1、考研数学一-291 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：31，分数：100.00)1.已知矩阵 （分数：3.00）2.已知 A 是三阶方阵，其特征值分别为 1，2，-3，则行列式|A|中主对角线元素的代数余子式之和 A 11 +A 22 +A 33 = 1 （分数：3.00）3.已知 3 元二次型 （分数：3.00）4.已知三元二次型 （分数：3.00）5.二次型 （分数：3.00）6.已知二次型 的规范型是 （分数：3.00）7.已知二次型 经正交变换 x=Py 可化成标准形 f （分数：3.00）8.若二次型 （分数：3.00）9.设 =(1，0，1)
2、 T ，A= T ，若 B=(kE+A) 2 是正定矩阵，则 k 的取值范围是 1 （分数：3.00）10.设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A 3 =2A 2 +5A-6E，且 kE+A 是正定矩阵，则 k 的取值范围是 1 （分数：3.00）11.设 A 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，矩阵 B=-aE+A T A 是正定矩阵，则 a 的取值范围是 1 （分数：3.00）12.已知矩阵 （分数：3.00）13.已知 和 （分数：3.00）14.设两个相互独立事件 A 与 B 至少有一个发生的概率为 （分数：3.00）15.已知事件 A 与 B 相互独立，P(A)=a，P(B)=b如果事
3、件 C 发生必然导致事件 A 与 B 同时发生，则A，B，C 都不发生的概率为 1 （分数：3.00）16.已知事件 A、B 仅发生一个的概率为 0.3，且 P(A)+P(B)=0.5，则 A，B 至少有一个不发生的概率为 1 （分数：3.00）17.10 个同规格的零件中混入 3 个次品，现进行逐个检查，则查完 5 个零件时正好查出 3 个次品的概率为 1 （分数：3.00）18.设 A，B，C 是两两相互独立且三事件不能同时发生的随机事件，且它们的概率相等。则 P(ABC)的最大值为 1 （分数：3.50）19.已知甲袋有 3 个白球，6 个黑球，乙袋有 5 个白球，4 个黑球先从甲袋中任
4、取一球放入乙袋，然后再从乙袋中任取一球放回甲袋，则甲袋中白球数不变的概率为 1 （分数：3.50）20.考试时有四道单项选择题，每题附有四个答案，现随意选择每题的答案，那么至少答对一道题的概率= 1；已知答对某道题，那么确实知道解答该题的概率 = 2 （分数：3.50）21.将一枚硬币重复掷五次，则正、反面都至少出现二次的概率为 1 （分数：3.50）22.已知每次试验“成功”的概率为 p，现进行 n 次独立试验，则在没有全部“失败”的条件下，“成功”不止一次的概率为 1 （分数：3.50）23.在区间(0，1)中随机地取出两个数，则“两数之积小于 （分数：3.50）24.某种产品由自动生产线
5、进行生产，一旦出现不合格品就立即对其进行调整，经过调整后生产出的产品为不合格品的概率为 0.1那么两次调整之间至少生产 3 件产品的概率为 1 （分数：3.50）25.袋中有 8 个球，其中 3 个白球 5 个黑球，现随意从中取出 4 个球，如果 4 个球中有 2 个白球 2 个黑球，试验停止否则将 4 个球放回袋中，重新抽取 4 个球，直到出现 2 个白球 2 个黑球为止用 X 表不抽取次数，则 PX=k= 1(k=1，2，) （分数：3.50）26.假设 X 服从参数为 的指数分布，对 X 作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2 的概率为 （分数：3.50）27.假设随机变量 X 服
6、从参数为 的指数分布，且 X 落入区间(1，2)内的概率达到最大，则 = 1 （分数：3.50）28.一批元件其寿命(单位：小时)服从参数为 的指数分布系统初始先由一个元件工作，当其损坏时立即更换一个新元件接替工作那么到 48 小时为止，系统仅更换一个元件的概率为 1 （分数：3.50）29.设随机变量 XN(， 2 )，0，设其分布函数 F(x)的曲线的拐点坐标必为 1，a= 2，b= 3 （分数：3.50）30.已知 X 的概率密度 （分数：3.50）31.假设随机变量 X 的密度函数 f(x)=e -x2+bx+c (xR，b，c 为常数)在 x=1 处取最大值 ，则概率 （分数：3.5
7、0）考研数学一-291 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：31，分数：100.00)1.已知矩阵 （分数：3.00）解析：-2 解析 因为 所以矩阵 A 的特征值为 2，3，3因为矩阵 A 的特征值有重根，所以 有两个线性无关的特征向量 (3E-A)x=0 两个线性无关的解 r(3E-A)=1 那么 2.已知 A 是三阶方阵，其特征值分别为 1，2，-3，则行列式|A|中主对角线元素的代数余子式之和 A 11 +A 22 +A 33 = 1 （分数：3.00）解析：-7 解析 由伴随矩阵定义 又a ii = i ，故只需求出伴随矩阵 A * 的特征值之和也
8、就是代数余子式 A 11 +A 22 +A 33 之和 由 故 A * 的特征值 3.已知 3 元二次型 （分数：3.00）解析：1 解析 二次型矩阵 ，由 A= 得 a=b=2， 1 =3 再由秩 r(A)=2 |A|=0 2 =0 那么 3+0+ 3 =1+(-5)+1 3 =-6 可见正惯性指数 p=1 在求出 a=b=2 后也可由配方法 4.已知三元二次型 （分数：3.00）解析：2 解析 二次型矩阵 ，由于二次型的秩为 2，即矩阵 A 的秩为 2那么 显然 a=1 时 r(A)=1，故 因为 所以矩阵 A 的特征值为 5.二次型 （分数：3.00）解析： 解析 二次型矩阵 由于|E-
9、A|=( 2 -1)( 2 -5) 知矩阵 A 的特征值为：1，5，-1，0故二次型正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=1 因此二次型的规范形为 6.已知二次型 的规范型是 （分数：3.00）解析：解析 由配方法，又 所以 1-a 2 0 解出 a(-1，1) 或者，由二次型矩阵 得 因为规范型是 7.已知二次型 经正交变换 x=Py 可化成标准形 f （分数：3.00）解析：1 解析 因为二次型 x T Ax 经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A 的特征值，所以 1，2，7 是 A 的特征值 又因经过正交变换二次型的矩阵不仅合同而且还相似，因此有 根据相似矩阵的性质，
10、有 8.若二次型 （分数：3.00）解析： 解析 二次型 f 的矩阵为 因为 f 正定 A 的顺序主子式全大于零，即 1 =a0 3 =|A|=4a 2 -10a0 故 f 正定 9.设 =(1，0，1) T ，A= T ，若 B=(kE+A) 2 是正定矩阵，则 k 的取值范围是 1 （分数：3.00）解析：k0 或 k-2 解析 由于 10.设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A 3 =2A 2 +5A-6E，且 kE+A 是正定矩阵，则 k 的取值范围是 1 （分数：3.00）解析：k2 解析 由题设条件 A 3 =2A 2 +5A-6E，即 A 3 -2A 2 -5A+6E=0 设 A 有
11、特征值 ，则 满足 3 -2 2 -5+6=0 因式分解得 3 -2 2 -5+6=(-1)(+2)(-3)=0 故 A 的特征值是 1，-2，3kE+A 的特征值的是 k+1，k-2，k+3，当 k2 时，kE+A 的特征值均大于零，故 k211.设 A 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，矩阵 B=-aE+A T A 是正定矩阵，则 a 的取值范围是 1 （分数：3.00）解析：a0 解析 B T =(-aE+A T A) T =-aE+A T A=BB 是对称阵B 正定 12.已知矩阵 （分数：3.00）解析：a0 解析 矩阵 A 与 B 合同 x T Ax 与 x T Bx 有相同的
12、正、负惯性指数 由于 13.已知 和 （分数：3.00）解析： 解析 二次型 x T Ax 经坐标变换 x=Cy 得 x T Ax=y T By 就有 A 和 B 合同，其中 B=C T AC，那么求矩阵 C 就是求所用坐标变换(由于本题矩阵 A 和 B 不相似若先用正交变换过渡是可行的，但比较麻烦) 对二次型 用配方法，令 即有 可见经坐标变换 ，就有矩阵 A 和 B 合同，所以 14.设两个相互独立事件 A 与 B 至少有一个发生的概率为 （分数：3.00）解析： 解析 将已知条件数量关系写出，应用概率性质，通过解方程即可求得 P(A)已知 A 与 B独立，且 ，P(A-B)=P(B-A)
13、， 故 P(A)-P(AB)=P(B)-P(AB)，即有 P(A)=P(B)， 所以 即 ，所以 15.已知事件 A 与 B 相互独立，P(A)=a，P(B)=b如果事件 C 发生必然导致事件 A 与 B 同时发生，则A，B，C 都不发生的概率为 1 （分数：3.00）解析：(1-a)(1-b)解析 所求的概率为 ，已知“事件 C 发生必导致 A、B 同时发生”，显然是用于化简 的事实上已知 ，故 ，由吸收律知， ，又 A 与 B 独立，故所求的概率为16.已知事件 A、B 仅发生一个的概率为 0.3，且 P(A)+P(B)=0.5，则 A，B 至少有一个不发生的概率为 1 （分数：3.00）
14、解析：0.9 解析 由题设 ，又 与 互斥，所以 =P(A)+P(B)-2P(AB)=0.3， 又 P(A)+P(B)=0.5，于是 P(AB)=0.1，那么所求的概率为 17.10 个同规格的零件中混入 3 个次品，现进行逐个检查，则查完 5 个零件时正好查出 3 个次品的概率为 1 （分数：3.00）解析： 解析 1 记 A=“查完 5 个零件正好查出 3 个次品”，现要求 P(A)值其实事件 A 由两件事合成：B=“前 4 次检查，查出 2 个次品”和 C=“第 5 次检查，查出的零件为次品”，即 A=BC，由乘法公式 P(A)=P(BC)=P(B)P(C|B) 事件 B 是前 4 次检
15、查中有 2 个正品 2 个次品所组合，故 已知 B 发生的条件下，也就是已检查了 2 正 2 次，剩下 6 个零件，其中 5 正 1 次，再要抽检一个恰是次品的概率 总之 解析 2 本题也可以用古典概型计算 P(A)事实上，将 10 个零件任意排成一行，每一种排列视为 10 个零件的一种检查顺序，总数为 10!事件 A 等价于在 3 个次品中选一个放在第 5 个位置上，然后在 7 个正品中取 2 个与余下的 2 个次品排在前 4 个位置上，最后将其余 5 个正品随意排在后 5 个位置上，所以 解析 3 本题可以更简化为只考虑 3 只次品在 10 次检查中的位置问题转化为前 4 个位中选 2 个
16、放次品，第 5 个位置也必须放次品，故 解析 4 如果只考虑正品的位置，则前 4 位中选 2 个放正品，最后 5 位也放正品，则 18.设 A，B，C 是两两相互独立且三事件不能同时发生的随机事件，且它们的概率相等。则 P(ABC)的最大值为 1 （分数：3.50）解析： 解析 P(ABC) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) =P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(B)P(C)-P(A)P(C)+P(?) 故 P(ABC)的最大值为 19.已知甲袋有 3 个白球，6 个黑球，乙袋有 5 个白球，4 个黑球先从甲袋中任取一球放入乙袋，
17、然后再从乙袋中任取一球放回甲袋，则甲袋中白球数不变的概率为 1 （分数：3.50）解析： 解析 记 A=“经过两次交换，甲袋中白球数不变”，B=“从甲袋中取出的放入乙袋的球为白球”，C=“从乙袋中取出放入甲袋的球为白球”，则 那么， 20.考试时有四道单项选择题，每题附有四个答案，现随意选择每题的答案，那么至少答对一道题的概率= 1；已知答对某道题，那么确实知道解答该题的概率 = 2 （分数：3.50）解析：68；0.8 解析 首先要将我们要计算概率的事件用符号表出，分析事件间的关系而后应用相应的公式求得 ， 记 A i =“第 i 道题选对”i=1，2，3，4，则 A i 相互独立， 又记
18、A=“某道题答对”，B=“知道解答该题”，则 ， 事件 A 与其前提条件 B、 有关，因此我们自然想到应用全概公式计算 P(A)由于 所以 21.将一枚硬币重复掷五次，则正、反面都至少出现二次的概率为 1 （分数：3.50）解析： 解析 我们的试验是独立重复试验序列概型，如果记 A=“正、反面都至少出现二次”，X为将硬币掷五次正面出现的次数，则 ，而 Y=5-X 为 5 次投掷中反面出现的次数，那么，事件A=2X5，2Y5)=2X5，25-X5 =2X5，0X3)=X=2)X=3， 所以 22.已知每次试验“成功”的概率为 p，现进行 n 次独立试验，则在没有全部“失败”的条件下，“成功”不止
19、一次的概率为 1 （分数：3.50）解析： 解析 试验是“独立重复试验”为求概率，首先要将事件“在没有全部失败的条件下，成功不止一次”用符号表示如果记 A=“成功”，n 次独立试验 A 发生的次数为 X，则 P(A)=P，XB(n，p)，所求的概率为 23.在区间(0，1)中随机地取出两个数，则“两数之积小于 （分数：3.50）解析： 解析 记(0，1)中任取的两个数为 X，Y，则(X，Y)=(x，y)|0x1，0y1 为基本事件全体，并且取 中任何一点的可能性都一样，因此我们的试验是几何概型，事件 A=“两数之积小于 ” 等价于(X，Y) A ，由几何概型得 24.某种产品由自动生产线进行生
20、产，一旦出现不合格品就立即对其进行调整，经过调整后生产出的产品为不合格品的概率为 0.1那么两次调整之间至少生产 3 件产品的概率为 1 （分数：3.50）解析：0.81 解析 如果用 X 表示两次调整之间生产的产品件数，则 PX=k)=P前 k-1 个产品合格，第 k个产品不合格=0.9 k-1 0.1(p=0.1 的几何分布)，k=1，2，所求概率为 PX3=1-PX3)=1-PX=1)-PX=2)=1-0.1-0.90.1=0.9-0.90.1=0.8125.袋中有 8 个球，其中 3 个白球 5 个黑球，现随意从中取出 4 个球，如果 4 个球中有 2 个白球 2 个黑球，试验停止否则
21、将 4 个球放回袋中，重新抽取 4 个球，直到出现 2 个白球 2 个黑球为止用 X 表不抽取次数，则 PX=k= 1(k=1，2，) （分数：3.50）解析： 解析 若记 A=“第 i 次取出 4 个球为 2 白 2 黑”，由于是有放回取球，因而 A i 相互独立，根据超几何分布知 所以 26.假设 X 服从参数为 的指数分布，对 X 作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2 的概率为 （分数：3.50）解析： 解析 应用独立试验序列概型，可求得结果事实上已知 记 A=X2)，Y 为对 X 作三次独立重复观察事件 A 发生的次数，则 YB(3，p)，其中 p=PX2= + 2 e -x
22、dx=e -2 ， 依题意 ，故 ，又 p=e -2 ，由 解得 27.假设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，且 X 落入区间(1，2)内的概率达到最大，则 = 1 （分数：3.50）解析：ln2 解析 已知 应使概率 P1X2)达到最大， 由于 令 g“()=e - (2e - -1)=0解得 0 =ln2，又 28.一批元件其寿命(单位：小时)服从参数为 的指数分布系统初始先由一个元件工作，当其损坏时立即更换一个新元件接替工作那么到 48 小时为止，系统仅更换一个元件的概率为 1 （分数：3.50）解析：48e -48 解析 首先要将事件 A=“到 48 小时为止，系统仅更换一个元件”
23、，用元件的寿命表示如果用 X i 表示第 i 个元件的寿命，依题设 X i 相互独立且有相同的密度函数 事件 A=“第一个元件在 48 小时之前已经损坏，第一个、第二个元件寿命之和要超过 48 小时”=“0X 1 48，X 1 +X 2 48”所以 P(A)=P0X 1 48，X 1 +X 2 48 29.设随机变量 XN(， 2 )，0，设其分布函数 F(x)的曲线的拐点坐标必为 1，a= 2，b= 3 （分数：3.50）解析： 解析 XN(， 2 )其密度函数 F“(x)=f“(x)=0，拐点的 x 坐标是 f(x)的驻点 由 f(x)的对称性知 f“()=0，而 x 时 F“(x)=f“(x)0 当 X 时，F“(x)=f“(x)0，且 ，故 F(x)的拐点在 30.已知 X 的概率密度 （分数：3.50）解析：解析 ，故 XN(-1，2)，所以 又 即 ，解得31.假设随机变量 X 的密度函数 f(x)=e -x2+bx+c (xR，b，c 为常数)在 x=1 处取最大值 ，则概率 （分数：3.50）解析：0.9544 解析 由题设 f(x)的形式知，X 是服从正态分布 N(， 2 )，即 ，且当 x= 时，f(x)取最大值 已知 x=1 时 f(x)取最大值 f(1)， 所以 x=1， ，所以 ，即 所求概率为
