1、考研数学一-296 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、解答题(总题数:34,分数:100.00)1. (分数:3.00)_2.设 (分数:3.00)_3.设 f(x)连续,且 (分数:3.00)_4.设 f(x)二阶连续可导,f“(0)=4, (分数:3.00)_5. (分数:3.00)_6. (分数:3.00)_7. (分数:3.00)_8. (分数:3.00)_9. (分数:3.00)_10. (分数:3.00)_11. (分数:3.00)_12. (分数:3.00)_13. (分数:3.00)_14. (分数:3.00)_15. (分数:3.00)_16.确定正数
2、 a,b,使得 (分数:3.00)_17.设曲线 y=x n 在点(1,1)处的切线交 x轴于点( n ,0),求 (分数:3.00)_18.确定常数 a,b,c 的值,使得当 x0 时,e x (1+bx+cx 2 )=1+ax+o(x 3 ) (分数:3.00)_19.确定常数 a,c,使得 (分数:3.00)_20.设 (分数:3.00)_21.设 (分数:3.00)_22.设 (分数:3.00)_23.设 (分数:3.00)_24.求常数 m,n,使得 (分数:3.00)_25.设 ,证明:a n 收敛,并求 (分数:3.00)_26.设 a 1 =1, ,证明:数列a n 收敛,并求
3、 (分数:3.00)_27.设 x 1 =2, ,求 (分数:3.00)_28.设 a 1 =1,a 2 =2,3a n+2 -4a n+1 +a n =0,n=1,2,求 (分数:3.00)_29. (分数:3.00)_30.讨论函数 (分数:3.00)_31.讨论函数 (分数:3.00)_32.设 (分数:3.00)_33.设 (分数:2.00)_34.求 (分数:2.00)_考研数学一-296 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、解答题(总题数:34,分数:100.00)1. (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 因为 x0 + 时, 所以 2.设 (分数:3.
4、00)_正确答案:()解析:解 因为 x0 时, 所以当 x0 时, 3.设 f(x)连续,且 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 由 得 f(0)=0, 4.设 f(x)二阶连续可导,f“(0)=4, (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 因为 ,所以 f(0)=0,f“(0)=0,又 f(x)二阶连续可导且 f“(0)=4,所以 f(x)=2x 2 +o(x 2 ),所以 5. (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 由 得 6. (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 而 所以 7. (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 而 8. (分数:3.00)_正确答案
5、:()解析:解 9. (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 因为 所以 10. (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 而 11. (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 因为 ,所以 12. (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 而 所以 13. (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 x0 时,由 得 而 因为 所以 故 14. (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 由 得 x0 时, , 则 15. (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 令 f(x)=arctanx,由微分中值定理得 ,其中 , 则 16.确定正数 a,b,使得 (分数:3.00)_正
6、确答案:()解析:解 显然 b=1,且 17.设曲线 y=x n 在点(1,1)处的切线交 x轴于点( n ,0),求 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 y=x n 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=n(x-1), 令 y=0得 ,于是 18.确定常数 a,b,c 的值,使得当 x0 时,e x (1+bx+cx 2 )=1+ax+o(x 3 ) (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 由 , 得 所以 b+1=a, 19.确定常数 a,c,使得 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 由洛必达法则, 故 a=1, 20.设 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 由
7、 得 21.设 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 由马克劳林公式得 于是 而 ,所以 22.设 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 由 得 于是 23.设 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 因为 f(x)是连续函数,所以 f(-1-0)=-1=f(-1)= (a-b-1)=f(-1+0)=a-b, f(1-0)=a+b=f(1)= 24.求常数 m,n,使得 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 由 得 m+n+1=0 再由 25.设 ,证明:a n 收敛,并求 (分数:3.00)_正确答案:()解析:证明 显然a n 单调增加,现证明:a n 3, 当 n=
8、1时, , 设 n=k时,a k 3, 当 n=k+1时, , 由归纳法原理,对一切的自然数 n,有 a n 3,所以 存在 令 ,由 ,得 ,解得 A=3,即 26.设 a 1 =1, ,证明:数列a n 收敛,并求 (分数:3.00)_正确答案:()解析:证明 先证明a n 单调减少 a 2 =0,a 2 a 1 ; 设 a k+1 a k , ,由 a k+1 a k 得 1-a k+1 1-a k , 从而 ,即 a k+2 a k+1 ,由归纳法得数列a n 单调减少 现证明 ,由归纳法,对一切 n,有 由极限存在准则,数列a n 收敛,设 ,对 两边求极限得 ,解得 27.设 x
9、1 =2, ,求 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 令 ,则 l=1+ ,现证明 因为 且 ,所以由夹逼定理得 28.设 a 1 =1,a 2 =2,3a n+2 -4a n+1 +a n =0,n=1,2,求 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 由 3a n+2 -4a n+1 +a n =0,得 3(a n+2 -a n+1 )=a n+1 -a n (n=1,2,) 令 b n =a n+1 -a n ,则 b n+1 /b n =1/3(n=1,2,), 由 b 1 =1,得 ,即 解得 ,所以 29. (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 当 0x1 时, ,
10、 积分得 , 由夹逼定理得 30.讨论函数 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 当 x0 时,函数 f(x)连续, 31.讨论函数 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 当 x(0,e)时, , 当 x=e时,f(e)=1, 当 xe 时, , 故 32.设 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解 因为 f(x)为初等函数,所以 f(x)的间断点为 x=0和 x=1 因为 x0 时, ,所以 ,即 x=0为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点; 因为 33.设 (分数:2.00)_正确答案:()解析:解 显然 x=0、x=1 为 f(x)的间断点 因为 f(0-0)f(0+0),所以 x=0为 f(x)的跳跃间断点 34.求 (分数:2.00)_正确答案:()解析:解 x=-1、x=0、x=1、x=2 为 f(x)的间断点, 由 得 x=-1为第二类间断点, 由 得 x=0为可去间断点, 由 得 x=1为第二类间断点, 由