1、考研数学一-269 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：100.00)1.设 u(x，y)在平面有界闭区域 D 上有连续二阶偏导数，在 D 内 （分数：3.00）A.最大值点和最小值点必定都在 D 的内部B.最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上C.最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上D.最大值点在 D 的边界上，最小值点在 D 的内部2.函数 f(x，y)=kx 2 +y 3 -3y 在点(0，1)处（分数：3.00）A.取极大值B.取极小值C.不取得极值D.是否取得极值与 k 取值有关3.函数 f(x，y)=1+x+y 在区域
2、 x 2 +y 2 1 上的最大值与最小值之积为 A-1 B1 C D （分数：3.00）A.B.C.D.4.曲面 x 2 +y 2 +z 2 =1 上到平面 x+2y+z=10 距离最大的点为 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.5.设 D 是 xOy 平面上以(1，1)，(-1，1)和(-1，-1)为顶点的三角形区域，D 1 是 D 在第一象限的部分，则 等于 A B C （分数：3.00）A.B.C.D.6.累次积分 可写成 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.7.累次积分 可写成 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.8.交换积分次序 为 A B
3、 C D （分数：3.00）A.B.C.D.9. （分数：3.00）A.B.C.D.10.设 f(x，y)在 D：x 2 +y 2 a 2 上连续，则 A不一定存在 B存在且等于 f(0，0) C存在且等于 f(0，0) D存在且等于 （分数：3.00）A.B.C.D.11.设 g(x)是可微函数 y=f(x)的反函数，且 f(1)=0， ,则 （分数：3.00）A.0B.2015C.2016D.210012.设 g(x)有连续的导数，g(0)=0，g“(0)=a0，f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.13.已知 ，则 A=1， B=
4、2， C=2， D=3， （分数：3.00）A.B.C.D.14.设 （分数：3.00）A.I2I3I1B.I1I2I3C.I3I1I2D.I3I2I115.设平面域 D 由 ，x+y=1 及两条坐标轴围成， ， （分数：3.00）A.I1I2I3B.I3I1I2C.I1I3I2D.I3I2I116.设 D 为单位圆域 x 2 +y 2 1， （分数：3.00）A.I1I2I3B.I3I1I2C.I3I2I1D.I1I3I217.设 f(x，y)连续，且 ，其中 D 是由 y=0y=x 2 ，x=1 所围区域，则 f(x，y)等于 Axy B2xy C （分数：3.00）A.B.C.D.18.
5、设有空间区域 1 :x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，z0；及 2 :x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，x0，y0，z0，则 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.19.设 是由曲面 及 z=1 所围成的区域，f(x，y，z)连续，则 等于 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.20.设 是由曲面 z=x 2 +y 2 ，y=x，y=0，z=1 在第一卦限所围成的区域，f(x，y，z)在 上连续，则 等于 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.21.设 f(x)有连续的导数，f(0)=0，区域 由柱面 x 2 +y 2 =t 2 (t0)和两平面 z
6、=0，z=1 所围成，则 等于 Af“(0) Bf(0) C D （分数：3.50）A.B.C.D.22.设 S:x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (z0)，S 1 为 S 在第一卦限中的部分，则 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.23.下列结论 (1) (2) (3) (4) （分数：3.50）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条24.设 C k (k=1，2，3)分别为曲线 x 2 +y 2 =1， （分数：3.50）A.I1I2I3B.I1I3I2C.I3I2I1D.I2I1I325.设曲线 L 为椭圆 ，其周长为 l，则 （分数：3.50）A.B.C.D.26.
7、设 L 是以 A(1，0)，B(0，1)，C(-1，0)，D(0，-1)为顶点的正方形边界，则 等于 A B0 C （分数：3.50）A.B.C.D.27.设 L 为折线 y=1-|1-x|从点(0，0)到点(2，0)的一段，则线积分 等于 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.28.在力场 的作用下，一质点沿圆周 x 2 +y 2 =1 逆时针运动一圈所作的功为 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.29.设 L 是圆周 x 2 +y 2 =1，n 为 L 的外法线向量， ，则 等于 A0 B （分数：3.50）A.B.C.D.30.设为球面 x 2 +y 2 +z
8、2 =R 2 ，cos，cos，cos 为该球面外法线向量的方向余弦，则 等于 A4R 5 B2R 3 C3R 4 D （分数：3.50）A.B.C.D.31.下列曲线积分 （分数：3.50）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个考研数学一-269 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：100.00)1.设 u(x，y)在平面有界闭区域 D 上有连续二阶偏导数，在 D 内 （分数：3.00）A.最大值点和最小值点必定都在 D 的内部B.最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上 C.最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上D.最大值点在 D
9、 的边界上，最小值点在 D 的内部解析：解析 由于在 D 内 ，则在 D 内 2.函数 f(x，y)=kx 2 +y 3 -3y 在点(0，1)处（分数：3.00）A.取极大值B.取极小值C.不取得极值D.是否取得极值与 k 取值有关 解析：解析 f x =2kx，f y =3y 2 -3，显然 f x (0，1)=0，f y (0，1)=0 f xx (0，1)=2k，f yy (0，1)=6，f xy (0，1)=0 AC-B 2 =12k 则 f(x，y)在点(0，1)处是否取得极值与 k 的取值有关3.函数 f(x，y)=1+x+y 在区域 x 2 +y 2 1 上的最大值与最小值之积
10、为 A-1 B1 C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 显然 f(x，y)=1+x+y 在区域 x 2 +y 2 1 内无驻点，令 F(x，y，)=1+x+y+(x 2 +y 2 -1) 令 得 为最大值， 为最小值， 4.曲面 x 2 +y 2 +z 2 =1 上到平面 x+2y+z=10 距离最大的点为 A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 由几何意义可知球面 x 2 +y 2 +z 2 =1 上到平面 x+2y+z=10 距离最大的点处的切平面与平面 x+2y+z=10 平行，且在第七卦限 球面 x 2 +y 2 +z 2 =1 在点(x，y，
11、z)处的法向量为 n 1 =(x，y，z) 平面 x+2y+z=10 的法向量为 n 2 =(1，2，1) 则 即 x=，y=2，z=，将其代入 x 2 +y 2 +z 2 =1 得 由于所求点在第七卦限，则所求点为 5.设 D 是 xOy 平面上以(1，1)，(-1，1)和(-1，-1)为顶点的三角形区域，D 1 是 D 在第一象限的部分，则 等于 A B C （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 连接 OB 将原积分域分为两部分， CBO，记为 D 2 ，BOA，记为 D 3 由于 D 2 关于 x 轴对称，而 xy+cosxsiny 是 y 的奇函数，则 而 D 3 关于 y
12、轴对称，xy 是 x 的奇函数，cosxsiny 是 x 的偶函数，则 故应选 A 6.累次积分 可写成 A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 原积分域应为由 x 2 +y 2 2y 与 x0 所确定的右半圆，故应选 C7.累次积分 可写成 A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 原积分域为直线 y=x，x+y=2，与 y 轴围成的三角形区域，故应选 C8.交换积分次序 为 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 交换积分次序得 9. （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 由 r=acos 知 r 2 =arc
13、os，即 x 2 +y 2 =ax (a0) 故应选 C10.设 f(x，y)在 D：x 2 +y 2 a 2 上连续，则 A不一定存在 B存在且等于 f(0，0) C存在且等于 f(0，0) D存在且等于 （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 由积分中值定理知 11.设 g(x)是可微函数 y=f(x)的反函数，且 f(1)=0， ,则 （分数：3.00）A.0B.2015C.2016 D.2100解析：解析 12.设 g(x)有连续的导数，g(0)=0，g“(0)=a0，f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则 A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析
14、由积分中值定理知 其中(，)为圆域 x 2 +y 2 r 2 上的一个点，则 而 13.已知 ，则 A=1， B=2， C=2， D=3， （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 交换累次积分次序得 由 =2， 14.设 （分数：3.00）A.I2I3I1B.I1I2I3 C.I3I1I2D.I3I2I1解析：解析 同一积分域上二重积分大小的比较，只要比较被积函数的大小，而被积函数为同一函数 的不同方幂，关键是要确定在 D 上 是大于 1 还是小于 1 由于直线 (即 x+y=4)与圆(x-1) 2 +(y-1) 2 =2 在点(2，2)处相切，则在区域 D：(x-1) 2 +(y-1
15、) 2 2 上， ，从而有 15.设平面域 D 由 ，x+y=1 及两条坐标轴围成， ， （分数：3.00）A.I1I2I3B.I3I1I2C.I1I3I2 D.I3I2I1解析：解析 显然在 D 上 0x+y1，则 ln(x+y) 3 0，0 3(x+y) 3从而有16.设 D 为单位圆域 x 2 +y 2 1， （分数：3.00）A.I1I2I3B.I3I1I2C.I3I2I1D.I1I3I2 解析：解析 由于积分域 D 关于两个坐标轴都对称，而 x 3 是 x 的奇函数,y 3 是 y 的奇函数，则 (这里利用了变量的对称性) 由于在 D 内|x|1，|y|1，则 x 6 +y 6 x
16、4 +y 4 则 17.设 f(x，y)连续，且 ，其中 D 是由 y=0y=x 2 ，x=1 所围区域，则 f(x，y)等于 Axy B2xy C （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 等式 两端积分得 18.设有空间区域 1 :x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，z0；及 2 :x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，x0，y0，z0，则 A B C D （分数：3.50）A.B.C. D.解析：解析 由于 1 关于 xOz 面和 yOz 面都对称，而 f(x，y，z)=z 既是 y 的偶函数，也是 x 的偶函数，则 19.设 是由曲面 及 z=1 所围成的区域，f(x，y，z)
17、连续，则 等于 A B C D （分数：3.50）A.B.C. D.解析：解析 是由锥面 及平面 z=1 围成的锥体(如右图)，则在直角坐标下化为累次积分为 20.设 是由曲面 z=x 2 +y 2 ，y=x，y=0，z=1 在第一卦限所围成的区域，f(x，y，z)在 上连续，则 等于 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D. 解析：解析 在 xOy 面上的投影是由 x 2 +y 2 =1，y=0，y=x 在第一象限围成的 圆域，则 21.设 f(x)有连续的导数，f(0)=0，区域 由柱面 x 2 +y 2 =t 2 (t0)和两平面 z=0，z=1 所围成，则 等于 Af“(0)
18、 Bf(0) C D （分数：3.50）A.B.C.D. 解析：解析 22.设 S:x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (z0)，S 1 为 S 在第一卦限中的部分，则 A B C D （分数：3.50）A.B.C. D.解析：解析 由于 S 关于 yOz 面和 xOz 面都对称，而 f(x，y，z)=z 关于 x 和 y 都是偶函数，则 23.下列结论 (1) (2) (3) (4) （分数：3.50）A.1 条B.2 条 C.3 条D.4 条解析：解析 (1)和(3)是正确的，(2)和(4)是错误的 (1)和(3)分别是第一类线(面)积分，积分是沿曲线(面)积，被积函数可用曲线(面)方程
19、代入 但(2)和(4)分别是二重积分和三重积分，积分分别是在圆域 x 2 +y 2 a 2 和球体 x 2 +y 2 +z 2 a 2 上积，被积分函数不能用积分域的边界曲线 x 2 +y 2 =a 2 和边界曲面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 代入24.设 C k (k=1，2，3)分别为曲线 x 2 +y 2 =1， （分数：3.50）A.I1I2I3B.I1I3I2C.I3I2I1 D.I2I1I3解析：解析 由格林公式得 注意到在圆 x 2 +y 2 1 之外，以上三个二重积分的被积函数(1-x 2 -y 2 )为负，由图可知 I 3 I 2 I 1 故应选 C 25.设曲线
20、L 为椭圆 ，其周长为 l，则 （分数：3.50）A.B.C. D.解析：解析 26.设 L 是以 A(1，0)，B(0，1)，C(-1，0)，D(0，-1)为顶点的正方形边界，则 等于 A B0 C （分数：3.50）A. B.C.D.解析：解析 曲线 L 的方程为|x|+|y|=1，该曲线关于 y 轴和 x 轴都对称， ， 分别关于 x和 y 是奇函数，则 27.设 L 为折线 y=1-|1-x|从点(0，0)到点(2，0)的一段，则线积分 等于 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D. 解析：解析 积分曲线如图所示 28.在力场 的作用下，一质点沿圆周 x 2 +y 2 =1
21、逆时针运动一圈所作的功为 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D. 解析：解析 所求功为 29.设 L 是圆周 x 2 +y 2 =1，n 为 L 的外法线向量， ，则 等于 A0 B （分数：3.50）A.B. C.D.解析：解析 这里的 cos(n，z)，cos(n，y)为曲线 L 的外法线向量的方向余弦，设 为 L 的沿逆时针方向的切线向量，则 cos(n，x)=cos(，y)，cos(n，y)=-cos(，x) 则 30.设为球面 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 ，cos，cos，cos 为该球面外法线向量的方向余弦，则 等于 A4R 5 B2R 3 C3R 4 D （分数：3.50）A.B.C.D. 解析：解析 31.下列曲线积分 （分数：3.50）A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个解析：解析 对于 在 D 内虽有 成立 但不能断定该线积分在 D 内与路径无关，因为 D 不是单连通域，而 则线积分 在 D 上不与路径无关 而对于(2)和(3)，由于 即其被积式在 D 上是某个二元函数的全微分，则线积分 在 D 上与路径无关 而对线积分 ，由于 即 ，则线积分
