1、考研数学一-280 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：100.00)1.设相互独立两随机，变且 X 和 Y 均服从 ，则可以作出服从二项分布的随机变量 AX+Y+2 B CX-Y+2 D （分数：3.00）A.B.C.D.2.设相互独立的随机变量 X 和 Y 均服从 P(1)分布，则 PX=1|X+Y=2的值为 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.3.设随机变量 X 和 Y 相互独立同分布，已知 PX=k)=p(1-p) k-1 ，k=1，2，0P1，则 PXY)的值为 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.4.设二
2、维随机变量(X 1 ，X 2 )的密度函数 f 1 (x 1 ，x 2 )，则随机变量(Y 1 ，Y 2 )其中 Y 1 =2X 1 ， 的概率密度 f 2 (y 1 ，y 2 )等于 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.5.设相互独立的两随机变量 X，Y 均服从0，3上的均匀分布，则 P1max(X，Y)2的值为 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.6.设相互独立的两随机变量 X 和 Y 分别服从 E()和 E(+2)分布，o，则 Pmin(X，Y)1的值为 A.e-(+1) B.1-e-(+1) C.e-2(+1) D.1-e-2(+1) （分数：3.00）A.
3、B.C.D.7.设相互独立的两随机变量 X，Y 均服从 E(1)分布，则 P1min(X，Y)2的值为 Ae -1 -e -2 B1-e -1 C1-e -2 De -2 -e -4 （分数：3.00）A.B.C.D.8.假设 X 与 Y 是随机变量，其分布函数分别为 F X (x)，F Y (y)如果它们的期望和方差都存在，现在有四个结论： X=Y PX=y=1 F X (x)=F Y (x) EX=EY，DX=DY 如果用“P Q”表示由结论 P 可以推出结论 Q，则 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.9.设随机变量 X 的二阶矩存在，则 A.EX2EX B.EX2EX C
4、.EX2(EX) 2 D.EX2(EX) 2（分数：3.00）A.B.C.D.10.设随机变量 X 的期望、方差都存在，则对任意常数 c，有 A.E(X-c)2DX+E 2(X-c) B.E(X-c)2DX+E 2(X-c) C.E(X-c)2=DX+E2(X-c) D.E(X-c)2=DX-E2(X-c)（分数：3.00）A.B.C.D.11.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，则其数学期望 E(X)=a，如果成立 A + - xf(x-a)dx=0 B + - xf(x+a)dx=0 C D （分数：3.00）A.B.C.D.12.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，数学期望 E(
5、X)=2，则 A B 2 - xf(x)dx= + 2 xf(x)dx C D （分数：3.00）A.B.C.D.13.现有 10 张奖券，其中 8 张 2 元，2 张 5 元，今从中一次取三张，则得奖金 X 的数学期望 EX 为（分数：3.00）A.6B.7.8C.8.4D.914.已知随机变量 X 的概率密度为 （分数：3.00）A.20B.22C.24D.2815.设随机变量 X 服从标准正态分布 N(0，1)，则 E(X-2) 2 e 2X = A1 B2 Ce 2 D2e 2 （分数：3.00）A.B.C.D.16.设随机变量 X 和 Y 均服从 分布，且 记 X 与 Y 的相关系数
6、为 ，则 A=1 B=-1 (c)=0 D （分数：3.00）A.B.C.D.17.设随机变量 ， 已知 X 与 Y 的相关系数 =1，则 PX=0，Y=1)的值必为 A0 B C （分数：3.00）A.B.C.D.18.设随机事件 A 与 B 互不相容，0PA1，0PB1， 记 （分数：3.50）A.=0B.=1C.0D.019.已知随机变量 X 与 Y 的相关系数为 XY 且 XY 0，设 Z=aX+b，其中 a，b 为常数，则 Y 与 Z 的相关系数 YZ = XY 的充要条件是（分数：3.50）A.a=1B.a0C.a0D.a020.设随机变量 X 与 Y 的方差均为正，则 X 与 Y
7、 的相关系数 =1 的充要条件为 AY=X+b，(其中 b 为任意常数) BDX=DY=cov(X，Y) C D （分数：3.50）A.B.C.D.21.设二维随机变量(X 1 ，X 2 )中 X 1 与 X 2 的相关系数为 ，记 =cov(X i ，X j )，（i，j=1，2)，则行列式 的充分必要条件是 A=0 B C （分数：3.50）A.B.C.D.22.已知随机变量 X 与 Y 有相同的不为零的方差，则 X 与 Y 相关系数等于 1 的充分必要条件是（分数：3.50）A.cov(X 十 Y，X)=0B.cov(X+Y，Y)=0C.cov(X+Y，X-y)=0D.cov(X-Y，X
8、)=023.已知随机变量 X 与 Y 的相关系数大于零，则（分数：3.50）A.D(X+Y)DX+DYB.D(X+Y)DX+DYC.D(X-Y)DX+DYD.D(X-Y)DX+DY24.已知(X，Y)服从二维正态分布，EX=EY=，DX=DY= 2 ，X 与 Y 的相关系数 0，则 X 与 Y（分数：3.50）A.独立且有相同的分布B.独立且有不同的分布C.不独立且有相同的分布D.不独立且有不同的分布25.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且方差 DX0，DY0，则 AX 与 X+Y 一定相关 BX 与 X+Y 一定不相关 (c)X 与 XY 一定相关 DX 与 XY 一定不相关 （分数：3.
9、50）A.B.C.D.26.已知随机变量 X 服从标准正态分布，Y=2X 2 +X+3，则 X 与 Y（分数：3.50）A.不相关且相互独立B.不相关且相互不独立C.相关且相互独立D.相关且相互不独立27.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 方差存在且不为零，已知 D(X 1 +X 2 +X 3 )=DX 1 +DX 2 +DX 3 ，则 X 1 ，X 2 ，X 3 必为（分数：3.50）A.相互独立B.不相互独立，但两两不相关C.不一定两两不相关D.一定不两两相关28.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且 EX i =，DX i = 2 0，记 ，则 与 （分数：3.5
10、0）A.不相关且相互独立B.不相关且相互不独立C.相关且相互独立D.相关且相互不独立29.假设随机变量 X 与 Y 相互独立具有非零的方差，DXDY，则 A.3X+1 与 4Y-2 相关 B.X+Y 与 X-y 不相关 C.X+Y 与 2Y+1 相互独立 D.eX与 2Y+1 相互独立（分数：3.50）A.B.C.D.30.已知随机变量 ， ，则 PX+Y1等于 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.31.设随机变量 ， ，已知 PXY=1)= （分数：3.50）A.=1B.=-1C.=0，但 X，Y 不独立D.X，Y 相互独立考研数学一-280 答案解析(总分：100.00，做题
11、时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：100.00)1.设相互独立两随机，变且 X 和 Y 均服从 ，则可以作出服从二项分布的随机变量 AX+Y+2 B CX-Y+2 D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 =PX+Y=2)=PX=1，Y=1)：PX=1PY=1 所以 服从分布 不难计算出(A)，(C)，(D)的分布律，它们均不服从二项分布 2.设相互独立的随机变量 X 和 Y 均服从 P(1)分布，则 PX=1|X+Y=2的值为 A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 PX=1，X+Y=2)=PX=1，Y=1)=PX=1PY=1 =e -1 e
12、 -1 =e -2 所以 3.设随机变量 X 和 Y 相互独立同分布，已知 PX=k)=p(1-p) k-1 ，k=1，2，0P1，则 PXY)的值为 A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 解法一： 解法二：由对称性知 PXy=PXY) 而 所以 4.设二维随机变量(X 1 ，X 2 )的密度函数 f 1 (x 1 ，x 2 )，则随机变量(Y 1 ，Y 2 )其中 Y 1 =2X 1 ， 的概率密度 f 2 (y 1 ，y 2 )等于 A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 设(X 1 ，X 2 )的分布为 F 1 (x 1 ，x 2 )，(
13、Y 1 ，Y 2 )的分布为 F 2 (y 1 ，y 2 ) 所以 5.设相互独立的两随机变量 X，Y 均服从0，3上的均匀分布，则 P1max(X，Y)2的值为 A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 P1 =PX2，Y2-PX1，Y1=PX2)PY2-px1)PY16.设相互独立的两随机变量 X 和 Y 分别服从 E()和 E(+2)分布，o，则 Pmin(X，Y)1的值为 A.e-(+1) B.1-e-(+1) C.e-2(+1) D.1-e-2(+1) （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 Pmin(X，Y)1=PX1，Y1=PX1PY1 =e - e
14、 -(+2) =e -2(+1) 7.设相互独立的两随机变量 X，Y 均服从 E(1)分布，则 P1min(X，Y)2的值为 Ae -1 -e -2 B1-e -1 C1-e -2 De -2 -e -4 （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 P1min(X，Y)2=Pmin(X，Y)1-Pmin(X，Y)2 =PX1，Y1)-PX2，Y2 =PX1)PY1-PX2)PY2 =e -1 e -1 -e -2 e -2 =e -2 -e -4 8.假设 X 与 Y 是随机变量，其分布函数分别为 F X (x)，F Y (y)如果它们的期望和方差都存在，现在有四个结论： X=Y PX=y
15、=1 F X (x)=F Y (x) EX=EY，DX=DY 如果用“P Q”表示由结论 P 可以推出结论 Q，则 A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 具有相同分布的随机变量并不意味着这两个随机变量相等或以概率 1 相等，即 不一定成立，故(C)、(D)不能选，而 PX=Y=1，也不意味着对一切样本点 都有 X()=Y()，即 不一定成立因此(A)不能选 正确选项是(B)，事实上，如果 PX=Y)=1，则 PXY)=0，F X (x)=PXx=PXx，X=Y=PYx，X=Y)=PYx=F Y (x)，即 ；又分布相同，相应的数字特征就应该相等(只要它们存在)所以 成
16、立，选项(B)正确 其他选项不成立，我们可通过下面的例子加以说明例：将一枚硬币随意投掷一次，记 1 =“掷出正面”， 2 =“掷出反面”，则样本空间 = 1 ， 2 ，令 显然 9.设随机变量 X 的二阶矩存在，则 A.EX2EX B.EX2EX C.EX2(EX) 2 D.EX2(EX) 2（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 DX=EX 2 =(EX) 2 0，故 EX 2 (EX) 2 ，选择(D)选项(A)、(B)对某些随机变量可能成立，对某些随机变量可能不成立例如，随机变量 X 在区间0，1上服从均匀分布，则 ， ， ，选项(A)成立此时(B)不成立又如 XN(， 2
17、 )，EX=，DX= 2 ，EX 2 = 2 + 2 ，取 ，则 10.设随机变量 X 的期望、方差都存在，则对任意常数 c，有 A.E(X-c)2DX+E 2(X-c) B.E(X-c)2DX+E 2(X-c) C.E(X-c)2=DX+E2(X-c) D.E(X-c)2=DX-E2(X-c)（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 由于 DX=D(X-c)=E(X-c) 2 -E 2 (X-c)， 所以 E(X-c) 2 =DX+E 2 (X-c)， 选择(C) 或者是，由于 E(X-c) 2 =E(X 2 -2cX+c 2 )=EX 2 -2cEX+c 2 ， E(X-c) 2 =
18、(EX-c) 2 =(EX) 2 -2cEX+c 2 ， E(X-c) 2 -E 2 (X-c)=EX 2 -(EX) 2 =DX，E(X-c) 2 =DX+E(X-c)选择(C)11.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，则其数学期望 E(X)=a，如果成立 A + - xf(x-a)dx=0 B + - xf(x+a)dx=0 C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 当(B)成立时，即 + - xf(x+a)dx=0 令 x+a=t， + - xf(x+a)dx= + - (t-a)f(t)dt= + - tf(t)dt-a + - f(t)dt =E(X)-a=0 即
19、E(X)=a12.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，数学期望 E(X)=2，则 A B 2 - xf(x)dx= + 2 xf(x)dx C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 E(X)= + - xf(x)dx=2，令 ，则有 + - xf(x)dx= + - 2tf(2t)d(2t)=4 + - tf(2t)dt=2， 即 13.现有 10 张奖券，其中 8 张 2 元，2 张 5 元，今从中一次取三张，则得奖金 X 的数学期望 EX 为（分数：3.00）A.6B.7.8 C.8.4D.9解析：解析 解法一：X 的分布律为 ，即 解法二：设 X i 第 i 次取得的奖
20、金数，i=1，2，3 X=X 1 +X 2 +X 3 ， 14.已知随机变量 X 的概率密度为 （分数：3.00）A.20 B.22C.24D.28解析：解析 D(X 2 )=E(X 4 )-(EX 2 ) 2 15.设随机变量 X 服从标准正态分布 N(0，1)，则 E(X-2) 2 e 2X = A1 B2 Ce 2 D2e 2 （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 所以选择(C)上式最后一步是因为 是正态 N(2，1)的概率密度 而 16.设随机变量 X 和 Y 均服从 分布，且 记 X 与 Y 的相关系数为 ，则 A=1 B=-1 (c)=0 D （分数：3.00）A. B.
21、C.D.解析：解析 17.设随机变量 ， 已知 X 与 Y 的相关系数 =1，则 PX=0，Y=1)的值必为 A0 B C （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 所以 ，即 但 cov(X，Y)=E(XY)-EXEY，即 所以 ，由于 XY 的取值只有 0 和 1 因此， 即 PX=0，Y=1)=PY=1-PX=1，Y=1 18.设随机事件 A 与 B 互不相容，0PA1，0PB1， 记 （分数：3.50）A.=0B.=1C.0 D.0解析：解析 选项(B)不能选，否则(D)必成立因此我们仅能在(A)、(C)、(D)中考虑，即考虑 的符号，而相关系数符号取决于 cov(X，Y)=EX
22、Y-EXEY，由题设知 EX=P(A)，EY=P(B)，19.已知随机变量 X 与 Y 的相关系数为 XY 且 XY 0，设 Z=aX+b，其中 a，b 为常数，则 Y 与 Z 的相关系数 YZ = XY 的充要条件是（分数：3.50）A.a=1B.a0 C.a0D.a0解析：解析 直接计算 Y 与 Z 相关系数 YZ 来确定正确选项由于 cov(Y，Z)=cov(Y，aX+b)=acov(X，Y)，DZ=D(aX+b)=a 2 DX。 ， YZ = XY 就有 20.设随机变量 X 与 Y 的方差均为正，则 X 与 Y 的相关系数 =1 的充要条件为 AY=X+b，(其中 b 为任意常数)
23、BDX=DY=cov(X，Y) C D （分数：3.50）A.B.C.D. 解析：解析 由公式 D(X+Y)=DX+DY+2cov(X，Y)，因此 等价于 也就等价于 即 21.设二维随机变量(X 1 ，X 2 )中 X 1 与 X 2 的相关系数为 ，记 =cov(X i ，X j )，（i，j=1，2)，则行列式 的充分必要条件是 A=0 B C （分数：3.50）A.B.C.D. 解析：解析 =cov(X 1 ，X 1 )cov(X 2 ，X 2 )-cov(X 1 ，X 2 )cov(X 2 ，X ! ) =DX 1 DX 2 -cov(X 1 ，X 2 ) 2 =0 等价 22.已知
24、随机变量 X 与 Y 有相同的不为零的方差，则 X 与 Y 相关系数等于 1 的充分必要条件是（分数：3.50）A.cov(X 十 Y，X)=0B.cov(X+Y，Y)=0C.cov(X+Y，X-y)=0D.cov(X-Y，X)=0 解析：解析 直接用定义通过计算确定正确选项，已知 DX=DY，故 即 cov(X，Y)=cov(X，X)，所以 cov(X，X-y)=cov(X，X)-cov(X，Y)=0，即 cov(X-y，X)=0 选择(D)其余选项均不正确，这是因为当 DX=DY 时必有 cov(X+Y，X-Y)=cov(X，X)-cov(X，Y)+cov(Y，X)-cov(Y，Y) =D
25、X-DY=0， 选项(C)成立，不能推出 =1选项(A)、(B)可推出 cov(X，Y)=-cov(X，X)=-DX 或 cov(X，Y)=-cov(Y，Y)=-DY 由此得 23.已知随机变量 X 与 Y 的相关系数大于零，则（分数：3.50）A.D(X+Y)DX+DYB.D(X+Y)DX+DYC.D(X-Y)DX+DYD.D(X-Y)DX+DY 解析：解析 应用公式 D(XY)=DX+DY2cov(X，Y)确定正确选项 由于 X 与 Y 的相关系数 24.已知(X，Y)服从二维正态分布，EX=EY=，DX=DY= 2 ，X 与 Y 的相关系数 0，则 X 与 Y（分数：3.50）A.独立且
26、有相同的分布B.独立且有不同的分布C.不独立且有相同的分布 D.不独立且有不同的分布解析：解析 由于(X，Y)服从二维正态分布，故 XN(， 2 )，YN(， 2 )即 X 与 Y 有相同的分布，但是 0，所以 X 与 Y 不独立，选择(C) 本题可以有下面的变式： (1)已知(X，Y)服从二维正态分布，EX=EY=，DX=DY= 2 ，X 与 Y 的相关系数 0，则 X+Y 与 X-Y (A)不相关且有相同的分布 (B)不相关且有不同的分布 (C)相关且有相同的分布 (D)相关且有不同的分布 B 解析 由于(X，Y)服从二维正态分布，故 X+Y 与 X-y 都服从正态分布，但是 E(X+Y)
27、=2，E(X-Y)=0，D(X+Y)=DX+DY+2cov(X，Y)=2 2 +2 2 =2(1+) 2 ，D(X-y)=DX+DY-2cov(X，Y)=2(1-) 2 ，所以 X+Y 与 X-Y 有不同的分布又 coy(X+Y，X-Y)=cov(X，X)-cov(X，Y)+cov(Y，X)-cov(Y，Y)=DX-DY=0，所以 X+Y 与 X-Y 不相关，选择(B) (2)已知随机变量 X 与 Y 不相关，DX=DY0，则随机变量 2X+Y 与 2Y+1 (A)相关且相互独立 (B)相关且相互不独立 (C)不相关且相互独立 (D)不相关且相互不独立 B 解析 由题设知 cov(X，Y)=0
28、，DX=DY0，故 cov(2X+Y，2Y+1)=4cov(X，Y)+2cov(X，1)+2cov(Y，Y)+cov(Y，1) =2DY0，所以 2X+Y 与 2Y+1 相关，从而断言 2X+Y 与 2Y+1 不独立，选择(B)25.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且方差 DX0，DY0，则 AX 与 X+Y 一定相关 BX 与 X+Y 一定不相关 (c)X 与 XY 一定相关 DX 与 XY 一定不相关 （分数：3.50）A. B.C.D.解析：解析 直接通过计算协方差来判断， 已知 X 与 Y 独立，故 coy(X，Y)=0， cov(X，X+Y)=coy(X，X)+cov(X，Y)=D
29、X0 所以 X 与 X+Y 一定相关，选择(A) 又由于 cov(X，XY)=EX 2 y-EXEXY=EX 2 EY-(EX) 2 EY 26.已知随机变量 X 服从标准正态分布，Y=2X 2 +X+3，则 X 与 Y（分数：3.50）A.不相关且相互独立B.不相关且相互不独立C.相关且相互独立D.相关且相互不独立 解析：解析 判断 X，Y 是否不相关，就得判断 X 与 Y 的相关系数 27.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 方差存在且不为零，已知 D(X 1 +X 2 +X 3 )=DX 1 +DX 2 +DX 3 ，则 X 1 ，X 2 ，X 3 必为（分数：3.50）A.相互独
30、立B.不相互独立，但两两不相关C.不一定两两不相关 D.一定不两两相关解析：解析 D(X 1 +X 2 +X 3 )=D(X 1 +X 2 )+DX 3 +2cov(X 1 +X 2 ，X 3 ) =DX 1 +DX 2 +2cov(X 1 ，X 2 )+DX 3 +2cov(X 1 ，X 3 )+2coy(X 2 ，X 3 ) =DX 1 +DX 2 +DX 3 +2cov(X 1 ，X 2 )+2cov(X 1 ，X 3 )+2cov(X 2 ，X 3 )题给条件 D(X 1 +X 2 +X 3 )=DX 1 +DX 2 +DX 3 ，所以 cov(X 1 ，X 2 )+cov(X 1 ，
31、X 3 )+cov(X 2 ，X 3 ) 一 0 (*) 显然，(D)不正确，因为 X 1 ，X 2 ，X 3 两两不相关时上式(*)必成立 现在只要证明 X 1 ，X 2 ，X 3 不一定两两不相关时(*)也可能成立，也就是说(A)、(B)均不正确，答案就是(C)了取 X 1 =X 2 =-2X 3 ，显然，X 1 ，X 2 ，X 3 并不是两两相关这时 cov(X 1 ，X 2 )+cov(X 1 ，X 3 )+cov(X 2 ，X 3 ) 28.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且 EX i =，DX i = 2 0，记 ，则 与 （分数：3.50）A.不相关且相互独立B
32、.不相关且相互不独立C.相关且相互独立D.相关且相互不独立 解析：解析 通过计算协方差来确定正确选项由于 X i 相互独立，故 所以 与 不是不相关因此 与 29.假设随机变量 X 与 Y 相互独立具有非零的方差，DXDY，则 A.3X+1 与 4Y-2 相关 B.X+Y 与 X-y 不相关 C.X+Y 与 2Y+1 相互独立 D.eX与 2Y+1 相互独立（分数：3.50）A.B.C.D. 解析：解析 由于 X 与 Y 相互独立，故 e X 与 2Y+1 相互独立，选择(D) 事实上，当 x0 时， 30.已知随机变量 ， ，则 PX+Y1等于 A B C D （分数：3.50）A.B.C. D.解析：解析 由题设知 ，所以 EXY=PX=1，Y=1)= ， PX+Y1=1-PX+Y1=l-PX=1，Y=1= 31.设随机变量 ， ，已知 PXY=1)= （分数：3.50）A.=1B.=-1C.=0，但 X，Y 不独立D.X，Y 相互独立 解析：解析 cov(X，Y)=E(XY)-EXEY= 所以 =0，(A)、(B)不成立 PX=1，Y=1=PXY=1) PX=0，Y=1)=PY=1)-PX=1，Y=1
