x+o(x)，其中 为常数今 L(x)=x，则*充分性 若存在 L(x)=x，其中 为常数，使得*则*，于是，f(x0+x)-f(x 0)-L(x)=o(x)，即 f(x0+x)-f(x 0)=x+o(x)，所以 f(x)在 x0点可导)解析：16.设 f(x)在-a，a上具有三阶连续导数，且满足 ，f(0)=0，证明存在 -a，a，使得（分数：10.00）_正确答案：(本题考查中值定理考研数学中的证明题，比较典型地就是考查中值定理的证明，历来考试证明，这类例题得分率很低，值得考生在
17、最后阶段的复习中加强总结和训练本题涉及多个定理的使用，是一道有一定难度的综合题本题即证存在*看到这种模式，应该想到对 f“(x)在-a，a上使用介值定理，这样便需要联系积分*、函数 f(x)与其导数 f“(x)，涉及积分的保号性与泰勒公式(事实上是麦克劳林公式)由*，则*由麦克劳林公式，*其中 介于 0 与 x 之间，x-a，a，于是*其中 m，M 为|f“(x)在-a，a上的最小值、最大值，故存在点 -a，a，使得*)解析：17.求解微分方程 （分数：10.00）_正确答案：(本题考查欧拉方程、二阶常系数线性微分方程的求解，是一道具有一定计算量的综合题令*即*齐次方程 y“+2y+5y=0*
18、 2+2+5=0* 1,2=-12i*y 齐通 (t)=e-t(C1cos 2t+C2sin 2t)令 y*(t)=(at+b)et，代入(*)*a=2，b=-1，故y 通 (t)=e-t(C1cos 2t+C2sin 2t)+(2t-1)et*y(x)=x-1C1cos(2ln x)+C2sin(2ln x)+x(2ln x-1)解析：18.已知椭球面 x2+y2+z2+xy+yz=a2(a0)，()求椭球面上 z 坐标为最大与最小点；()求椭球面的 xOy 面上投影区域的边界曲线（分数：10.00）_正确答案：(本题考查多元微分学的最值问题与向量代数、空间解析几何的基础知识是很多考生复习比
19、较薄弱的环节，希望通过此题的测试，让考生认识到自己复习的短板，查漏补缺()由于椭球面是一封闭曲面，因此椭球面上 z 坐标最大与最小点一定存在，且此二点处 z 值就是椭球面方程所确定隐函数 z=z(x，y)的最大值与最小值在椭球面方程两边分别对 x 及 y 求偏导：*令*，得到*解得 y=-2x，z=3x，代入椭球面的方程得到*，故得两点*根据实际问题，必存在最值，因此点 P1与 P2即为所求()设 S 是椭球面对于 xOy 面的投影柱面，S 与椭球面切于曲线 C，则在 C 上，两曲面的法向量相同都为n=(2x+y，2y+x+z，2z+y)k 为子轴正向的单位向量，由 nk，nk=0，即 2z+
20、y=0，因此曲线 C 满足*消去 z，即 S 的方程*，故投影区域的边界曲线为*)解析：19.计算积分其中是曲线 （分数：10.00）_正确答案：(本题考查第一型、第二型曲面积分的关系与用高斯公式计算第二型曲面积分属于常规考题根据第一型、第二型曲面积分的关系，得*补有向曲面 1：*取指向 y 轴的负向，记与 1所围区域为 ，由高斯公式，*)解析：20.设 1， 2， n是线性无关的 n 维列向量组，且 n+1=x1 1+x2 2+xn n，其中数x1，x 2，x n全不为零，请证明：向量组 1， 2， n， n+1中任意 n 个向量都线性无关（分数：11.00）_正确答案：(本题是向量组的逻辑
21、证明问题，涉及向量组的线性相关性，是历年考试的重点取 1， 2， n， n+1中任意 n 个向量 1， 2， i-1， i+1， n， n+1使用定义，设有 n 个数 k1，k 2，k i-1，k i+1，k n，k n+1，使得k1 1+k2 2+ki-1 i-1+ki+1 i+1+kn n+kn+1 n+1=0，将 n+1=x1 1+x2 2+xn n代入上式，得k1 1+k2 2+ki-1 i-1+ki+1 i+1+kn n+kn+1(x1 1+x2 2+xn n)=0，即(k 1+x1kn+1) 1+(k2+x2kn+1) 2+(ki-1+xi-1kn+1) i-1+xikn+1 i+
22、(ki+1+xi+1kn+1) i+1+(kn+xnkn+1) n=0由于 1， 2， n线性无关，则所有系数全为 0，即*由 xikn+1=0 及 xi0，知 kn+1=0，进而可得 k1=k2=ki-1=ki+1=kn=0，因此，向量组 1， 2， i-1， i+1， n， n+1线性无关，即 1， 2， n， n+1中任意 n 个向量都线性无关)解析：21.设 A=(aij)nn，若任意 n 维非零列向量都是 A 的特征向量，请证明：A 为数量矩阵，即存在常数 k，使A=kE（分数：11.00）_正确答案：(本题是考查特征值与特征向量的综合题，对概念和逻辑的要求较高，是一道比较新颖的综合
23、题由题设，任意 n 维非零列向量都是 A 的特征向量，故 n 维单位向量*都是 A 的特征向量，因此存在常数 i为对应的特征值，使得Aei= iei(j=1，2，n)，即*于是得 aij=0(ij；i,j=1，2，n)，a ij= j(j=1，2，n)，即 A 为对角矩阵*又由于 ij 时，*也是 A 的特征向量，故存在常数 k 为对应的特征值，使得 A(ei+ej)=k(ei+ej)，即 Aei+Aej=kei+kej，于是由Aej= jej(j=1，2，n)， iei+ jej=kei+kej*( i-k)ei+( j-k)ej=0，而 ei，e j线性无关，得 i=k(i=1，2，n)，故*，即 A 为数量矩阵)解析：22.设 ，Y 服从0，3上的均匀分布，且 X 与 Y 独立，求行列式 （分数：11.00）_正确答案：(本题考查随机变量函数的概率规律，是一道提法比较新颖，涉及线性代数知识的综合题*)解析：23.设总体 XN( 1， 2)，YN( 2， 2)从总体 X，Y 中独立地抽取两个容量为 m，n 的样本X1，X m和 Y1，Y n记样本均值分别为 ， 若 （分数：11.00）_正确答案：(本题是概率论与数理统计的综合题，具有一定的计算量，但不是难题，考生只要概念清楚，认真计算，就能解决好()*故*，则*()因*故*同理，*故*)解析：
