1、考研数学一-270 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：100.00)1.设曲线 L:f(x，y)=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)，过第象限内的点 M 和第象限内的点 N， 为L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列积分小于零的是（分数：3.00）A.f(x，y)dxB.f(x，y)dyC.f(x，y)dsD.fx(x，y)dx+fy(x，y)dy2.设 ，对于该线积分容易验证 ，则 A对于任何不过坐标原点的闭曲线 L，恒有 I=0 B线积分 （分数：3.00）A.B.C.D.3.设为球面 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 上半部分
2、的上侧，则下列结论不正确的是 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.4.设有曲线 ，从 x 轴正向看去为逆时针方向，则 等于 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.5.设 a 是常数，则级数 （分数：3.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与 a 的取值有关6.已知 则 （分数：3.00）A.3B.7C.8D.97.设 ，则级数 A 和 都收敛 B 和 都发散 C 收敛而 发散 D 发散而 （分数：3.00）A.B.C.D.8.设 a n 0(n=1，2，3，)，且 收敛，常数 ，则级数 （分数：3.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 有关9
3、.若级数 收敛，则级数 A 收敛 B 收敛 C 收敛 D （分数：3.00）A.B.C.D.10.设 a n 0，(n=1，2，)，若 发散， 收敛，则 A当 收敛， 发散 B当 收敛， 发散 C当 收敛 D当 （分数：3.00）A.B.C.D.11.设有两个数列a n ，b n ，若 ，则 A当 收敛时， 收敛 B当 发散时， 发散 C当 收敛时， 收敛 D当 发散时， （分数：3.00）A.B.C.D.12.下列各选项正确的是 A若 和 都收敛，则 收敛 B若 收敛，则 和 都收敛 C若正项级数 发散，则 D若级数 收敛，u n v n (n=1，2，)，则级数 （分数：3.00）A.B.
4、C.D.13.设有以下命题 若 收敛，则 收敛 若 收敛，则 收敛 若 ，则 发散 若 收敛，则 （分数：3.00）A.B.C.D.14.若级数 和 都收敛，则级数 （分数：3.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.必发散D.敛散性不能确定15.a n 和 b n 符合下列哪一个条件，可由 发散推得 （分数：3.00）A.anbnB.|an|bnC.an|bn|D.|an|bn|16.级数 ( 为常数) A当 时条件收敛 B当 时条件收敛 C当 时绝对收敛 D当 （分数：3.00）A.B.C.D.17.设 0，则级数 （分数：3.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 取值有关18.若
5、级数 收敛，则必有 AIn3 B1 C （分数：3.50）A.B.C.D.19.若级数 收敛， 发散，则 A 必发散 B 必收敛- C 必发散 D （分数：3.50）A.B.C.D.20.设 收敛，则 A 收敛 B 发散 C D当 a n 0 时 （分数：3.50）A.B.C.D.21.正项级数 收敛是级数 （分数：3.50）A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.即非充分条件，又非必要条件22.如果级数 收敛，则级数 与 （分数：3.50）A.都收敛B.都发散C.敛散性不同D.同时收敛或同时发散23.如果级数 和 都发散，则 A 必发散 B 必发散 C 必发散 D （分数：3.50）A.B.
6、C.D.24.已知级数 收敛，则下列级数中必收敛的是 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.25.下列命题成立的是 A若 ，则 收敛时 收敛 B若 则 发散时 发散 C若 ，则 和中至少有一个发散 D若 ，则 和 （分数：3.50）A.B.C.D.26.级数 （分数：3.50）A.仅与 取值有关B.仅与 取值有关C.与 和 的取值都有关D.与 和 的取值无关27.下列四个级数中发散的是 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.28.设有命题 若正项级数 满足 ，则级数 收敛 若正项级数 收敛，则 若 ，则级数 和 同敛散 若数列a n 收敛，则级数 （分数：3.50）A.
7、1 个B.2 个C.3 个D.4 个29.若 （分数：3.50）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性不定30.已知幂级数 （分数：3.50）A.0B.-1C.1D.231.若幂级数 （分数：3.50）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性不能确定考研数学一-270 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：100.00)1.设曲线 L:f(x，y)=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)，过第象限内的点 M 和第象限内的点 N， 为L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列积分小于零的是（分数：3.00）A.f(x，y)dxB.f(x，y)dy
8、 C.f(x，y)dsD.fx(x，y)dx+fy(x，y)dy解析：解析 在 上 f(x，y)=1，M 在第象限，N 在第象限，因此 M 点的纵坐标 y M 大于 N 点的纵坐标 y N ，因此 2.设 ，对于该线积分容易验证 ，则 A对于任何不过坐标原点的闭曲线 L，恒有 I=0 B线积分 （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 当 L 围成的区域 D 不包含坐标原点时，由格林公式得 3.设为球面 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 上半部分的上侧，则下列结论不正确的是 A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 对于第二类面积分，若曲面 (包含侧)关于 x=
9、0(即 yOz 坐标面)对称，则 这里曲面关于 x=0 对称，而选项 A、C、D 中的被积函数 x 2 ，y 2 ，y，关于 x 都是偶函数，则其积分为零，而 B 选项中的被积函数 x 为 x 的奇函数，则 4.设有曲线 ，从 x 轴正向看去为逆时针方向，则 等于 A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 取 为平面 x+y+z=0 包含在球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 内的部分，法线方向按右手法则取，由斯托克斯公式得 其中 cos，cos，cos 为平面 x+y+z=0 法线向量的方向余弦， 则 5.设 a 是常数，则级数 （分数：3.00）A.绝对收敛B.
10、条件收敛C.发散 D.收敛性与 a 的取值有关解析：解析 由于 而 收敛，则 收敛，但 发散，则 发散 故应选 C 若 收敛， 发散。则 6.已知 则 （分数：3.00）A.3B.7C.8 D.9解析：解析 7.设 ，则级数 A 和 都收敛 B 和 都发散 C 收敛而 发散 D 发散而 （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 是一个交错级数，而 单调减趋于零，由莱布尼兹准则知级数 收敛 而 (当 n) 发散，则 8.设 a n 0(n=1，2，3，)，且 收敛，常数 ，则级数 （分数：3.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性与 有关解析：解析 由于 为正项级数且收敛，则级
11、数 收敛，而 则 收敛，故 9.若级数 收敛，则级数 A 收敛 B 收敛 C 收敛 D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 收敛，则 也收敛，则 10.设 a n 0，(n=1，2，)，若 发散， 收敛，则 A当 收敛， 发散 B当 收敛， 发散 C当 收敛 D当 （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 =a 1 -a 2 +a 3 -a 4 +a 2n-1 ，-a 2n +且设级数收敛，由级数性质可知，该级数加括号所得级数 收敛，故应选 D 事实上，由本题可知，级数 条件收敛，则该级数的所有正项和所有负项分别构成的级数 和 都发散，则 A，B 都不正确 是一个
12、发散的正项级数，则其加括号后所得级数 11.设有两个数列a n ，b n ，若 ，则 A当 收敛时， 收敛 B当 发散时， 发散 C当 收敛时， 收敛 D当 发散时， （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 若 收敛，则 收敛，而 ，则a n )有界，设|a n |M，从而 0a 2 n b 2 n M 2 b 2 n 12.下列各选项正确的是 A若 和 都收敛，则 收敛 B若 收敛，则 和 都收敛 C若正项级数 发散，则 D若级数 收敛，u n v n (n=1，2，)，则级数 （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 0(u n +v n ) 2 =u n 2 +v n 2
13、+2u n v n 2(u 2 n +v n 2 )而 和 都收敛，则 13.设有以下命题 若 收敛，则 收敛 若 收敛，则 收敛 若 ，则 发散 若 收敛，则 （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 级数加括号 收敛，原级数 不一定收敛，如 ，则不正确； 是级数 去掉了前 100 项，则由姜 收敛便可知 收敛测正确； 由于 ，则 则当 n 充分大时|u n+1 |u n |0，从而 级数 发散，正确 显然不正确，如 14.若级数 和 都收敛，则级数 （分数：3.00）A.条件收敛B.绝对收敛 C.必发散D.敛散性不能确定解析：解析 由于 则由 和 都收敛可知 15.a n 和 b n
14、 符合下列哪一个条件，可由 发散推得 （分数：3.00）A.anbnB.|an|bn C.an|bn|D.|an|bn|解析：解析 如果 收敛，由 |a n |b n 知， 收敛，从而 16.级数 ( 为常数) A当 时条件收敛 B当 时条件收敛 C当 时绝对收敛 D当 （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 当 时，级数 为交错级数且 单调减趋于零，则级数 收敛，而 当 时，级数 发散， 故当 时，级数 17.设 0，则级数 （分数：3.00）A.绝对收敛B.条件收敛 C.发散D.敛散性与 取值有关解析：解析 由于 由交错级数的莱布尼兹准则知，级数 收敛而 18.若级数 收敛，则必有
15、 AIn3 B1 C （分数：3.50）A.B.C. D.解析：解析 由于 3 -ln3 =n -ln3 (可两端取对数验证) 而 若 收敛，则 ln31， 即 19.若级数 收敛， 发散，则 A 必发散 B 必收敛- C 必发散 D （分数：3.50）A.B.C.D. 解析：解析 由 发散可知， 必发散，而 收敛20.设 收敛，则 A 收敛 B 发散 C D当 a n 0 时 （分数：3.50）A.B.C.D. 解析：解析 当 a n 0 时，级数 为正项级数，由于该级数收敛，则其部分和数列 =(a 1 +a 2 )+(a 3 +a 4 )+(a 2n-1 +a 2n )上有界 从而可知正项
16、级数 的部分和数列 S n =a 1 +a 2 +a n 上有界 则级数 21.正项级数 收敛是级数 （分数：3.50）A.充要条件B.充分条件 C.必要条件D.即非充分条件，又非必要条件解析：解析 由于正项级数 收敛，则 当 n 充分大时 0a 2 n a n ，从而 收敛，但 收敛时， 不一定收敛，如 ，则正项级数 收敛是级数 22.如果级数 收敛，则级数 与 （分数：3.50）A.都收敛B.都发散C.敛散性不同D.同时收敛或同时发散 解析：解析 由于 a n =(a n +b n )-b n ,且 收敛，当 收敛时， 必收敛；而当 发散时， 23.如果级数 和 都发散，则 A 必发散 B
17、 必发散 C 必发散 D （分数：3.50）A.B.C.D. 解析：解析 由于 发散，则 发散，而 |a n |a n |+|b n | 故 24.已知级数 收敛，则下列级数中必收敛的是 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D. 解析：解析 由于 而级数 为原级数 去掉了前 k 项，则其敛散性相同，故 25.下列命题成立的是 A若 ，则 收敛时 收敛 B若 则 发散时 发散 C若 ，则 和中至少有一个发散 D若 ，则 和 （分数：3.50）A.B.C. D.解析：解析 由于 ，则 和 中至少有一个不成立，则级数 和26.级数 （分数：3.50）A.仅与 取值有关B.仅与 取值有关C.
18、与 和 的取值都有关 D.与 和 的取值无关解析：解析 由于 1)当 01 时，级数 发散 2)当 1 时，级数 收敛 3)当 =1 时，原级数为 27.下列四个级数中发散的是 A B C D （分数：3.50）A.B. C.D.解析：解析 由于 而 发散，则级数 发散 对于级数 ，由于 则级数 收敛 对于交错级数 ，由于 单调减趋于零，由交错级数的莱布尼兹准则知该级数收敛 对于级数 ，由于 28.设有命题 若正项级数 满足 ，则级数 收敛 若正项级数 收敛，则 若 ，则级数 和 同敛散 若数列a n 收敛，则级数 （分数：3.50）A.1 个 B.2 个C.3 个D.4 个解析：解析 只有是
19、正确的，事实上，级数 的部分和数列 S n =(a 2 -a 1 )+(a 3 -a 2 )+(a n+1 -a n )=a n+1 -a 1 由于数列a n 收敛，则 存在，级数 收敛 不正确如 ，满足 ，但 不收敛 不正确正项级数 收敛，但极限 不一定存在， 如 是收敛的，事实上 但 不存在 不正确如 ， ，容易验证 ，但级数 收敛，而 29.若 （分数：3.50）A.条件收敛B.绝对收敛 C.发散D.敛散性不定解析：解析 由于幂级数 在 x=1 处收敛，由阿贝尔定理可知当 |x|+1|1+1|=2 时， 30.已知幂级数 （分数：3.50）A.0B.-1 C.1D.2解析：解析 显然，幂级数31.若幂级数 （分数：3.50）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性不能确定 解析：解析 由幂级数
