1、考研数学一-292 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：31，分数：100.00)1.设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X 2 在(0，4)内的概率分布密度 f Y (y)= 1 （分数：3.00）2.从 1，2，N(N3)这 N 个数中任取三个数，记这三个数中中间大小的数为 X，则随机变量 X 的分布律 PX=k)= 1 （分数：3.00）3.设随机变量 X 的概率分布 ，k=1，2，其中 a 为常数，X 的分布函数为 F(x)，已知 （分数：3.00）4.设 X 是服从参数为 2 的指数分布的随机变量，则随机变量 （分数：3.
2、00）5.设随机变量 XN(， 2 )(0)，其分布函数为 F(x)，则有 F(+x)+F(-x)= 1 （分数：3.00）6.设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，随机变量函数 y=1-e -X 的分布函数为 F Y (y)，则 （分数：3.00）7.已知随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(， 2 )，如果 Pmax(X，Y)=a(0a1)，则Pmin(X，Y)等于 1 （分数：3.00）8.设 ， ，X 与 Y 相互独立，已知 （分数：3.00）9.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 相互独立且都服从 0-1 分布：PX i =1)=p，PX i =0)=1-p
3、(i=1，2，3，4，0p1)，已知二阶行列式 的值大于零的概率等于 （分数：3.00）10.已知随机变量 X 服从参数为 的指数分布， 则 PX+Y=0= 1； （分数：3.00）11.已知(X，Y)的联合密度函数 则 PX+Y1= 1；PX-Y-1= 2； （分数：3.00）12.如果用 X，Y 分别表示将一个硬币接连掷 8 次正反面出现的次数，则 t 的一元二次方程 t 2 +Xt+Y=0 有重根的概率是 1 （分数：3.00）13.已知 ， （分数：3.00）14.已知随机变量 X 的概率分布为 ，(k=1，2，3)，当 X=k 时随机变量 Y 在(0，k)上服从均匀分布，即 （分数：
4、3.00）15.设随机变量 X 1 和 X 2 相互独立，它们的分布函数分别 F 1 (x)和 F 2 (x)，已知 （分数：3.00）16.已知 X，Y 的联合分布函数 F(x，y)，则 ， （分数：3.00）17.假设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，Y=|X|，则(X，Y)的联合分布函数 F(x，y)= 1 （分数：3.00）18.已知(X，Y)的概率分布为 （分数：3.50）19.设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布 N(， 2 )，则 Pmax(X，Y)-Pmin(X，Y)= 1 （分数：3.50）20.设相互独立两个随机变量 X 和 Y 均服从标准正态分布，则随机变量 X-Y
5、 的概率密度函数的最大值等于 1 （分数：3.50）21.设 ，其分布函数为 F(x，y)，已知 （分数：3.50）22.设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 (2x+1)(2y-1)，其中 (x)为标准正态分布函数，则(X，Y)服从正态分布 N( 1) （分数：3.50）23.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布，其分布函数为 (x)，Y 的概率分布为 PY=-1)=PY=1)= （分数：3.50）24.设随机变量 X 的密度函数 (0ab)，且 EX 2 =2，则 （分数：3.50）25.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且分别服从参数为 1 ， 2 的泊松分
6、布，已知 PX 1 +X 2 0=1-e -1 ，则 E(X 1 +X 2 ) 2 = 1 （分数：3.50）26.将 10 双不同的鞋随意分成 10 堆，每堆 2 只，以 X 表示 10 堆中恰好配成一双鞋的堆数，则 EX= 1 （分数：3.50）27.假设随机变量 X 在-1，1上服从均匀分布，a 是区间-1，1上的一个定点，Y 为点 X 到 a 的距离，当a= 1 时，随机变量 X 与 Y 不相关 （分数：3.50）28.已知编号为 1，2，3，4 的 4 个袋中各有 3 个白球，2 个黑球现从 1，2，3 袋中各取一球放人第 4 号袋中，则 4 号袋中白球数 X 的期望 EX= 1；方
7、差 DX= 2 （分数：3.50）29.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立且都服从正态分布 N(0， 2 )，如果随机变量 Y=X 1 X 2 X 3 的方差 （分数：3.50）30.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作 4 次独立重复观察，观察值 X+Y 不超过 1 的出现次数为 Z，则 E(Z 2 )= 1 （分数：3.50）31.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且有相同的方差 2 (0)，记 ，则 ；X 1 与 （分数：3.50）考研数学一-292 答案解析(总分：100.00，做题时间
8、：90 分钟)一、填空题(总题数：31，分数：100.00)1.设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X 2 在(0，4)内的概率分布密度 f Y (y)= 1 （分数：3.00）解析： 解析 先求出在(0，4)上 Y 的分布函数 F Y (y)当 0y4 时， F Y =PYy=PX 2 y= 故 2.从 1，2，N(N3)这 N 个数中任取三个数，记这三个数中中间大小的数为 X，则随机变量 X 的分布律 PX=k)= 1 （分数：3.00）解析：，k=2，(N-1)解析 中间数 X=k，则大的一个数只能在 k+1，k+2，N 中取而小的一个数只能在 1，2，k-1 中
9、取，(2kN-1)总共有(N-k)(k-1)种取法3.设随机变量 X 的概率分布 ，k=1，2，其中 a 为常数，X 的分布函数为 F(x)，已知 （分数：3.00）解析：3b4 解析 先确定 a， 解得 a=1 当 ixi+1 时， 现 4.设 X 是服从参数为 2 的指数分布的随机变量，则随机变量 （分数：3.00）解析： 解析 XE(2)，所以其概率密度 现 ，所以 5.设随机变量 XN(， 2 )(0)，其分布函数为 F(x)，则有 F(+x)+F(-x)= 1 （分数：3.00）解析：1 解析 解法一： F(+x)+F(-x) =PX+x)+PX-x =(x)+(-x) =(x)+1
10、-(x)=1 解法二：由正态分布密度对称性，如图所示显示， F(+x)+F(-x)=1 6.设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，随机变量函数 y=1-e -X 的分布函数为 F Y (y)，则 （分数：3.00）解析：解析 7.已知随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(， 2 )，如果 Pmax(X，Y)=a(0a1)，则Pmin(X，Y)等于 1 （分数：3.00）解析：a 解析 Pmax(X，Y)=PXY =PX+PY-PX，Y =Pmin(X，Y)=a 我们也可以这样考虑，由于 Pmax(X，Y)=1-Pmax(X，Y)= 其中 A=X，B=Y)，已知 XN(， 2 )，YN
11、(， 2 )， 所以 Pmin(X，Y)=1-Pmin(X，Y) =P(A)+P(B)-P(AB) =1-P(AB)=a， 本题可以有如下的变式：已知随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(， 2 )，且 PX0，Y2=a，则PX0，Y2)= -|_|- 记 A=X0，B=X2，由题设知 P(AB)=a， 故 PX0，Y2= =1-P(AB) =1-P(A)-P(B)+P(AB)= 8.设 ， ，X 与 Y 相互独立，已知 （分数：3.00）解析：-1 解析 由题设 X 与 Y 独立得 ，即随机变量 X-Y 的密度的对称中心 x=- 现 9.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4
12、 相互独立且都服从 0-1 分布：PX i =1)=p，PX i =0)=1-p(i=1，2，3，4，0p1)，已知二阶行列式 的值大于零的概率等于 （分数：3.00）解析： 解析 记 则 p 应使 P0=PX 1 X 4 -X 2 X 3 0)=PX 1 X 4 X 2 X 3 )= ，由于 X i 仅能取 1 或 0，且相互独立，故事件X 1 X 4 X 2 X 3 )=X 1 X 4 =1，X 2 X 3 =0， 所以 =P(X 1 =1，X 4 =1，X 2 =0，X 3 =0)+PX 1 =1，X 4 =1，X 2 =0，X 3 =1+PX 1 =1，X 4 =1，X 2 =1，X
13、3 =0=P 2 (1-p) 2 +P 3 (1-p)+p 3 (1-p)=p 2 (1-P 2 )=p 2 -p 4 ， 故 10.已知随机变量 X 服从参数为 的指数分布， 则 PX+Y=0= 1； （分数：3.00）解析：e - ； 解析 已知 所求的概率为 PX+Y=0=PY=-X =P|X|1=PX1+PX-1 = 1 e -x dx=e - 应用全概率公式可以求得 11.已知(X，Y)的联合密度函数 则 PX+Y1= 1；PX-Y-1= 2； （分数：3.00）解析： e -1 ； 解析 应用公式 即可求得结果 事实上， 12.如果用 X，Y 分别表示将一个硬币接连掷 8 次正反面
14、出现的次数，则 t 的一元二次方程 t 2 +Xt+Y=0 有重根的概率是 1 （分数：3.00）解析： 解析 “方程 t 2 +Xt+Y=0 有重根”=“X 2 -4Y=0”=“X 2 =4Y”其中 ，Y=8-X，故所求的概率为 PX 2 =4Y=PX 2 =4(8-X)=PX 2 +4Y-32=0 13.已知 ， （分数：3.00）解析： 解析 由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以“ 1 + 2 ，X 3 +Y 1 线性相关”就有“ ”，故所求的概率为 14.已知随机变量 X 的概率分布为 ，(k=1，2，3)，当 X=k 时随机变量 Y 在(0，k)上服从均匀分布，即 （分数：3.0
15、0）解析： 解析 由题设知 根据全概公式得 15.设随机变量 X 1 和 X 2 相互独立，它们的分布函数分别 F 1 (x)和 F 2 (x)，已知 （分数：3.00）解析： 解析 X 1 的分布 F 1 (x)，不难看出 ，即 由全概率公式得 F(x)=PX 1 +X 2 x =PX 1 =0)PX 1 +X 2 x|X 1 =0)+PX 1 =1PX 1 +X 2 x|X 1 =1 16.已知 X，Y 的联合分布函数 F(x，y)，则 ， （分数：3.00）解析： 解析 由分布函数定义得 17.假设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，Y=|X|，则(X，Y)的联合分布函数 F(x，y)
16、= 1 （分数：3.00）解析： 解析 已知 X 的概率密度 所以 PX0=1， F(x，y)=PXx，|X|y =PXx，|X|y，X0)=PXx，Xy，X0 18.已知(X，Y)的概率分布为 （分数：3.50）解析：0.3 解析 由于 0.1+0.2+0.1+0.2=0.6+=1，即 +=0.4，又 0.5=PX 2 +Y 2 =1)=PX 2 =0，Y 2 =1+PX 2 =1，Y 2 =0) =PX=0，Y=1)+PX=0，Y=-1)+PX=1，Y=0) =+0.1+0.1=+0.2 故 =0.3 也就有 =0.1； PX 2 Y 2 =1=PX 2 =1，Y 2 =1)=PX=1，Y
17、=1)+PX=1，Y=-1) =0.2+=0.3 本题所给条件 X 2 ，Y 2 ，所以也可以转换成 已知 19.设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布 N(， 2 )，则 Pmax(X，Y)-Pmin(X，Y)= 1 （分数：3.50）解析：0 解析 1 Pmax(X，Y)-Pmin(X，Y) =1-PmaxX，Y)-1-Pmin(x，y) =-Pmax(X，Y)+Pmin(X，Y) =-PX，Y+PX，Y =-PX+PX，Y+PX，Y 解析 2 记“X”=A，“Y”=B，显然 Pmax(X，Y)-Pmin(X，Y) =1-Pmax(X，Y)-1-Pmin(x，y) =-Pmax(X，Y)+
18、Pmin(X，Y) =-PX，Y+PX，Y 20.设相互独立两个随机变量 X 和 Y 均服从标准正态分布，则随机变量 X-Y 的概率密度函数的最大值等于 1 （分数：3.50）解析： 解析 X-YN(0，2)，其概率密度函数 f(x)的最大值在 x=0 处，最大值为 21.设 ，其分布函数为 F(x，y)，已知 （分数：3.50）解析： 2 解析 ，所以 X，Y 相互独立 F(x，y)=F X (x)F Y (y)， 由正态分布密度函数对称性， ，就有 22.设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 (2x+1)(2y-1)，其中 (x)为标准正态分布函数，则(X，Y)服从正态分布 N( 1) （
19、分数：3.50）解析： 解析 (X，Y)的分布函数为 (2x+1)(2y-1)可知 X，Y 必独立 由正态分布 XN(， 2 )的标准化可知 现 ，所以 同理 总之 23.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布，其分布函数为 (x)，Y 的概率分布为 PY=-1)=PY=1)= （分数：3.50）解析：(x) 解析 将事件“Y=-1”和“Y=1”看成一完备事件组，则由全概率公式 F(x)=PZx)=PXYx)=PY=-1PXYx|Y=-1 +PY=1)PXYx|Y=1 24.设随机变量 X 的密度函数 (0ab)，且 EX 2 =2，则 （分数：3.50）解析： 解析 首先
20、要求出 f(x)中的未知参数 a，b；而后由 求得概率 因为 又 由求得 a=1， 所以 25.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且分别服从参数为 1 ， 2 的泊松分布，已知 PX 1 +X 2 0=1-e -1 ，则 E(X 1 +X 2 ) 2 = 1 （分数：3.50）解析：2 解析 已知 X i P( i )且 X 1 与 X 2 相互独立，所以 EX i =DX i = i (i=1，2)，E(X 1 +X 2 ) 2 =E(X 1 2 +2X 1 X 2 +X 2 2 )=EX 1 2 +2EX 1 EX 2 +EX 2 2 = 1 + 1 2 +2 1 2 + 2 +
21、2 2 = 1 + 2 +( 1 + 2 ) 2 为求得最终结果我们需要由已知条件计算出 1 + 2 因为 PX 1 +X 2 0=1-PX 1 +X 2 0=1-PX 1 +X 2 =0 =1-PX 1 =0，X 2 =0=1-PX 1 =0PX 2 =0 =1-e - 1 e - 2 =1-e -( 1+ 2) =1-e -1 所以 1 + 2 =1 故 E(X 1 +X 2 ) 2 =( 1 + 2 )+( 1 + 2 ) 2 =226.将 10 双不同的鞋随意分成 10 堆，每堆 2 只，以 X 表示 10 堆中恰好配成一双鞋的堆数，则 EX= 1 （分数：3.50）解析： 解析 1
22、记 i=1，2，10 则 将 10 双鞋(20 只鞋)随意排成一行，1、2 为第一堆，3、4 为第二堆，如此下去，19、20 为第 10 堆我们将任意一种排列作为一个基本事件，其总数为 20!事件 A i =“第 i 堆两只鞋恰成一双”等价于“从 10双鞋中任选一双随意放在第 2i-1，2i 位置上(共有 C 1 10 2!种不同放法)”，余下的 18 只鞋随意排放在其他位置上(共有 18!种放法)，由乘法原理知对事件 A i 的基本事件数为 C 1 10 218!，所以 解析 2 记 i=1，2，10 则 将第 i 堆的第一只鞋固定，第二只鞋要与第一只鞋配对，只有在不同于第一只鞋剩下的 19
23、 只中惟一的一只才有可能，故 ，也就有 ， 27.假设随机变量 X 在-1，1上服从均匀分布，a 是区间-1，1上的一个定点，Y 为点 X 到 a 的距离，当a= 1 时，随机变量 X 与 Y 不相关 （分数：3.50）解析：0 解析 已知 EX=0，依题意 Y=|X-a|，a 应使 EXY=EXEY=0，其中 令 ，解得 a=0，( 28.已知编号为 1，2，3，4 的 4 个袋中各有 3 个白球，2 个黑球现从 1，2，3 袋中各取一球放人第 4 号袋中，则 4 号袋中白球数 X 的期望 EX= 1；方差 DX= 2 （分数：3.50）解析： 解析 由于各袋球数相同，每取一球相当一次试验，
24、各次试验“取到白球”的概率 ，用 Y 表示放人第 4 袋中的白球数，则 ，X=3+Y， 29.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立且都服从正态分布 N(0， 2 )，如果随机变量 Y=X 1 X 2 X 3 的方差 （分数：3.50）解析： 解析 显然，我们要通过计算 ，求得 2 由于 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，所以 相互独立，又 EX i =0， 故 DY=D(X 1 X 2 X 3 )=E(X 1 X 2 X 3 ) 2 -(EX 1 X 2 X 3 ) 2 30.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作 4 次独立重复观察，观察值 X+Y 不超过 1 的出现次数为 Z，则 E(Z 2 )= 1 （分数：3.50）解析：5 解析 由题知(X，Y)的密度函数为 记 A=“X+Y1”，则 Z 是 4 次独立重复试验事件 A 发生的次数，故 ，所以 31.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且有相同的方差 2 (0)，记 ，则 ；X 1 与 （分数：3.50）解析： 解析 应用数字特征性质与定义直接计算 由于 X 1 ，X n 相互独立，且 DX i = 2 ，故 又 所以 X 1 与 的相关系数
