1、考研数学一-297 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 ，则 div(grad u)=( )（分数：4.00）A.B.C.D.2.若 1， 2， 3， 1， 2都是四维列向量，且四阶行列式| 1， 2， 3， 1|=m，| 1， 2， 2， 3|=n其中 m0，n0，mn，则四阶行列式| 3， 2， 1，( 1+ 2)|等于( )（分数：4.00）A.m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-n3.给出以下三个二次型： （分数：4.00）A.B.C.D.4.设曲线由 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设随机变量 X 和 Y
2、独立同分布，记 U=X-Y，V=X+Y，则 U 和 V( )（分数：4.00）A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零6.设 X 为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数 C 和 0，必有( )（分数：4.00）A.P(|X-C|)DX/ 2B.P(|X-C|)=E|X-C|/C.P(|X-C|)E|X-C|/D.P(|X-C|)E|X-C|/7.下列关于反常积分 的四个命题：设 f(x)是(-，+)上连续的奇函数，则 必收敛，且设 f(x)是(-，+)上连续，且 存在，则 必收敛，且若 与 都发散，则 未必发散若 与 都发散，则 （分数：4.00）A.B.C.D.8.若 及 （分
3、数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.落在平静水面的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是 6 米/秒，问在 2 秒末扰动水面面积的增大率为_米 2/秒（分数：4.00）填空项 1:_11.设 A0，AC-B 20，则在条件 x2+y2=1 下，函数 z=Ax2+2Bxy+Cy2的最大值与最小值之和为_（分数：4.00）填空项 1:_12.设是 z=x2+y2在 1z4 部分的上侧，则 I= （分数：4.00）填空项 1:_13.若 a1=(1，3，4，-2) T，a 2=(2，1，3，t) T，a 3=(
4、3，-1，2，0) T线性相关，则 t=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设 X 服从参数 的泊松分布，且 P(X=2)=P(X=4)，则 =_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在 x=a 的某邻域内可导，且 f(a)0，求极限（分数：10.00）_16.设 f(x)在(-a，a)内连续，在 x=0 处可导，且 ，f(0)0()求证：对任意 0xa，存在 01，使()求极限 （分数：10.00）_17.设 （分数：10.00）_18.证明等式成立 ，0x，并求 （分数：10.00）_19.计算 （分数：10.00）_20.已知 3
5、 维列向量组 S1： 1， 2线性无关；S 2： 1， 2线性无关()证明存在非零向量 既可以由 1， 2线性表示，也可由 1， 2线性表示；()设 1=(-1，2，3) T， 2=(1，-2，-4) T， 1=(-2，A，7) T， 2=(-1，2，5) T，求()中的 （分数：11.00）_21.设 n 阶实对称阵 A，B 的特征值全大于 0，A 的特征向量都是 B 的特征向量，证明 AB 正定（分数：11.00）_22.设 G=(x，y)|x 2+y2r 2是以原点为圆心，半径为 r 的圆域，随机变量 X 和 Y 的联合分布是在圆 G 上的均匀分布，证明量 X 和 Y 不独立，也不相关（
6、分数：11.00）_23.设某种零件的使用寿命服从参数为 A 的指数分布，现在可以用两种方法生产这种零件第一种方法生产的零件平均使用寿命为 250 小时，每个零件生产费用为 a 元；第二种方法生产的零件平均使用寿命为300 小时，每个零件生产费用为 2a 元如果一个零件使用寿命不超过 200 小时，生产者要损失 b 元请问在 a，b 满足何种条件时，采用第一种方法生产的每个零件平均费用较少(e -0.8=0.4493， （分数：11.00）_考研数学一-297 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 ，则 div(grad u)=(
7、 )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：本题考查场论的一些基础知识，包括梯度、散度的计算，是一道基本题，但是由于众多考生准备不充分，在考研中经常在这里丢分，提醒广大考生重视在最后阶段对于“边边角角”的知识的复习*故*2.若 1， 2， 3， 1， 2都是四维列向量，且四阶行列式| 1， 2， 3， 1|=m，| 1， 2， 2， 3|=n其中 m0，n0，mn，则四阶行列式| 3， 2， 1，( 1+ 2)|等于( )（分数：4.00）A.m+nB.-(m+n)C.n-m D.m-n解析：本题考查线性代数的基本工具：行列式与矩阵的基本运算，是一道基础题由于| 3， 2， 1，( 1+ 2
8、)|=| 3， 2， 1， 1|+| 3， 2， 1， 2|，且| 3， 2， 1，( 1+ 2)|=-| 3， 2， 1， 1|-| 3， 2， 1， 2|=-m+| 1， 2， 2， 3|=n-m因而选择(C)3.给出以下三个二次型： （分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查二次型的正定的判别，是一道基础题，不过计算量不小二次型 f1的矩阵为*，A 的各阶顺序全子式*所以二次型 f1是负定二次型二次型 f2的矩阵为*，A 的各阶顺序主子式*所以二次型 f2是正定二次型二次型 f3的矩阵为*，A 的各阶顺序主子式*所以二次型 f3是不定二次型4.设曲线由 （分数：4.00）A.B.
9、C. D.解析：本题考查参数方程的求导，以及拐点的求法属于概念与计算结合的综合题*由 t(0，)，sint0，令*，cos2t=0，所以*，且*经过时改变符号，故有两个拐点(1，0)答案选择(C)5.设随机变量 X 和 Y 独立同分布，记 U=X-Y，V=X+Y，则 U 和 V( )（分数：4.00）A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零 解析：本题是考查数字特征的计算与性质的基础题因 x 和 y 同分布，所以 E(U)=E(X)-E(Y)=0，E(U)E(V)=0E(UV)=E(X2)-E(Y2)=0故 cov(X，Y)=E(UV)-E(U)E(V)=0选择(D)6.设 X 为
10、连续型随机变量，方差存在，则对任意常数 C 和 0，必有( )（分数：4.00）A.P(|X-C|)DX/ 2B.P(|X-C|)=E|X-C|/C.P(|X-C|)E|X-C|/D.P(|X-C|)E|X-C|/ 解析：本题考查连续型随机变量的概率计算是一道中等难度的基础题*故答案选择(C)7.下列关于反常积分 的四个命题：设 f(x)是(-，+)上连续的奇函数，则 必收敛，且设 f(x)是(-，+)上连续，且 存在，则 必收敛，且若 与 都发散，则 未必发散若 与 都发散，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：众所周知的是，讨论一个反常积分时，要求其区间上的奇点(瑕点和无穷大)个数
11、有且仅有一个，这是一个基本问题，于是，对于反常积分*，其收敛的充分必要条件是存在常数 a，使两个反常积分*和*都收敛，定义*设 f(x)=x，则 f(x)是(-，+)上连续的奇函数，且*但是*=*，*，故*发散，这表明命题，都不正确设 f(x)=xg(x)=-x，由上面讨论可知*与*都发散，但*+g(x)dx 收敛，这表明命题是正确的故答案选择(A)8.若 及 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查多元微分学的基本应用，是一道基本计算题由于*，故 z=x4+2x2y2+f(y)=(x2+y2)2+g(y)，其中，记 g(y)=f(y)-y4；又由于*得 g(y)=C，答案选择(B)
12、二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：本题考查极限的基本计算，涉及变限积分的换元法和求导等知识点，是一道具有一定综合性的基础题*10.落在平静水面的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是 6 米/秒，问在 2 秒末扰动水面面积的增大率为_米 2/秒（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：144）解析：本题考查导数的基本应用，是一道基础题设在 t 时刻最外圈波的半径为 r(t)，扰动水面面积为 s(t)，则 s(t)=r 2(t)，故 s(t)=2r(t)r(t)，由题知 r(t)=6，r(t)=6t，所以 s(2
13、)=2r(2)6=144(米 2/秒)11.设 A0，AC-B 20，则在条件 x2+y2=1 下，函数 z=Ax2+2Bxy+Cy2的最大值与最小值之和为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：A+C）解析：本题考查多元函数的条件最值问题，是一道计算量较大的综合题如果考生基础雄厚，还可以用线性代数中二次型的相关理论解决本题，见题后点评设辅助函数 F(x，y，)=Ax 2+2Bxy+Cy2+(x 2+y2-1)，则*今*则*对于该方程组，(1)x+(2)y 得到 Ax2+2Bxy+Cy2+=0，即 z+=0，只要求出 ，即可得到 z 的最值又(1)、(2)式可化为*是关于 x，y 的线
14、性齐次方程组，由于 x2+y2=1，该齐次方程组有非零解，则*， 2+(A+C)+AC-B 2=0，两根之和 1+ 2=-(A+C)，即最大值与最小值之和为 A+C点评 事实上，本题还有一个巧妙的解法，关键看考生能否想到线性代数中的一个重要结论：n 元实二次型 f=xTAx 在|x|=1 时的最大值等于矩阵 A 的最大特征值，最小值等于矩阵 A 的最小特征值下面做详细分析第一步，设 f(x1，x 2，x n)=xTAx 是 n 元实二次型， 1， 2， n是 A 的特征值，且 1 2 n，我们可以证明：对于任一实 n 维列向量 x，有 1xTxx TAx nxTx事实上，对于实二次型 f=xT
15、Ax，一定存在正交变换 x=Qy使得*由于 1， n分别是 A 的最小和最大特征值，故有*即 1yTyx TAx nyTy又因为 Q 为正交矩阵，于是有xTx=(Qy)T(Qy)=yTQTQy=yTy故 1xTxx TAx nxTx，进一步变形可以得到*，而*，其中*是单位向量通过以上分析，显然可以得到结论：n 元实二次型 f=xTAx 在|x|=1 时的最大值等于矩阵 A 的最大特征值，最小值等于矩阵 A 的最小特征值对于本题，Ax 2+2Bxy+Cy2是二次型，在 x2+y2=1 的条件下，它的两个特征值就是该二次型的最大值与最小值，而其特征方程为*，即 2+(A+C)+AC-B 2=0，
16、于是 1+ 2=-(A+C)，即最大值与最小值之和为A+C12.设是 z=x2+y2在 1z4 部分的上侧，则 I= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：本题考杏第二型曲面积分的计算，是一道有一定计算量的基础题本题可以考虑用高斯公式来计算，需要补上两个有向平面(解法相对麻烦，见后面的点评)；本题还可以使用转换坐标变量的方法，即将原本投影在一个坐标平面上的曲面积分，投影到另外一个坐标平面上去，这里需要建立转换的关系由曲面方程 z=x2+y2得 zx=2x，z y=2y，故*点评 用高斯公式来计算补有向平面*方向与 z 轴正向一致， 2：*方向与 z 轴负向一致， 1， 2与
17、+构成闭曲面，围成的空间区域为 ，高斯公式中规定的正侧是外侧，而本题拟定为内侧，方向相反，故三重积分前加负号*13.若 a1=(1，3，4，-2) T，a 2=(2，1，3，t) T，a 3=(3，-1，2，0) T线性相关，则 t=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：本题考查向量组的线性相关的判别，是一道基础题*故 6-2(t+4)=0，即 t=-114.设 X 服从参数 的泊松分布，且 P(X=2)=P(X=4)，则 =_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：本题考查泊松分布，需要考生记住泊松分布的公式并清楚知道参数 的含义泊松分布是考研常考点*，
18、则 2=43，*舍去负值三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在 x=a 的某邻域内可导，且 f(a)0，求极限（分数：10.00）_正确答案：(本题考查极限计算和导数定义，是一道概念和计算结合的综合题*又*所以，*)解析：16.设 f(x)在(-a，a)内连续，在 x=0 处可导，且 ，f(0)0()求证：对任意 0xa，存在 01，使()求极限 （分数：10.00）_正确答案：(本题考查拉格朗日中值定理的变体形式，并涉及一元微积分的多个知识点，是一道具有一定难度的综合题()令*，则 F(0)=0，F(x)在0，x上可导，对 F(x)在0，x上使用拉格朗日中值定理，得*
19、()将上式两边同除以 2x2，得*又 f(0)存在，且 f(0)0，所以*故*)解析：17.设 （分数：10.00）_正确答案：(本题以积分定义的函数为研究对象，用导数工具研究函数性态，进而讨论零点个数的问题，是一道综合了微分学和积分学知识的有较大计算量的题目历来考研试卷上，对于这类问题回答得都不好，是一种区分度较高的题目，请考生多加训练和总结记*，则*故 (x)为偶函数，所以 F(x)为偶函数，于是我们只需讨论 0x+上的性态即可当 0x1 时，*当 1x+时，*且*F(x)在 x=1 处连续，所以在 0x+上 F(x)严格单调增加又*所以 F(x)在(0，+)内有且仅有 1 个零点，在(-
20、，+)内有且仅有 2 个零点)解析：18.证明等式成立 ，0x，并求 （分数：10.00）_正确答案：(本题考查傅里叶级数的相关知识和数项级数求和，是一道计算量大的难题*其中，n1当 n=奇数=2m-1 时，无论 m=1 还是 m=2，3，均有 a2m-1=0，m=1，2，当 n=偶数=2m 时，*于是*由狄利克雷收敛性定理，得*令*，则*)解析：19.计算 （分数：10.00）_正确答案：(本题考查二重积分的精确定义法和计算，需要考生对于二重积分的基本概念和取整的方法掌握得比较扎实，是一道有新意的综合题由二重积分的定义，且*，故*用*，x+y=1，*，x+y=2 将 D 划分为 D1，D 2
21、，D 3，D 4在 D1内，2(x+y)=0，在 D2内，2(x+y)=1，在 D3内，2(x+y)=2，在 D4内，2(x+y)=3则*，故 I=3)解析：20.已知 3 维列向量组 S1： 1， 2线性无关；S 2： 1， 2线性无关()证明存在非零向量 既可以由 1， 2线性表示，也可由 1， 2线性表示；()设 1=(-1，2，3) T， 2=(1，-2，-4) T， 1=(-2，A，7) T， 2=(-1，2，5) T，求()中的 （分数：11.00）_正确答案：(本题是考查向量组与方程组的综合题，计算量大，逻辑性强，是一道难度较高的题目，具有很好的区分度()因 4 个三维向量必线性
22、相关，使用定义，即存在不全为零的数 k1，k 2，k 3，k 4，使k1 1+k2 2+k3 1+k4 2=0，k1，k 2不能均为零，否则会有 k3 1+k4 2=0，由 1， 2线性无关，则 k3=k4=0，这与题设k1，k 2，k 3，k 4不全为零矛盾，从而，*由 k1，k 2不全为零， 1， 2线性无关，有0k 1 1+k2 2=-k3 1-k4 2，得证()事实上问题转化为求解方程组构造 k1 1+k2 2+k3 1+k4 2=0，即*其中，*当 a4 时，根据(*)，r( 1 2 1 2)=3 知，方程组有无穷多解，基础解系由 4-3=1 个非零解向量组成，故的通解为(k 1，k
23、 2，k 3，k 4)T=t(1，2，0，1) T，则所求=-k 3 1-k4 2=0 1-t 2=t(1，-2，-5) T，其中 t 为任意非零常数当 a=4 时，根据(*)，r( 1 2 1 2)=2 知，方程组有无穷多解，基础解系由 4-2=2 个线性无关的解向量组成，故的通解为(k 1，k 2，k 3，k 4)T=(-t1+t2，t 1+2t2，t 1，t 2)T，则所求=-k 3 1-k4 2=t1(2，-4，-7) T+t2(1，-2，-5) T，其中 t1，t 2不同时为零)解析：21.设 n 阶实对称阵 A，B 的特征值全大于 0，A 的特征向量都是 B 的特征向量，证明 AB
24、 正定（分数：11.00）_正确答案：(本题考查抽象型矩阵的特征值与特征向量、正定等知识，是一道具有一定难度的逻辑推理题设 A，B 的特征值分别为 i， i(i=1，n)，由已知条件， i0， i0，i=1，n由于 A 为实对称矩阵，故一定存在正交矩阵 P=(P1，P i，P n)，使得PTAP=diag( 1， i， n)，即 A Pi= iPi，P i为 A 的特征向量，i=1，n又由题设，P i也是 B 的特征向量，故BPi= iPi，i=1，n，因此 AB Pi=A iPi=( i i)Pi，即 i i是 AB 的特征值，且 i i0，i=1，n又 ABP=Pdiag( 1 1， i
25、i， n n)，P T=P-1故 AB=Pdiag( 1 1， i i， n n)PT，则 AB 为实对称阵，因此 AB 为正定矩阵)解析：22.设 G=(x，y)|x 2+y2r 2是以原点为圆心，半径为 r 的圆域，随机变量 X 和 Y 的联合分布是在圆 G 上的均匀分布，证明量 X 和 Y 不独立，也不相关（分数：11.00）_正确答案：(本题考查二维随机变量的独立性和相关性，是一道基础题(a)X 和 Y 的联合密度为*且 X 的密度 f1(x)和 Y 的密度 f2(y)分别为*由于 f(x，y)f 1(x)f2(y)，故 X 和 Y 不独立(b)由于*同理，EY=0因此，*于是，X 和
26、 Y 的相关系数 =0故 X 和 Y 也不相关)解析：23.设某种零件的使用寿命服从参数为 A 的指数分布，现在可以用两种方法生产这种零件第一种方法生产的零件平均使用寿命为 250 小时，每个零件生产费用为 a 元；第二种方法生产的零件平均使用寿命为300 小时，每个零件生产费用为 2a 元如果一个零件使用寿命不超过 200 小时，生产者要损失 b 元请问在 a，b 满足何种条件时，采用第一种方法生产的每个零件平均费用较少(e -0.8=0.4493， （分数：11.00）_正确答案：(本题是一维随机变量的应用题，具有一定的难度，关键是考生能否翻译出题目的目标，并利用所学知识解决问题，在最后复
27、习阶段，请考生要重视将文字叙述翻译成数学表达式的能力设零件使用寿命为 X，则 X 的密度函数*用 X1，X 2分别表示两种不同方法生产的零件的使用寿命，则*，其中 EX1=250，EX 2=300，即*假设两种不同方法生产的零件费用分别为 Y1，Y 2，则*如果 X 服从参数为 的指数分布，则*P(X200)=1-e -200 所以当*时，EY1=aP(X1200)+(a+b)P(X 1200)=ae-0.8+(a+b)(1-e-0.8)=a+b-be-0.8当*时，EY2=2aP(X2200)+(2a+b)P(X 2200)*当 a0.06b 时，采用第一种方法生产的每个零件平均费用较少)解析：
