1、考研数学一-285 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：30，分数：100.00)1.设 x=e xy +f(x+y，xy)，f(u，v)有二阶连续偏导数，则 （分数：3.00）2.二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极小值为 1 （分数：3.00）3.函数 f(x，y)=x 2 y(4-x-y)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的最小值为 1 （分数：3.00）4.设 （分数：3.00）5.设 u=u(x，y，z)具有二阶连续偏导数，则 rot(grad u)= 1 （分数：3.00）6.曲面 z-(x
2、y) z +2xy=3 在点(1，2，0)处的切平面方程为 1 （分数：3.00）7.曲线 （分数：3.00）8.函数 f(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 在点(1，-1，0)处沿球面 x 2 +y 2 +z 2 =2 在该点的外法线方向的方向导数 （分数：3.00）9.函数 f(x，y，z)=x 3 +y 4 +z 2 在点(1，1，0)处方向导数的最大值与最小值之积为 1 （分数：3.00）10.交换二次积分的积分次序， （分数：3.00）11.设 a0，交换二次积分的积分次序， （分数：3.50）12.交换二次积分的积分次序， 0 1 dy 1+y2 1-y f(x，y)dx=
3、 1 （分数：3.50）13.设 D 是由不等式 x 2 +y 2 ax 与 x 2 +y 2 a 2 (a0)及 x0 所确定，则二重积分 （分数：3.50）14. （分数：3.50）15. （分数：3.50）16.积分 0 2 dx 2 x e -y2 dy 的值等于 1 （分数：3.50）17. （分数：3.50）18. （分数：3.50）19.设 D=x，y)|0x1，0y1，则 （分数：3.50）20.交换积分次序 （分数：3.50）21.交换积分次序 （分数：3.50）22.设 D 为不等式 0x3，0y1 所确定的区域，则 （分数：3.50）23. （分数：3.50）24. （分
4、数：3.50）25.已知 f(x,y)连续，且 （分数：3.50）26. 0 2 dx 1 0 |y-x|dy= 1 （分数：3.50）27.设 由 ，0z1 所确定，则 （分数：3.50）28.设 是由曲线 绕 z 轴旋转一周而成的曲面与平面 z=2 和 z=8 所围立体，则 （分数：3.50）29.设 是由 x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，z0 所确定，则 （分数：3.50）30.设 是由曲面 与 所围成的区域，则 （分数：3.50）考研数学一-285 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：30，分数：100.00)1.设 x=e xy +f(x+y
5、，xy)，f(u，v)有二阶连续偏导数，则 （分数：3.00）解析：e xy +xye xy +f 11 +(x+y)f 12 +xyf 22 +f 2 解析 由 z=e xy +f(x+y，xy)知 2.二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极小值为 1 （分数：3.00）解析： 解析 f“ x =2x(2+y 2 )，f“ y =2x 2 y+1ny+1 令 解得驻点 所以 ，则 A0，则 是 f(x，y)的极小值，极小值为 3.函数 f(x，y)=x 2 y(4-x-y)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的最小值为 1 （分数：3.00）
6、解析：-64 解析 由 得区域 D 内驻点(2，1) 在边界 y=0 (0x6)上，z=0 在边界 x=0 (0y6)上，z=0 在边界 x+y=6 (0y6)上， z=2x 3 -12x 2 (0x6) 令 4.设 （分数：3.00）解析： 解析 令 ，则 5.设 u=u(x，y，z)具有二阶连续偏导数，则 rot(grad u)= 1 （分数：3.00）解析：0 解析 6.曲面 z-(xy) z +2xy=3 在点(1，2，0)处的切平面方程为 1 （分数：3.00）解析：4x+2y+(1-ln2)z=8 解析 令 F(x，y，z)=z-(xy) 2 +2xy-3 则 F x =2y-z(
7、xy) z-1 y，F x (1，2，0)=4 F y =2x-z(xy) z-1 x，F y (1，2，0)=2 F z =1-(xy) z ln(xy)，F z (1，2，0)=1-ln2 则所求切平面方程为 4(x-1)+2(y-2)+(1-ln2)z=0 即 4x+2y+(1-ln2)z=87.曲线 （分数：3.00）解析： 解析 曲面 x 2 +y 2 +z 2 =6 在点(1，-2，1)处的法向量为 n 1 =(1，-2，1)平面 x+y+z=0的法向量为 n 2 =(1，1，1) 曲线 在点(1，-2，1)处的切向量为 n 1 n 2 =(-3，0，3)则所求切线方程为 8.函数
8、 f(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 在点(1，-1，0)处沿球面 x 2 +y 2 +z 2 =2 在该点的外法线方向的方向导数 （分数：3.00）解析： 解析 球面 x 2 +y 2 +z 2 =2 在点(1，-1，0)处的外法线向量为 n=(1，-1，0) 其方向余弦为 9.函数 f(x，y，z)=x 3 +y 4 +z 2 在点(1，1，0)处方向导数的最大值与最小值之积为 1 （分数：3.00）解析：-25 解析 函数 f(x，y，z)在点(1，1，0)处方向导数的最大值和最小值分别为 f(x，y，z)在该点处梯度向量的模和梯度向量模的负值 grad f 丨 (1，1，0)
9、 =(3，4，0) 10.交换二次积分的积分次序， （分数：3.00）解析：解析 首先画出积分域的草图，然后按照先 x 后 y 定限便得结果11.设 a0，交换二次积分的积分次序， （分数：3.50）解析：12.交换二次积分的积分次序， 0 1 dy 1+y2 1-y f(x，y)dx= 1 （分数：3.50）解析：13.设 D 是由不等式 x 2 +y 2 ax 与 x 2 +y 2 a 2 (a0)及 x0 所确定，则二重积分 （分数：3.50）解析：14. （分数：3.50）解析： 解析 由于|x|+|y|既是 x 的偶函数，也是 y 的偶函数，而积分域|x|+|y|1 关于两个坐标轴都
10、对称，则 15. （分数：3.50）解析： 解析 由于 2y 是 y 的奇函数，而积分域 x 2 +y 2 1 关于 x 轴对称，则 (变量的对称性) 16.积分 0 2 dx 2 x e -y2 dy 的值等于 1 （分数：3.50）解析： 解析 交换积分次序得 17. （分数：3.50）解析： 解析 将原积分化为极坐标下累次积分 18. （分数：3.50）解析：1-sin1 解析 交换积分次序得 19.设 D=x，y)|0x1，0y1，则 （分数：3.50）解析： 解析 由于区域 D 关于直线 y=x 对称，则 其中区域 D 1 如图，为下半三角形，则 20.交换积分次序 （分数：3.50
11、）解析： 解析 由原题知积分域如图所示，则 原式 21.交换积分次序 （分数：3.50）解析： 解析 由原题知积分域如图所示，则 22.设 D 为不等式 0x3，0y1 所确定的区域，则 （分数：3.50）解析：解析 23. （分数：3.50）解析： 解析 交换积分次序得 24. （分数：3.50）解析： 解析 交换积分次序得 25.已知 f(x,y)连续，且 （分数：3.50）解析： 解析 等式 两端积分得由奇偶性和对称性知 则 26. 0 2 dx 1 0 |y-x|dy= 1 （分数：3.50）解析： 解析 分区域去掉被积函数中的绝对值然后计算 27.设 由 ，0z1 所确定，则 （分数
12、：3.50）解析： 解析 利用直角坐标下先重积分后单积分的方法计算用平面 Z=z(0z1)去截积分域得一椭圆 它所围的面积为 故 28.设 是由曲线 绕 z 轴旋转一周而成的曲面与平面 z=2 和 z=8 所围立体，则 （分数：3.50）解析：336 解析 用直角坐标下先重积分后单积分的方法计算旋转面方程为：2z=x 2 +y 2 则 29.设 是由 x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，z0 所确定，则 （分数：3.50）解析： 解析 令 1 为球体 x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，则 30.设 是由曲面 与 所围成的区域，则 （分数：3.50）解析： 解析 x 是 x 的奇函数，积分域 关于 yOz 坐标面对称，则
