1、考研数学一-271 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 y=x(x-1)3(x-2)与 x 轴围成平面图形的面积为（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 A，B，C 三个事件两两独立，则 A，B，C 相互独立的充分必要条件是（分数：4.00）A.A 与 BC 独立B.AB 与 AC 独立C.AB 与 AC 独立D.AB 与 AC 独立3.下列命题错误的是（分数：4.00）A.若矩阵 A 和矩阵 B 可交换，则矩阵 AB10与矩阵 BA10也可交换B.若矩阵 A-B 和矩阵 A+B 可交换，则矩阵 A 和矩阵 B 也可交换C
2、.若矩阵 A 和矩阵 B 可交换，则矩阵 AT和矩阵 BT也可交换D.若矩阵 AB 和矩阵 BA 可交换，则矩阵 A 和矩阵 B 也可交换4.设 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设有无穷级数 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 1， 2是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则 1，A( 1+ 2)线性无关的充要条件为（分数：4.00）A. 10B. 20C. 1=0D. 2=07.已知随机变量 X 在-1，1上服从均匀分布，Y=X 3，则 X 与 Y（分数：4.00）A.不相关且相互独立B.不相关且相互不独立C.相关且相互独立D.相关且相互不独立8.已知
3、f(x)具有二阶连续导数，g(x)为连续函数，且 f(x)=lncosx+ g(x-t)dt， （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 g(x)是微分方程 g(x)+sinxg(x)=cosx 满足初始条件 g(0)=0 的解，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.无穷级数 （分数：4.00）填空项 1:_11.函数 （分数：4.00）_12.在区间(-，+)内方程 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A、B 为三阶相似矩阵，A 的两个特征值为 1=1， 2=2，行列式|B|=2，则 （分数：4.00）填空项 1:_14.设(X，Y)的联
4、合分布律如下表所示：（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 f(x)、g(x)连续可导，且 f(x)=g(x)，g(x)=f(x)+(x)，其中 (x)为某已知连续函数，g(x)满足微分方程 g(x)-xg(x)=cosx+(x)，求不定积分xf“(x)dx（分数：10.00）_16.已知曲线 L 的方程为 （分数：10.00）_17.已知 F(x)是 f(x)的一个原函数，而 F(x)是微分方程 xy+y=ex满足初始条件 的解，试将 f(x)展开成 x 的幂级数，并求 （分数：10.00）_18.已知 ，求：(1)(2)(3)(4) （分数：1
5、0.00）_19.(1)证明： （分数：10.00）_20.给定两个数列 an)，b n，且 a1=1，b 1=-1，a n=an-1+2bn-1，b n=-an-1+4bn-1，求 （分数：11.00）_21.设 n 元实二次型 f(x1，x 2，x n)=xTAx， x=(x 1，x 2，x n)T证明：f 在条件 （分数：11.00）_22.有 100 个零件，其中 90 个一等品，10 个二等品，随机地取 2 个，安装在一台设备上，若 2 个零件中有 i 个(i=0，1，2)二等品，则该设备的使用寿命服从参数为 =i+1 的指数分布试求：(1)设备寿命超过 1 的概率；(2)若已知该设
6、备寿命超过 1，则安装在该设备上的 2 个零件均为一等品的概率（分数：11.00）_23.设 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2)，求 Emin(X，Y)（分数：11.00）_考研数学一-271 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 y=x(x-1)3(x-2)与 x 轴围成平面图形的面积为（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 作出 y=x(x-1)3(x-2)的草图*详解 由上面草图知面积 A 为：*故选(D)评注 当 ab，且 f(x)0 时，面积为*当 ab，且 f(x)0 时，面积为*2.设 A，B，C 三个
7、事件两两独立，则 A，B，C 相互独立的充分必要条件是（分数：4.00）A.A 与 BC 独立 B.AB 与 AC 独立C.AB 与 AC 独立D.AB 与 AC 独立解析：详解 利用排除法即知(A)为正确答案因为由多个事件独立性的性质，能够肯定的结论只有(A)，从而必要条件中只有(A)正确，又这是单选题，故选(A)，读者不妨作为练习依定义可验证(A)为正确答案3.下列命题错误的是（分数：4.00）A.若矩阵 A 和矩阵 B 可交换，则矩阵 AB10与矩阵 BA10也可交换B.若矩阵 A-B 和矩阵 A+B 可交换，则矩阵 A 和矩阵 B 也可交换C.若矩阵 A 和矩阵 B 可交换，则矩阵 A
8、T和矩阵 BT也可交换D.若矩阵 AB 和矩阵 BA 可交换，则矩阵 A 和矩阵 B 也可交换 解析：分析 根据可交换的定义逐个讨论即可详解 (A)：若 AB=BA，则 AB10BA10=ABB9BAA9=BAB10A10=BA(BA)10=BA(AB)10=BA10AB10(A)项命题正确(B)：若(A-B)(A+B)=(A+B)(A-B)，则有 AB=BA(B)项命题正确(C)：若 AB=BA，则 ATBT=(BA)T=(AB)T=BTAT(C)项命题也正确故应选(D)事实上，由(AB)(BA)=(BA)(AB)，推不出 AB=BA评注 矩阵乘法运算一般不满足交换律，但满足结合律涉及到矩阵
9、交换问题时，一方面可考虑用已知矩阵关系式进行推导，另一方面也可考虑从逆矩阵的定义 AB=BA=E 去进行分析如已知 A+B=AB，证明：AB=BA由 A+B=AB 有(A-E)(B-E)=E，即(A-E) -1=B-E，由逆矩阵的定义有(A-E)(B-E)=(B-E)(A-E)，从而有AB=BA4.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 F(0)=f(0)(0)，(0)必须用定义进行计算详解 *F(0)=f(0)(0)=f(0)0=0，(C)为答案评注 对于分段函数的分界点的连续性及可导性，必须用定义进行计算5.设有无穷级数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 *绝对收
10、敛，*条件收敛，然后利用收敛级数的运算性质讨论即可详解 由于*绝对收敛，而*条件收敛，因此*必收敛，且为条件收敛，故应选(B)评注 若*绝对收敛，*条件收敛，则*必条件收敛6.设 1， 2是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则 1，A( 1+ 2)线性无关的充要条件为（分数：4.00）A. 10B. 20 C. 1=0D. 2=0解析：分析 不同特征值的特征向量线性无关详解 A( 1+ 2)=A 1+A 2= 1 1+ 2 2，( 1，A( 1+ 2)=( 1， 1 1+ 2 2)=( 1， 2)*不同特征值的特征向量线性无关， 1， 2线性无关 1，A( 1+ 2
11、)线性无关*0* 20，(B)为答案评注 设( 1， 2， n)=( 1， 2， n)Knn，且 1， 2， n线性无关则 1， 2， n线性无关*K 可逆*|K|07.已知随机变量 X 在-1，1上服从均匀分布，Y=X 3，则 X 与 Y（分数：4.00）A.不相关且相互独立B.不相关且相互不独立C.相关且相互独立D.相关且相互不独立 解析：分析 可逐项排除找到正确答案详解 由 X 与 Y 之间存在的函数关系，或根据 P(X0，Y0)P(X0)P(Y0)知，X 与 Y 不独立，(A)项不正确；由*，而 EX=0，知 XY0，排除(B)；(C)项对任意随机变量 X 与 Y 均不成立，因为相互独
12、立必不相关；故正确选项为(D)评注 要排除 X 与 Y 相互独立，经常可选取特殊的 x0，y 0，若 P(Xx 0，Yy 0)P(Xx 0)P(Yy 0)，则可断定 X 与 Y 必不独立8.已知 f(x)具有二阶连续导数，g(x)为连续函数，且 f(x)=lncosx+ g(x-t)dt， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 先计算出 f(O)，f“(0)，f“(0)等，然后再确定是极值点还是拐点详解 由 *有 *于是 *进而可推出*可见(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点故选(C)评注 若 f(x0)=0，f“(x 0)0，则点 x=x0为 y=f(x)的极值点；若 f“(x
13、0)=0，f“(x 0)0，则点(x 0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 g(x)是微分方程 g(x)+sinxg(x)=cosx 满足初始条件 g(0)=0 的解，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：分析 极限*相当于 g(x)在点 x=0 处的导数值详解 因为*，而由 g(x)+sinxg(x)=cosx 知 g(0)=1，故*评注 本题若先解微分方程 g(x)+sinxg(x)=cosx，再求极限*，则把问题复杂化了10.无穷级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2e）解析：分析 利用 ex幂
14、级数展开式求和即可详解 *评注 应熟练掌握常见函数 ex，sinx，cosx，ln(1+x)，(1+x) 等的幂级数展开式11.函数 （分数：4.00）_解析：分析 先求出法矢量的单位方向向量，再求方向导数即可详解 切平面在点(0，1，0)处指向 y 轴正向的法矢量为n=0，2，012.在区间(-，+)内方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：详解 令*，是偶函数讨论0，+)，*则在*内至少有一个实根，又*在*内有且仅有一个实根当*时，f(x)0，即在*内方程 f(x)=0 无实根在(-，+)内有 2 个实根13.设 A、B 为三阶相似矩阵，A 的两个特征值为 1=1，
15、2=2，行列式|B|=2，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 AB 则|A|=|B|详解 设 A 的特征值为 1， 2， 3，其中 1=1， 2=2，|B|=2，A 相似于 B，|A|=2 1 2 3=|A|=2， 3=1A+E 的特征值为：2，3，2|A+E|=232=12*|(2B)*|=|2B|3-1=(23|B|)2=162=256*14.设(X，Y)的联合分布律如下表所示：（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 离散型随机变量(X，Y)相互独立，要求满足P(X=xi，Y=y i)=P(X=xi)P(Y=yi)由此可确定 s，t 的取
16、值详解 由联合分布律可得 X，Y 的边缘分布律*则 由 X、Y 相互独立，可得*由此可得 *又由 *可得 *故 *评注 对于一般随机变量 X 与 Y(离散型或连续型)相互独立，也可以由分布函数满足条件：F(x，y)=FX(x)FY(y)进行分析讨论三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 f(x)、g(x)连续可导，且 f(x)=g(x)，g(x)=f(x)+(x)，其中 (x)为某已知连续函数，g(x)满足微分方程 g(x)-xg(x)=cosx+(x)，求不定积分xf“(x)dx（分数：10.00）_正确答案：(详解 xf“(x)dx=xdf(x)=xf(x)-f(x)dx=x
17、f(x)-f(x)+C，又由 f(x)=g(x)，g(x)=f(x)+(x)，于是有|xf“(x)dx=xg(x)-g(x)-(x)+C=xg(x)-g(x)+(x)+C=-cosx+C)解析：分析 从不定积分xf“(x)dx 的形式，可知应利用分部积分法评注 本题不必求解微分方程 g(x)-xg(x)=cosx+(x)16.已知曲线 L 的方程为 （分数：10.00）_正确答案：(详解 (1)*所以当 t0 时，曲线是凸的(2)过点(-1，0)，L 的切线方程：*所以 *t2+t-2=0，t=-2(舍)，t=1切点坐标：x 0=12+1=2，y 0=41-12=3切线方程：*(3)切线与 x
18、 轴的交点：0=x+1，x=-1L 与 x 轴交点：0=4t-t 2，t=0， t=4相应的 x 坐标：x=1，x=17(舍)AB=3，PB=3，*所求面积：*)解析：分析 曲线用参数方程表示时，无论求一阶、二阶导数，t 都是中间变量评注 (1)参数方程表示的曲线求面积时：*，应注意 x()=a，x()=b；(2)该题综合了用参数方程表示曲线时，关于曲线凹凸性、求切线、求面积等多方面的知识点17.已知 F(x)是 f(x)的一个原函数，而 F(x)是微分方程 xy+y=ex满足初始条件 的解，试将 f(x)展开成 x 的幂级数，并求 （分数：10.00）_正确答案：(详解 由 xy+y=ex知
19、(xy)=e x，积分得 xy=ex+C，当 x0 时，根据 *，有 C=-1故*于是 *而 *故 *于是 *)解析：分析 求函数的幂级数展开式一般考虑用间接展开法即可，即通过恒等变形、逐项求导、逐项积分等达到求函数幂级数展开式的目的本题先解一简单微分方程，找出满足条件的 F(x)，再利用*求幂级数展开式即可评注 本题的初始条件由极限*给出，除考查微分方程、函数的幂级数展开、幂级数的逐项求导性质、无穷级数求和外，还将求极限这一基础知识包括进来，这种命题的方式值得注意，18.已知 ，求：(1)(2)(3)(4) （分数：10.00）_正确答案：(详解 (1)*(2)*(3)*(4)*)解析：分析
20、 *为分析函数的定积分，计算时应分成两部分计算评注 该题关键是计算 S0，另外应注意(1)、(2)、(3)、(4)题之间的联系在考研试题中，若有几个问题，则前面的问题一般都与后面的问题有联系19.(1)证明： （分数：10.00）_正确答案：(详解 (1)*(2)*所以*)解析：分析 反常积分可以类似于定积分进行变量替换，应注意改变积分限评注 注意计算(2)时，利用(1)的结论20.给定两个数列 an)，b n，且 a1=1，b 1=-1，a n=an-1+2bn-1，b n=-an-1+4bn-1，求 （分数：11.00）_正确答案：(详解 *设* 1=2， 2=3相应于 1=2 的特征向量
21、为*相应于 2=3 的特征向量为*得 k1=2，k 2=-3*a n=2n+1-3n，b n=2n-3n*)解析：分析 表面上这是数列极限问题，实质上由*得*由矩阵乘法可得 an，b n的表达式评注 该题是数列极限和线性代数中矩阵乘法的综合题因为综合题考点较多，因此在考研试题中经常出现21.设 n 元实二次型 f(x1，x 2，x n)=xTAx， x=(x 1，x 2，x n)T证明：f 在条件 （分数：11.00）_正确答案：(详解 由题设知，存在正交变换 x=Qy，把二次型 f=xTAx 化为标准形*其中 1， 2， n是 A 的特征值且 1， 2， n全是实数不妨设 1， 2， n中的
22、最大值为 1，注意到*时有 *于是 *说明 f 在条件*下的最大值不超过 A 的最大特征值 1为证 1是 f 在 xTx=1 上的最大值，只需证明：在 xTx=1 上存在点 x，使 f=xTAx= 1在单位球面 yTy=1 上取一点 y0=(1，0，0) T，则有*若令 x0=Qy0，则*，并且*故 1是二次型 f=xTAx 在 xTx=1 下的最大值)解析：分析 先通过正交变换 x=Qy，将二次型化为标准形，这样可方便地讨论 f 的最值问题评注 若通过一般的合同变换 x=Py，化二次型 xTAx 为标准形，则不能用上述方法证明，因为此时PTPE，这一点是值得注意的22.有 100 个零件，其中 90 个一等品，10 个二等品，随机地取 2 个，安装在一台设备上，若 2 个零件中有 i 个(i=0，1，2)二等品，则该设备的使用寿命服从参数为 =i+1 的指数分布试求：(1)设备寿命超过 1 的概率；(2)若已知该设备寿命超过 1，则安装在该设备上的 2 个零件均为一等品的概率（分数：11.00）_解析：23.设 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2)，求 Emin(X，Y)（分数：11.00）_正确答案：(详解 *)解析：分析 应注意：*评注 当 XN(，*)，YN( 2，*)且 X，Y 相互独立时，aX+bY+cN(a 1+b 2，a 2*+b2*)
