1、考研数学一-268 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：100.00)1.设 （分数：3.00）A.不连续B.连续但偏导数不存在C.连续且偏导数存在但不可微D.可微2.如果 f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是 A若极限 存在，则 f(x，y)在(0，0)处可微 B若极限 存在，则 f(x，y)在(0，0)处可微 C若 f(x，y)在(0，0)处可微，则 存在 D若 f(x，y)在(0，0)处可微，则 （分数：3.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x，y)可微，且对任意 x，y 都有 （分数：3.00）A.x1x2，y1y2
2、B.x1x2，y1y2C.x1x2，y1y2D.x1x2，y1y24.已知 f x (x 0 ，y 0 )存在，则 Af x (x 0 ，y 0 ) B0 C2f x (x 0 ，y 0 ) D （分数：3.00）A.B.C.D.5.设 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，z 是 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的全增量，则在点(x 0 ，y 0 )处（分数：3.00）A.z=dzB.z=fx(x0，y0)x+fx(x0，y0)yC.z=fx(x0，y0)dx+fy(x0，y0)dyD.z=dz+o()6.函数 （分数：3.00）A.不连续B.偏导数存在C.可微D.沿任一
3、方向方向导数存在7.已知 f x (0，0)=2，f y (0，0)=3，则 Af(x，y)在点(0，0)处连续 Bdf(x，y) (0，0) =2dx+3dy C （分数：3.00）A.B.C.D.8.设可微函数 f(x，y)满足 （分数：3.00）A.f(1，1)1B.f(-1，1)-2C.f(-1，-1)0D.f(1，-1)29.已知 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处沿任何方向的方向导数都存在，则（分数：3.00）A.f(x，y)在点(x0，y0)连续B.fx(x0，y0)，fy(x0，y0)都存在C.f(x，y)在点(x0，y0)处可微D.以上三个选项都不对10.已知函数 f(
4、x，y)在点(0，0)的某邻域内有定义，且 f x (0，0)=2，f y (0，0)=1，则 A曲面 x=f(x，y)在点(0，0，f(0，0)处的法向量为2，1，1 B曲线 在点(0，0，f(0，0)处的切向量为1，0，2 C曲线 （分数：3.00）A.B.C.D.11.设函数 f(x，y)可微，且 f(0，0)=0，f(2，1)3，f“ y (x，y)0，则至少存在一点(x 0 ，y 0 )使 Af x (x 0 ，y 0 )1 Bf x (x 0 ，y 0 )-3 C D （分数：3.00）A.B.C.D.12.已知方程 确定了函数 z=z(x，y)，其 f(u，v)可微，则 （分数：
5、3.00）AzB.-zCyD.-y13.设 z=f(xy，x 2 +y 2 )，其中 f(u，v)有二阶连续偏导数，则 （分数：3.00）A.B.C.D.14.已知函数 z=f(x，y)满足 （分数：3.00）A.B.C.D.15.已知 df(x，y)=(2y 2 +2xy+3x 2 )dx+(4xy+x 2 )dy，则 f(x，y)= A.2xy2+x2y B.2xy2+x2y+x3 C.2xy2+x2y+x3+C D.3xy2+x2y+x3+C（分数：3.00）A.B.C.D.16.已知 （分数：3.00）A.0B.2C.1D.-117.已知 du(x，y)=(axy 3 +cos(x+2
6、y)dx+(3x 2 y 2 +bcos(x+2y)dy，则（分数：3.00）A.a=2，b=-2B.a=3，b=2C.a=2，b=2D.a=-2，b=218.函数 u=x 2 y 3 z 4 在点 A(1，1，1)处沿从点 A 到点 B(2，3，4)的方向的方向导数等于 A20 B-20 C D （分数：3.50）A.B.C.D.19.函数 f(x,y,z)=x 2 y 3 +3y 2 z 3 在点(0，1，1)处方向导数的最大值为 A B （分数：3.50）A.B.C.D.20.函数 （分数：3.50）A.-iBiC.-jDj21.设可微函数 f(x，y，z)在点(x 0 ，y 0 ，z
7、0 )处的梯度向量为 g，l=(0，2，2)为一常向量，且gl=1，则函数 f(x，y，z)在点(x 0 ，y 0 ，z 0 )处沿 l 方向的方向导数等于 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.22.已知曲面 z=4-x 2 -y 2 上点 P 处的切平面平行于平面 2x+2y+z-1=0 则点 P 的坐标是（分数：3.50）A.(1，-1，2)B.(-1，1，2)C.(1，1，2)D.(-1，-1，2)23.在曲线 x=t,y=-t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 z+2y+z=4 平行的切线（分数：3.50）A.只有一条B.只有两条C.至少有三条D.不存在24.曲线
8、在点(1，-1，0)处的切线方程为 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.25.函数 f(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 在点(1，-1，1)处沿曲线 x=t，y=-t 2 ，z=t 2 在该点指向 z 轴负向一侧的切线方向的方向导数等于 A-12 B12 C D （分数：3.50）A.B.C.D.26.设有三元方程 xy-zlny+e xz =1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程（分数：3.50）A.只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z=z(x，y)B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x，z)和 z=z(x，y)C.可确定
9、两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 z=z(x，y)D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 y=y(x，z)27.曲面 （分数：3.50）A.48B.64C.36D.1628.下列命题正确的是（分数：3.50）A.若(x0，y0)为 f(x，y)的极值点，则(x0，y0)必为 f(x，y)的驻点B.若(x0，y0)为 f(x，y)的驻点，则(x0，y0)必为 f(x，y)的极值点C.若(x0，y0)为有界闭区域 D 上连续的函数 f(x，y)在 D 内部唯一的极值点，且 f(x，y)在该点取极大值，则 f(x，y)在点(x0，y0)取得它在 D 上的最大值D.若
10、f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则 f(x，y0)在 x=x0 处取极小值，f(x0，y)在 y=y0 处取极小值29.设函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取极大值，则下列结论正确的是 A.f“x(x0，y 0)=f“y(x0，y 0)=0 B.f“xx(x0，y 0)f“yy(x0，y 0)-(f“xy(x0，y 0)20，且 f“xx(x0，y 0)0 C.-f(x0，y)在 y0处取极小值 D.|f(x，y)|在(x 0，y 0)处取极大值（分数：3.50）A.B.C.D.30.设 F(x，y)具有二阶连续偏导数，且 F(x 0 ，y 0 )=0，F“ x (x 0
11、 ，y 0 )=0，F“ y (x 0 ，y 0 )0若一元函数 y=y(x)是由方程 F(x，y)=0 所确定的在点(x 0 ，y 0 )附近的隐函数，则 x 0 是函数y=y(x)的极小值点的一个充分条件是（分数：3.50）A.F“xx(x0，y0)0B.F“xx(x0，y0)0C.F“yy(x0，y0)0D.F“yy(x0，y0)031.设函数 x=f(x，y)在点(0，0)处连续，且 （分数：3.50）A.fx(0，0)不存在B.fx(0，0)存在但不为零C.f(x，y)在(0，0)点取极大值D.f(x，y)在(0，0)点取极小值考研数学一-268 答案解析(总分：100.00，做题时
12、间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：100.00)1.设 （分数：3.00）A.不连续B.连续但偏导数不存在C.连续且偏导数存在但不可微 D.可微解析：解析 由于 则 则 z(x，y)在点(0，0)处连续，A 不正确 所以，z(x，y)在点(0，0)处偏导数存在，B 不正确 又 由于 不存在，则 2.如果 f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是 A若极限 存在，则 f(x，y)在(0，0)处可微 B若极限 存在，则 f(x，y)在(0，0)处可微 C若 f(x，y)在(0，0)处可微，则 存在 D若 f(x，y)在(0，0)处可微，则 （分数：3.00）A.B. C.
13、D.解析：解析 1 由 f(x，y)在(0，0)处连续可知，如果 存在，则必有 由于 存在， ，则 ，或 ，即 f(x，y)-f(0，0)=0x+0y+o() 由微分的定义知 f(x，y)在(0，0)处可微 解析 2 排除法：取 f(x，y)=|x|+|y|，显然 存在，但 f(x，y)=|x|+|y|在(0，0)处不可微这是由于 f(x，0)=|x|在 x=0 处不可导，则 f“ x (0，0)不存在，从而 f(x，y)在(0，0)处不可微，排除 A 取 f(x，y)1，显然 f(x，y)在(0，0)处可微，但 3.设函数 f(x，y)可微，且对任意 x，y 都有 （分数：3.00）A.x1
14、x2，y1y2B.x1x2，y1y2C.x1x2，y1y2D.x1x2，y1y2 解析：解析 由于偏导数本质上就是一元函数的导数，则由 4.已知 f x (x 0 ，y 0 )存在，则 Af x (x 0 ，y 0 ) B0 C2f x (x 0 ，y 0 ) D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 5.设 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，z 是 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的全增量，则在点(x 0 ，y 0 )处（分数：3.00）A.z=dzB.z=fx(x0，y0)x+fx(x0，y0)yC.z=fx(x0，y0)dx+fy(x0，y0)dyD.z
15、=dz+o() 解析：解析 由于 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，则 z=f x (x 0 ，y 0 )x+f y (x 0 ，y 0 )y+o()=dz+o() 故应选 D6.函数 （分数：3.00）A.不连续B.偏导数存在C.可微D.沿任一方向方向导数存在 解析：解析 1 直接法 设方向的方向余弦为(cos，cos)，则 故应选 D 解析 2 排除法 显然 则 f(x，y)在点(0，0)处连续，排除 A 又 7.已知 f x (0，0)=2，f y (0，0)=3，则 Af(x，y)在点(0，0)处连续 Bdf(x，y) (0，0) =2dx+3dy C （分数：3.00
16、）A.B.C.D. 解析：解析 设 cos，cos 为 x 轴负方向的方向余弦，则 cos=-1，cos=0，由方向导数定义知，f(x，y)在(0，0)点处沿 x 轴负方向的方向导数为 8.设可微函数 f(x，y)满足 （分数：3.00）A.f(1，1)1B.f(-1，1)-2C.f(-1，-1)0D.f(1，-1)2 解析：解析 1 f(1，-1)=f(1，-1)-f(0，0) =f(1，-1)-f(0，-1)+f(0，-1)-f(0，0) =f x (，-1)+f y (0，)(-1) 1+(-1)(-1)=2 故应选 D 解析 2 排除法， 令 f(x，y)=1.1x-1.1y 显然 9
17、.已知 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处沿任何方向的方向导数都存在，则（分数：3.00）A.f(x，y)在点(x0，y0)连续B.fx(x0，y0)，fy(x0，y0)都存在C.f(x，y)在点(x0，y0)处可微D.以上三个选项都不对 解析：解析 函数 在(0，0)点沿任何方向的方向导数都存在，但该函数在(0，0)点不连续 事实上 但 不存在，从而 f(x，y)在(0，0)点不连续，从而也不可微排除 A 和 C 令 10.已知函数 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内有定义，且 f x (0，0)=2，f y (0，0)=1，则 A曲面 x=f(x，y)在点(0，0，f(0，0)处的
18、法向量为2，1，1 B曲线 在点(0，0，f(0，0)处的切向量为1，0，2 C曲线 （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 曲线 的参数方程为 11.设函数 f(x，y)可微，且 f(0，0)=0，f(2，1)3，f“ y (x，y)0，则至少存在一点(x 0 ，y 0 )使 Af x (x 0 ，y 0 )1 Bf x (x 0 ，y 0 )-3 C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 f(2，1)=f(2，1)-f(0，0) =f(2，1)-f(2，0)+f(2，0)-f(0，0) =f y (2，)+2f x (，0) 又 f(2，1)3 则 f y (2，)+
19、2f x (，0)3， 又 f y (2，)0，则 2f x (，0)3， 即 12.已知方程 确定了函数 z=z(x，y)，其 f(u，v)可微，则 （分数：3.00）Az B.-zCyD.-y解析：解析 13.设 z=f(xy，x 2 +y 2 )，其中 f(u，v)有二阶连续偏导数，则 （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 14.已知函数 z=f(x，y)满足 （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 1 由 知 由 f x (1，y)=y+1 知 y+1=2+(y) (y)=y-1 x=2x+(y-1)dx=x 2 +(y-1)x+(y) 由 f(1，y)=y+2 知
20、y+2=1+(y-1)+(y) (y)=2 z=x 2 +(y-1)x+2 解析 2 显然四个选项中的函数都满足 15.已知 df(x，y)=(2y 2 +2xy+3x 2 )dx+(4xy+x 2 )dy，则 f(x，y)= A.2xy2+x2y B.2xy2+x2y+x3 C.2xy2+x2y+x3+C D.3xy2+x2y+x3+C（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 1 由题设知 由 知 f(x，y)=(2y 2 +2xy+3x 2 )dx=2xy 2 +x 2 y+x 3 +(y) 由 16.已知 （分数：3.00）A.0B.2 C.1D.-1解析：解析 由题设知 则 以上
21、两式分别对 y，x 求偏导得 由于 在 x+y0 处连续，则 17.已知 du(x，y)=(axy 3 +cos(x+2y)dx+(3x 2 y 2 +bcos(x+2y)dy，则（分数：3.00）A.a=2，b=-2B.a=3，b=2C.a=2，b=2 D.a=-2，b=2解析：解析 由 du(x，y)=(axy 3 +cos(x+2y)dx+(3x 2 y 2 +bcos(x+2y)dy 知 以上两式分别对 y，x 求偏导得 由于 连续，则 18.函数 u=x 2 y 3 z 4 在点 A(1，1，1)处沿从点 A 到点 B(2，3，4)的方向的方向导数等于 A20 B-20 C D （分
22、数：3.50）A.B.C. D.解析：解析 向量的方向余弦为 19.函数 f(x,y,z)=x 2 y 3 +3y 2 z 3 在点(0，1，1)处方向导数的最大值为 A B （分数：3.50）A.B. C.D.解析：解析 函数 f(x，y，z)=x 2 y 3 +3y 2 z 3 在点(0，1，1)处方向导数的最大值等于 f(x，y，z)在点(0，1，1)处梯度向量的模 gradf(0，1，1)=(0，6，9) 20.函数 （分数：3.50）A.-iBiC.-jDj 解析：解析 21.设可微函数 f(x，y，z)在点(x 0 ，y 0 ，z 0 )处的梯度向量为 g，l=(0，2，2)为一常
23、向量，且gl=1，则函数 f(x，y，z)在点(x 0 ，y 0 ，z 0 )处沿 l 方向的方向导数等于 A B C D （分数：3.50）A.B. C.D.解析：解析 设 l 的方向余弦为 cos，cos，cos，则 =f x (x 0 ，y 0 ，x 0 )cos+f y (x 0 ，y 0 ，z 0 )cos+f z (x 0 ，y 0 ，z 0 )cos 22.已知曲面 z=4-x 2 -y 2 上点 P 处的切平面平行于平面 2x+2y+z-1=0 则点 P 的坐标是（分数：3.50）A.(1，-1，2)B.(-1，1，2)C.(1，1，2) D.(-1，-1，2)解析：解析 曲面
24、 z=4-x 2 -y 2 在点(x 0 ，y 0 ，z 0 )处的法线向量为(2x 0 ，2y 0 ，1)，由题设知 23.在曲线 x=t,y=-t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 z+2y+z=4 平行的切线（分数：3.50）A.只有一条B.只有两条 C.至少有三条D.不存在解析：解析 曲线 x=t，y=-t 2 ，z=t 3 在点 t=t 0 处的切向量为 =(1，-2t 0 ，3t 0 2 ) 平面 x+2y+z=4 的法线向量为 n=(1，2，1) 由题设知 n，即 1-4t 0 +3t 0 2 =0 则 t 0 =1 或 24.曲线 在点(1，-1，0)处的切线方程为 A
25、B C D （分数：3.50）A.B.C.D. 解析：解析 曲面 x 2 +y 2 +z 2 =2 在点(1，-1，0)处的法线向量为 n 1 =(2，-2，0)平面 x+y+z=0 在点(1，-1，0)处的法线向量为 n 2 =(1，1，1) 则曲线 在点(1,-1,0)处的切向量为 =n 1 n 2 =(-2，-2，4) 则所求切线方程为 25.函数 f(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 在点(1，-1，1)处沿曲线 x=t，y=-t 2 ，z=t 2 在该点指向 z 轴负向一侧的切线方向的方向导数等于 A-12 B12 C D （分数：3.50）A.B.C. D.解析：解析 曲线
26、 x=t，y=-t 2 ，z=t 3 在点(1，-1，1)处切线向量为 =(1，-2，3) 而指向 x 轴负向一侧的切向量为 (-1，2，-3) 则所求的方向导数为 26.设有三元方程 xy-zlny+e xz =1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程（分数：3.50）A.只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z=z(x，y)B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x，z)和 z=z(x，y)C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 z=z(x，y)D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 y=y(x，z) 解析：解析 设
27、F(x，y，z)=xy-zlny+e xz -1 则 F x =y+ze xy ， 27.曲面 （分数：3.50）A.48B.64 C.36D.16解析：解析 设 ，则 该曲面在点 P(x，y，z)处的切平面方程为 令 y=Z=0 得 ，令 X=Z=0 得 ，令 X=Y=0 得 28.下列命题正确的是（分数：3.50）A.若(x0，y0)为 f(x，y)的极值点，则(x0，y0)必为 f(x，y)的驻点B.若(x0，y0)为 f(x，y)的驻点，则(x0，y0)必为 f(x，y)的极值点C.若(x0，y0)为有界闭区域 D 上连续的函数 f(x，y)在 D 内部唯一的极值点，且 f(x，y)在
28、该点取极大值，则 f(x，y)在点(x0，y0)取得它在 D 上的最大值D.若 f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则 f(x，y0)在 x=x0 处取极小值，f(x0，y)在 y=y0 处取极小值 解析：解析 由 f(x,y)在点(x 0 ，y 0 )取得极小值及极值的定义可知，f(x，y 0 )在 x=x 0 取极小值，f(x 0 ，y)在 y=y0 处 取极小值，故应选 D29.设函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取极大值，则下列结论正确的是 A.f“x(x0，y 0)=f“y(x0，y 0)=0 B.f“xx(x0，y 0)f“yy(x0，y 0)-(f“xy(x0，
29、y 0)20，且 f“xx(x0，y 0)0 C.-f(x0，y)在 y0处取极小值 D.|f(x，y)|在(x 0，y 0)处取极大值（分数：3.50）A.B.C. D.解析：解析 由于 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取极大值，则 f(x 0 ，y)在 y=y 0 处取极大值，则在 y=y 0 的某邻域内 f(x 0 ，y)f(x 0 ，y 0 )，从而有 -f(x 0 ，y)-f(x 0 ，y 0 )即-f(x 0 ，y)在 y 0 处取极小值，故应选 C30.设 F(x，y)具有二阶连续偏导数，且 F(x 0 ，y 0 )=0，F“ x (x 0 ，y 0 )=0，F“ y (
30、x 0 ，y 0 )0若一元函数 y=y(x)是由方程 F(x，y)=0 所确定的在点(x 0 ，y 0 )附近的隐函数，则 x 0 是函数y=y(x)的极小值点的一个充分条件是（分数：3.50）A.F“xx(x0，y0)0B.F“xx(x0，y0)0 C.F“yy(x0，y0)0D.F“yy(x0，y0)0解析：解析 又 F“ x (x 0 ，y 0 )=0，则 y“(x 0 )=0 31.设函数 x=f(x，y)在点(0，0)处连续，且 （分数：3.50）A.fx(0，0)不存在B.fx(0，0)存在但不为零C.f(x，y)在(0，0)点取极大值 D.f(x，y)在(0，0)点取极小值解析：解析 1 由 ，及 f(x，y)在点(0，0)处的连续性知 f(0，0)=0， 由 ，及极限的保号性知存在(0，0)点的某个去心邻域，在此去心邻域内 而 ，则 f(x，y)0，又 f(0，0)=0，由极值定义知 f(x，y)在点(0，0)取极大值，故应选 C 解析 2 由于当(x，y)(0，0)时，
