1、考研数学一-283 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：30，分数：100.00)1.设 则 （分数：3.00）2. （分数：3.00）3.设 则 （分数：3.00）4.设 0，0 为常数，则 （分数：3.00）5. （分数：3.00）6. （分数：3.00）7. （分数：3.00）8.设 a0，a1， （分数：3.00）9. （分数：3.00）10. （分数：3.00）11.设 ，则 （分数：3.50）12.设 a 1 ，a 2 ，a m 为正数(m2)，则 （分数：3.50）13.x表示 x 的最大整数部分，则 （分数：3.50）14.设a n 为数列
2、， ，|q|1，则 （分数：3.50）15.数列 ，则 （分数：3.50）16. （分数：3.50）17.设函数 f(x)在 x=1 连续，且 f(1)=1 则 （分数：3.50）18.设 （分数：3.50）19.设 （分数：3.50）20.设 （分数：3.50）21.函数 f(x)满足 f(0)=0，f“(0)0，则 （分数：3.50）22.设 （分数：3.50）23.设 f“(1)=1，则 （分数：3.50）24.设 f(x)在 x=0 可导且 f(0)=1，f“(0)=3，则数列极限 （分数：3.50）25.设 f(x)可导，则 （分数：3.50）26.设函数 f(x)和 g(x)在 x
3、 处可导，f(x)0，g(x)0，则 （分数：3.50）27.曲线 y=e x3 过原点的切线是 1 （分数：3.50）28.设质点 P 在直角坐标系 xOy 的 y 轴上作匀速运动，速度为 c，定点 A 在 x 轴上 x=a0 处，记 AP 之长为 l，AP 与 x 轴夹角为 (下图)则直线段 AP 的角速度月 l 2 之积等于 1 （分数：3.50）29.设 f(x)在 x=a 处二阶导数存在，则 （分数：3.50）30.设 y=y(x)由参数方程 确定，则 ， （分数：3.50）考研数学一-283 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：30，分数：100
4、.00)1.设 则 （分数：3.00）解析：2 解析 1 先求出 g(f(x) 由 f(x)的定义知，当 x0 时，f(x)=x 2 0；当 x0 时，f(x)=-x0；当 x=0 时，f(x)=0于是 因此， 解析 2 不必求出 g(f(x) 因此， 2. （分数：3.00）解析：0 解析 用相消法结合洛必达法则求这个 型的极限，分子、分母同除以(e x ) 3 其中用洛必达法则易知 3.设 则 （分数：3.00）解析： 解析 将 x n 化简 4.设 0，0 为常数，则 （分数：3.00）解析：0 解析 用洛必达法则求得 型极限 5. （分数：3.00）解析： 解析 1 这是指数型(1 )
5、极限，用求指数型极限的一般方法： 转化为求 型极限 先用等价无穷小因子替换，再用洛必达法则 于是 其中 (x0) 解析 2 用求 1 型极限的方法： 利用重要极限 I=e A 转化为求极限 因此 6. （分数：3.00）解析： 解析 sin 10 xx 10 (x0)，用等价无穷小因子替换得 再作变量替换：u=x 2 得 其中 7. （分数：3.00）解析： 解析 1 解析 2 8.设 a0，a1， （分数：3.00）解析：2 解析 当 x+ 因此 9. （分数：3.00）解析： 解析 10. （分数：3.00）解析： 解析 11.设 ，则 （分数：3.50）解析：e 2 解析 把 改写为指数
6、形式： 由此得 (1) 当 x0 时，分母为无穷小，所以分子也为无穷小，进一步有 因此，当 x0 时 ，所以(1)可写为 因此 于是 12.设 a 1 ，a 2 ，a m 为正数(m2)，则 （分数：3.50）解析：maxa 1 ，a 2 ，a m 解析 1 恒等变形后用幂指数运算法则不妨设 a 1 为最大值 解析 2 用适当放大缩小法不妨设 maxa 1 ，a 2 ，a m )=a 1 则 令 n， ，由夹逼定理 13.x表示 x 的最大整数部分，则 （分数：3.50）解析：2 解析 因此，当 x0 当 x0 又 于是 14.设a n 为数列， ，|q|1，则 （分数：3.50）解析：0 解
7、析 1 由 有 ，由极限的不等式性质 ，当 nN 时， ，即|a n+1 |a n |，所以不妨认为数列|a n |是单调减少的，又|a n |0，由单调有界数列收敛定理推出 存在，设 ，则 a=0，若不然，a0， ，这与 矛盾 于是 解析 2 取 q 0 满足|q|q 0 1由 及极限不等式性质 ，当 nN 时 即 |a n+1 |q 0 |a n |(nN) |a N+1 |q 0 |a N |， |a N+2 |q 0 2 |a N | |a n |q 0 n-N |a N | (nN) 因 15.数列 ，则 （分数：3.50）解析： 解析 先用等价无穷小因子替换， 解析 1 转化为函数
8、极限后再用洛必达法则 解析 2 用泰勒公式： 16. （分数：3.50）解析： 解析 1 用泰勒公式 已知 解析 2 用洛必达法则 其中 17.设函数 f(x)在 x=1 连续，且 f(1)=1 则 （分数：3.50）解析：ln3 解析 先求出 由函数的连续性得 18.设 （分数：3.50）解析： 解析 设 ，其中 g(x)，h(x)，分别在a，x 0 ，(x 0 ，b是初等函数，因而连续于是 f(x)在a，x 0 ，(x 0 ，b连续，又 h(x)在x 0 ，b连续，于是 f(x)在 x 0 连续 g(x 0 )=h(x 0 ) 对于该 f(x)，对 常数 A，显然 A1 时 f(x)连续仅
9、当 时 f(x)在 x=1 连续因此，仅当 19.设 （分数：3.50）解析：a=-1，b=ln2 解析 先分别考察 f(x)，g(x)的连续性 对 ，x0 时 f(x)连续，x=0 时 f(x)左连续，f(0)=6，又 仅当 a=-1 时 f(x)在 x=0 右连续因此，仅当 a=-1 时 f(x)在 x=0 连续 对 ，x1 时 g(x)连续，x=1 时 g(x)右连续，g(1)=e b +1，又 仅当 e b +1=3，即 e b =2，b=ln2 时 g(x)在 x=1 左连续因此，仅当 b=ln2 时 g(x)在 x=1 连续 现由连续性运算法则知，b=ln2，a=-1 时 f(x)
10、+g(x)处处连续 a-1 时，f(x)在 x=0 不连续，g(x)在 x=0 连续 f(x)+g(x)在 x=0 不连续 bln2 时，f(x)在 x=1 连续，g(z)在 x=1 不连续， 20.设 （分数：3.50）解析： 解析 易得 因为 又因为 因此 21.函数 f(x)满足 f(0)=0，f“(0)0，则 （分数：3.50）解析：1 解析 因 f(0)=0， ，当 x(0，)时，(x)0 而 其中 22.设 （分数：3.50）解析： 解析 当 x0 时，由求导法则得 当 x=0 时， 解法 1 按定义 解法 2 易知 f(x)在 x=0 连续，又 23.设 f“(1)=1，则 （分
11、数：3.50）解析：1 解析 利用导数定义，转化为求极限 其中 24.设 f(x)在 x=0 可导且 f(0)=1，f“(0)=3，则数列极限 （分数：3.50）解析：e 6 解析 这是指数型的数列极限，先化为 转化为求 25.设 f(x)可导，则 （分数：3.50）解析： 解析 先考察 (x)的可导性并求导因 (x)在分段点 x=0 的两侧表达式不同，因此，要分别求出 x=0 处的左右导数以及 x0 和 x0 时的导数。 x=0 时，按定义求 (x)在 x=0 处的左导数为： (x)在 x=0 处的右导数为 In(1+x 2 )在 x=0 的右导数： 于是 “(0)=0 x0 时， x0 时
12、， 因此，由复合函数求导法得 26.设函数 f(x)和 g(x)在 x 处可导，f(x)0，g(x)0，则 （分数：3.50）解析： 解析 (1) 27.曲线 y=e x3 过原点的切线是 1 （分数：3.50）解析： 解析 显然(0，0)不在曲线上，因此要先求出切点坐标，设切点坐标为(x 0 ， ) y“=(e x3 )“=3x 2 e x3 ，因此，切线方程为： 把(0，0)代入上式得 因此切线斜率为 于是切线方程为 28.设质点 P 在直角坐标系 xOy 的 y 轴上作匀速运动，速度为 c，定点 A 在 x 轴上 x=a0 处，记 AP 之长为 l，AP 与 x 轴夹角为 (下图)则直线段 AP 的角速度月 l 2 之积等于 1 （分数：3.50）解析：ac 解析 P 点的坐标为(0，y)，AP 与 x 轴夹角为 ，则 两边对时间 t 求导得 以 代入得 因此 29.设 f(x)在 x=a 处二阶导数存在，则 （分数：3.50）解析： 解析 1 (1)式到(2)式用了洛必达法则，(2)式到(3)式利用了 f“(x)在 x=a 处的导数定义 解析 2 (h0)代入得 30.设 y=y(x)由参数方程 确定，则 ， （分数：3.50）解析： 解析 y=y(x)的曲率
