1、考研数学一-272 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：100.00)1.已知幂级数 （分数：3.00）A.收敛半径为 2B.收敛区间为(0，2C.收敛域为(0，2D.收敛区间为(0，2)2.已知幂级数 在 x=2 处条件收敛，则幂级数 （分数：3.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性不能确定3.下列命题中 设幂级数 的收敛半径分别为 R 1 和 R 2 ，则幂级数 的收敛半径为 R=min(R 1 ，R 2 ) 若幂级数 的收敛半径为 R，则必有 若幂级数 的收敛半径为 R，则必有 若 ，则幂级数 （分数：3.00）A.1 个B.
2、2 个C.3 个D.4 个4.设 ，其中 b n =2 0 1 f(x)sinnnxdx，则 等于 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.5.已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 ，且当 x0 时， 是 x 的高阶无穷小，y(0)=，则y(1)等于 A2 B C D （分数：3.00）A.B.C.D.6.设 y=f(x)是方程 y“-2y“+4y=0 的一个解，若 f(x 0 )0，且 f“(x 0 )=0，则函数 f(x)在点 x 0（分数：3.00）A.取得极大值B.取得极小值C.某个邻域内单调增加D.某个邻域内单调减少7.方程 y“-2y“=xe 2x 的特解形式为
3、A.y=axe2x B.y=(ax+b)e2x C.y=x(ax+b)e2x D.y=x2(ax+b)e2x（分数：3.00）A.B.C.D.8.方程 y“-3y“+2y=e x +1+e x cos2x 的特解形式为 A.y=axex+b+Aexcos2x B.y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x) C.y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x) D.y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)（分数：3.00）A.B.C.D.9.方程 y“+2y“=x 2 +xe -2x 的特解形式为 A.y=ax2+bx+c+x(dx+e)e-2x B.y=x2(ax2+
4、bx+c)+x2e-2x C.y=(ax2+bx+c)+(dx+e)e-2x D.y=x2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e-2x（分数：3.00）A.B.C.D.10.已知 y 1 (x)和 y 2 (x)是方程 y“+p(x)y=0 的两个不同的特解，则该方程的通解为 A.y=Cy1(x) B.y=Cy2(x) C.y=C1y1(x)+C2y2(x) D.y=C(y1(x)-y2(x)（分数：3.00）A.B.C.D.11.已知 y 1 =x，y 2 =x 2 ，y 3 =e x 为方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解是 A.y=C1x+C2x2+e
5、x B.y=C1x2+C2ex+x C.y=C1(x-x2)+C2(x-ex)+x D.y=C1(x-x2)+C2(x2-ex)（分数：3.00）A.B.C.D.12.若连续函数 f(x)满足关系式 （分数：3.00）A.B.C.D.13.设曲线积分 L f(x)=e x sinydx-f(x)cosydy 与路径无关，其中 f(x)具有一阶连续导数，且 f(0)=0，则 f(x)等于 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.14.设 y=y(x)是方程 2xydx+(x 2 -1)dy=0 满足条件 y(0)=1 的解，则 A-ln3 Bln3 C D （分数：3.00）A.B.C
6、.D.15.设 是微分方程 的解，则 的表达式为 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.16.在下列方程中，以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是（分数：3.00）A.y“+y“-4y“-4y=0B.y“+y“+4y“+4y=0C.y“-y“-4y“+4y=0D.y“-y“+4y“-4y=017.具有特解 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是（分数：3.00）A.y“-y“-y“+y=0B.y“+y“-y“-y=0C.y“-6y“+11y“-6
7、y=0D.y“-2y“-y“+2y=018.若 y=xe x +x 是微分方程 y“-2y“+ay=bx+c 的解则（分数：3.50）A.a=1，b=1，c=1B.a=1，b=1，c=-2C.a=-3，b=-3，c=0D.a=-3，b=1，c=119.设 f(x)连续， （分数：3.50）A.B.C.D.20.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py“+qy=e 3x 满足初始条件 y(0)=y“(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：3.50）A.不存在B.等于 1C.等于 2D.等于 321.已知方程 y“+qy=0 存在当 x+时趋于零的非零解，则（分数：3.50）A.
8、q0B.q0C.q0D.q022.已知微分方程 y“+by“+y=0 的每个解都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是（分数：3.50）A.0，+)B.(-，0C.(-，4D.(-，+)23.若级数 （分数：3.50）A.2chxB.i+shxC.chx+1D.1+cosx24.可导函数 f(x)，对任意的 x，y 恒有 f(x+y)=f(x)f(y)，且 f“(0)=1，则 f(x)等于 A.x+cosx B.shx C.ex D.1-e-x（分数：3.50）A.B.C.D.25.设 f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，du(x，y)=f(x)ydx+sinx-f(xdy，则
9、f(x)等于 Acosx+sinx-1 B （分数：3.50）A.B.C.D.26.已知线积分 L yf(x)dx+f(x)-x 2 dy 与路径无关，其中 f(x)有连续一阶导数，f(0)=1，则 (1，1) (2，2) yf(x)dx+f(x)-x 2 dy 等于（分数：3.50）A.3e+1B.3e+5C.3e+2D.3e-527.方程 x 2 y“+2xy“-2y=0 的通解为 Ay=C 1 e x +C 2 e 2x By=(C 1 +C 2 x)e x Cy=C 1 x+C 2 x 2 D （分数：3.50）A.B.C.D.28.设曲线 y=y(x)满足 xdy+(x-2y)dx=
10、0，且 y=y(x)与直线 x=1 及 x 轴所围的平面图形绕 x 轴旋转的旋转体体积最小，则 y(x)= A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.29.设 ，且|A|=m， （分数：3.50）AmB.-8mC.2mD.-2m30.设 A= 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵，则|A|=（分数：3.50）A.|1-2，2-3，3-1|B.|1+2，2+3，3+1|C.|1+22，3，1+2|D.|1，2+3，1+2|31.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 均为四维列向量，A= 1 ， 2 ， 3 ， 1 ，B= 3 ， 1 ， 2 ， 2 ，且|A|=1，|B|=2则|A+B|=（
11、分数：3.50）A.9B.6C.3D.1考研数学一-272 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：100.00)1.已知幂级数 （分数：3.00）A.收敛半径为 2B.收敛区间为(0，2C.收敛域为(0，2D.收敛区间为(0，2) 解析：解析 由于幂级数 在 x=2 处条件收敛，则 x=2 为其收敛区间的端点，而2.已知幂级数 在 x=2 处条件收敛，则幂级数 （分数：3.00）A.条件收敛B.绝对收敛 C.发散D.敛散性不能确定解析：解析 显然幂级数 的收敛半径为 2，由该幂级数在 x=2 处条件收敛可知，x=2 为其收敛区间的一个端点，则 a=
12、0 或 a=4， 若 a=0，则原幂级数为 ，该幂数在 x=2 发散，与题设矛盾；若 a=4，则原幂级数为 ，该幂级数在 x=2 处条件收敛，则 a=4 幂级数 3.下列命题中 设幂级数 的收敛半径分别为 R 1 和 R 2 ，则幂级数 的收敛半径为 R=min(R 1 ，R 2 ) 若幂级数 的收敛半径为 R，则必有 若幂级数 的收敛半径为 R，则必有 若 ，则幂级数 （分数：3.00）A.1 个 B.2 个C.3 个D.4 个解析：解析 只有是正确的 不正确，如 和 的收敛半径都为 1，但 的收敛半径为+ 和都不正确，因为极限 和 4.设 ，其中 b n =2 0 1 f(x)sinnnx
13、dx，则 等于 A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 由题设可知，本题是将 f(x)作奇延拓，并按周期 2 展开的，则 5.已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 ，且当 x0 时， 是 x 的高阶无穷小，y(0)=，则y(1)等于 A2 B C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 知 lny=arctanx+C 由 y(0)= 知，C=ln，lny=arctanx+ln 令 x=1 得 6.设 y=f(x)是方程 y“-2y“+4y=0 的一个解，若 f(x 0 )0，且 f“(x 0 )=0，则函数 f(x)在点 x 0（分数：3.00）
14、A.取得极大值 B.取得极小值C.某个邻域内单调增加D.某个邻域内单调减少解析：解析 由于 y=f(x)是方程 y“-2y“+4y=0 的解，则 f“(x)-2f“(x)+4f(x)=0 令 x=x 0 ，则 f“(x 0 )-2f“(x 0 )+4f(x 0 )=0，f“(x 0 )=-4f(x 0 )0 则 f(x)在 x 0 取极大值，故选 A7.方程 y“-2y“=xe 2x 的特解形式为 A.y=axe2x B.y=(ax+b)e2x C.y=x(ax+b)e2x D.y=x2(ax+b)e2x（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 方程 y“-2y“=0 的特征方程为 r
15、2 -2r=0，r 1 =0，r 2 =2，则非齐次方程 y“-2y“=xe 2x 的特解形式为 y=x(ax+b)e 2x 8.方程 y“-3y“+2y=e x +1+e x cos2x 的特解形式为 A.y=axex+b+Aexcos2x B.y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x) C.y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x) D.y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 方程 y“-3y“+2y=0 的特征方程为 r 2 -3r+2=0 特征根为 r 1 =1，r 2 =2 则方程 y“-3y“+2y=e
16、 x +1+e x cos2x 的待定特解为 y=axe x +b+e x (Acos2x+Bsin2x) 故应选 D9.方程 y“+2y“=x 2 +xe -2x 的特解形式为 A.y=ax2+bx+c+x(dx+e)e-2x B.y=x2(ax2+bx+c)+x2e-2x C.y=(ax2+bx+c)+(dx+e)e-2x D.y=x2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e-2x（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 方程 y“+2y“=0 的特征方程为 r 3 +2r 2 =0 r 1 =r 2 =0，r 3 =-2 则方程 y“+2y“=x 2 +xe -2x 的特解形式为 y
17、=x 2 (ax 2 +bx+c)+x(dx+e)e -2x 故应选 D10.已知 y 1 (x)和 y 2 (x)是方程 y“+p(x)y=0 的两个不同的特解，则该方程的通解为 A.y=Cy1(x) B.y=Cy2(x) C.y=C1y1(x)+C2y2(x) D.y=C(y1(x)-y2(x)（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 y 1 (x)和 y 2 (x)是方程 y“+p(x)y=0 的两个不同的特解，则 y 1 (x)=y 2 (x)为该方程的一个非零解，则 y=C(y 1 (x)-y 2 (x)为该方程的通解11.已知 y 1 =x，y 2 =x 2 ，y 3
18、=e x 为方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解是 A.y=C1x+C2x2+ex B.y=C1x2+C2ex+x C.y=C1(x-x2)+C2(x-ex)+x D.y=C1(x-x2)+C2(x2-ex)（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x-x 2 )和(x-e x )为其对应的齐次方程两个线性无关的特解，则原方程通解为 y=C 1 (x-x 2 )+C 2 (x-e x )+x 故应选 C12.若连续函数 f(x)满足关系式 （分数：3.00）A.B. C.D.解
19、析：解析 等式 两端对 x 求导得 f“(x)=2f(x)则 13.设曲线积分 L f(x)=e x sinydx-f(x)cosydy 与路径无关，其中 f(x)具有一阶连续导数，且 f(0)=0，则 f(x)等于 A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 由于线积分 L f(x)-e x sinydx-f(x)cosydy 与路径无关，则 f(x)-e x cosy=-f“(x)cosy 即 f“(x)+f(x)=e x 由 f(0)=0 知， 14.设 y=y(x)是方程 2xydx+(x 2 -1)dy=0 满足条件 y(0)=1 的解，则 A-ln3 Bln3
20、C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 由原方程 2xydx+(x 2 -1)dy=0 得 In|y|=-in|1-x 2 |+lnC 1 y(1-x 2 )=C 由 y(0)=1 知，C=1 15.设 是微分方程 的解，则 的表达式为 A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 将 代入方程 得 则 16.在下列方程中，以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是（分数：3.00）A.y“+y“-4y“-4y=0B.y“+y“+4y“+4y=0C.y“-y“-4y“+4y=0D.y“-
21、y“+4y“-4y=0 解析：解析 由通解 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x 的形式可知所求方程的特征方程为 (r-1)(r 2 +4)=0 即 r 3 -r 2 +4r-4=0 则对应的方程为 y“-y“+4y“-4y=0 故应选 D17.具有特解 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是（分数：3.00）A.y“-y“-y“+y=0B.y“+y“-y“-y=0 C.y“-6y“+11y“-6y=0D.y“-2y“-y“+2y=0解析：解析 由 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e
22、 x 是所求方程的三个特解知，r=-1，-1，1 为所求三阶常系数线性齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为 (r-1)(r+1) 2 =0 即 r 3 +r 2 -r-1=0 对应的微分方程为 y“+y“-y“-y=0 故应选 B18.若 y=xe x +x 是微分方程 y“-2y“+ay=bx+c 的解则（分数：3.50）A.a=1，b=1，c=1B.a=1，b=1，c=-2 C.a=-3，b=-3，c=0D.a=-3，b=1，c=1解析：解析 由于 y=xe x +x 是方程 y“-2y“+ay=bx+c 的解，则 xe x 是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根 r 1 =r
23、 2 =1，则 a=1；x 为非齐次的解，将 y=x 代入方程 y“-2y“+y=bx+c 知 b=1，c=-2 故应选 B19.设 f(x)连续， （分数：3.50）A.B.C. D.解析：解析 令耐 xt=u，则 两端对 x 求导得 20.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py“+qy=e 3x 满足初始条件 y(0)=y“(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：3.50）A.不存在B.等于 1C.等于 2 D.等于 3解析：解析 (1n(1+x 2 )x 2 ) 在方程 y“+py“+qy=e 3x 中令 x=0 得 y“(0)+py“(0)+qy(0)=1 即 y“
24、(0)=1， 21.已知方程 y“+qy=0 存在当 x+时趋于零的非零解，则（分数：3.50）A.q0B.q0C.q0 D.q0解析：解析 原方程的特征方程为 r 2 +q=0 1)当 q0 时， ，通解为 当 C 1 =0，C 2 0， 2)当 q=0，r 1 =r 2 =0，原方程通解为 y=C 1 x+C 2 3)当 q0 时， ，原方程通解为 22.已知微分方程 y“+by“+y=0 的每个解都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是（分数：3.50）A.0，+) B.(-，0C.(-，4D.(-，+)解析：解析 方程 y“+by“+y=0 的特征方程为 r 2 +br+1=
25、0 特征根为 1)b 2 4 时，原方程通解为 2)当 b 2 =4 时，原方程通解为 3)当 b 2 4 时，原方程通解为 23.若级数 （分数：3.50）A.2chxB.i+shxC.chx+1 D.1+cosx解析：解析 方程 y“-y=0 的特征方程为 r 2 -1=0，r 1,2 =1 齐次方程通解为 y=C 1 e x +C 2 e -x 非齐次特解 y=1 非齐次通解为 y=C 1 e x +C 2 e -x +1 由于 ，则 y(0)=2y“(0)=0 则 则 24.可导函数 f(x)，对任意的 x，y 恒有 f(x+y)=f(x)f(y)，且 f“(0)=1，则 f(x)等于
26、 A.x+cosx B.shx C.ex D.1-e-x（分数：3.50）A.B.C. D.解析：解析 等式 f(x+y)=f(x)f(y)两端对 y 求导得 f“(x+y)=f(x)f(x)(y) 令 y=0 得，f“(x)=f(x) 由此可得 f(x)=Ce x 由 f“(0)=1 知，C=1，即 f(x)=e x 25.设 f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，du(x，y)=f(x)ydx+sinx-f(xdy，则 f(x)等于 Acosx+sinx-1 B （分数：3.50）A.B. C.D.解析：解析 由 du(x，y)=f(x)ydx+sinx-f(x)dy 知 f(x)=co
27、sx-f“(x) 即 f“(x)+f(x)=cosx f(x)=e -dx (cosx e dx dx+C) =e -x (e x cosxdx+C)= 由 f(0)=0 知，C=-1， 26.已知线积分 L yf(x)dx+f(x)-x 2 dy 与路径无关，其中 f(x)有连续一阶导数，f(0)=1，则 (1，1) (2，2) yf(x)dx+f(x)-x 2 dy 等于（分数：3.50）A.3e+1B.3e+5C.3e+2D.3e-5 解析：解析 由于线积分 L yf(x)dx+f(x)-x 2 dy 与路径无关，则 f(x)=f“(x)-2x 即 f“(x)-f(x)=2x f(x)=
28、e dx 2xe -dx dx+C=e x 2xe -x dx+C =e x -2e -x -2xe -x +C 由 f(0)=1 知，C=3 f(x)=3e x -2x-2 (1,1) (0,0) yf(x)dx+f(x)-x 2 dy= 1 0 f(1)-1dy=f(1)-1=3e-527.方程 x 2 y“+2xy“-2y=0 的通解为 Ay=C 1 e x +C 2 e 2x By=(C 1 +C 2 x)e x Cy=C 1 x+C 2 x 2 D （分数：3.50）A.B.C.D. 解析：解析 这是一个欧拉方程，令 x=e t ， 原方程化为 D(D-1)y+2Dy-2y=0 即
29、特征方程为，r 2 +r-2=0，r 1 =-2，r 2 =1 通解 y=C 1 e -2t +C 2 e t 即 28.设曲线 y=y(x)满足 xdy+(x-2y)dx=0，且 y=y(x)与直线 x=1 及 x 轴所围的平面图形绕 x 轴旋转的旋转体体积最小，则 y(x)= A B C D （分数：3.50）A.B.C. D.解析：解析 原方程可化为 ，其通解为 曲线 y=x+Cx 2 与直线 x=1 及 x 轴所围区域绕 x 轴旋转一周的旋转体体积为 VC= 1 0 (x+Cx 2 ) 2 dx= 令 ，得 是唯一的极值点，且为极小值点，则为最小值点， 29.设 ，且|A|=m， （分
30、数：3.50）AmB.-8mC.2m D.-2m解析：解析 30.设 A= 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵，则|A|=（分数：3.50）A.|1-2，2-3，3-1|B.|1+2，2+3，3+1|C.|1+22，3，1+2| D.|1，2+3，1+2|解析：解析 本题考查行列式的性质，分别对每个行列式作适当的列变换，同| 1 ， 2 ， 3 |靠拢 A.| 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 1 |=|0， 2 - 3 ， 3 - 1 |=0； B.| 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 |=|2( 1 + 2 + 3 )， 2 + 3 ， 3 + 1 | =2| 1 + 2 +
31、3 ， 2 + 3 ， 3 + 1 |=2| 1 ， 2 + 3 ， 3 + 1 | C.| 1 +2 2 ， 3 ， 1 + 2 |=| 2 ， 3 ， 1 + 2 |=| 2 ， 3 ， 1 |=|A|； D.| 1 ， 2 + 3 ， 1 + 2 |=| 1 ， 2 + 3 ， 2 |=| 1 ， 3 ， 2 |=-|A| 请说出每个等号成立的理由，作的什么变换，用的什么性质?31.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 均为四维列向量，A= 1 ， 2 ， 3 ， 1 ，B= 3 ， 1 ， 2 ， 2 ，且|A|=1，|B|=2则|A+B|=（分数：3.50）A.9B.6 C.3D.
32、1解析：解析 由于矩阵加法 A+B= 1 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 ，根据行列式的性质 |A+B|=| 1 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 | =|2( 1 + 2 + 3 )， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 | =2| 1 + 2 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 | =2| 1 + 2 + 3 ，- 3 ，- 1 ， 1 + 1 | =2| 2 ，- 3 ，- 1 ， 1 + 2 | =2| 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 | =2(|A|+|B|)=6 或( 1 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 )=
