1、考研数学一-290 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：31，分数：100.00)1.已知 1 ， 2 ， 3 是三维向量空间的一个基底，若 1 = 1 + 2 + 3 ， 2 =3 2 + 3 ， 3 = 1 - 2 ，则由基 1 ， 2 ， 3 到基 1 ， 2 ， 3 的过渡矩阵是 1 （分数：3.00）2.设 （分数：3.00）3.已知齐次线性方程组 （分数：3.00）4.已知齐次线性方程组 （分数：3.00）5.已知 （分数：3.00）6.设 （分数：3.00）7.已知 A 是行列式为 0 的 3 阶实对称矩阵，并且 （分数：3.00）8.已知方
2、程组 （分数：3.00）9.设 1 =(6，-1，1) T 与 2 =(-7，4，2) T 是线性方程组 （分数：3.00）10.设线性方程组 A 34 x=b，即 有通解 k(1,2，-1,1) T +(1，-1，0，2) T ，其中 k 是任意常数，则方程组 B 33 x=b 即 （分数：3.00）11.设线性方程组 A 33 x=b，即 (1) 有唯一解 =(1，2，3) T 方程组 B 34 y=b 即 （分数：3.00）12.已知方程组 （分数：3.00）13.已知非齐次线性方程组()与()同解，其中 （分数：3.00）14.已知 （分数：3.00）15.已知三阶矩阵 A 的特征值是
3、 （分数：3.00）16.设 A 是主对角线元素之和为-5 的三阶矩阵，且满足 A 2 +2A-3E=0，那么矩阵 A 的三个特征值是 1 （分数：3.00）17.已知 =(a，1，1) T 是矩阵 （分数：3.00）18.已知 =(1，3，2) T ，=(1，-1，2) T ，若矩阵 A 和 T 相似，那么矩阵(A+2E) * 的最小特征值是 1 （分数：3.50）19.设 A 是三阶实对称矩阵，存在正交阵 Q= 1 ， 2 ， 3 ，使得 Q -1 AQ=Q T AQ= （分数：3.50）20.已知矩阵 （分数：3.50）21.设 =(1，-1，a) T ，=(1，a，2) T ，A=E+
4、 T ，且 =3 是矩阵 A 的特征值，则矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量是 1 （分数：3.50）22.已知矩阵 （分数：3.50）23.已知 P -1 AP=B，其中 （分数：3.50）24.已知 A 是三阶实对称矩阵，特征值是 1，3，-2，其中 1 =(1，2，-2) T ， 2 =(4，-1，a) T 分别是属于特征值 =1 与 =3 的特征向量，那么矩阵 A 属于特征值 =-2 的特征向量是 1 （分数：3.50）25.设 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 3 维线性无关的列向量，且 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 ，则
5、和 A 相似的矩阵是 1 （分数：3.50）26.A 是三阶矩阵， 是三个三维线性无关的列向量，其中 Ax=0 有解 ，Ax= 有解 ，Ax=有解 ，则 A 1 （分数：3.50）27.已知 A 是 3 阶矩阵，满足 A 2 -2A=3E，如果秩 r(A+E)=1，则和 A 相似的对角矩阵是 1 （分数：3.50）28.已知 A 是四阶实对称矩阵，秩 r(A)=3，矩阵 A 满足 A 4 -A 3 -A 2 -2A=0 则与 A 相似的对角矩阵是 1 （分数：3.50）29.已知 A 是 3 阶实对称矩阵，若正交矩阵 Q 使得 Q -1 AQ= （分数：3.50）30.已知矩阵 和 （分数：3
6、.50）31.设 =(1，-1，a) T 是 （分数：3.50）考研数学一-290 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：31，分数：100.00)1.已知 1 ， 2 ， 3 是三维向量空间的一个基底，若 1 = 1 + 2 + 3 ， 2 =3 2 + 3 ， 3 = 1 - 2 ，则由基 1 ， 2 ， 3 到基 1 ， 2 ， 3 的过渡矩阵是 1 （分数：3.00）解析： 解析 按过渡矩阵定义 1 ， 2 ， 3 = 1 ， 2 ， 3 C 可见矩阵 C 的第 1 列就是 1 在基底 1 ， 2 ， 3 的坐标，由于已知 1 = 1 + 2 + 3
7、，所以矩阵 C 的第 1 列应当是 2.设 （分数：3.00）解析：1 或 5 解析 解空间是二维，即 Ax=0 的基础解系由两个向量组成因此 n-r(A)=2， 亦即 r(A)=2，对矩阵 A 作初等变换有 3.已知齐次线性方程组 （分数：3.00）解析：-5 或-6 解析 齐次方程组 Ax=0 有无穷多解的充分必要条件是 r(A)n现在是三个未知数三个方程的齐次方程组，故可以用系数行列式|A|=0 4.已知齐次线性方程组 （分数：3.00）解析：k 1 (2，2，-3，1，0) T +k 2 (-3，4，-2，0，1) T ，k 1 ，k 2 是任意实数 解析 由题设知，n-r(A)=2，
8、即 r(A)=3，作初等行变换有 可见 a=2进而 令 x 4 =1，x 5 =0 x 3 =-3，x 2 =2，x 1 =2 令 x 4 =0，x 5 =1 5.已知 （分数：3.00）解析：k 1 (1，2，0) T +k 2 (-2，1，1) T k 1 ，k 2 是任意实数 解析 易见行列式|A|=0，秩 r(A)=2那么 r(A * )=1 从而 n-r(A * )=2，齐次方程组 A * x=0 通解形式为 k 1 1 +k 2 2 又 A * A=|A|E=0 所以 A 的列向量是齐次方程组 A * x=0 的解6.设 （分数：3.00）解析：k 1 (0，-1，1，0) T +
9、k 2 (-1，0，0，1) T ，k 1 ，k 2 为任意常数 解析 对矩阵 A 分块，记 由于 有 A n =2 n-1 A A n x=0 与 Ax=0 同解，而 7.已知 A 是行列式为 0 的 3 阶实对称矩阵，并且 （分数：3.00）解析：k(1，-1，0) T ，k 是任意实数 解析 记 1 =(1，1，2) T ， 2 =(1，1，-1) T 则有A 1 =2 1 ，A 2 =- 2 即 1 ， 2 分别是矩阵 A 关于特征值 =2 和 =-1 的特征向量 由|A|=0 知 =0 是 A 的特征值，因为 A 有 3 个不同的特征值从而 故秩 r(A)=2 实对称矩阵特征值不同特
10、征向量相互正交设矩阵 A 关于 =0 的特征向量是 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 于是 8.已知方程组 （分数：3.00）解析：-1 解析 非齐次线性方程组 Ax=b 无解的充分必要条件是 对增广矩阵作初等行变换有 可见 a=-1 时，r(A)=2， 9.设 1 =(6，-1，1) T 与 2 =(-7，4，2) T 是线性方程组 （分数：3.00）解析：(6，-1，1) T +k(13，-5，-1) T (k 为任意常数) 解析 一方面因为 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，故必有 另一方面由于在系数矩阵 A 中存在二阶子式 又必有 r(A)2，因此，必有
11、10.设线性方程组 A 34 x=b，即 有通解 k(1,2，-1,1) T +(1，-1，0，2) T ，其中 k 是任意常数，则方程组 B 33 x=b 即 （分数：3.00）解析：(-3，1，1) T 解析 由观察，方程组(2)比方程组(1)减少了一个未知量若方程组(2)有解=(a，b，c) T ，则 =(0，a，b，c)必是方程组(1)的解，现已知方程组(1)有无穷多解 k(1，2，-1，1) T +(1，-1，0，2) T ，其中 k 是任意常数，选择任意常数 k，使(1)的解的第一个分量为 0，即选 k=-1，得(1)的一个特解为(0，-3，1，1) T ，则向量(-3，1，1)
12、T 满足方程组(2)，是方程组(2)的一个特解11.设线性方程组 A 33 x=b，即 (1) 有唯一解 =(1，2，3) T 方程组 B 34 y=b 即 （分数：3.00）解析：k(-3，-l，1，2) T +(-2，1，4，2) T ，其中 k 是任意常数 解析 方程组(1)Ax=b 有唯一解，故r(A)=r(A|b)=3显然 r(B)=r(B|b)=3，且 1 =(1，2，3，0) T 是方程组 B 34 y=b 的另一个特解 B 是 34 矩阵，故对应齐次方程组 Bx=0 的基础解系只有一个线性无关向量组成，且是 - 1 故(2)的通解为 k(- 1 )+=k(-3，-1，1，2)
13、T +(-2，1，4，2) T12.已知方程组 （分数：3.00）解析：k(-5，3，1) T ，k 为任意常数 解析 所谓方程组()与()的公共解，即这两个方程组解集合的交集，把()与()联立得到方程组()，那么方程组()的解就是()与()的公共解对方程组()的系数矩阵作初等行变换，有 13.已知非齐次线性方程组()与()同解，其中 （分数：3.00）解析：1 解析 所谓两个方程组()与()同解，即()的解全是()的解，()的解也全是()的解对()求出其通解 (3，2，0) T +k(3，-1，1) T =(3k+3，2-k，k) T 把 x 1 =3+3k，x 2 =2-k，x 3 =k
14、代入方程组()，有 整理为 因为 k 为任意常数，故 a=1此时方程组()的解全是方程组()的解 且当 a=1 时，方程组()为 14.已知 （分数：3.00）解析：1，7，7 解析 (解法一) 按伴随矩阵定义，由代数余子式 知伴随矩阵 那么 所以 A * 的特征值是 1，7，7 (解法二) 由矩阵 A 的特征多项式 知矩阵 A 的特征值是 7，1，1 由 ，从而|A|=711=7因为若 A=，则有 所以 A * 的特征值是 1，7，7 (解法三) 因为 15.已知三阶矩阵 A 的特征值是 （分数：3.00）解析：6，3，2 解析 由 A -1 BA=6A+BA A -1 B=6E+B (A
15、-1 -E)B=6E 知 B=6(A -1 -E) -1 因为 A 的特征值 的特征值 2，3，4 A -1 -E 的特征值 1，2，3 (A -1 -E) -1 的特征值1， 16.设 A 是主对角线元素之和为-5 的三阶矩阵，且满足 A 2 +2A-3E=0，那么矩阵 A 的三个特征值是 1 （分数：3.00）解析：1，-3，-3 解析 设 是矩阵 A 的特征值， 是相对应的特征向量，即 A=，0那么根据 A n = n ，由 A 2 +2A-3E=0 有( 2 +2-3)=0，又因 0故 2 +2-3=(+3)(-1)=0知 取值范围为 1 和-3，再由 i =a ii =-5，知矩阵
16、A 的特征值是 1，-3，-317.已知 =(a，1，1) T 是矩阵 （分数：3.00）解析：-5 解析 设 是矩阵 A -1 属于特征值 0 的特征向量，按定义有 A -1 = 0 ，于是= 0 A即 即 由(2)知 0 0，(2)-(3)易见 a=-1那么 18.已知 =(1，3，2) T ，=(1，-1，2) T ，若矩阵 A 和 T 相似，那么矩阵(A+2E) * 的最小特征值是 1 （分数：3.50）解析：4 解析 记 B= T ，由于 19.设 A 是三阶实对称矩阵，存在正交阵 Q= 1 ， 2 ， 3 ，使得 Q -1 AQ=Q T AQ= （分数：3.50）解析：0，2，3
17、解析 由题设条件知，A 有特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3，对应的特征向量分别是 1 ， 2 ， 3 ，即有 A i = i i =i i ，i=1，2，3 又 Q 是正交矩阵， 1 ， 2 ， 3 满足条件 故 20.已知矩阵 （分数：3.50）解析：2，2，2 解析 根据定理“若 A 有 n 个不同的特征值，则 A 有 n 个线性无关的特征向量”，现因为矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量，所以 A 的特征值必是三重根，否则 A 至少有两个不同的特征值，那么至少有两个线性无关的特征向量 由于a ii = i ， 故 1+3+2=+， 即知 1 = 2 = 3 =221.设 =(1，
18、-1，a) T ，=(1，a，2) T ，A=E+ T ，且 =3 是矩阵 A 的特征值，则矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量是 1 （分数：3.50）解析：k(1，-1，1) T ，k0 解析 令 B= T ，由于秩 r(B)=1，且 T =a+1 知矩阵 B 的特征值为 a+1，0，0那么 A=E+B 的特征值为 a+2，1，1 因为 =3 是矩阵 A 的特征值，故 a+2=3，知 a=1 那么 B=( T )=( T )=2 =(1，-1，1) T 是矩阵 B 属于特征值 =2 的特征向量，也就是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量22.已知矩阵 （分数：3.50）解析：(0，1，
19、0) T ；(-1，a，1) T ，a0 解析 由矩阵 A 的特征方程 得到 A 的特征值为 1，1，-1 由于 A 只有 2 个线性无关的特征向量所以 =1 只有一个线性无关的特征向量，从而 n-r(E-A)=1，即r(E-A)=2 必有 a0故 =1 的特征向量 1 =(0，1，0) T 对 =-1 由 23.已知 P -1 AP=B，其中 （分数：3.50）解析：k 1 ( 1 + 2 )+k 2 (-2 1 + 3 )，k 1 k 2 不全为 0 解析 因为 A 和 B 相似，由 P -1 AP=B 及 B= 有 A(P)=(P)故可先求出 B 的特征值特征向量再转换成 A 的特征向量
20、 由于 对于 =0，由 得基础解系 1 =(1，1，0) T ， 2 =(-2，0，1) T 所以矩阵 A 关于 =0 的特征向量： 24.已知 A 是三阶实对称矩阵，特征值是 1，3，-2，其中 1 =(1，2，-2) T ， 2 =(4，-1，a) T 分别是属于特征值 =1 与 =3 的特征向量，那么矩阵 A 属于特征值 =-2 的特征向量是 1 （分数：3.50）解析：k(0，1，1) T ，k0 解析 因为 A 是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交，设 =-2的特征向量是 3 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，那么 可先求出 a=1，再由 25.设 A 是 3 阶矩阵，
21、 1 ， 2 ， 3 是 3 维线性无关的列向量，且 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 ，则和 A 相似的矩阵是 1 （分数：3.50）解析： 解析 据已知条件，有 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 2 + 3 ， 1 + 3 ， 1 + 2 ) 记 由于 1 ， 2 ， 3 是 3 维线性无关的列向量知| 1 2 3 |0，故 P 是可逆矩阵，于是由 AP=PB P -1 AP=B 故和矩阵 A 相似的矩阵是 26.A 是三阶矩阵， 是三个三维线性无关的列向量，其中 Ax=0 有解 ，Ax= 有解 ，Ax=有解 ，则 A 1 （分数：3.50）解析：
22、 解析 ， 线性无关，都是非零向量，Ax=0 有解 ，即 A=0=0，故 A 有 1 =0，(对应的特征向量为 )又 Ax= 有解 ，即 A=；Ax= 有解 ，即 A=，且 A(-)=-从而侑 A(+)=+=(+) A(-)=-=-(-) 故知 A 有 2 =1， 3 =-1，(+，- 均是非零向量，是对应的特征向量)，三阶矩阵 A 有三个不同的特征值，0，1，-1故 27.已知 A 是 3 阶矩阵，满足 A 2 -2A=3E，如果秩 r(A+E)=1，则和 A 相似的对角矩阵是 1 （分数：3.50）解析： 解析 由 A 2 -2A=3E (A+E)(A-3E)=0 28.已知 A 是四阶实
23、对称矩阵，秩 r(A)=3，矩阵 A 满足 A 4 -A 3 -A 2 -2A=0 则与 A 相似的对角矩阵是 1 （分数：3.50）解析：29.已知 A 是 3 阶实对称矩阵，若正交矩阵 Q 使得 Q -1 AQ= （分数：3.50）解析： 解析 因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交 设 3 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 是矩阵 A 属于 =-6 的特征向量则 由于 =3 的特征向量 1 ， 2 不正交，故需正交化处理 令 再单位化得 那么 30.已知矩阵 和 （分数：3.50）解析：2 解析 由相似的性质：a ii =b ii 及|A|=|B|，有 31.设 =(1，-1，a) T 是 （分数：3.50）解析：-1 解析 是 A * 的特征向量，设对应的特征值为 0 ，则有 A * a= 0 a两边左乘 A，得AA * =|A|= 0 A即 得
