1、考研数学一-273 及答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列命题正确的是 _ （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)在 x=a 的某邻域内有定义，在 x=a 的某去心邻域内可导，下述论断正确的是 _ （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)是以 T 为周期的连续函数(若下式中用到 f“(x)，则设 f“(x)存在)，则以下 4 个结论中不正确的是 _ （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 D 是由曲线 y=x 3 与直线 x=1，y=1 所围成的有界闭区域，则 _ （分数：4.00）A.B.C.D.5.设
2、A 是三阶非零矩阵，满足 A 2 =0，若线性非齐次方程组 AX=b 有解，则其线性无关解向量个数是 _ （分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个6.设 A，B 均是三阶非零矩阵，满足 AB=0，其中 （分数：4.00）A.a=1 时，必有 r(A)=1B.a-1 时，必有 r(A)=2C.a=2 时，必有 r(A)=1D.a2 时，必有 r(A)=27.某人打靶的命中率为 ，当他连射三次后检查目标，发现靶已命中，则他在第一次射击时就已命中的概率为 _ （分数：4.00）A.B.C.D.8.设一批零件的长度服从正态分布 N(， 2 )，其中 2 已知， 未知现从中随机抽取 n
3、 个零件，测得样本均值 x，则当置信度为 0.90 时，判断 是否大于 0 的接受条件为 _ 其中 0 满足 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f“(a)存在，f“(a)0，则 （分数：4.00）10.设 y=y(x)是由方程 y 3 +xy+x 2 -2x+1=0 确定并且满足 y(1)=0 的函数， （分数：4.00）11.设 l 为圆周 （分数：4.00）12.设 S 为球面 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 被锥面 截下的小的那部分，并设其中 A，B，R 均为正常数且AB，则第一型曲面积分 （分数：4.00）13.设 （分数：4.0
4、0）14.市场上某产品由甲、乙两厂各生产 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)使 （分数：-1.00）_16.设常数 a0，讨论曲线 y=e ax 与 y=x 2 的公共点的个数 （分数：-1.00）_17.设 试证明：() ()级数 （分数：-1.00）_18.设 f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f“(0)=1，且微分方程 (xy(x+y)-f(x)y)dx+(f“(x)+x 2 y)dy=0 为全微分方程 ()求 f(x)； ()该全微分方程的通解 （分数：-1.00）_19.设 a 与 b 都是常数且
5、 ba0 ()试写出 yOz 平面上的圆(y-b) 2 +z 2 =a 2 绕 Oz 轴一圈生成的环面 S 的方程； ()S 所围成的实心环的空间区域为 ，计算三重积分 （分数：-1.00）_20.设线性方程组 添加一个方程 ax 1 +2x 2 +bx 3 -5x 4 =0 后，成为方程组 （分数：-1.00）_21.A 是三阶矩阵，有特征值 1 = 2 =2，对应两个线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 =-2 对应的特征向量是 3 ()问 1 + 2 是否是 A 的特征向量? 说明理由 () 1 + 3 是否是 A 的特征向量? 说明理由 ()证明：任一三维非零向量 (0)都是 A
6、2 的特征向量，并求对应的特征值 （分数：-1.00）_22.设随机变量 X 在区间(a，6)上均匀分布，已知 和 （分数：-1.00）_23.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，而 XB(1，p)， ()试求： 的概率分布； ()证明： （分数：-1.00）_考研数学一-273 答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列命题正确的是 _ （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 其他(A)，(C)，(D)均可举出反例如下： 2.设 f(x)在 x=a 的某邻域内有定义，在 x=a 的某去心邻域内可导，
7、下述论断正确的是 _ （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 (C)的证明 ，今证 f“(a)必不存在用反证法，设 f“(a)存在，则 f(x)在 x=a 处连续，再由题设，f(x)在 x=a 的某邻域内连续，从而 矛盾，所以 f“(a)必不存在 其他(A)，(B)，(D)均可举出反例 (A)的反例：设当 x0 时，f“(x)=1， (B)的反例：设当 x0 时， 不存在 (D)的反例同(A)的反例，f“(0)不存在， 3.设 f(x)是以 T 为周期的连续函数(若下式中用到 f“(x)，则设 f“(x)存在)，则以下 4 个结论中不正确的是 _ （分数：4.00）A.B. C.D.解
8、析：解析 (B)的反例：f“(x)=sin 2 x 以 为周期，但 不是周期函数，(B)不正确，选(B) 事实上，设 f(x)有周期 T，则 有周期 T 的充要条件是 下：命 有 可见 F(x+T)三 F(x)的充要条件是 证毕以下说明(A)，(C)，(D)均正确 由 f(x+T)=f(x)及 f(x)可导，有 f“(x+T)=f“(x)所以 f“(x)有周期 T，(A)正确(C)中的被积函数是 t的周期函数，由以上证明， 的充要条件是 而该积分中的被积函数 f(t)-f(-t)是 t 的奇函数 成立，所以(C)正确 (D)命 4.设 D 是由曲线 y=x 3 与直线 x=1，y=1 所围成的
9、有界闭区域，则 _ （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 作曲线 y=x 3 ，连同 x 轴与 y 轴，将 D 分成 4 块，按逆时方向，这 4 块分别记为 D 1 ，D 2 ，D 3 与 D 4 由奇偶性， 5.设 A 是三阶非零矩阵，满足 A 2 =0，若线性非齐次方程组 AX=b 有解，则其线性无关解向量个数是 _ （分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个 D.4 个解析：解析 A 是 33 矩阵，A 2 =AA=0，故 r(A)+r(A)=2r(A)3，得 6.设 A，B 均是三阶非零矩阵，满足 AB=0，其中 （分数：4.00）A.a=1 时，必有 r(A)=1B.
10、a-1 时，必有 r(A)=2C.a=2 时，必有 r(A)=1 D.a2 时，必有 r(A)=2解析：解析 A 是非零矩阵，r(A)0 AB=0，r(A)+r(B)3，r(A)0，故 r(B)2 由排除法应选(C) 或当 a=2 时，r(B)=2 7.某人打靶的命中率为 ，当他连射三次后检查目标，发现靶已命中，则他在第一次射击时就已命中的概率为 _ （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查条件慨率靶已命中，可以理解为至少中一次 设 A=至少中一次，B=第一次就命中所求概率为条件概率 8.设一批零件的长度服从正态分布 N(， 2 )，其中 2 已知， 未知现从中随机抽取 n 个
11、零件，测得样本均值 x，则当置信度为 0.90 时，判断 是否大于 0 的接受条件为 _ 其中 0 满足 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题假设检验的假设应为 H C : 0 ；H 1 : 0 统计量为 ，单侧检验 由于 ，故拒绝域为 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f“(a)存在，f“(a)0，则 （分数：4.00）解析：答案 应填 解析 可以用以下两种方法计算 方法一 将分子用皮亚诺余项泰勒公式展开至 o(x-a) 2 )， 方法二 用洛必达法则： 10.设 y=y(x)是由方程 y 3 +xy+x 2 -2x+1=0 确定并且满足 y(1)=0 的函数
12、， （分数：4.00）解析：答案 应填-3 解析 由隐函数求导，有 3y 2 y“+xy“+y+2x-2=0，得 再用洛必达法则， 而 11.设 l 为圆周 （分数：4.00）解析：答案 应填 解析 由轮换对称性知， 所以 而 为 l 的全长，l 是平面 x+y+z=a 上的圆周，点 O 到此平面的距离为 ,所以此 l 的半径为 所以 12.设 S 为球面 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 被锥面 截下的小的那部分，并设其中 A，B，R 均为正常数且AB，则第一型曲面积分 （分数：4.00）解析：答案 应填 解析 球面与锥面的交线在 xOy 平面上的投影曲线的方程为 (A+1)x 2 +(
13、B+1)y 2 =R 2 则 D=(x，y)|(A+1)x 2 十(B+1)y 2 R 2 球面方程(上部)为 D 是个椭圆， 所以 13.设 （分数：4.00）解析：解 f(A)=E 14.市场上某产品由甲、乙两厂各生产 （分数：4.00）解析：答案 应填 解析 设随机变量 1 甲厂产品指标； 随机变量 2 乙厂产品指标； 随机变量 任取一件产品指标； 事件 A所取一件产品属甲厂生产 根据全概率公式，所求分布函数为 三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)使 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：证 命 ，即去证明存在 (0，1)
14、使 F()-(1-)F“()=0将 改为 x，即去证方程 F(x)-(1-x)F“(x)=0 在(0，1)内存在根作函数(此种作函数的方法称微分方程法) (x)=(1-x)F(x)， 有 (0)=F(0)=0，(1)=0，由罗尔定理知存在 (0，1)使 “()=0，即 -F()+(1-)F“()=0 证明了 (0，1)的存在性再设 f(x)0，去证这种 是唯一的 设存在 (0，1)及 (0，1)，不妨设 ，使 两式相减，由 f(x)单调减少及 f(x)0，得 但左边 16.设常数 a0，讨论曲线 y=e ax 与 y=x 2 的公共点的个数 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 0，所
15、以在区间(-，0内 g(x)有且仅有 1 个零点，即 y=e ax 与 y=x 2 有且仅有 1 个公共点 当 x0，直接讨论 y=e ax 与 y=x 2 不方便，改为讨论公共点个数，与此等价的是 z=lny=ax 与 z=lny=2lnx 命 17.设 试证明：() ()级数 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 ()因为 所以 又 又因 a n a n+2 ，所以 2a n a n +a n+2 ，从而 因 2a n+2 a n +a n+2 ，从而 ，于是 ()证毕 18.设 f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f“(0)=1，且微分方程 (xy(x+y)-f(x)y)dx
16、+(f“(x)+x 2 y)dy=0 为全微分方程 ()求 f(x)； ()该全微分方程的通解 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 () 求得满足 f(0)=0，f“(0)=1 的特解为 f(x)=2cosx+sinx+x 2 -2 ()求全微分方程 xy 2 -(2cosx+sinx)y+2ydx+(-2sinx+cosx+2x+x 2 y)dy=0 的通解关键是求原函数 方法一 凑原函数法 xy 2 -(2cosx+sinx)y+2ydx+(-2sinx+cosx+2x+x 2 y)dy =xy(ydx+xdy)+(-2sinx+cosx)dy+yd(-2sinx+cosx)+2
17、(xdy+ydx) 所以该全微分方程的通解为 方法二 折线法 19.设 a 与 b 都是常数且 ba0 ()试写出 yOz 平面上的圆(y-b) 2 +z 2 =a 2 绕 Oz 轴一圈生成的环面 S 的方程； ()S 所围成的实心环的空间区域为 ，计算三重积分 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 () ()用柱面坐标，按先 x 再 r 后 的次序， 其中 作积分变量替换：t=r-b，得 再命 t=asinu，从而 20.设线性方程组 添加一个方程 ax 1 +2x 2 +bx 3 -5x 4 =0 后，成为方程组 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 () 得(*)的通解为
18、 k(-3，-5，1，0) T ，k 是是任意常数 () 方法一 (*)(*)是同解方程 (*)的通解满足(*)的第 4 个方程，代入得 -3ka=(-5k)2+bk+0=0， 即(-3a+b)k=10k，因 k 是任意常数故得-3a+b=10 方法二 (*)(*)是同解方程组，则(*)中新添方程应可由原方程的三个方程线性表出，即新添方程是多余方程 将方程的增广矩阵进行初等行变换得 故(*)(*)同解 21.A 是三阶矩阵，有特征值 1 = 2 =2，对应两个线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 =-2 对应的特征向量是 3 ()问 1 + 2 是否是 A 的特征向量? 说明理由 () 1
19、 + 3 是否是 A 的特征向量? 说明理由 ()证明：任一三维非零向量 (0)都是 A 2 的特征向量，并求对应的特征值 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：解 () 1 + 2 仍是 A 的对应于 1 = 2 2 的特征向量 因已知 A 1 =2 考，A 2 =2 2 ，故 A( 1 + 2 )=A 1 +A 2 =2 1 +2 2 =2( 1 + 2 ) () 2 + 3 不是 A 的特征向量假设是，设其对应的特征值为 ，则有 A( 2 + 3 )=( 2 + 3 )， 得 2 2 -2 3 - 2 - 3 =(2-) 2 -(2+) 3 =0， 因 2- 和 2+ 不同时为零，故
20、 2 ， 3 线性相关，这和不同特征值对应的特征向量线性无关矛盾，故 2 + 3 不是 A 的特征向量 (3)因 A 有特征值 1 = 2 =2， 3 =-2，故 A 2 有特征值 1 = 2 = 3 4对应的特征向量仍是 1 ， 2 ， 3 ，且 1 ， 2 ， 3 线性无关故存在可逆阵 P= 1 ， 2 ， 3 ，使得 P -1 A 2 P=4E，A 2 =P(4E)P -1 =4E， 从而有对任意的 0，有 A 2 =4E=4，故知任意非零向量卢都是 A 2 的对应于 =4 的特征向量22.设随机变量 X 在区间(a，6)上均匀分布，已知 和 （分数：-1.00）_正确答案：()解析：分
21、析 如果 P(-2X0)和 P(1X3)均不为零 解 ()从 因为 而另一方面， P(0X1)=1-P(X0)-P(X1)1-P(-2X0)-P(1X3)=1- 所以 现在来考察 P(X1) 同时， 即 1 为 a，b 的中点，由 ()|X|的分布函数 F(x)=P(|X|x) 当 z0 时，F(x)=0 当 3x 时，F(x)=1 总之|X|的概率密度 23.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，而 XB(1，p)， ()试求： 的概率分布； ()证明： （分数：-1.00）_正确答案：()解析：分析 XB(1，p)，故 X 有分布 解 () 即 () 其中，因为 X i 取值 0 或 1，故
