1、考研数学一-273 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：100.00)1.已知 A 是 n 阶矩阵， 都是 n 维列向量若|A|=a, ，则 （分数：3.00）A.abB.a(b+c)C.a(b-c)D.条件不够，不能确定2.设 n 阶矩阵 A= 1 ， 2 ， n ，B= n ， 1 ， n-1 ，若行列式|A|=1，则 A.0 B.2 C.1+(-1)n+1 D.1+(-1)n（分数：3.00）A.B.C.D.3.已知 A，B，C 分别是 m 阶，n 阶，t 阶矩阵，且|A|=a，|B|=b，|C|=c，设 （分数：3.00）A.B.
2、C.D.4.设 A 为三阶方阵，A * 为 A 的伴随矩阵， ，则|4A-(3A * ) -1 |= A （分数：3.00）A.B.C.D.5.已知 ，矩阵 B 满足 A * B+2A -1 =B，其中 A * 是 A 的伴随矩阵，则|B|= A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.6.设 A 是 3 阶矩阵，且 A+iE(i=1，2，3)均不可逆，A * 是 A 的伴随矩阵，则行列式 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.7.已知 （分数：3.00）A.4B.3C.2D.18.已知 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D= A.0 B.a2 C.-
3、a2 D.na2（分数：3.00）A.B.C.D.9.设 A 是三阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，已知 A 的每行元素之和为 k，A * 的每行元素之和为 m，则|A|= Akm B(-1) n km C D （分数：3.00）A.B.C.D.10.设 和 A=a ij 都是 n 阶矩阵则 AJ= A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.11.设 A 是 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，E 是 n 阶单位矩阵， 都是 n 阶对角矩阵，在下列运算中： AA * =A * A， ， A m A t =A t A m ， AA T =A T A， （
4、分数：3.00）A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个12.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，正确的法则是 A.(A+B)(A-B)=A2-B2 B.(A+B)-1=A-1+B-1 C.(A+B)2=A2+2AB+B2 D.(AB)*=B*A*（分数：3.00）A.B.C.D.13.A，B 都是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是 AAB0 （分数：3.00）A.B.C.D.14.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，则下列结论不正确的是 A.A+B 是对称矩阵 B.AB 是对称矩阵 C.A*+B*是对称矩阵 D.A-2B 是对称矩阵（分数：3.00）A.B.C.D.15.设 A，B 均为三阶反对称矩
5、阵，且 AB=BA，则下列结论不正确的是 A.A+B 是反对称矩阵 B.AB 是对称矩阵 C.A*+B*是反对称矩阵 D.2A+3B 是反对称矩阵（分数：3.00）A.B.C.D.16.设 ，则 A -1 = A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.17. 是 n 阶矩阵，记 A=E+J+J 2 +J n-1 ，则 A -1 = A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.18.设 A、B 均 n 阶可逆矩阵，且(A+B) 2 =E，则(E+BA -1 ) -1 = A.(A+B)B B.E+AB-1 C.A(A+B) D.(A+B)A（分数：3.50）A.B.C.D.19.设
6、 A、B 都是 n 阶方阵，且(AB) 2 =E，则必有 A.A-1=B B.AB=-E C.AB=E D.A-1=BAB（分数：3.50）A.B.C.D.20.下列命题中， (1)如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A -1 =B； (2)如果 n 阶矩阵 A，B 满足(AB) 2 =E，则(BA) 2 =E； (3)如果矩阵 A，B 均 n 阶不可逆，则 A+B 必不可逆； (4)如果矩阵 A，B 均 n 阶不可逆，则 AB 必不可逆 正确的是（分数：3.50）A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4)21.设 A，B 均 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则 (1)若
7、A 可逆，则 B 可逆， (2)若 B 可逆，则 A+B 可逆， (3)若 B 可逆，则 A 可逆， (4)A-E 恒可逆 上述命题中，正确的命题共有（分数：3.50）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个22.设 （分数：3.50）A.P1P3AB.P2P3AC.AP3P2D.AP1P323.已知 A，B 均是三阶矩阵，将 A 中第 3 行的-2 倍加至第 2 行得到矩阵 A 1 ，将 B 中第 2 列加至第 1 列得到矩阵 B 1 ，又知 ，则 AB= A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.24.3 阶矩阵 A 可逆，把矩阵 A 的第 2 行与第 3 行互换得到矩阵 B，把矩
8、阵 B 的第 1 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.25.已知 A 和 B 是 n 阶等价矩阵，则必有 A.A+kE 和 B+kE 等价 B.A2和 B2等价 C.AB 和 BA 等价 D.5A 和-4B 等价（分数：3.50）A.B.C.D.26.设 （分数：3.50）A.a=1 时，B 的秩必为 2B.a=1 时，B 的秩必为 1C.a1 时，B 的秩必为 1D.a1 时，B 的秩必为 227.若 A，A * 和 B 均是 n 阶非零矩阵，且 AB=O，则必有 r(B)=（分数：3.50）A.1B.2C.n-1D.条件不够不能确定28.已知 （分数：3.50）A.3B.2C
9、.1D.1 或 329.设 A 为四阶方阵，且满足 A 2 =A，则秩 r(A)+秩 r(A-E)=（分数：3.50）A.4B.3C.2D.130.现有四个向量组 (1，2，3) T ，(3，-1，5) T ，(0，4，-2) T ，(1，3，0) T (a，1，b，0，0) T ，(c，0，d，2，0) T ，(e，0，f，0，3) T (a，1，2，3) T ，(b，1，2，3) T ，(c，3，4，5) T ，(d，0，0，0) T (1，0，3，1) T ，(-1，3，0，-2) T ，(2，1，7，2) T ，(4，2，14，5) T 则下列结论正确的是（分数：3.50）A.线性相关
10、的向量组为；线性无关的向量组为B.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为C.线性相关的向量组为；线性无关的向量为D.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为31.设 1 =(1，4，3，-1) T ， 2 =(2，t，-1，-1) T ， 3 =(-2，3，1，t+1) T ，则 A对任意的 t， 1 ， 2 ， 3 必线性无关 B仅当 t=-3 时， 1 ， 2 ， 3 线性无关 C若 t=0，则 1 ， 2 ， 3 线性相关 Dt0 且 t-3 （分数：3.50）A.B.C.D.考研数学一-273 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：10
11、0.00)1.已知 A 是 n 阶矩阵， 都是 n 维列向量若|A|=a, ，则 （分数：3.00）A.abB.a(b+c)C.a(b-c) D.条件不够，不能确定解析：解析 2.设 n 阶矩阵 A= 1 ， 2 ， n ，B= n ， 1 ， n-1 ，若行列式|A|=1，则 A.0 B.2 C.1+(-1)n+1 D.1+(-1)n（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 将|A-B|的其余各列加到第一列，则|A-B|=| 1 - n ， 2 - 1 ， n - n-1 | =|0， 2 - 1 ， n - n-1 |=0，应选 A3.已知 A，B，C 分别是 m 阶，n 阶，t 阶
12、矩阵，且|A|=a，|B|=b，|C|=c，设 （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题检查拉普拉斯展开式： 4.设 A 为三阶方阵，A * 为 A 的伴随矩阵， ，则|4A-(3A * ) -1 |= A （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 5.已知 ，矩阵 B 满足 A * B+2A -1 =B，其中 A * 是 A 的伴随矩阵，则|B|= A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 对于矩阵方程首先要恒等变形，左乘 A 并利用 AA * =A * A=|A|E，得 |A|B+2E=AB 即(A-|A|E)B=2E 因为|A|=-2，于是(
13、A+2E)B=2E 两边取行列式，得 |A+2E|B|=8 又 所以 6.设 A 是 3 阶矩阵，且 A+iE(i=1，2，3)均不可逆，A * 是 A 的伴随矩阵，则行列式 A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 由|A+iE|=0 即|-iE-A|=0，所以矩阵 A 的特征值是-1，-2，-3那么|A|=(-1)(-2)(-3)=-6又|A * |=|A n-1 故 或者，由关系式(kA) * =k n-1 A * 有 可知 7.已知 （分数：3.00）A.4B.3 C.2D.1解析：解析 由|A|=1，用展开公式易得：7a-3b=9 (1) 又 8.已知 2n 阶
14、行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D= A.0 B.a2 C.-a2 D.na2（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 按这一列展开，D=a 1j A 1j +a 2j A 2j +a 2nj A 2nj =aA 1j +aA 2j +aA 2nj 并注意到这一列元素的代数余子式中有 n 个为 a，n 个为-a，从而行列式的值为零9.设 A 是三阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，已知 A 的每行元素之和为 k，A * 的每行元素之和为 m，则|A|= Akm B(-1) n km C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 法一：A 的每行元素和为 k，故
15、 两边左乘 A * ，得 A * 的每行元素和为 m，故 故|A|=km 法二：将 A 的其余各列加到第 1 列，且利用 A 的每行元素之和为 k，得 10.设 和 A=a ij 都是 n 阶矩阵则 AJ= A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 简单的矩阵 J 在右边，故可对 A 按列分块记 A=( 1 ， 2 ， n )，则 11.设 A 是 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，E 是 n 阶单位矩阵， 都是 n 阶对角矩阵，在下列运算中： AA * =A * A， ， A m A t =A t A m ， AA T =A T A，
16、（分数：3.00）A.2 个B.3 个C.4 个 D.5 个解析：解析 利用行列式代数余子式的定理有 AA * =A * A=|A|E 按矩阵乘法定义，有 12.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，正确的法则是 A.(A+B)(A-B)=A2-B2 B.(A+B)-1=A-1+B-1 C.(A+B)2=A2+2AB+B2 D.(AB)*=B*A*（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 矩阵的乘法没有交换律，A、B 可逆不能保证 AB=BA，例如 ，有 而 可知 A、C 均不正确 A、B 可逆时，A+B 不一定可逆，即使 A+B 可逆，其逆一般也不等于 A -1 +B -1 例如 有 而
17、13.A，B 都是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是 AAB0 （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 由行列式乘法公式|AB|=|A|B| 当 AB=0 时，有|A|B|=0 所以|A|和|B|至少有一个为 0，即 C 正确 令 ，则 可知 AB 均不正确 令 ，则 14.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，则下列结论不正确的是 A.A+B 是对称矩阵 B.AB 是对称矩阵 C.A*+B*是对称矩阵 D.A-2B 是对称矩阵（分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 由于 (A+B) T =A T +B T =A+B，又 (kA) T =kA T =kA，有 (A-2B) T =A T
18、 -(2B) T =A-2B 从而 A，D 选项的结论是正确的 我们首先来证明(A * ) T =(A T ) * 只需证明等式两边(i，j)位置元素相等(A * ) T 在(i，j)位置的元素等于 A * 在(j，i)位置的元素，为元素 a ij 的代数余子式 A ij 而矩阵(A T ) * 在(i,j)位置的元素等于 A T 的(j，i)位置元素的代数余子式，为 A 在(i，j)位置元素的代数余子式 A ij 从而(A * ) T =(A T ) * =A * ，故 A * 为对称矩阵，C 选项的结论是正确的 由于(AB) T =B T A T =BA，从而 B 选项的结论不正确 注意，
19、当 A，B 均为对称矩阵时，AB 为对称矩阵的充要条件是 AB=BA15.设 A，B 均为三阶反对称矩阵，且 AB=BA，则下列结论不正确的是 A.A+B 是反对称矩阵 B.AB 是对称矩阵 C.A*+B*是反对称矩阵 D.2A+3B 是反对称矩阵（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 由于 (A+B) T =A T +B T =-(A+B)又 (kA) T =kA T =k(-A)=-kA 有 (2A+3B) T =(2A) T +(3B) T =-(2A+3B) (AB) T =B T A T =(-B)(-A)=BA=AB，从而 A，B，D 的结论都正确 由于(A * ) T =
20、(A T ) * =(-A) * =(-1) n-1 A * ，从而 n 为奇数时，A * 为对称矩阵，n 为偶数时，A * 为反对称矩阵故 C 选项的结论不正确16.设 ，则 A -1 = A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查分块求逆及二阶求逆，注意 再根据 ，用二阶矩阵的伴随矩阵是主对角线对调副对角线变号，很容易看出 17. 是 n 阶矩阵，记 A=E+J+J 2 +J n-1 ，则 A -1 = A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 本题检查 J k (1)求出 A，然后对(A，E)作初等行变换，请同学完成 (2)注意 J n
21、 =0，用定义法： (E-J)(E+J+J 2 +J n-1 )=E-J n =E A -1 =E-J18.设 A、B 均 n 阶可逆矩阵，且(A+B) 2 =E，则(E+BA -1 ) -1 = A.(A+B)B B.E+AB-1 C.A(A+B) D.(A+B)A（分数：3.50）A.B.C. D.解析：解析 法一：(E+BA -1 ) -1 =(AA -1 +BA -1 ) -1 =E(A+B)A -1 -1 =(A -1 ) -1 (A+B) -1 =A(A+B) 注意，因为(A+B) 2 =E，即(A+B)(A+B)=E，按可逆定义知(A+B) -1 =(A+B) 法二：逐个验算，对
22、于 B 因(E+BA -1 )A(A+B)= 19.设 A、B 都是 n 阶方阵，且(AB) 2 =E，则必有 A.A-1=B B.AB=-E C.AB=E D.A-1=BAB（分数：3.50）A.B.C.D. 解析：解析 由(AB) 2 =E 有 ABAB=E，又 A 和 BAB 都是 n 阶矩阵故 A -1 =BAB，即 D 正确 若 ，易见(AB) 2 =E但 ABE，AB-E 知 B，C 均不正确 若 20.下列命题中， (1)如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A -1 =B； (2)如果 n 阶矩阵 A，B 满足(AB) 2 =E，则(BA) 2 =E； (3)如果矩阵 A，B 均
23、 n 阶不可逆，则 A+B 必不可逆； (4)如果矩阵 A，B 均 n 阶不可逆，则 AB 必不可逆 正确的是（分数：3.50）A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4) 解析：解析 如果 A，B 均 n 阶矩阵，命题当然正确，而现在的问题是题中没有 n 阶矩阵这一条件，故(1)不正确例如 显然 A 不可逆类似地，对于 AB=E，虽然|AB|=1，但能否用行列式乘法公式呢?应检查 A 和 B 是否为 n 阶矩阵?有的考生不注意公式成立时的条件，随意用公式是不妥的 A，B 是 n 阶矩阵，(AB) 2 =E，即(AB)(AB)=E，可知 A，B 均可逆 于是 ABA=B -
24、1 ，从而 BABA=E即(BA) 2 =E即(2)正确 设 虽然 A，B 都不可逆，但 21.设 A，B 均 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则 (1)若 A 可逆，则 B 可逆， (2)若 B 可逆，则 A+B 可逆， (3)若 B 可逆，则 A 可逆， (4)A-E 恒可逆 上述命题中，正确的命题共有（分数：3.50）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 解析：解析 由 AB=A+B 有(A-E)B=A若 A 可逆，则 |A-E|B|=|A|0 知|B|0即矩阵 B 可逆，从而命题(1)正确 类似于(1)由 B 可逆 22.设 （分数：3.50）A.P1P3AB.P2P3A C.AP3
25、P2D.AP1P3解析：解析 矩阵 A 作两次行变换可得到矩阵 B，而 AP 3 P 2 ，AP 1 P 3 描述的是矩阵 A 作列变换，故应排除 或者把矩阵 A 第 1 行的 2 倍加至第三行后，再 1、2 两行互换可得到 B 或者把矩阵 A 的 1、2 两行互换后，再把第 2 行的 2 倍加至第 3 行亦可得到 B，而 P 2 P 3 A 正是后者所以应选 B23.已知 A，B 均是三阶矩阵，将 A 中第 3 行的-2 倍加至第 2 行得到矩阵 A 1 ，将 B 中第 2 列加至第 1 列得到矩阵 B 1 ，又知 ，则 AB= A B C D （分数：3.50）A. B.C.D.解析：解析
26、 A 经行初等变换得到 A 1 ，故 A 1 =PA，P 是初等矩阵，类似地 B 1 =BQ，可构造出 A 1 B 1 =PABQ 据已知条件，令 则 A 1 =PA，B 1 =BQ那么 A 1 B 1 =PABQ 于是 24.3 阶矩阵 A 可逆，把矩阵 A 的第 2 行与第 3 行互换得到矩阵 B，把矩阵 B 的第 1 A B C D （分数：3.50）A.B. C.D.解析：解析 据已知条件 P 1 A=B，其中 EP 2 =E，其中 于是 P 1 AP 2 =E 故 那么 25.已知 A 和 B 是 n 阶等价矩阵，则必有 A.A+kE 和 B+kE 等价 B.A2和 B2等价 C.A
27、B 和 BA 等价 D.5A 和-4B 等价（分数：3.50）A.B.C.D. 解析：解析 n 阶矩阵 A 和 B 等价的充分必要条件是秩 r(A)=r(B) 由于 r(5A)=r(A)，r(-4B)=r(B)所以 D 正确 考查 ，显然 A-E 与 B-E 不等价 知 A 2 和 B 2 不等价 26.设 （分数：3.50）A.a=1 时，B 的秩必为 2B.a=1 时，B 的秩必为 1C.a1 时，B 的秩必为 1 D.a1 时，B 的秩必为 2解析：解析 当 a=1 时，易见秩 r(A)=1当 a1 时，由于 27.若 A，A * 和 B 均是 n 阶非零矩阵，且 AB=O，则必有 r(
28、B)=（分数：3.50）A.1 B.2C.n-1D.条件不够不能确定解析：解析 若 A 是 mn 矩阵，B 是，ns 矩阵，且 AB=0，则有 (1)B 的列向量是齐次方程组 Ax=0 的解 (2)秩 r(A)+r(B)n 由(1)，对于 AB=O，BO 知 Ax=0 有非零解，从而秩 r(A)n又因 A * O 知有代数余子式 A ij 0，即A 中有 n-1 阶子式非零，那么 r(A)n-1于是 r(A)=n-1再根据(2)知 r(B)1，又因 BO故必有 r(B)=1 关于 r(A)也可由 28.已知 （分数：3.50）A.3B.2C.1D.1 或 3 解析：解析 A 是 4 阶矩阵，那
29、么由伴随矩阵秩的公式 可见 r(A * )=1 r(A)=3 对 矩阵 A 作初等变换，有 若 a=3 则 秩 r(A)=3 若 a=2 则 秩 r(A)=4 若 a=1 则 29.设 A 为四阶方阵，且满足 A 2 =A，则秩 r(A)+秩 r(A-E)=（分数：3.50）A.4 B.3C.2D.1解析：解析 A 是 4 阶矩阵，由于 A(A-E)=A 2 -A=0，故 r(A)+r(A-E)4 又 E=(E-A)+A，故 4=r(E)=r(E-A+A)r(E-A)+r(A)=r(A-E)+r(A)，从而 r(A)+r(A-E)=4故应选 A30.现有四个向量组 (1，2，3) T ，(3，
30、-1，5) T ，(0，4，-2) T ，(1，3，0) T (a，1，b，0，0) T ，(c，0，d，2，0) T ，(e，0，f，0，3) T (a，1，2，3) T ，(b，1，2，3) T ，(c，3，4，5) T ，(d，0，0，0) T (1，0，3，1) T ，(-1，3，0，-2) T ，(2，1，7，2) T ，(4，2，14，5) T 则下列结论正确的是（分数：3.50）A.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为B.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为C.线性相关的向量组为；线性无关的向量为D.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为 解析：解析 向量组是四个三维向量，从
31、而线性相关，可排除 B 由于(1，0，0)，(0，2，0)，(0，0，3)线性无关，添上两个分量就可得向量组，故向量组线性无关所以应排除 C向量组中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是 1 ， 2 ， 4 线性相关，那么添加 3 后，故向量组必线性相关应排除 A，由排除法，应选 D31.设 1 =(1，4，3，-1) T ， 2 =(2，t，-1，-1) T ， 3 =(-2，3，1，t+1) T ，则 A对任意的 t， 1 ， 2 ， 3 必线性无关 B仅当 t=-3 时， 1 ， 2 ， 3 线性无关 C若 t=0，则 1 ， 2 ， 3 线性相关 Dt0 且 t-3 （分数：3.50）A. B.C.D.解析：解析 m 个 n 维向量(mn)的线性相关性的判定可以用齐次方程组是否有非零解，也可用秩 若 x 1 +x 2 2 +x 3 3 =0，对系数矩阵作初等行变换，有 因为 t 与 t+3 不可能同时为 0，因此对任意的 t，系数矩阵的秩必为 3，亦即
