1、考研数学一-286 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：30，分数：100.00)1.设球体 x 2 +y 2 +z 2 z 上任一点处的密度等于该点到原点的距离的平方，则此球的质心的 z 坐标为 1 （分数：3.00）2.设为球面 x 2 +y 2 +z2=2ax(a0)，则面积分 （分数：3.00）3.设为锥面 介于 z=0 和 z 一 1 之间的部分，则 （分数：3.00）4.设为球面 x 2+ y 2 +z 2 =R 2 ，则 （分数：3.00）5.设曲线 C 为圆 x 2 +y 2 =R 2 则线积分 （分数：3.00）6.已知曲线 L=y=x
2、2 ，则 （分数：3.00）7.已知曲线 L 为圆 x 2 +y 2 =a 2 在第一象限的部分，则 （分数：3.00）8.已知曲线 L 为曲面 与 x 2 +y 2 =1 的交线，则 （分数：3.00）9.设 L 是正向圆周 x 2 +y 2 =9，则曲线积 （分数：3.00）10.设 L 是正向圆周 x 2 +y 2 =2 在第一象限中的部分，则线积分 （分数：3.00）11.设 C 为|x|+|y|=1 的正向则 （分数：3.50）12.设 C 为椭圆 的正向，则 （分数：3.50）13.设 C 为上半圆周 从 O(0，0)到 A(2，0)的弧段，则 （分数：3.50）14.设 C 为曲
3、线 上从 O(0，0)到 的曲线段，则 （分数：3.50）15.设 为曲线 ，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为顺时针方向，则 （分数：3.50）16.设 是由锥面 与半球面 围成的空间区域， 是 的整个边界的外侧，则 （分数：3.50）17.设曲面 是 的上侧，则 （分数：3.50）18.设 为球面 x 2 +y 2 +z 2 =1 在第一卦限部分的下侧，则 （分数：3.50）19.设 D 是由 x 2 +y 2 a 2 ，y0 所确定的上半圆域，则 D 的形心的 y 坐标 （分数：3.50）20.设 为曲面 z=x 2 +y 2 和平面 z=1 围成的空间体，则 的形心 z 坐标 （分数：
4、3.50）21.设 为质量均匀分布的半圆 （分数：3.50）22.级数 （分数：3.50）23.若数列a n 收敛，则级数 （分数：3.50）24.若级数(a 1 +a 2 )+(a 3 +a 4 )+(a 2n-1 +a 2n )+发散，则级数 （分数：3.50）25.已知级数 （分数：3.50）26.幂级数 （分数：3.50）27.幂级数 （分数：3.50）28.幂级数 （分数：3.50）29.已知幂级数 的收敛半径为 2，则幂级数 （分数：3.50）30.幂级数 （分数：3.50）考研数学一-286 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：30，分数：10
5、0.00)1.设球体 x 2 +y 2 +z 2 z 上任一点处的密度等于该点到原点的距离的平方，则此球的质心的 z 坐标为 1 （分数：3.00）解析： 解析 由质心计算公式知 2.设为球面 x 2 +y 2 +z2=2ax(a0)，则面积分 （分数：3.00）解析：8a 4 解析 其中 x 为球面 x 2 +y 2 +z 2 =2ax 的形心的 x 坐标，则 S 为该球面的面积，则 S=47a 2 故 3.设为锥面 介于 z=0 和 z 一 1 之间的部分，则 （分数：3.00）解析： 解析 4.设为球面 x 2+ y 2 +z 2 =R 2 ，则 （分数：3.00）解析：4R 4 解析
6、(x+y+z) 2 =x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2yz+2zx 由于球面 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 关于三个坐标面都对称，而 2xy，2yz，2zx 至少关于 x，y，z 某个变量是奇函数，则 5.设曲线 C 为圆 x 2 +y 2 =R 2 则线积分 （分数：3.00）解析：2R 3 解析 (奇偶性，对称性) 6.已知曲线 L=y=x 2 ，则 （分数：3.00）解析：解析 7.已知曲线 L 为圆 x 2 +y 2 =a 2 在第一象限的部分，则 （分数：3.00）解析： 解析 圆 x 2 +y 2 =a 2 的参数方程为 8.已知曲线 L 为曲面 与 x 2 +y
7、2 =1 的交线，则 （分数：3.00）解析： 解析 将 x 2 +y 2 =1 代入 ，得 z=1 则曲线 L 的参数方程为 9.设 L 是正向圆周 x 2 +y 2 =9，则曲线积 （分数：3.00）解析：-18 解析 由格林公式知 10.设 L 是正向圆周 x 2 +y 2 =2 在第一象限中的部分，则线积分 （分数：3.00）解析： 解析 圆周 x 2 +y 2 =2 的参数方程为 则 11.设 C 为|x|+|y|=1 的正向则 （分数：3.50）解析：4 解析 将|x|+|y|=1 代入被积函数的分母得 (格林公式) 12.设 C 为椭圆 的正向，则 （分数：3.50）解析：2 解
8、析 设 为圆 x 2 +y 2 =1 的正向，由于 (x 2 +y 2 0) 则 (格林公式) 13.设 C 为上半圆周 从 O(0，0)到 A(2，0)的弧段，则 （分数：3.50）解析：2- 解析 补线段 ，则 14.设 C 为曲线 上从 O(0，0)到 的曲线段，则 （分数：3.50）解析：-1 解析 1 由于 则该线积分与路径无关，又 cosy 2 dx-2xysiny 2 dy=d(xcosy 2 ) 则 解析 2 由以上分析知该线积分与路径无关，改换积分路径，从(0，0)到 再到 则 15.设 为曲线 ，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为顺时针方向，则 （分数：3.50）解析：-2
9、 解析 1 用斯托克斯公式计算，取为平面 z-y+z=2 上包含在 内的部分，按右手法则取下侧 解析 2 写出曲线参数方程化为定积分计算，由 x-y+z=2 知，z=2-x+y，则原曲线参数方程为 x=cost，y=sint，z=2-cost+sint I= 0 2 (2-cost)(-sint)+(2cost-2-sint)cost+(cost-sint)(sint+cost)dt 解析 3 将空间线积分化为平面线积分，然后用格林公式 设 C 为圆 x 2 +y 2 =1 顺时针方向，由 x-y+z=2 知 z=2-x+y，将其代入 得 16.设 是由锥面 与半球面 围成的空间区域， 是 的
10、整个边界的外侧，则 （分数：3.50）解析： 解析 由高斯公式得 17.设曲面 是 的上侧，则 （分数：3.50）解析：4 解析 补平面 S 为 x 2 +y 2 4 的下侧 则 18.设 为球面 x 2 +y 2 +z 2 =1 在第一卦限部分的下侧，则 （分数：3.50）解析：解析 19.设 D 是由 x 2 +y 2 a 2 ，y0 所确定的上半圆域，则 D 的形心的 y 坐标 （分数：3.50）解析：解析 20.设 为曲面 z=x 2 +y 2 和平面 z=1 围成的空间体，则 的形心 z 坐标 （分数：3.50）解析：解析 21.设 为质量均匀分布的半圆 （分数：3.50）解析：解析
11、 22.级数 （分数：3.50）解析：0 解析 则原级数 当 0 时收敛，当 0 时发散当 =0 时，原级数为 23.若数列a n 收敛，则级数 （分数：3.50）解析：收敛 解析 级数 的部分和数列为 S n =(a 2 -a 1 )+(a 3 -a 2 )+(a n+1 -a n ) 由于a n 收敛，则S n 收敛，级数 24.若级数(a 1 +a 2 )+(a 3 +a 4 )+(a 2n-1 +a 2n )+发散，则级数 （分数：3.50）解析：发散 解析 如果 25.已知级数 （分数：3.50）解析：解析 由于 则原级数与级数 同敛散，而当且仅当 时级数 收敛26.幂级数 （分数：3.50）解析：-1，1)解析 由于 ，则 R=1当 x=-1 时，原级数为 收敛当 x=1 时，原级数为27.幂级数 （分数：3.50）解析： 解析 由于 则 (由于该幂级数缺奇次项) 故应填 28.幂级数 （分数：3.50）解析：(-2，4)解析 29.已知幂级数 的收敛半径为 2，则幂级数 （分数：3.50）解析：解析 由于幂级数 可由幂级数 30.幂级数 （分数：3.50）解析：-1，1) 解析 分为两个幂级数分别考虑 幂级数 的收敛域为-1，1) 幂级数 的收敛域为(-2，2) 则幂级数
