1、考研数学一-288 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：31，分数：100.00)1.设 A= 1 ， 2 ， 3 是 3 阶矩阵，且|A|=4若 B= 1 -3 2 +2 3 ， 2 -2 3 ，2 2 + 3 ，则|B|= 1 （分数：3.00）2.设四阶方阵 A=， 2 ， 3 ， 4 ，B=， 2 ， 3 ， 4 ，其中 ， 2 ， 3 ， 4 均为四维列向量，且|A|=4，|B|=-1，则|A-3B|= 1 （分数：3.00）3.若三阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 1，3，-2.B * 是矩阵 B 的伴随矩阵，则行列式 （分数：3
2、.00）4.设四阶行列式 （分数：3.00）5.已知 ， ，则 （分数：3.00）6.设 =(1，3，-2) T ，=(2，0，0) T ，A= T ，则 A 3 = 1 （分数：3.00）7.已知矩阵 A 和 相似，则 （分数：3.00）8.若 （分数：3.00）9.设矩阵 A 的伴随矩阵 （分数：3.00）10.已知 1 =(1，0，0) T ， 2 =(1，2，-1) T ， 3 =(-1，1，0) T 且 A 1 =(2，1) T ，A 2 =(-1，1) T ，A 3 =(3，-4) T ，则 A= 1 （分数：3.00）11.四阶矩阵 A 和 B 满足 2ABA -1 =AB+6E
3、，若 （分数：3.00）12.已知 =(2，3，-1) T ，=(1，0，0) T ，A=E+ T ，则(A-2E) -1 = 1 （分数：3.00）13.已知 A-2B=AB，其中 （分数：3.00）14.已知三阶矩阵 A 的逆矩阵为 （分数：3.00）15.已知 （分数：3.00）16.若 （分数：3.00）17.设 ，经初等行变化梯形矩阵 ，其过程如下： （分数：3.00）18.设 ，A ij 是|A|中元 a ij 的代数余子式，则 （分数：3.50）19.设 （分数：3.50）20.设 （分数：3.50）21.设 A 是五阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 1 ， 2 是齐次线性
4、方程组 Ax=0 的两个坐标不成比例的解，那么秩 r(A * )= 1 （分数：3.50）22.已知 与 （分数：3.50）23.已知向量组 1 =(1，2，-1，1) T ， 2 =(2，0，t，0) T ， 3 =(0，-4，5，t) T 线性无关，则 t 的取值为 1 （分数：3.50）24.已知 1 ， 2 ， 3 线性无关，若 1 +2 2 + 3 ， 1 +a 2 ，3 2 -a 3 线性相关，则 a= 1 （分数：3.50）25.设 n 维向量 1 ， 2 ， 3 满足 2 1 - 2 +3 3 =0， 是任意 n 维向量，若 + 1 ，+ 2 ，a+ 3 线性相关，则 a= 1
5、 （分数：3.50）26.向量组 1 =(1，-2，0，3) T ， 2 =(2，-5，-3，6) T ， 3 =(0，1，3，0) T ， 4 =(2，-1，4，7) T 的一个极大线性无关组是 1 （分数：3.50）27.已知 1 =(2，3，3) T ， 2 =(1，0，3) T ， 3 =(3，5，a+2) T 若 1 =(4，-3，15) T 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出， 2 =(-2，-5,a) T 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 a= 1 （分数：3.50）28.已知 1 =(1，4，2) T ， 2 =(2，7，3) T ， 3 =(0，1，a) T 可以表示
6、任意一个三维向量，则a 的取值为 1 （分数：3.50）29.与 1 =(1，2，3，-1) T ， 2 =(0，1，1，2) T ， 3 =(2，1，3，0) T 都正交的单位向量是 1 （分数：3.50）30.向量 1 =(1，1，2，3) T ， 2 =(-1，1，4，-1) T 的 Schmidt 正交规范化向量组是 1 （分数：3.50）31.向量 =(1，-2，4) T 在基 1 =(1，2，4) T ， 2 =(1，-1，1) T ， 3 =(1，3，9) T 的坐标是 1 （分数：3.50）考研数学一-288 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题
7、数：31，分数：100.00)1.设 A= 1 ， 2 ， 3 是 3 阶矩阵，且|A|=4若 B= 1 -3 2 +2 3 ， 2 -2 3 ，2 2 + 3 ，则|B|= 1 （分数：3.00）解析：20 解析 由行列式性质，找出|A|和|B|的联系 |B|=| 1 -3 2 +2 3 ， 2 -2 3 ，2 2 + 3 =| 1 -2 2 ， 2 -2 3 ，5 3 | =5| 1 -2 2 ， 2 ， 3 | =5| 1 ， 2 ， 3 |=20 或者，利用分块矩阵乘法 B= 1 -3 2 +2 3 ， 2 -2 3 ，2 2 + 3 有 2.设四阶方阵 A=， 2 ， 3 ， 4 ，
8、B=， 2 ， 3 ， 4 ，其中 ， 2 ， 3 ， 4 均为四维列向量，且|A|=4，|B|=-1，则|A-3B|= 1 （分数：3.00）解析：-56 解析 因为 A=3B=， 2 ， 3 ， 4 -3，3 2 ，3 3 ，3 4 =-3，-2 2 ，-2 3 ，-2 4 故有 |A-3B|=|-3，-2 2 ，-2 3 ，-2 4 | =-8(|， 2 ， 3 ， 4 |-3|， 2 ， 3 ， 4 )|) =-8(|A|-3|B|)=-563.若三阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 1，3，-2.B * 是矩阵 B 的伴随矩阵，则行列式 （分数：3.00）解析：-27 解
9、析 由|A|=|A T |及|A|= i 知|A T |=-6，再根据相似矩阵有相同的特征值，知矩阵 B的特征值为 1，3，-2，又知|B|=-6从而 4.设四阶行列式 （分数：3.00）解析：-12 解析 因为代数余子式 A ij 的值与元素 a ij 的值无关本题求第一列元素的代数余子式，故可构造一个新的行列式把|A|中第 1 列换为所求和的代数余子式的系数，即 5.已知 ， ，则 （分数：3.00）解析： 解析 6.设 =(1，3，-2) T ，=(2，0，0) T ，A= T ，则 A 3 = 1 （分数：3.00）解析： 解析 因为 又因 7.已知矩阵 A 和 相似，则 （分数：3.
10、00）解析： 解析 如 AB 则 A+kEB+kE，又如 AB 则 A n B n 那么，由 而 8.若 （分数：3.00）解析： 解析 按定义，求出行列式|A|的代入数余子式，有 所以 或者，由 A * =|A|A -1 ，现在|A|=-10， 而得 9.设矩阵 A 的伴随矩阵 （分数：3.00）解析： 解析 因为 AA * =|A|E，故 A=|A|(A * ) -1 ，由已知得|A * |=-8，又|A * |=|A| 3 ，得|A|=-2 又 所以 10.已知 1 =(1，0，0) T ， 2 =(1，2，-1) T ， 3 =(-1，1，0) T 且 A 1 =(2，1) T ，A
11、2 =(-1，1) T ，A 3 =(3，-4) T ，则 A= 1 （分数：3.00）解析： 解析 利用分块矩阵，有 其中 ， 1 ， 2 ， 3 可逆上式两边右乘 A -1 那么 11.四阶矩阵 A 和 B 满足 2ABA -1 =AB+6E，若 （分数：3.00）解析： 解析 化简矩阵方程，左乘 A -1 、右乘 A 有 2B=BA+6E 于是 B(2E-A)=6E 所以 12.已知 =(2，3，-1) T ，=(1，0，0) T ，A=E+ T ，则(A-2E) -1 = 1 （分数：3.00）解析： 解析 记 B= T ，则 B 2 =( T )( T )=( T ) T =2B 于
12、是(A-E) 2 =2(A-E) 故 13.已知 A-2B=AB，其中 （分数：3.00）解析： 解析 由 A-2B=AB 得 AB+2B-A-2E=-2E 即(A+2E)(B-E)=-2E 即 所以 14.已知三阶矩阵 A 的逆矩阵为 （分数：3.00）解析： 解析 AA * =|A|E，有 因为(A -1 ) -1 =A，求出 A -1 的逆矩阵就是求出矩阵 A 可知 又因|A -1 |=2故 15.已知 （分数：3.00）解析： 解析 A 经过两次列变换得到 B，先把第 3 列的-2 倍加至第 1 列，再把第 2 列加至第 3 列，故有 那么 所以 16.若 （分数：3.00）解析： ，
13、t、u 为任意实数 解析 由于矩阵 不可逆，故可设 ，于是 得方程组 所以 17.设 ，经初等行变化梯形矩阵 ，其过程如下： （分数：3.00）解析： 解析 每次初等行变换都相当于左乘相应的初等矩阵看清题设变换的过程，并用初等阵表出即得 故 18.设 ，A ij 是|A|中元 a ij 的代数余子式，则 （分数：3.50）解析：4-3a 解析 若能求得 A * ，则 A * 的全体元素之和即是|A|的全部代数余子式之和，由公式 AA * =|A|E，故 A * =|A|A -1 由|A|=1，又 得 故 19.设 （分数：3.50）解析：3 解析 本题没有必要去求出 A 2 ，由于 A 是可逆
14、矩阵，又 A 2 -2A=A(A-2E) 故 r(A 2 -2A)=r(A-2E) 而 20.设 （分数：3.50）解析：0 解析 根据 现在 n=4，r(A)=3 21.设 A 是五阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 1 ， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个坐标不成比例的解，那么秩 r(A * )= 1 （分数：3.50）解析：0 解析 因为 1 与 2 的坐标不成比例，所以 1 ， 2 线性无关因而齐次方程组 Ax=0至少有两个线性无关的解，于是 n-r(A)2，即有 r(A)3 又因为 A 是五阶矩阵，而 r(A)3，故|A|中 4 阶子式必全为 0，因此，代数余子式 A ij
15、 恒为零，从而 A * =0，所以秩 r(A * )=022.已知 与 （分数：3.50）解析：2 解析 由 AB 知 那么 即 2 -a-1= 2 +(1-b)-b 知 a=0，b=1 又由 AB 知 A+EB+E那么 23.已知向量组 1 =(1，2，-1，1) T ， 2 =(2，0，t，0) T ， 3 =(0，-4，5，t) T 线性无关，则 t 的取值为 1 （分数：3.50）解析：(-，+) 解析 由于本题向量的个数与维数不一样，不能用行列式去分析，而用齐次方程组只有零解，或矩阵的轶等于 n 来进行分析 由于 24.已知 1 ， 2 ， 3 线性无关，若 1 +2 2 + 3 ，
16、 1 +a 2 ，3 2 -a 3 线性相关，则 a= 1 （分数：3.50）解析：3 或-1 解析 因为 1 +2 2 + 3 ， 1 +a 2 ，3 2 -a 3 线性相关，故有不全为 0的 x 1 ，x 2 ，x 3 使 x 1 ( 1 +2 2 + 3 )+x 2 ( 1 +a 2 )+x 3 (3 2 -a 3 )=0 即 (x 1 +x 2 ) 1 +(2x 1 +ax 2 +3x 3 ) 2 +(x 1 -ax 3 ) 3 =0 由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，故必有 因为 x 1 ，x 2 ，x 3 不全为 0，所以上述齐次方程组有非零解系数行列式必为 0，于是 25.设
17、n 维向量 1 ， 2 ， 3 满足 2 1 - 2 +3 3 =0， 是任意 n 维向量，若 + 1 ，+ 2 ，a+ 3 线性相关，则 a= 1 （分数：3.50）解析： 解析 + 1 ，+ 2 ，a+ 3 线性相关，存在不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k 3 ，使得 k 1 (+ 1 )+k 2 (+ 2 )+k 3 (a+ 3 )=0 整理有 (k 1 +k 2 +k 3 a)+(k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 )=0 因已知 2 1 - 2 +3 3 =0，且 是任意向量，故上式成立，只需取 k 1 =2，k 2 =-1，k 3 =3，则有2 1 -a 2 +3 3 =0，
18、且令 的系数为 0，即 k 1 +k 2 +ak 3 =2-1+3a=0，即 26.向量组 1 =(1，-2，0，3) T ， 2 =(2，-5，-3，6) T ， 3 =(0，1，3，0) T ， 4 =(2，-1，4，7) T 的一个极大线性无关组是 1 （分数：3.50）解析： 1 ， 2 ， 4 (不唯一) 解析 列向量作行变换，有 27.已知 1 =(2，3，3) T ， 2 =(1，0，3) T ， 3 =(3，5，a+2) T 若 1 =(4，-3，15) T 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出， 2 =(-2，-5,a) T 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 a= 1
19、（分数：3.50）解析：2 解析 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，即方程组 x 1 +x 2 2 +x 3 3 = 1 有解， 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，即方程组 y 1 1 +y 2 2 +y 3 3 = 2 无解由于这两个方程组的系数矩阵是一样的因此可联合起来加减消元 a，方程组 总有解，即 1 必可由 1 ， 2 ， 3 线性表出 而方程组 28.已知 1 =(1，4，2) T ， 2 =(2，7，3) T ， 3 =(0，1，a) T 可以表示任意一个三维向量，则a 的取值为 1 （分数：3.50）解析：a1 解析 1 ， 2 ， 3 可表示任一个 3 维向量
20、1 ， 2 ， 3 与 1 =(1，0，0) T ， 2 =(0，1，0) T ， 3 =(0，0，1) T 等价 秩 r( 1 ， 2 ， 3 )=3 | 1 ， 2 ， 3 |0 由 29.与 1 =(1，2，3，-1) T ， 2 =(0，1，1，2) T ， 3 =(2，1，3，0) T 都正交的单位向量是 1 （分数：3.50）解析： 解析 向量 ， 正交 内积 T =0 设 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) T 与 1 ， 2 ， 3 均正交，那么 对齐次方程组 Ax=0 的系数矩阵作初等行变换，有 得到基础解系是 =(-1，-1，1，0) T 将其单位化，得 30.向
21、量 1 =(1，1，2，3) T ， 2 =(-1，1，4，-1) T 的 Schmidt 正交规范化向量组是 1 （分数：3.50）解析： 解析 先正交化 1 = 1 =(1，1，2，3) T 再单位化，有 31.向量 =(1，-2，4) T 在基 1 =(1，2，4) T ， 2 =(1，-1，1) T ， 3 =(1，3，9) T 的坐标是 1 （分数：3.50）解析： 解析 若 1 ， 2 ， 3 是空间的基，而 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，则称向量 在基 1 ， 2 ， 3 的坐标是(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 对于方程组 可解出 ，x 3 =1，因此 在基 1 ， 2 ， 3 的坐标是
