1、考研数学一-287 及答案解析(总分：103.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：31，分数：103.00)1.已知幂级数 在 x=1处条件收敛，则幂级数 （分数：3.00）2.已知幂级数 在 x=2处收敛，在 x=0处发散，则幂级数 （分数：3.00）3.设 a n 0(n=1，2，)，级数 发散， 收敛，则幂级数 （分数：3.00）4.级数 （分数：3.00）5.级数 （分数：3.00）6.设 a 1 =1 ，则 （分数：3.00）7.级数 （分数：3.00）8.级数 （分数：3.00）9.设 f(x)=x 2 ，(0x1)，而 ，(-x+)，其中 b n =2 1 0 f(x
2、)sindx(n=1，2，)，则 （分数：3.00）10. （分数：3.00）11. （分数：3.00）12.f(x)=ln(2+x-3x 2 )在 x=0处的泰勒展开式为 1 （分数：3.50）13.设 （分数：3.50）14.已知曲线 y=f(x)过点 （分数：3.50）15.设 y=e x (C 1 sinx+C 2 cosx)(C 1 ，C 2 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 1 （分数：3.50）16.方程(xy 2 +x)dx+(y-x 2 y)dy=0的通解为 1 （分数：3.50）17.方程 y“=1+x+y 2 +xy 2 的通解为 1 （分数：
3、3.50）18.方程(1+x)dy+(1-2e -y )dx=0的通解为 1 （分数：3.50）19.方程 （分数：3.50）20.方程 （分数：3.50）21.方程 xy“+2y=siax满足条件 （分数：3.50）22.方程 （分数：3.50）23.方程 （分数：3.50）24.方程 y“+2y“+5y=0的通解为 1 （分数：3.50）25.方程 y“-y“=0满足条件 y丨 x=0 =3，y“丨 x=0 =-1，y“丨 x=0 =1的特解为 1 （分数：3.50）26.若二阶常系数线性齐次微分方程 y“+ay“+by=0的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e x ，则非齐次方程y“+
4、ay“+by=x满足条件 y(0)=2，y“(0)=0 的解为 1 （分数：3.50）27. （分数：3.50）28. （分数：3.50）29. （分数：3.50）30. （分数：3.50）31.行列式 （分数：3.50）考研数学一-287 答案解析(总分：103.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：31，分数：103.00)1.已知幂级数 在 x=1处条件收敛，则幂级数 （分数：3.00）解析：1解析 由于幂级数 在 x=1处条件收敛，则 x=1为该幂级数收敛区间的端点，则其收敛半径为 1，而幂级数2.已知幂级数 在 x=2处收敛，在 x=0处发散，则幂级数 （分数：3.00）解
5、析：(0，2 解析 利用阿贝尔定理，由于幂级数 在 x=2处收敛，则该幂级数在|x-1|2-1|=1处收敛 由于幂级数 3.设 a n 0(n=1，2，)，级数 发散， 收敛，则幂级数 （分数：3.00）解析： 解析 由 a n 0(n=1，2，)，级数 发散， 收敛知，级数 条件收敛，即幂级数 在 x=-1处条件收敛，则 x=-1为该幂级数收敛区间的端点，则该幂级数的收敛半径为 1， 又 则幂级数 当|2x 2 |1 时收敛，当|2x 2 |1 时发散，则其收敛半径为 ，收敛区间为 当 时， 发散，则幂级数 的收敛域为 4.级数 （分数：3.00）解析： 解析 由于 则 5.级数 （分数：3
6、.00）解析：2e解析 由于 ，则 而6.设 a 1 =1 ，则 （分数：3.00）解析：2015 解析 级数 的部分和数列为 S n =(a 2 -a 1 )+(a 3 -a 2 )+(a n+1 -a n )=a n+1 -a 1 =a n+1 -1则 7.级数 （分数：3.00）解析：e 2 -1 解析 由于 ，则 ，故 8.级数 （分数：3.00）解析： 解析 令 ，(|x|1) 9.设 f(x)=x 2 ，(0x1)，而 ，(-x+)，其中 b n =2 1 0 f(x)sindx(n=1，2，)，则 （分数：3.00）解析： 解析 由题设可知，本题是将 f(x)=x 2 (0x1)
7、作奇延拓展开成周期为 2的正弦级数，则 10. （分数：3.00）解析：(-2x0)解析 11. （分数：3.00）解析：(-2x0)解析 12.f(x)=ln(2+x-3x 2 )在 x=0处的泰勒展开式为 1 （分数：3.50）解析：解析 令13.设 （分数：3.50）解析：解析 则14.已知曲线 y=f(x)过点 （分数：3.50）解析： 解析 由题设可知 ，且 ，则 由于 知 ，则 15.设 y=e x (C 1 sinx+C 2 cosx)(C 1 ，C 2 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 1 （分数：3.50）解析：y“-2y“+2y=0 解析 由 y
8、=e x (C 1 sinx+C 2 cosx)为齐次方程通解知，齐次方程的特征方程有一对共轭复根 1i 从而特征方程为 r 2 -2r+2=0 所求方程为 y“-2y“+2y=016.方程(xy 2 +x)dx+(y-x 2 y)dy=0的通解为 1 （分数：3.50）解析：y 2 +1=C(x 2 -1) 解析 由(xy 2 +x)dx+(y-x 2 y)dy=0 得 (y 2 +1)xdx+(1-x 2 )ydy=0 则 17.方程 y“=1+x+y 2 +xy 2 的通解为 1 （分数：3.50）解析： 解析 由 y“=1+x+y 2 +xy 2 知 则 18.方程(1+x)dy+(1
9、-2e -y )dx=0的通解为 1 （分数：3.50）解析：(1+x)(e y -2)=C 解析 由(1+x)dy+(1-2e -y )dx=0知 19.方程 （分数：3.50）解析： 解析 由 知 令 ，则 y=xu，y“=xu“ u+xu“-sinu-u=0 20.方程 （分数：3.50）解析： 解析 由 知 令 ，则 y=xu， 则 由 y丨 x=1 =0知 C=1 则 21.方程 xy“+2y=siax满足条件 （分数：3.50）解析： 解析 由 xy“+2y=sinx知 由通解公式知， 由 22.方程 （分数：3.50）解析： 解析 将方程 变形得 即 这是一个线性方程，由线性方程
10、通解公式得 23.方程 （分数：3.50）解析： 解析 在方程 中令 y“=P，则 24.方程 y“+2y“+5y=0的通解为 1 （分数：3.50）解析：y=e -x (C 1 cos2x+C 2 sin2x) 解析 方程 y“+2y“+5y=0的特征方程为 r 2 +2r+5=0 25.方程 y“-y“=0满足条件 y丨 x=0 =3，y“丨 x=0 =-1，y“丨 x=0 =1的特解为 1 （分数：3.50）解析：y=2+e -x 解析 方程 y“-y“=0的特征方程为 r 3 -r=O 即 r(r 2 -1)=0，r 1 =0，r 2 =1，r 3 =-1 则原方程通解为 y=C 1
11、+C 2 e x +C 3 e -x 由初始条件得 26.若二阶常系数线性齐次微分方程 y“+ay“+by=0的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e x ，则非齐次方程y“+ay“+by=x满足条件 y(0)=2，y“(0)=0 的解为 1 （分数：3.50）解析：y=x(1-e x )+2 解析 由 y=(C 1 +C 2 x)e x 是方程 y“+ay“+by=0通解知，r=1 是齐次方程特征方程二重根，则特征方程为 (r-1) 2 =0 即 r 2 -2r+1=0 则 a=-2，b=1 非齐次方程 y“-2y“+y=x 有特解 y=x+2 非齐次通解为 y=(C 1 +C 2 x)e
12、x +x+2 由 y(0)=2，y“(0)=0 知 27. （分数：3.50）解析：24 解析 在用按行(列)展开公式计算行列式的值时，应先用行列式的性质作恒等变形以期减少计算量 28. （分数：3.50）解析： 解析 每行元素都是 a1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，b把每列均加至第一列，则第 1列有公因数可提出 29. （分数：3.50）解析：-14 解析 把第 i行的-(i-1)倍加到第一行(i=2，3，4)有 30. （分数：3.50）解析：-20 解析 本题方法较多，如果能看出 3，4，5 行有范德蒙的背景，也可如下计算： 31.行列式 （分数：3.50）解析： 解析 在第 k行提出公因子 k，再转置，直接利用范德蒙行列式的结论得
